Praca domowa nr 5 z przedmiotu „Rachunek prawdopodobieństwa i Statystyka”

Zad. 1. Załóżmy, ze prawdziwa jest hipoteza Mendla, iż dla krzyżówki grochu w drugim pokoleniu
stosunek nasion żółtych do zielonych jest jak 3:1. Wylosowano niezależnie 10 nasion. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że: a) będą co najwyżej 4 nasiona żółte, b) będzie co najmniej 5 i nie więcej niż
8 nasion żółtych.
Zad. 2. Właściciel kurzej fermy stwierdził, że kogutków wykluwa się trzy razy więcej niż kurek.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że z 5 niezależnie wybranych jajek wykluje się co najmniej 1 kogutek,
ale nie mniej niż 2 kurki.
Zad. 3. Z talii 52 kart losujemy 6. Niech X będzie zmienną losową, oznaczającą liczbę wylosowanych
pików. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X .
Zad. 4. Obsługa działa artyleryjskiego ma 3 pociski. Prawdopodobieństwo trafienia do celu jednym
pociskiem (przy jednym wystrzale) w danych warunkach wynosi 0.7. Strzelanie kończy się z chwilą
trafienia do celu lub wyczerpania pocisków. Niech X będzie zmienną losową, oznaczającą liczbę
oddanych strzałów. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X .
Zad. 5. Niech X będzie wynikiem pojedynczego rzutu symetryczną kostką. Wyznaczyć: a) rozkład X ,
b) dystrybuantę X , wraz z wykresem, c) prawdopodobieństwa:





5

3





X

P

,





5

3





X

P

,





5

3





X

P

,





5

3





X

P

.

Zad. 6. Na drodze ruchu pociągów znajdują się - w znacznej odległości od siebie - 4 semafory,
z których każdy - wobec odległości niezależnie od siebie - zezwala na przejazd pociągu
z prawdopodobieństwem 0,8. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę semaforów zezwalających na
przejazd i poprzedzających pierwsze zatrzymanie lub stację docelową. Wyznaczyć: a) rozkład X ,
b) dystrybuantę X , wraz z wykresem, c)





2



X

P

.

Odpowiedzi:

Zad. 1: a)

,

4

1

4

3

10

10

4

0

k

k

k

k













































b)

;

4

1

4

3

10

10

8

5

k

k

k

k













































Zad. 2:

;

4

1

4

3

5

5

3

1

k

k

k

k













































Zad. 3:













,

,

6

,...,

2

,

1

0,

k

k

X

P

k





gdzie









k

X

P

;

6

52

6

39

13













































k

k

Zad. 4:

i

x

1

2

3





i

i

x

X

P

p





0,7

0,21

0,09

Zad. 5:

a)









6

,...,

2

,

1

6

/

1

,



k

k

,

b) Dystrybuanta F jest funkcją przedziałami stałą (schodkową),

 

0



t

F

dla





1

,







t

, następnie

dystrybuanta rośnie wyłącznie skokami o wielkości 1/6 w punktach 1,2,...,6,
c) Wartości poszczególnych prawdopodobieństw: 1/6, 1/3, 1/2, 1/3;
Zad. 6:
a)

i

x

0

1

2

3

4





i

i

x

X

P

p





0,2

0,16

0,128

0,1024

0,4096

b)



t





0

,







1

,

0



2

,

1



3

,

2



4

,

3







,

4

 

t

F

0

0,2

0,36

0,488

0,5904

1

c) 0,64.