1

Inżynierskie zastosowania statystyki – ćwiczenia

Temat 2: Własności prawdopodobieostwa, prawdopodobieostwo warunkowe

Zadania do rozwiązania:

1. Rozważamy obwód elektryczny dwóch elementów a

1

, a

2

połączonych równolegle. Zdarzenie

A

i

oznacza, że element a

i

jest sprawny przynajmniej przez czas t. Obliczyd

prawdopodobieostwo, że układ przewodzi prąd co najmniej przez czas t zakładając, że P(A

1

) =

P(A

2

) = p oraz P(A

1

A

2

) = p

2

.

2. Ze zbioru cyfr {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy ze zwrotem k elementów, które tworzą liczbę

L. Obliczyd prawdopodobieostwo, że wszystkie cyfry liczby L są różne.

3. Betonowy przepust może w ciągu sekundy przyjąd maksymalnie 300 dm

3

wody. Ponadto

zdefiniowano następujące zdarzenia :
A – zdarzenie oznaczające, że ilośd wody/sek. przyjmuje wartośd z przedziału (125, 250>,
B – zdarzenia oznaczające, że ilośd wody/sek. przejmie wartośd z przedziału (200, 300>.
Doświadczalnie stwierdzono, że

8

,

0

)

(

7

,

0

)

(

6

,

0

)

(









B

A

P

B

P

A

P

Oblicz następujące prawdopodobieostwa:
a)

)

'

( A

P

,

)

'

(B

P

b) Prawdopodobieostwo, że ilośd wody przyjmie wartośd z przedziału (200,250>
c) Prawdopodobieostwo, że ilośd wody przyjmie wartośd z przedziału <0, 125>
d)

)

'

(BA

P

e)

)

'

(

A

B

P



4. W urnie znajduje się 10 kul w tym 7 kul białych oraz 3 czarne. Z urny losujemy dwukrotnie po

jednej kuli. Obliczyd prawdopodobieostwo, że obydwie wylosowane kule są białe.

5. Ze zbioru cyfr {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy bez zwrotu k elementów, które tworzą liczbę

L=C

1

C

2

C

3

. Zakładamy, że wszystkie możliwe do otrzymania w ten sposób liczby są jednakowo

prawdopodobne. Obliczyd prawdopodobieostwo, że otrzymana liczba L < 444.

6. W kanale łączności nadawane są tylko 3 rodzaje ciągów liter: AAAA, BBBB, CCCC z

prawdopodobieostwami 0,4; 0,3; 0,3. W trakcie transmisji może dojśd do zakłócenia
losowego, które może powodowad, że np. litera A zostanie odebrana jako B lub C.
Prawdopodobieostwo transmisji poprawnej lub przekłamania znaku pokazane jest w tabeli.

A

B

C

A

0,8

0,1

0,1

B

0,1

0,8

0,1

C

0,1

0,1

0,8

a) Oblicz prawdopodobieostwo na wyjściu sygnałów: AAAA, ACAA, CCCC, ABCA
b) Na wyjściu odebrano sygnał ACAA – oblicz prawdopodobieostwo, że został on nadany

jako AAAA

c)

Na wyjściu odebrano sygnał AAAA – oblicz prawdopodobieostwo, że został on nadany

również jako AAAA

2

7. W fabryce przeprowadzany jest test diagnostyczny mający na celu wykrycie

wadliwych wyrobów. Test stosuje się do zbadania pojedynczych sztab wylosowanych
z dużej partii tego wyrobu. Wiadomo, że przeciętnie 5% całej produkcji stanowią
produkty wadliwe. Sprawdzono również, że jeżeli produkt jest wadliwy, to w 90% test
wykazuje wadliwośd (czyli wynik testu jest pozytywny). Jeżeli produkt jest wykonany
prawidłowo to w 90% test nie wykazuje wadliwości.
a) Wyznacz prawdopodobieostwo, że produkt jest wadliwy, jezeli wynik testu był

pozytywny?

b) Jak zmieni się powyższe prawdopodobieostwo, jeżeli produkt będzie badany

dwukrotnie i w obu przypadkach wyniki testu będą pozytywne?