15

Płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej

Rozważamy przestrzeń afiniczną R

3

ze standardowym iloczynem skalarnym.

Współrzędne punktu lub wektora x ∈ R

3

oznaczamy przez (x

1

, x

2

, x

3

).

Definicja 15.1. Płaszczyzną nazywamy dwuwymiarową podprzestrzeń afiniczną,
to znaczy zbiór postaci

p + lin (v, w) = {p + tv + sw | t, s ∈ R},

gdzie punkt p ∈ R

3

, a wektory v, w ∈ R

3

są liniowo niezależne.

Definicja 15.2. Równaniem parametrycznym płaszczyzny p + lin (v, w) nazy-
wamy układ równań







x = p

1

+ tv

1

+ sw

1

y = p

2

+ tv

2

+ sw

2

z = p

3

+ tv

3

+ sw

3

często nie wspominając już, że t, s ∈ R.

Definicja 15.3. Płaszczyznę w R

3

można przedstawić jako zbiór rozwiązań

równania

Ax + By + Cz + D = 0,

gdzie A

2

+ B

2

+ C

2

> 0.

Równanie to nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny.

15.4. Płaszczyzna o równaniu ogólnym Ax + By + Cz + D = 0, w którym C 6= 0
opisuje się równaniem parametrycznym, w którym

p =



0, 0, −

D

C



, v = [C, 0, −A], w = [0, C, −B].

Podobnie można opisać równanie parametryczne w pozostałych dwóch przy-

padkach (A 6= 0 lub B 6= 0).

Definicja 15.5. Równanie płaszczyzny w postaci

z = lx + my + n

nazywamy równaniem kierunkowym.

Powstaje ono z równania ogólnego, gdy C 6= 0 poprzez przyjęcie

l = −

A

C

, m = −

B

C

, n = −

D

C

.

Definicja 15.6. Równanie płaszczyzny w postaci

x

a

+

y

b

+

z

c

= 1

nazywamy równaniem odcinkowym.

Powstaje ono z równania ogólnego, gdy A, B, C, D 6= 0 poprzez przyjęcie

a = −

D

A

, m = −

D

B

, n = −

D

C

.

1

Definicja 15.7. Wektorem normalnym do płaszczyzny nazywamy niezerowy
wektor prostopadły do wszystkich wektorów, które są do tej płaszczyzny równo-
ległe.

Wektory normalne do płaszczyzny w R

3

są wszystkie iloczynem pewnego

wektora N 6= θ przez liczbę.

15.8. Dla płaszczyzny danej równaniem parametrycznym p+lin (v, w) wektorem
normalnym jest np. wektor N = v × w.

Dla płaszczyzny danej równaniem ogólnym Ax + By + Cz + D = 0 wektorem

normalnym jest np. wektor N = [A, B, C].

Stwierdzenie 15.9. Odległość punktu X = (x

0

, y

0

, z

0

) od płaszczyzny π :

Ax + By + Cz + D = 0 wyraża się wzorem

d(X, π) =

|Ax

0

+ By

0

+ Cz

0

+ D|

√

A

2

+ B

2

+ C

2

Stwierdzenie 15.10. Odległość dwóch płaszczyzn równoległych

π

1

: Ax + By + Cz + D

1

= 0, π

2

: Ax + By + Cz + D

2

= 0

wyraża się wzorem

d(π

1

, π

2

) =

|D

1

− D

2

|

√

A

2

+ B

2

+ C

2

Definicja 15.11. Kątem pomiędzy płaszczyznami π

1

oraz π

2

o wektorach nor-

malnych odpowiednio N

1

oraz N

2

nazywamy liczbę

^(π

1

, π

2

) :=

^(N

1

, N

2

),

przy czy utożsamiamy kąty uzupełniające się do kąta półpełnego.

2