Wykład 6: Podstawy metody elementów

skończonych do analizy mechanicznej oraz

analizy zagadnienia filtracji

dr hab. inż. A. Truty prof. PK

12th April 2005

1

Problem brzegowy liniowej teorii spręzystości

• Równania równowagi wewnętrznej

σ

ij,j

+ b

i

= 0

• Równania geometryczne

ε

ij

=

1

2

(u

i,j

+ u

j,i

)

• Równania Hooke’a

σ

ij

= 2G ε

ij

+ λ ε

kk

δ

ij

• Warunki brzegowe

σ

ij

n

j

= q

i

na Γ

q

u

i

= u

i

na Γ

u

q

Γ

q

Γ

u

b

n

y

x

z

2

Zasada prac wirtualnych

• Jeśli ciało znajduje sie w stanie równowagi to praca

wirtualna sił wewnetrznych jest równa pracy wirtu-
alnej sił zewnętrznych

R

Ω

δε

T

σ dΩ =

R

Ω

δu

T

b dΩ +

R

Γ

δu

T

q dΩ

• Zasada prac witualnych jest równoważna równaniu

równowagi wewnętrznej

• szukamy takiego u(x, y, z) aby dla ∀ δu spełniona

była zasada prac wirtualnych

Zapis macierzowy

• wektor skladowych stanu napręzenia

σ = {σ

x

, σ

y

, τ

xy

, σ

z

, τ

xz

, τ

yz

}

T

• wektor składowych stanu odkształcenia

ε = {ε

x

, ε

y

, γ

xy

, ε

z

, γ

xz

, γ

yz

}

T

• wektor składowych stanu przemieszczenia

u = {u

x

, u

y

, u

z

}

T

• równania Hookee’a

σ = D ε

• równania geometryczne

ε = B u

3

Płaski stan odkształceń

Pasek o jednostkowej długości

Płaski stan odkształcenia (PSO) na przykładzie zapory ziemnej

z centralnym rdzeniem

z

x

y

• hipoteza kinematyczna: ε

z

= 0

• macierz związków Hooke’a

D =

E(1 − ν)

(1 − 2ν)(1 + ν)
















1

−ν

0

−ν

−ν

1

0

−ν

0

0

1

2

1 − 2ν

1 − ν

0

−ν −ν

0

1
















• macierz operatorowa związków geometrycznych

B =





















∂

∂x

0

0

∂

∂y

∂

∂y

∂

∂x

0

0





















4

Dyskretyzacja MES

q

q

Q4

• Ω =

P

i=1,N ele

Ω

i

• zakładamy że wystarcza nam znajomość rozwiąza-

nia w skończonej liczbie punktów

• siatka składa się z elementów skończonych zbudowanych

na węzłach

• poszukiwane rozwiązanie u(x) w dowolnym punkcie

należącym do elementu skończonego bedziemy zna-
jdować wykorzystując funkcje interpolacyjne (tzw.
funkcje kształtu)

5

ξ

+1

1

2

3

4

1

2

3

4

Φ

−1

(x)

x

y

element
rzeczywisty

-2

-1

Φ(ξ)

η

element

wzorcowy

Przykład 1D

+1

x

2

ξ

-1

-1

1

Φ(x) : x= 2 ξ

Φ

−1

(x) :

ξ= x / 2

Funkcje interpolacyjne dla elementu Q4:

N

1

=

1

4

(1 − ξ) (1 − η)

N

2

=

1

4

(1 + ξ) (1 − η)

N

3

=

1

4

(1 + ξ) (1 + η)

N

4

=

1

4

(1 − ξ) (1 + η)

•

P

N

a

= 1 a = 1..4

• interpolacja współrzędnych w elemencie:

x(ξ) = N

a

x

a

• interpolacja przemieszczeń (lub ciśnień porowych)

w elemencie:
x(ξ) = N

a

x

a

6

u(ξ) = N

a

u

a

p(ξ) = N

a

p

a

• a - numer węzła w elemencie

• korzystając z funkcji interpolacyjnych oraz wartości

węzłowych przemieszczeń możemy wyliczyć wartości
składowych przemieszczenia w dowolnym punkcie
wewnątrz elementu oraz wektor składowych stanu
odkształcenia

• u(ξ) = N

a

u

a

• ε = B N

a

u

a

= B

a

u

a

• B

a

=





















∂N

a

∂x

0

0

∂N

a

∂y

∂N

a

∂y

∂N

a

∂x

0

0





















• δε = B

a

δu

a

= B δu

• δu = N

a

δu

a

= N δu

• wstawiamy te wielkości do zasady prac wirtualnych:

A

i=1,N ele

R

Ω

e

δu

T

B

T

D B u

e

dΩ =

R

Ω

e

δu

T

N

T

bdΩ+

R

Γ

e

δu

T

N

T

qdΓ

7

• jeśli to równanie zachodzi dla ∀δu to musi byc spełnione

równanie nastepujące:

A

i=1,N ele

R

Ω

e

B

T

D B u

e

dΩ =

R

Ω

e

N

T

bdΩ +

R

Γ

e

N

T

qdΓ

• otrzymujemy w ten sposób standardowy układ rów-

nań równowagi MES:

K u = f

k

e

ab

=

R

Ω

e

B

a

DB

b

dΩ

f

e

a

=

R

Ω

e

N

T

a

b dΩ +

R

Γ

e

N

T

a

q dΩ

a, b - indeksy węzłów elementu skończonego

Przykład agreagcji globalnej macierzy sztywności

1

2

1

2

3

1

1

4

Element nr 1
{ węzły : 1 , 2 , 3 }
Element nr 2
{ węzły : 1 , 3 , 4 }

8

1

2

3

Globalna macierz sztywności K

4

1

4

1

2

3

2

3

1

3

1

3

4

lokalna macierz sztywności k
elementu 2

• macierz K ma strukturę pasmową albowiem ele-

menty sąsiadują tylko z częścią elementów skonc-
zonych

Obliczanie pochodnych kartezjańskich funkcji ksz-
tałtu

• w podmacierzach B

a

potrzebujemy pochodnych

∂N

a

∂x

•

∂N

a

∂x

=

∂N

a

∂ξ

∂ξ

∂x

• Jacobian: J =

∂x

∂ξ

9

• J =

∂x

∂ξ

• J

−1

=

∂ξ

∂x

•

∂x

∂ξ

=

∂N

a

∂ξ

x

a

Całkowanie numeryczne

• zamiana zmennych:

R

Ω

f (x, y)dx dy =

R

Ω

f (ξ, η) det(J) dξ dη

• kwadratura Gaussa:

R

Ω

f (ξ, η) det(J) dξ dη =

P

ig=1,N g

f (ξ

ig

, η

ig

) det(J

ig

) W

ig

• dla elementu Q4 oraz kwadratury 4-punktowej wagi

wynoszą:
W

1

= W

2

= W

3

= W

4

= 1

• ξ

ig

= ±

√

3

3

, η

ig

= ±

√

3

3

1

2

3

4

1 2

3

4

η

+1

Punkty Gaussa
Punkty węzłowe

ξ

-1

+1

10

Konstrukcja dyskretnego modelu konstrukcji

• Definicja typu problemu: PSO, PSN, AS, 3D

• Lista elementów

dla każdego elementu definiujemy: indeks elementu,
klasa elementu (np. Q4), numer materiału, lista in-
deksów węzłów

• Lista węzłów

dla każdego węzła definiujemy: indeks węzła, współrzędne
(x,y,<z>), indeksy obciążeń węzłowych przyporząd-
kowanych do danego węzła, typ warunku brzegowego
zdefiniowaego na danym węźle

• Lista materiałów

dla każdego elementu definiujemy: indeks mateiału,
model konstytutywny (np. sprężysty lub plastyczny
typu M-C), parametry materialowe

• Lista obciążeń

Schemat obliczeń - co dostajemy z obliczeń ?

• pętla po elementach i=1,Nele

– oblicz k

e

oraz f

e

– agregacja macierzy elementowej k

e

do macierzy

globalnej K oraz wektora obciążeń f

e

do wek-

tora sił zewnętrznych F

11

• rozwiąż układ równań K u = F

• powrót do elementów celem obliczenia wartości sklad-

owych stanu odkształcenia i naprężenia

• pętla po elementach i = 1, N ele

– pętla po punktach Gaussa ig = 1, N g

∗ w danym elemencie i oraz p. gaussa ig oblicz

ε = B u
σ = D ε

Uwagi:

• przemieszczenia, ciśnienia wody w porach zawsze sa

obliczane w węzłach siatki

• naprężenia, odkształcenia, prędkosci filtracji obliczane

są w punktach Gaussa

12