1

CA£KA OZNACZONA

I.

Oblicz:

1.







1

0

;

1

1

dx

x

x

;

2

ln

2

1 



I

2.

dx

x

a

a





0

2

2

;

;

4

2

a

I





3.





2

0

2

;

1

dx

e

e

x

x

;

1

2

ln

1

2

2









e

e

I

4.



4

0

3

cos

2

sin



dx

x

x

;

2

2

2





I

;

5.

dx

e

x





2

ln

0

1

;

;

2

2







I

6.

dx

x

x





1

0

2

3

1

;

;

0



I

7.





2

0

sin

1

cos



dx

x

x

;

2

2

2





I

;

8.





3

0

2

4

dx

x

x

;

1



I

.

II.

Oblicz pole obszaru ograniczonego liniami:

1.

1

;

,

0

,

ln









D

e

x

y

x

y

;

2.

e

D

x

y

x

y









3

;

ln

,

ln

2

;

3.

3

32

,

0

3

2

,

2











D

y

x

x

y

;

4.

2

9

,

,

4

4

2











D

x

y

x

x

y

;

5.

3

16

,

0

1

,

1

2

2













D

y

x

x

y

;

6.

3

64

,

2

,

4

4

2











D

x

y

x

y

;

7.

2

ln

4

,

2

,

2

,

2









D

x

y

x

y

x

y

;

id6104125 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

2

8.

2

27

,

3

,

2

,

2

2









D

x

y

x

y

x

y

;

9.

6

3

32

;

48

24

,

16

8

2

2











D

x

y

x

y

;

10. y=

x

8 oraz 2x-3y+8=0 , odp.:

36

2

60



,

11. y = x

2

oraz y = 2x - x

2

, odp.: 1/3

12. y = sin x oraz y = cos x pomiêdzy x = 0 oraz x =

2



, odp.:

2

2

2



,

13. y = x - 1 oraz y

2

= 2x + 6 (parabola), odp.: 18,

14.

0

,

4

2







y

x

y

,

15.

2

2

2

,

x

y

x

y







,

16.

0

,

,

ln







y

e

x

x

y

,

17.

4

,

4

2









x

y

x

x

y

,

18.

4

4

1

1

2







y

x

y

y

,

,

,

19.

2

4

2

2

2

ln

:

.

,

,

,

odp

x

y

x

y

x

y







,

20.

2

27

3

2

2

2

:

.

,

,

,

odp

x

y

x

y

x

y







,

21. y =



x

2

, y=



x

2

+ 4, y = x



2 , x = 0 dla x > 0 ,

22. y = x

2

, y= x

2

– 4, y =



x +2 oraz osi¹ OY (dla x > 0),

23.

2

x

y 

,

x

y

1



, y=4,

24.

x

y 

,

x

y



 2

oraz osi¹ OX,

25. y = x

2

, y = 2 - x oraz osi¹ OX,

26. y= 2x  x

2

, y= 2x oraz osi¹ OX.

Bardzo ùadnie sposób wyznaczania pola obszaru miêdzy krzywymi podany jest na:

http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/%C4%86wiczenia_14:_Ca%C5%82ka_Riemanna_funkcji_jednej_zmiennej

III.

Oblicz dùugoœã ùuku krzywej:

1.

2

2

x

a

y





; dla





a

x

,

0



,

2

a

l





;

2.

;

3

ln

,

3

2

,

3

dla

)

ln(sin



















l

x

x

y





3.





;

2

3

ln

2

1

1

,

2

2

,

3

dla

ln









l

x

x

y

3

4.

;

1

3

ln

2

,

2

1

,

2

1

dla

)

1

ln(

2

























l

x

x

y

IV.

Oblicz objêtoœã bryùy powstaùej przez obrót dookoùa osi OX :

A. krzywej:

1.

);

2

(

],

,

1

[

dla

ln









e

V

e

x

x

y



2.

;

2

],

,

0

[

dla

sin

2











V

x

x

y

3.

;

3

4

],

,

[

dla

1

2

2

2

ab

V

a

a

x

a

x

b

y













B. figury pùaskiej ograniczonej liniami:

1.

;

10

3

,

,

2

2









V

x

y

x

y

2.

;

3

4

,

2

,

2

4

2













V

y

x

x

y

3.



3

8

,

2

,

2







V

x

y

x

y

;

V. Obliczanie powierzchni bryùy obrotowej.

1. Oblicz pole powierzchni sfery o promieniu R.

2. Oblicz pole powierzchni bryùy powstaùej przez obrót dookoùa osi OX krzywej:

]

2

,

1

[

dla

2







x

x

y

;

)

13

13

17

17

(

6







S

.