14.04.2011 r.

Zadanie 1. Znaleźć sumy szeregów

∞

X

n=0

r

n

cos nt,

∞

X

n=0

r

n

sin nt

dla r, t ∈ R, |r| < 1.

Zadanie 2. Uzasadnić, że poniższy szereg jest bezwzględnie zbieżny i znaleźć jego sumę:

∞

X

n=1

1

(n + i)(n + 1 + i)

.

Zadanie 3. Uzasadnić, że szereg

∞

P

n=1

1

n

i

n

jest zbieżny, ale nie bezwzględnie, oraz znaleźć jego

sumę.

Zadanie 4. Sprawdzić, że w półpłaszczyźnie <z > 0 istnieje dokładnie jedna gałąź loga-
rytmu taka, że log 1 = 0. Znaleźć log(1 + i).

Zadanie 5. Wyznaczyć obrazy następujących zbiorów przy odwzorowaniu f (z) = e

z

:

• odcinek {z ∈ C; −π < =z < π} ∩ {<z = x

0

};

• prosta {z ∈ C; −π < =z < π} ∩ {=z = y

0

}

• pas {z ∈ C; −π < =z < π};

• prosta {x + iy; y = ax + b}

Zadanie 6. Znaleźć część rzeczywistą i urojoną funkcji sin i cos.

Zadanie 7. Wykazać, że funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są nieograniczone.

Zadanie 8. Rozwiązać równania

cos z = u,

sin z = w

dla u, w ∈ C.

Zadanie 9. Niech (a

n

)

∞
n=1

będzie ciągiem liczb zespolonych, a

n

6= 0. Wykazać, że jeżeli

istnieje granica lim

|a

n+1

|

|a

n

|

to istnieje granica lim |a

n

|

1/n

i granice te są sobie równe.

Zadanie 10. Znaleźć promień zbieżności szeregów potęgowych

∞

P

n=1

a

n

z

n

, gdzie wyrazy a

n

dane są wzorami:

• log

2

n

• n!

•

n

2

4

n

+3n

•

n!

n

n

•

(n!)

3

(3n)!

W. Ze wzoru Stirlinga n! ∼

√

2πn

n+1/2

e

−n

.

Zadanie 11. Zbadać zbieżność poniższych szeregów potęgowych na brzegu koła zbieżności:

∞

X

n=0

nz

n

,

∞

X

n=1

1

n

2

z

n

,

∞

X

n=1

1

n

z

n

.

Zadanie 12. Niech f (z) =

∞

P

n=0

a

n

z

n

. Wykazać, że f jest rozwijalna w szerego potęgowy w

każdym punkcie wewnątrz koła zbieżności.

Zadanie 13. Wykazać, że funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej f (x) := exp(−x

−2

)

dla x > 0 i f (x) = 0 dla x ≤ 0 jest klasy C

∞

lecz nie jest rozwijalna w zerze w szereg

potęgowy. Oznacza to, że f nie jest analityczna (klasy C

ω

) w zerze. Wskazać przyczynę

takiego zachowania funkcji w zerze badając zespolony odpowiednik tej funkcji.

2