Wykład 4

Dynamika symboliczna

4.1

Przestrzeń ciągów binarnych

Definicja 1. Niech Σ

2

oznacza zbiór wszystkich nieskończonych ciągów binarnych:

Σ

2

= {s = s

0

s

1

s

2

. . . : ∀

i∈N

∗

s

i

∈ {0, 1}}.

Niech d : Σ

2

× Σ

2

→ R będzie funkcją zdefiniowaną wzorem:

d(t, s) =

∞

X

i=0

|t

i

− s

i

|

2

i

.

Twierdzenie 1. Para (Σ

2

, d) jest przestrzenią metryczną.

Lemat 1. Niech s = s

0

s

1

s

2

. . . i t = t

0

t

1

t

2

. . . będą dwoma ciągami należącymi do Σ

2

. Wówczas:

1)



∀

i∈{0, 1, ..., n}

s

i

= t

i



⇒ d(s, t) ¬

1

2

n

,

2) d(s, t) <

1

2

n

⇒



∀

i∈{0, 1, ..., n}

s

i

= t

i



.

4.2

Przesunięcie

Definicja 2. Odwzorowanie σ : Σ

2

→ Σ

2

sdefiniowane wzorem:

σ(s

0

s

1

s

2

. . .) = s

1

s

2

s

3

. . .

nazywamy przesunięciem (w lewo) lub shiftem.

Twierdzenie 2. Przesunięcie σ jest owzorowaniem ciągłym.

Twierdzenie 3. Dla każdego k ∈ N zbiór punktów okresowych Per

k

(σ) jest niepusty. Co więcej,

zbiór Per(σ) jest gęsty w Σ

2

.

Twierdzenie 4. Istnieje punkt s

∗

∈ Σ

2

, którego orbita O

σ

(s

∗

) jest gęsta w Σ

2

.

1

Dowód. Takim punktem jest np.:

s

∗

= 0 1 00 01 10 11 000 001 010 011 100 101 110 111 . . .

skonstruowany przez dopisywanie kolejno wszystkich możliwych ciągów binarnych o długości k,

gdzie k = 1, 2, 3, . . ..



Definicja 3. Skonstruowany powyżej ciąg s

∗

nazywamy ciągiem Morse’a.

4.3

Własność mieszania i wrażliwość na warunki początkowe

Definicja 4. Niech X będzie przestrzenią metryczną i f : X → X. Odwzorowanie f nazywamy

mieszającym (lub topologicznie tranzytywnym), jeżeli dla dowolnych niepustych podzbiorów U i V

przestrzeni X istnieje n ∈ N takie, że f

n

[u] ∩ V 6= ∅.

Twierdzenie 5. Niech X będzie przestrzenią metryczną, w której każdy niepusty i otwarty podzbiór

jest nieprzeliczalny. Jeżeli odwzorowanie ciągłe f : X → X ma gęstą orbitę, to f jest odwzorowa-

niem mieszającym.

Przestrzeń Σ

2

i odwzorowanie σ spełniają założenia powyższego twierdzenia. Wobec tego za-

chodzi:

Twierdzenie 6. Przesunięcie σ jest odwzorowaniem mieszającym.

Definicja 5. Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną i f : X → X. Mówimy, że odwzorowanie

f jest wrażliwe na warunki początkowe, jeżeli istnieje taka liczba c > 0, że

∀

x∈X

∀

ε>0

∃

y∈X

∃

n∈N

(ρ(x, y) < ε ∧ ρ(f

n

(x), f

n

(y)) ­ c) .

Twierdzenie 7. Przesunięcie σ jest odwzorowaniem wrażliwym na warunki początkowe.

2