1

Spis zagadnień egzaminacyjnych z przedmiotu:

Algebra z geometrią.

Automatyka i Robotyka.

1. Podać definicje działań: wewnętrznego, zewnętrznego (rodzaje działań zewnętrznych);

działanie łączne, przemienne, element jednostkowy, odwrotny działania. Przykłady.

2. Grupoid, półgrupa, monoid, grupa – przykłady (w tym – monoid C

mn

, grupa Z

n

).

3. Pierścień, ciało, ciała i pierścienie skończone – przykłady.
4. Twierdzenie o skracaniu w grupie, twierdzenie o rozwiązalności w grupie
5. Podgrupy, kryterium na to, aby podzbiór nośnika grupy był nośnikiem podgrupy (dowód).
6. Homomorfizmy grup, pierścieni, jądro homomorfizmu.
7. Zdefiniować liczbę zespoloną i określić działania na tych liczbach.
8. Podać interpretację geometryczną liczby zespolonej i wyprowadzić postać

trygonometryczną liczby zespolonej.

9. Wyprowadzić wzór na mnożenie i dzielenie liczb zespolonych podanych w postaci

trygonometrycznej .

10. Podać wzór na potęgowanie liczb zespolonych (de Moivre’a) i uzasadnić jego

prawdziwość.

11. Podać wzór na pierwiastkowanie liczb zespolonych.
12. Pierwiastki z jedności, pierwiastki pierwotne. Interpretacja geometryczna. Kryterium na

to, aby pierwiastek z jedności był pierwiastkiem pierwotnym. Jaką strukturę tworzą
pierwiastki z jedności?

13. Omówić rozwiązywanie równania kwadratowego o współczynnikach zespolonych.
14. Podać zasadnicze twierdzenie algebry.
15. Podać twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki.
16. Podać i uzasadnić twierdzenie o pierwiastkach zespolonych wielomianu o

współczynnikach rzeczywistych.

17. Określić macierz, podać klasyfikację macierzy i wymienić działania na macierzach.
18. Określić mnożenie macierzy w sensie Cauchy’ego.
19. Zdefiniować macierz odwrotną, omówić sposoby wyliczania macierzy odwrotnej.
20. Macierz osobliwa i nieosobliwa, rząd macierzy.
21. Definicja wyznacznika macierzy kwadratowej, twierdzenie Laplace’a o rozwinięciu

wyznacznika.

22. Układ Cramera. Twierdzenie o rozwiązaniu układu Cramera. Układ jednorodny.
23. Zapisać układ równań liniowych w postaci macierzowej i wyprowadzić sposób

rozwiązywania układu metodą macierzową.

24. Omówić sposób rozwiązywania układu równań liniowych metodą eliminacji Gaussa.
25. Pierścienie, pierścienie wielomianów, pierścienie Z

n

, homomorfizmy pierścieni.

26. Ciała, ciało Galois.
27. Określić przestrzeń liniową i podać przykłady przestrzeni liniowej.
28. Liniowa zależność i liniowa niezależność wektorów.
29. Powłoka liniowa układu wektorów.
30. Wymiar przestrzeni liniowej i jej baza.
31. Omów zagadnienie przejścia z bazy do bazy przestrzeni liniowej.
32. Określić odwzorowanie liniowe.
33. Związek odwzorowania liniowego z macierzą.
34. Wektor własny przekształcenia liniowego.
35. Równanie charakterystyczne macierzy i jego pierwiastki – wartości własne macierzy.
36. Podać twierdzenie Cayleya – Hamiltona.
37. Macierze podobne. Diagonalizacja macierzy.

2

38. Określić iloczyn skalarny w przestrzeni liniowej.
39. Określić działania na wektorach w przestrzeni trójwymiarowej.
40. Określić wektor w postaci analitycznej (w układzie kartezjańskim).
41. Podać sposoby wyliczania iloczynu wektorowego wektorów .
42. Warunki równoległości i prostopadłości wektorów.
43. Podać znane postaci równania płaszczyzny. Wyprowadzić równanie parametryczne

płaszczyzny.

44. Równania prostej w przestrzeni trójwymiarowej.
45. Wyprowadzić równania prostej w postaci parametrycznej i kierunkowej.
46. Omówić wzajemne położenie prostych, płaszczyzn oraz prostej i płaszczyzny w

przestrzeni trójwymiarowej.

47. Definicja elipsy, paraboli, hiperboli i ich równania.
48. Kwadryki i ich klasyfikacja.