Wykªad 4

Fizyka (Informatyka - EEIiA 2008/09)

21 10 2008

c

Mariusz Krasi«ski 2008

Spis tre±ci

1 Ruch drgaj¡cy - wst¦p

1

1.1 Ciaªo na spr¦»ynie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2 Drgania harmoniczne proste

2

2.1 Wychylenie, pr¦dko±¢ i przyspieszenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2.2 Denicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.3 Dlaczego tylko harmoniczny? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.4 Energia ruchu drgaj¡cego (przypadek spr¦»yny) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

UWAGA! Wi¦kszo±¢ rysunków wymaga wªasnor¦cznego dopisania oznacze«!

1 Ruch drgaj¡cy - wst¦p

Lektura uzupeªniaj¡ca:
M. Krasi«ski, Ruch drgaj¡cy rozdziaª 10 (strony 233-266) w skrypcie pt. Wst¦p do analizy matematycznej i

wybranych dziaªów zyki, red. A. Just, Wyd. Polit. Šódzkiej, Šód¹ 2007.

1.1 Ciaªo na spr¦»ynie

x

x

max

x

min

x

t

0

F

spr

Rysunek 1: Siªa spr¦»ysto±ci jest proporcjonalna do wydªu»enia (skrócenia) spr¦»yny

m~a = ~

F

spr

ma = −kx

a = −

k

m

x

(1.1)

1

2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE

Rysunek 2: Ukªad rozwi¡zuj¡cy równanie (1.1) oraz wynik symulacji (dopisz oznaczenia osi!). Zbiór programu

Scilab/Scicos osc_prost.cos do pobrania na stronie http://cmf.p.lodz.pl/markras/fizyka.

2 Drgania harmoniczne proste

2.1 Zale»no±¢ mi¦dzy wychyleniem, pr¦dko±ci¡ i przyspieszeniem

Drgania harmoniczne (obiektu) to drgania, w których wychylenie obiektu speªnia zale»no±¢

x = A cos(ωt + φ)

(mo»e by¢ tak»e sinus)

Pr¦dko±¢ obiektu wynosi wtedy

v =

dx

dt

=

−Aω sin(ωt + φ)

a przyspieszenie

a =

d

2

x

dt

2

=

d

dt

 dx

dt



=

d

dt

(−Aω sin(ωt + φ)) = −Aω

2

cos(ωt + φ) = −ω

2

x

(2.1)

Z równania (2.1) wynika, »e w ruchu harmonicznym musi by¢ speªniona zale»no±¢

d

2

x

dt

2

= −ω

2

x

(2.2)

albo po pomno»eniu obu stron przez mas¦ drgaj¡cego ciaªa m

m

d

2

x

dt

2

= F = −mω

2

x

Tak wi¦c aby ciaªo drgaªo harmonicznie, siªa dziaªaj¡ca na nie musi by¢ proporcjonalna do wychylenia lecz

przeciwnie do niego (wychylenia) skierowana.
Rysunek poni»ej przedstawia porównanie czasowego przebiegu wychylenia, pr¦dko±ci i przyspieszenia ciaªa dr-

gaj²cego ruchem harmonicznym prostym

c

Mariusz Krasi«ski 2008

2

2.2 Denicje

2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE

Rysunek 3: Porównanie czasowego przebiegu wychylenia, pr¦dko±ci i przyspieszenia dla ciaªa drgaj²cego ruchem

harmonicznym prostym. Zauwa», »e wykresy s¡ wzgl¦dem siebie przesuni¦te!

Drgania ciaªa na spr¦»ynie jako przykªad drga« harmonicznych

prostych
W przypadku rozci¡gania lub ±ciskania spr¦»yny, siªa spr¦»ysto±ci ma posta¢

F = −kx

Wychylenie musi wi¦c speªnia¢ równanie

m

d

2

x

dt

2

= − kx

czyli

d

2

x

dt

2

= −

k

m

x

Na podstawie równania (2.2) otrzymamy

ω

2

=

k

m

czyli zale»no±¢ wychylenia od czasu ma ostateczn¡ posta¢

x = A cos

r

k

m

t + φ

!

Generalnie równanie ruchu dla ciaªa o masie m drgaj¡cego ruchem harmonicznym prostym ma posta¢

m

d

2

x

dt

2

= −kx

gdzie k nie musi by¢ wspóªczynnikiem spr¦»ysto±ci, ale mo»e wynika¢ z innych wªasno±ci ukªadu wykonuj¡cego

drgania.

2.2 Denicje

•

q

k

m

t + φ = ωt + φ

nazywamy FAZ drgania

• φ

jest faz¡ pocz¡tkow¡ (czyli tak¡ faz¡, która wyst¦puje dla t=0 !)

• ω =

q

k

m

jest cz¦sto±ci¡ drgania (czasem zwana cz¦sto±ci¡ k¡tow¡ lub koªow¡)

•

Okres drga« T to taki najmniejszy czas, po którym wychylenie (uwzgl¦dniaj¡c kierunek ruchu) jest takie

samo jak na pocz¡tku (obserwacji) x(t) = x(t+T ). Mo»na te» powiedzie¢, »e okres drgania to najmniejszy

czas, po którym faza drgania zmieni si¦ o 2π.

•

cz¦sto±¢ i okres powi¡zane s¡ zale»no±ci¡ ω =

2π

T

•

wielko±¢ f =

1

T

nazywamy cz¦stotliwo±ci¡

c

Mariusz Krasi«ski 2008

3

2.3 Dlaczego tylko harmoniczny?

2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE

2.3 Dlaczego tylko harmoniczny?

To drganie z pewno±ci¡ nie jest harmoniczne

Rysunek 4: Dopisz oznaczenia na osiach!

A oto przepis matematyczny jak rozªo»y¢ takie drganie na drgania harmoniczne

y = A



sin x +

1

3

sin 3x +

1

5

sin 5x +

...



= A

∞

X

N =0

1

2N + 1

sin [(2N + 1)x]

Poni»ej widmo powy»szego drgania

Rysunek 5: Widmo drgania przedstawionego na rysunku 4

2.4 Energia ruchu drgaj¡cego (przypadek spr¦»yny)

E =

mv

2

2

+

kx

2

2

=

 m

2

A

2

ω

2

sin

2

(ωt + φ) +

k

2

A

2

cos

2

(ωt + φ)



(2.3)

Poniewa» w ruchu harmonicznym prostym

ω =

r

k

m

to

k = mω

2

Wykorzystuj¡c powy»sz¡ zale»no±¢ w równaniu (2.3) otrzymamy, »e energia caªkowita ukªadu drgaj¡cego zale»y

od amplitudy A i staªej spr¦»ysto±ci k

E =

 k

2

A

2

sin

2

(ωt + φ) +

k

2

A

2

cos

2

(ωt + φ)



=

kA

2

2

sin

2

(ωt + φ) + cos

2

(ωt + φ)

=

kA

2

2

(2.4)

c

Mariusz Krasi«ski 2008

4

2.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej

2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE

2.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej

Je±li wychylenie drgaj¡cego ciaªa opisuje zale»no±¢

x = A cos(ωt + φ)

(2.5)

to pr¦dko±¢ ciaªa opisana jest zale»no±ci¡

v = −Aω sin(ωt + φ)

(2.6)

Korzystaj¡c z jedynki trygonometrycznej

cos

2

(ωt + φ) + sin

2

(ωt + φ) = 1

oraz równa« (2.5) i (2.6) otrzymamy

x

2

A

2

+

v

2

A

2

ω

2

= 1

Powy»sze równanie przedstawia elips¦ w tak zwanej przestrzeni fazowej. Dalsze wyja±nienia na wykªadzie.

Rysunek 6: Dopisz komentarze na wykªadzie

c

Mariusz Krasi«ski 2008

5