MLR2x str. 9
MLR2x str. 10
POTĘGI
POTĘGI
Poniżej przypominamy, jak określa się potęgi o wykładnikach całkowitych.
Przyjmujemy, że:
a
0
= 1
(dla a
= 0)
a
1
=
a
a
−1
=
1
a
(dla a
= 0)
Ponadto dla n > 1 przyjmujemy, że:
a
n
=
a · a · a · a · . . . · a
n czynników
a
−
n
=
1
a
n
(dla a
= 0)
Zauważ, że gdy podstawą potęgi jest 0, wykładnik nie może być równy 0
i nie może być liczbą ujemną.
A
Oblicz:
3
4
(−0,2)
3
3
5
2
−1
2
3
3
(−6)
0
4
−2
1
1
2
−1
(−0,5)
−4
B
Zapisz w postaci potęgi liczby 7:
7
11
· 7
5
7
8
2
7
5
: 7
3
7
−1
· 7
5
7
3
−2
7
10
: 7
−4
7
−2
−2
7
3
· 7
5
7
−2
Przekształcając wyrażenia, w których występują potęgi o wykładnikach cał-
kowitych, można korzystać z następujących równości:
Prawa działań na potęgach
Zakładamy, że a
= 0 i b = 0, wówczas:
a
m
· a
n
=
a
m + n
a
m
:
a
n
=
a
m − n
(
a
m
)
n
=
a
m · n
(
ab)
n
=
a
n
b
n
a
b
n
=
a
n
b
n
Każdą z powyższych równości można uzasadnić, korzystając z definicji
potęgi.
10
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 11
Oto jak można udowodnić równość
a
b
n
=
a
n
b
n
(a
= 0 i b = 0):
Jeśli n = 0, to:
a
b
0
= 1 =
1
1
=
a
0
b
0
Jeśli n = 1, to:
a
b
1
=
a
b
=
a
1
b
1
Jeśli n = −1, to:
a
b
−1
=
1
a
b
=
b
a
=
1
a
· b =
1
a
1
b
=
a
−1
b
−1
Jeśli n > 1, to:
a
b
n
=
a
b
·
a
b
· . . . ·
a
b
n czynników
=
n czynników
a
· a · . . . · a
b
· b · . . . · b
n czynników
=
a
n
b
n
a
b
−n
=
1
a
b
n
=
1
an
bn
=
b
n
a
n
=
1
a
n
· b
n
=
1
an
1
bn
=
a
−n
b
−n
Korzystając z definicji potęgi, uzasadniliśmy równość
a
b
n
=
a
n
b
n
dla wszyst-
kich liczb naturalnych oraz dla wszystkich liczb do nich przeciwnych, czyli
dla wszystkich liczb całkowitych.
Wiele na pozór bardzo skomplikowanych obliczeń można uprościć, korzy-
stając z praw działań na potęgach.
P
Przekształć wyrażenia, korzystając z praw działań na potęgach.
a)
17
−7
· 17
3
17
−3
=
17
−4
17
−3
= 17
−4−(−3)
= 17
−1
=
1
17
b)
49
5
7
7
=
7
2
5
7
7
=
7
10
7
7
= 7
3
= 343
c)
2
2
3
·
2
−3
4
2
−8
· 2
3
=
2
6
· 2
−12
2
−5
=
2
−6
2
−5
= 2
−6−(−5)
= 2
−1
=
1
2
d)
15
4
6
5
· 5
−4
=
(3
· 5)
4
(3
· 2)
5
· 5
−4
=
3
4
· 5
4
3
5
· 2
5
· 5
−4
=
3
−1
· 5
0
2
5
=
1
96
e) 5
· 10
7
· 4 · 10
−3
= 20
· 10
7−3
= 20
· 10
4
= 2
· 10
5
POTĘGI
11
MLR2x str. 12
Poniżej pokazujemy, jak można korzystać z własności potęg przy zamianie
jednostek powierzchni i objętości.
P
1 km
2
= 1000
2
m
2
= (10
3
)
2
m
2
= 10
6
m
2
1 cm
2
= 0,01
2
m
2
= (10
−2
)
2
m
2
= 10
−4
m
2
1 m
3
= 100
3
cm
3
= (10
2
)
3
cm
3
= 10
6
cm
3
1 mm
3
= 0,001
3
m
3
= (10
−3
)
3
m
3
= 10
−9
m
3
Przy zapisywaniu liczb bardzo dużych
lub bardzo małych wygodnie jest po-
sługiwać się notacją wykładniczą, czyli
zapisem postaci:
a
· 10
n
Liczba a spełnia warunek: 1 ≤ a < 10 ,
liczba n jest liczbą całkowitą.
Uwaga. Liczby naturalne i ułamki dziesiętne można w różny sposób zapisywać za
pomocą potęg liczby 10, na przykład:
4,2
· 10
7
= 42
· 10
6
= 0,42
· 10
8
Jednak tylko pierwszy z tych zapisów nazywamy notacją wykładniczą.
C
Zapisz podane wielkości w notacji wykładniczej:
Motyl waży około 0,0002 kg.
Ziarnko maku waży około 0,000 000 5 kg.
Woda w oceanach waży około 1400 000 000 000 000 000 000 kg.
Masa atomu wodoru wynosi 0,000 000 000 000 000 000 000 000 0017 kg.
Masa atomu tlenu wynosi 0,000 000 000 000 000 000 000 000 0027 kg.
P
Masa Jowisza — największej planety Układu Słonecznego — wynosi 1,9
·10
27
kg.
Masa Ziemi to 6
· 10
24
kg. Ile razy masa Jowisza jest większa od masy Ziemi?
1,9
· 10
27
6
· 10
24
=
1,9
6
·
10
27
10
24
≈ 0,3 · 10
3
= 300
Odp. Masa Jowisza jest około 300 razy większa od masy Ziemi.
12
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 13
ZADANIA
1.
Oblicz:
5
3
5
−3
(−5)
3
(−5)
−3
−5
3
−5
−3
5
0
−5
0
(−5)
0
2.
Zapisz w postaci ilorazu liczb całkowitych:
17
3
0
3
2
−2
1
2
3
−1
(−1,5)
−3
0,3
2
0,01
−3
(−0,1)
5
(1,1)
−2
3.
Przyjmijmy, że liczba a jest dodatnia. Które z poniższych liczb też są dodatnie?
Które z tych liczb byłyby dodatnie, gdyby liczba a była ujemna?
a
3
−a
3
(−a)
3
a
23
a
−2
a
−5
(−a)
2
(−a)
−2
−(−a)
31
4.
Podaj przykład liczby spełniającej warunek:
a) a
2
< a
b) b
−1
> 1
c) c
2
> c i c < 0
d) d
3
< d i d < 0
5.
Uporządkuj podane liczby w kolejności od najmniejszej do największej.
a) 17
2
17
3
17
0
17
−2
17
−5
c) 0,3
3
0,2
3
0,3
−3
0,2
−3
0,2
0
b) 0,6
2
0,6
0,6
−3
0,6
−4
0,6
4
d) 0,25
4
0,25
−4
4
5
4
−5
0,4
−6
6.
Zapisz w postaci jednej potęgi:
a) 3
15
· 3
3
d) 13
2
: 13
5
g)
2
−8
3
j) 6
−5
: 6
−2
b) 7
12
: 7
3
e)
4
2
−3
h) 17
6
: 17
−3
k)
8
−3
−2
c)
4
5
3
f) 5
7
· 3
7
i) 15
−3
· 15
−7
l) 6
−3
: 2
−3
7.
Zapisz w postaci potęgi liczby 2:
4
5
8
−3
1
2
3
1
16
1
4
5
1
2
5
1
2
−2
0,5
0,25
0,5
3
0,25
−4
8.
Porównaj podane liczby.
a) 125
3
i 5
9
c) (2
7
)
8
i (2
8
)
7
e) 0,5
8
i 0,25
4
g) (−8)
3
i (−2)
9
b) (−2)
150
i (−4)
80
d) (0,6
5
)
−3
i 0,6
20
f) 0,5
−7
i 0,125
−3
h) (−4)
3
i (−2)
6
2
10
≈ 10
3
7
2
≈ 50
3
2
≈ 10
5
10
≈ 10
7
9.
Oszacuj podane liczby, korzystając z przybliżeń
zapisanych obok.
2
12
3
10
6
10
7
4
14
4
35
10
POTĘGI
13
MLR2x str. 14
10.
Oblicz:
a) 2
82
: 4
40
d)
5
2
3
· 2
6
g) 25
3
· 0,5
−6
j)
6
−3
·
6
2
−5
1
36
6
b)
18
4
9
4
e) 0,2
8
· 25
4
h) 5
8
: (0,2)
−7
k)
(121
2
)
3
1
11
−8
· 11
−2
c)
2
15
· 27
2
6
15
f) 0,01
12
· 100
3
i)
125
3
·
5
−2
4
25
4
· 25
−5
l)
7
5
: 49
7
·
1
7
−2
11.
Udowodnij, że spełniona jest równość:
7
n+1
+ 7
n+1
+ 7
n+1
+ 7
n+1
+ 7
n+1
+ 7
n+1
+ 7
n+1
= 7
n+2
12.
Uprość wyrażenie:
a) a
6
·
a
2
−3
d) (4x
2
y
3
)
−2
g)
(4x)
2
· (x : y)
−2
(0,5y)
−4
b)
a
b
5
· a
−2
(ba)
2
e)
(baca)
2
(baba)
2
h)
100 000x
3
· (10y)
−4
0,1x
−1
y
−1
c) (2x)
2
: 4
f) do
2
· (zoo)
−3
i)
10 000x
2
·
5
−3
y
2
25(x
−1
: y)
−3
13.
Uprość wyrażenie:
a)
2
n2+1
2
c) 2
2n−1
: 2
n−1
e) 9
2n
: 3
3n
g) (4
n
)
2
: 2
3n−2
b) 2
1−n
· 2
n
d)
1
9
· 3
2n+2
f) 0,25
· 2
7n+5
h)
2
2n
2
: (4
n
)
2
14.
Niech n będzie liczbą naturalną większą od 2. Uporządkuj podane liczby w ko-
lejności od najmniejszej do największej.
a) 3
n
2
(3
n
)
2
3
n+2
b) 0,3
n
2
(0,3
n
)
2
0,3
n+2
c) (−3)
2n
(−0,3
n
)
2
(−3)
2n+1
15.
Wyobraź sobie, że jedna osoba przerywa kart-
kę z zeszytu na pół i przekazuje jedną połówkę
drugiej osobie. Druga osoba przerywa otrzymaną
część kartki na pół i przekazuje jedną z otrzyma-
nych części trzeciej osobie itd. Jaką część kartki
otrzyma piąta osoba? Oszacuj (w milimetrach kwa-
dratowych), jakiej wielkości byłby kawałek, który
otrzymałaby jedenasta osoba.
14
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 15
16.
Odpowiedzi na podane pytania zapisz w notacji wykładniczej.
a) Objętość Słońca to około 1,41
· 10
18
km
3
. Ile to metrów sześciennych?
b) Powierzchnia Słońca to około 6,07
· 10
18
m
2
. Ile to kilometrów kwadratowych?
c) Objętość kropli wody to około 4,5
· 10
−8
m
3
. Ile to centymetrów sześciennych?
d) Powierzchnia kropli wody to około 1,6
·10
−10
mm
2
. Ile to metrów kwadratowych?
17.
Które z podanych liczb są liczbami naturalnymi? Ile cyfr mają te liczby? Ile
cyfr przed przecinkiem, a ile po przecinku mają pozostałe liczby?
a = 7,25
· 10
31
b = 2,3
· 10
−14
c = 5,6
· 10
25
+ 3,7
· 10
21
d = 2,2
· 10
12
+ 1,87
· 10
−9
e = 7,25
· 10
100
+ 1,05
· 10
200
− 10
10
f = 6,8
· 10
50
− 6,8
· 10
−12
Prędkość światła
w próżni wynosi
około 300 000
km
s
.
18.
a) Rok świetlny to odległość, jaką w ciągu roku
przebywa światło w próżni. Oblicz i zapisz w notacji
wykładniczej, ile kilometrów ma rok świetlny.
b) Średnica naszej Galaktyki to około 100 tys. lat
świetlnych. Ile to kilometrów?
Masa [kg]
Średnica [m]
Słońce
1,9
· 10
30
1,4
· 10
9
Ziemia
5,975
· 10
24
1,28
· 10
7
Księżyc
7,3
· 10
22
7,0
· 10
6
19.
a) Ile razy masa Ziemi jest większa
od masy Księżyca?
b) Ile razy średnica Słońca jest większa
od średnicy Ziemi?
c) O ile kilometrów średnica Słońca jest
dłuższa od średnicy Ziemi?
TEST
T1.
Liczba
2
−7
· 16
2
12
jest równa:
A. 2
−15
B. 2
−1
C. 2
D. 2
15
T2.
Liczba 8
· 2
17
jest od liczby 4
· 2
20
:
A. cztery razy większa
B. cztery razy mniejsza
C. dwa razy większa
D. dwa razy mniejsza
T3.
Która z podanych liczb jest największa?
A. 7
−4
· 7
3
B. 7
−3
· 7
−4
C. 7
−3
: 7
−4
D. 7
−4
: 7
−3
T4.
Liczba tysiąc razy większa od liczby 10
−20
to:
A. 10
−1020
B. 10
−980
C. 10
−23
D. 10
−17
POTĘGI
15
MLR2x str. 16
PIER
WIASTKI
PIERWIASTKI
A
1.
Podaj liczby, których druga potęga jest równa:
25
4
49
0,01
1,21
1
0
2.
Podaj liczby, których trzecia potęga jest równa:
27
−
8
125
0,064
−1
1
0
Dla a ≥ 0:
√
a = b,
gdy
b ≥ 0 i b
2
=
a.
Dla dowolnej liczby a:
3
√
a = c, gdy c
3
=
a.
Dla danej liczby dodatniej a istnieją dwie
liczby, które podniesione do kwadratu
są równe a. Pierwiastkiem kwadratowym
z liczby a jest ta z tych liczb, która
jest dodatnia. Pierwiastkiem kwadrato-
wym z liczby 0 jest 0, a pierwiastek
kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej a jest
tylko jedna liczba, która podniesiona do
trzeciej potęgi jest równa a. Ta liczba to
pierwiastek trzeciego stopnia z liczby a.
Zauważ, że pierwiastek trzeciego stopnia z liczby nieujemnej jest liczbą
nieujemną, a pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej jest liczbą
ujemną.
Analogicznie możemy również określać pierwiastki wyższych stopni. Pier-
wiastek stopnia n z liczby a oznaczamy symbolem
n
√
a. Stopień pierwiastka
jest liczbą naturalną większą od 1.
Jeśli k jest liczbą naturalną większą
od 1 i jest liczbą parzystą, to dla
a ≥ 0 przyjmujemy, że:
k
√
a = b, gdy b ≥ 0 i b
k
=
a
Jeśli m jest liczbą naturalną większą
od 1 i jest liczbą nieparzystą, to dla
dowolnej liczby a przyjmujemy, że:
m
√
a = b, gdy b
m
=
a
Zauważ, że pierwiastek nieparzystego stopnia może być liczbą ujemną, a pierwia-
stek parzystego stopnia jest zawsze liczbą nieujemną.
B
Znajdź:
1.
√
64
2
1
4
6,25
12,25
2.
3
√
27
3
√
8
3
64
125
3
0,001
3.
4
√
16
6
0,000064
6
1
2
6
5
0,2
5
4.
3
√
−1000
3
8
−27
5
−0,00032
7
√
−1
16
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 17
C
Znajdź:
√
8
2
(−8)
2
4
√
17
4
4
(−17)
4
6
0,5
6
6
(−0,5)
6
Zauważ, że
(−5)
2
wynosi 5, a nie −5. Warto zatem pamiętać, że jeśli chcemy
uprościć wyrażenie
√
a
2
,
4
√
a
4
,
6
√
a
6
itd., a nie wiemy, jaki jest znak liczby a,
musimy zaznaczyć, że wynik jest nieujemny, np. używając symbolu wartości bez-
względnej:
√
a
2
=
|a|,
4
√
a
4
=
|a|,
6
√
a
6
=
|a| itd.
Prawa działań na pierwiastkach
Dla parzystej liczby k:
k
√
a
k
=
|a|
k
√
ab =
k
√
a ·
k
√
b dla a ≥ 0 i b ≥ 0
k
a
b
=
k
√
a
k
√
b
dla a ≥ 0 i b > 0
k
√
a
t
=
k
√
a
t
dla a ≥ 0
Dla nieparzystej liczby m:
m
√
a
m
=
a
m
√
ab =
m
√
a ·
m
√
b
m
a
b
=
m
√
a
m
√
b
dla b
= 0
m
√
a
t
=
m
√
a
t
m
√
−
a = −
m
√
a
Niech n będzie dodatnią liczbą parzystą. Równość
n
√
ab =
n
√
a
·
n
√
b dla a ≥ 0
i b ≥ 0 można wykazać w następujący sposób.
Przyjmijmy oznaczenia:
n
√
a = x i
n
√
b = y.
Stąd:
a = x
n
i
b = y
n
.
Zatem:
n
√
ab =
n
x
n
· y
n
=
n
(xy)
n
=
|xy|.
Z założeń wynika, że x ≥ 0 i y ≥ 0, więc
|xy| = xy, czyli
n
√
ab = xy =
n
√
a
·
n
√
b.
D
Uzasadnij w podobny sposób jedno z pozostałych praw działań.
Prawa działań na pierwiastkach pozwalają upraszczać niektóre wyrażenia.
P
Oblicz:
a) (2
3
√
6)
3
= 2
3
· (
3
√
6)
3
= 8
· 6 = 48
b)
√
2
10
=
(2
5
)
2
= 2
5
= 32
c)
3
√
2
·
3
√
−4 =
3
√
−8 = −2
d)
1
3
4
:
√
7 =
7
4
: 7 =
1
4
=
1
2
Czasami pierwiastki wygodnie jest zapisać w postaci iloczynu dwóch liczb,
z których jedna jest liczbą wymierną, a druga jest liczbą niewymierną. Mó-
wimy wówczas, że wyłączamy czynnik przed symbol pierwiastka. Możemy
także wykonać operację odwrotną — włączyć czynnik pod pierwiastek.
PIERWIASTKI
17
MLR2x str. 18
P
Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka.
a)
√
20 =
√
4
· 5 = 2
√
5
b)
3
√
54 =
3
√
27
· 2 = 3
3
√
2
c)
√
1575 =
√
5
2
·3
2
·7 = 5·3
√
7 = 15
√
7
d)
3
√
−324 = −
3
√
3
3
· 12 = −3
3
√
12
P
Włącz czynnik pod znak pierwiastka.
a) 3
√
5 =
√
9
·
√
5 =
√
45
b) 2
3
√
−100 = −
3
√
8
· 100 = −
3
√
800
Wyniki działań na pierwiastkach staramy się niekiedy zapisywać w taki
sposób, aby w mianowniku nie występowała liczba niewymierna (mówimy,
że usuwamy niewymierność z mianownika).
P
Usuń niewymierność z mianownika.
a)
6
√
2
=
6
·
√
2
√
2
·
√
2
=
6
√
2
2
= 3
√
2
b)
5
2
3
√
3
=
5
·
3
√
3
·
3
√
3
2
3
√
3
·
3
√
3
·
3
√
3
=
5
3
√
9
6
ZADANIA
1.
Oblicz:
a)
√
36 + 64
c)
√
16
e)
3
0,000 001
g)
3
(−8)
2
b)
3
12
2
−144
d)
√
15
2
− 12
2
f) 3
3
√
−64
h)
3
13
81
2.
Znajdź liczby oznaczone literami:
√
a = 0,2
3
√
b = −1
1
3
√
c = 3
2
3
√
d = 3
3
√
2
3
4
√
e =
√
3
2
f =
3
√
12
0
5
√
g =
1
2
√
4
2
18
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 19
3.
Oblicz:
a)
√
3
·
√
27
c)
5
√
2
2
e)
√
6
·
√
2
·
√
3
g)
1
3
3
√
−7
·
3
√
7
2
b)
6
√
320 :
6
√
5
d)
(2
3
√
2)
3
6
f) 6
√
5
·
1
3
√
125
h) 2
4
√
25
·
8
4
√
5
2
4.
Zapisz w jak najprostszej postaci:
a) 3
√
7 − 12
√
7
c)
5
√
7 − 2
5
√
−7
e) 2
√
5
· 4
√
3
g)
8
5
√
16
16
5
√
8
b)
3
√
9 − 2
3
√
9
d)
3
√
−6 +
3
√
6
f) 2
3
√
3
· 3
3
√
−2
h)
2
√
30
√
5
5.
Oblicz:
(5
3
)
2
(0,1
2
)
3
√
11
4
√
2
10
3
(7
2
)
3
3
√
9
6
3
√
2
12
6.
Zapisz w postaci potęgi liczby 7:
√
7
16
7
3
√
7
12
(7
√
7)
2
7
3
√
7(
3
√
7)
2
7
3
√
7
6
2
1
7
3
√
49
·
√
7
4
7.
Na osi liczbowej zaznaczono liczby:
10
√
3
5
√
2
√
27
3
√
25
3
√
60
√
130
Oszacuj te liczby i przyporządkuj każdej z nich odpowiednią literę.
8.
Wymień dwie kolejne liczby całkowite, takie że podana liczba będzie większa od
jednej z nich, a mniejsza od drugiej.
a)
√
109
b)
√
930
c)
3
√
109
d)
3
√
−930
(1 −
√
2)
2
=
1 −
√
2
=
√
2 − 1
4
(2 −
√
3)
4
=
2 −
√
3
= 2 −
√
3
9.
Przyjrzyj się przykładom obok. Zwróć
uwagę, w jaki sposób przekształcono wy-
rażenia z pierwiastkami. Zapisz każdy
z podanych niżej pierwiastków w postaci
różnicy dwóch liczb.
a)
√
3 − 2
2
c)
√
10 − 4
2
e)
4
3 − 4
√
5
4
b)
√
10 − 3
2
d)
3
√
5 − 7
3
f)
5
(
√
15 −
√
27)
5
10.
Uporządkuj podane liczby w kolejności rosnącej (n jest liczbą naturalną, n > 1).
a =
√
4
n
b =
√
8
2n
c =
√
2
2n + 1
d =
3
√
2
3n + 1
e =
3
√
8
n + 1
PIERWIASTKI
19
MLR2x str. 20
11.
Wyłącz czynnik przed pierwiastek tak, aby pod pierwiastkiem została liczba
naturalna.
a)
√
63
√
20
√
32
√
50
c)
3
√
32
3
√
−270
3
√
16
3
√
40
b)
√
98
√
108
√
99
√
180
d)
4
√
32
4
√
162
4
√
1024
5
√
−900 000
2
≈ 1,4
√
5
≈ 2,2
3
3
≈ 1,4
3
≈ 1,7
3
2
≈ 1,3
3
√
5
≈ 1,7
12.
Korzystając z przybliżeń podanych
obok, oszacuj każdą z poniższych liczb
z dokładnością do części dziesiątych:
√
8
√
20
√
500
3
√
16
3
√
3000
3
√
24
13.
Zapisz w jak najprostszej postaci:
a)
√
18 + 4
√
2
c) 3
√
147 −
√
75
e) 3
√
24 + 2
√
54 −
√
150
b)
√
48 −
√
27
d)
3
√
32 +
3
√
−108
f)
√
12 +
√
147
√
3
14.
Która z liczb jest większa?
a) 7
√
2 czy
√
97
d) 4
√
5 czy 3
g) 9
√
3 czy 5
√
5
b) 5
√
6 czy
√
222
e) 3
√
11 czy 10
h) 3
√
10 czy 2
√
23
c) 10
3
√
7 czy
3
√
6789
f) 2
3
√
5 czy 5
i) 2
3
√
−7 czy 2
3
√
−2
Wskazówka. Włącz czynnik pod znak pierwiastka.
15.
Usuń niewymierność z mianownika:
a)
8
√
2
c)
5
3
√
7
e)
3
√
5 + 1
3
√
5
b)
√
2
5
√
3
d)
1 +
√
2
3
√
2
f)
6 + 2
√
7
0,5
√
7
16.
Zapisz odwrotność liczby, a następnie usuń niewymierność z mianownika.
a)
√
2
b)
3
√
5
c) 2
√
8
d) 8
3
√
4
17.
Zapisz w jak najprostszej postaci (usuń niewymierność z mianownika):
a)
0,27
2
√
3
b)
√
3 +
1
√
3
c)
√
20 +
1
20
d)
3
√
3 −
3
√
2
3
√
6
18.
Usuń niewymierność z mianownika i porównaj liczby:
a) a =
5
√
5
i b =
4
√
2
b) c =
1
√
3
i d =
2
√
5
c) e =
2
3
√
5
i f =
3
3
√
25
20
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 21
TEST
T1.
Liczba
√
3
√
7
·
√
14
√
6
jest równa:
A. 1
B. 2
C.
√
2
D.
2
√
2
T2.
Ile spośród liczb: 3
√
200, 5
√
72, 10
√
18, 30
√
2 jest równych liczbie
√
1800?
A. żadna
B. jedna
C. dwie
D. wszystkie
T3.
Oceń, czy podane równości są spełnione.
I
√
17 + 30 =
√
17 +
√
30
TAK/NIE
II
11
13
=
√
11 :
√
13
TAK/NIE
III
√
76
2
= 76
√
76
TAK/NIE
T4.
Na osi liczbowej zaznaczono cztery liczby i oznaczono je literami. Jedna z tych
liczb jest równa
√
128. Która?
A. a
B. b
C. c
D. d
W
YMIERNY
C
H
POTĘGI O WYKŁADNIKACH WYMIERNYCH
Umiesz już obliczać potęgi o wykładnikach całkowitych. Można również
określić potęgę, której wykładnik nie jest liczbą całkowitą. Zastanówmy się
na przykład, jakie liczby mogłyby oznaczać zapisy 5
1
3
, 5
2
3
. Aby zachowane
były prawa działań na potęgach, musiałyby zachodzić równości:
5
1
3
3
= 5
1
3
·3
= 5
1
= 5
Ponieważ także
3
√
5
3
= 5, więc licz-
by 5
1
3
i
3
√
5 muszą być równe.
5
2
3
3
= 5
2
3
·3
= 5
2
Ponieważ także
3
√
5
2
3
= 5
2
, więc
liczby 5
2
3
i
3
√
5
2
muszą być równe.
Okazuje się, że jeśli a jest liczbą nieujemną, to wszelkie prawa działań na
potęgach będą zachodziły, gdy przyjmiemy, że:
a
1
3
=
3
√
a
a
2
3
=
3
√
a
2
POTĘGI O WYKŁADNIKACH WYMIERNYCH
21
MLR2x str. 22
Ogólnie dla liczby naturalnej n, gdzie n > 1, oraz dodatniej liczby natural-
nej k przyjmujemy, że:
a
1
n
=
n
√
a
(dla a ≥ 0)
a
k
n
=
n
√
a
k
(dla a ≥ 0)
a
−
k
n
=
1
a
k
n
=
1
n
√
a
k
(dla a > 0)
P
Oblicz:
a) 9
1
2
=
√
9 = 3
b) 8
2
3
=
3
√
8
2
=
3
√
8
2
= 4
c) 32
−
3
5
=
1
5
√
32
3
=
1
5
√
32
3
=
1
8
d) 16
1,5
= 16
3
2
=
√
16
3
=
√
16
3
= 4
3
= 64
e) 2
6
5
=
5
√
2
6
=
5
√
2
5
· 2 = 2
5
√
2
f) 8
−1
1
3
=
1
8
4
3
=
1
3
√
8
4
=
1
3
√
8
4
=
1
16
Zauważ, że choć pierwiastki stopnia nieparzystego są określone dla wszystkich
liczb rzeczywistych, także ujemnych, to potęgę o wykładniku wymiernym określi-
liśmy tylko w wypadku, gdy podstawa jest nieujemna. Gdybyśmy bowiem przyjęli
na przykład, że (−8)
1
3
=
3
√
−8, to otrzymalibyśmy następującą sprzeczność:
Przyjmując powyższą równość otrzymujemy:
(−8)
1
3
=
3
√
−8 = −2
Natomiast korzystając z praw działań na potęgach, otrzymujemy:
(−8)
1
3
= (−8)
2
6
=
(−8)
2
1
6
=
6
√
64 = 2
Dla dowolnych liczb wymier-
nych x i y zachodzą równości:
a
x
· a
y
=
a
x + y
dla
a ≥ 0
a
x
a
y
=
a
x − y
dla
a > 0
(
a
x
)
y
=
a
x · y
dla
a ≥ 0
a
x
b
x
= (
ab)
x
dla
a ≥ 0 i b ≥ 0
a
b
x
=
a
x
b
x
dla
a ≥ 0 i b > 0
A
Zapisz za pomocą potęg:
1.
√
13
3
√
2
√
2
7
5
√
3
3
4
1
2
5
2.
1
√
3
1
3
√
8
7
1
√
5
2
1
4
√
2
3
1
5
√
0,7
2
Gdy podstawa jest liczbą nieujemną,
dla potęg o wykładnikach wymier-
nych zachodzą takie same prawa
działań jak dla potęg o wykładni-
kach całkowitych. Obok zebrano te
prawa.
22
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 23
W poniższych przykładach pokazujemy, jak można przekształcać wyraże-
nia, korzystając z praw działań na potęgach i pierwiastkach.
P
Przekształć podane wyrażenia arytmetyczne, korzystając z praw działań na po-
tęgach.
a) 3
5
3
· 9
5
3
= 27
5
3
=
3
√
27
5
=
3
√
27
5
= 3
5
b) 64
3
4
: 4
3
4
= 16
3
4
=
4
√
16
3
= 2
3
= 8
c)
8
−
5
6
2
= 8
−
5
3
=
8
1
3
−5
=
3
√
8
−5
= 2
−5
=
1
32
d) 3
3
2
· 3
−
3
4
= 3
3
2
−
3
4
= 3
3
4
=
4
√
27
e)
0,5
1
8
2
1
4
7
· 2
3
· 2
3
8
=
2
−1
1
8
2
7
4
· 2
27
8
=
2
−
1
8
2
7
4
· 2
27
8
= 2
−
1
8
−
7
4
+
27
8
= 2
3
2
=
8 = 2
√
2
P
Przekształć podane wyrażenia arytmetyczne, korzystając z praw działań na po-
tęgach.
a)
3
√
2
·
√
2 = 2
1
3
· 2
1
2
= 2
1
3
+
1
2
= 2
5
6
=
6
√
32
b)
3
√
10 =
√
10
1
3
=
10
1
2
1
3
= 10
1
6
=
6
√
10
c)
√
5
4
√
5
=
5
1
2
5
1
4
= 5
1
2
−
1
4
= 5
1
4
=
4
√
5
d)
√
3
·
1
5
√
9
= 3
1
2
· 9
−
1
5
= 3
1
2
· (3
2
)
−
1
5
= 3
1
2
· 3
−
2
5
= 3
1
2
−
2
5
= 3
1
10
=
10
√
3
e)
3
7
√
7 = (7
· 7
1
2
)
1
3
= (7
1+
1
2
)
1
3
= 7
3
2
·
1
3
= 7
1
2
=
√
7
ZADANIA
1.
Oblicz:
a) 8
1
3
16
1
4
0,01
0,5
25
3
2
0,027
2
3
64
4
3
b) 144
−
1
2
0,0016
−0,25
2,25
−0,5
0,125
−
2
3
9
−1,5
1
16
−0,75
POTĘGI O WYKŁADNIKACH WYMIERNYCH
23
MLR2x str. 24
2.
Zapisz każdą z podanych poniżej liczb w postaci pierwiastka i wyłącz czynnik
przed znak pierwiastka tak, aby pod pierwiastkiem została możliwie najmniejsza
liczba naturalna.
3
8
7
7
5
3
5
4
1,5
0,1
−
8
5
0,9
−1,5
3.
Oblicz:
a)
3
√
49
1,5
b)
3
√
8
2
c)
3
√
9
·
3
√
9
d)
7
√
7
·
4
√
7
7
3
4
4.
Zapisz każdą z podanych liczb w postaci potęgi liczby 3.
3
√
9
1
3
√
9
3
3
√
3
27
3
√
3
9
4
√
27
9
5
√
3
1
3
7
√
9
1
3
5
√
9
3
3
√
3
4
√
9
5.
Która z dwóch podanych liczb jest większa?
a) 3
7
5
,
9
4
3
b) 2
−
7
9
,
4
−
5
6
c)
3
5
−
2
3
,
3
25
3
d)
3
(
√
2)
5
,
1
2
−
4
5
Wskazówka. Sprawdź, czy iloraz tych liczb jest liczbą większą czy mniejszą od 1.
6.
Uzasadnij równość:
a)
5
√
7
3
· 7
3
5
= 7
5
√
7
g)
√
2
2
= 4
−0,05
: 4
1
5
b)
6
7
√
7
7
√
7
3
√
7
=
1
6
√
7
h)
3
0,04
−1
5
6
·0,2
−2
=
3
0,2
25
7
c) 2
2,5
· 16
−0,5
=
2
√
2
i)
29
2
−2,5
· 4
−
1
5
=
1
2
0,1
d)
4
· (
8
√
2)
−1
6
√
8
·
√
2
= 0,5
−1,125
j)
24
√
2
32
−
1
12
=
8
1
9
· 0,125
−
1
3
2
2
√
2
0,5
e) 8
0,25
:
4
√
2 = 4
1
4
k) 0,5
−0,5
· 0,25
−0,25
=
1
2
3
√
64
f)
2
−3,3
2
−1,7
= 0,25
5
√
4
l)
1
9
−
1
3
: 3
1
9
1,8
=
3
√
3
2
7.
Znajdź liczbę a spełniającą warunek:
a) a
1
4
= 4
b) a
0,1
= 1
c) a
0,2
= 10
d) a
−
1
2
=
1
2
24
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 25
TEST
T1.
Liczba
3
√
5 jest równa:
A. 5
1
6
B. 5
2
3
C. 5
5
6
D. 5
3
2
T2.
Liczba 32
−0,4
jest równa:
A. −2
4
√
2
B. 32
5
2
C. 0,25
D.
1
8
T3.
Odwrotnością liczby
3
√
4 jest liczba:
A. 2
2
3
B. 2
3
2
C. 2
−
3
2
D. 2
−
2
3
T4.
Liczba
4
√
27
·
3
√
9 jest równa:
A.
12
√
27
· 9
B. 3
12
√
3
5
C. 3
5
12
D.
√
3
W
YKŁ
A
DNIK
ACH
POTĘGI O WYKŁADNIKACH
RZECZYWISTYCH
A
Przypomnij sobie, jak oblicza się potęgi o wykładnikach wymiernych i oblicz:
4
1
2
27
1
3
3
−4
9
0,5
16
−1,5
Wiesz już, jak oblicza się potęgi o wykładnikach, które są liczbami wy-
miernymi. Możemy również rozpatrywać potęgi o podstawach dodatnich,
których wykładnik jest dowolną liczbą rzeczywistą, także niewymierną.
Zastanówmy się na przykład, jaką liczbę mogłaby oznaczać potęga o pod-
stawie 3 i wykładniku
√
2, czyli 3
√
2
.
Poniżej zapisano kilka kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby
√
2.
√
2 = 1,41421356 . . .
Liczbę 3
√
2
możemy przybliżać, zastępując wykładnik potęgi coraz dokład-
niejszymi przybliżeniami liczby
√
2.
√
2
≈ 1,4, więc 3
√
2
≈ 3
1,4
= 4,655536 . . .
√
2
≈ 1,41, więc 3
√
2
≈ 3
1,41
= 4,706965 . . .
√
2
≈ 1,414, więc 3
√
2
≈ 3
1,414
= 4,727695 . . .
√
2
≈ 1,4142, więc 3
√
2
≈ 3
1,4142
= 4,728733 . . .
POTĘGI O WYKŁADNIKACH RZECZYWISTYCH
25
MLR2x str. 26
W ten sposób możemy obliczać 3
√
2
z coraz większą dokładnością. Wykonu-
jąc kolejne obliczenia, zauważylibyśmy, że liczby 3
1,4
, 3
1,41
, 3
1,414
, . . . coraz
bardziej przybliżają się do liczby 4,72880438783741494 . . . Przyjmujemy
więc, że potęga 3
√
2
jest równa tej liczbie, czyli:
3
√
2
= 4,72880438783741494...
B
Ustal, która z dwóch podanych liczb jest większa:
1.
2
π
czy 2
3
2.
10
√
3
czy 10
√
5
3.
1
3
√
2
czy
1
3
2
4.
0,7
√
15
czy 0,7
4
Wartości potęg o wykładnikach niewymiernych można szacować za pomo-
cą potęg o wykładnikach wymiernych. Warto przy tym pamiętać, że gdy
podstawa jest liczbą większą od 1, to im większy wykładnik tym większa
potęga. Gdy podstawa potęgi jest liczbą dodatnią mniejszą od 1, to im
większy wykładnik tym mniejsza potęga.
Liczbę 2
√
10
można oszacować
w następujący sposób:
Ponieważ 3 <
√
10 < 4,
więc
2
3
< 2
√
10
< 2
4
,
zatem
8 < 2
√
10
< 16.
Liczbę
1
2
√
10
możemy oszacować
tak:
Ponieważ 3 <
√
10 < 4,
więc
1
2
4
<
1
2
√
10
<
1
2
3
,
czyli
1
16
<
1
2
√
10
<
1
8
.
C
Oszacuj w opisany powyżej sposób liczby:
1.
3
√
10
2.
2
3
√
5
3.
1
3
√
7
W praktyce wartości potęg o wykładnikach niewymiernych będziemy sza-
cować, korzystając z przybliżeń dziesiętnych wykładników. Na przykład:
2
π
≈ 2
3,14
≈ 8,82
2
√
5
≈ 2
2,24
≈ 4,72
Dla a > 0, b > 0 oraz s, t
∈
a
s
· a
t
=
a
s + t
a
s
:
a
t
=
a
s − t
(
a
s
)
t
=
a
st
(
ab)
s
=
a
s
b
s
a
b
s
= a
s
b
s
Prawa działań na potęgach o wy-
kładnikach wymiernych obowią-
zują także dla potęg o wykładni-
kach rzeczywistych.
W poniższych przykładach przy-
pominamy, jak korzystać z tych
praw przy przekształcaniu wyra-
żeń.
26
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 27
P
Przekształć wyrażenia:
a)
3
−2
√
2
· 3
3
√
2
= 3
−2
√
2+3
√
2
= 3
√
2
b)
25
√
3+1
5
2
√
3
·5
=
(5
2
)
√
3+1
5
2
√
3+1
= 5
(2
√
3+2)−(2
√
3+1)
= 5
c) (9
√
2)
2
π
· (27
3
√
4)
−
π
= 9
2
π
· (
√
2)
2
π
· 27
−
π
· (
3
√
4)
−
π
=
= (3
2
)
2
π
· (2
1
2
)
2
π
· (3
3
)
−
π
· (2
2
3
)
−
π
= 3
4
π
· 3
−3
π
· 2
π
· 2
−
2
3
π
= 3
π
· 2
1
3
π
= (3
3
√
2)
π
d)
8
2−
√
3
· 2
3
√
3
(4
1+
√
3
)
1−
√
3
=
(2
3
)
2−
√
3
· 2
3
√
3
4
(1+
√
3)(1−
√
3)
=
2
6−3
√
3
· 2
3
√
3
4
−2
=
2
6
2
−4
= 2
6−(−4)
= 2
10
ZADANIA
1.
Oszacuj, która z podanych dwóch liczb jest większa.
a) 2
√
2
, 2
b) 2
π
, 8
c) 3,
√
3
√
3
d) π
√
2
, 9
2.
Oblicz:
a)
7
√
2
√
2
(11
π
)
−
2
π
2,25
−
√
2
4
√
2
0,2
√
6
3
2
3
3
√
3
· 27
1−
√
3
b) 5
3+4
√
7
·
1
25
2
√
7
√
3
2π −1
· 3
2,5−π
4
1,5
√
5
8
1+
√
5
0,001
1−π
10
3π +2
3
√
2+
√
3
3
√
2−
√
3
√
3
3.
Znajdź liczbę a spełniającą warunek:
a)
3
√
2
a
= 3
b) 3
√
2
· 3
a
= 3
c)
3
√
2
3
a
= 3
4.
a) Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2
√
2
, aby otrzymać 4?
b) Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę
√
2, aby otrzymać 2
√
2
?
5.
Uporządkuj podane liczby w kolejności
od najmniejszej do największej.
√
2
≈ 1,41
√
3
≈ 1,73
√
5
≈ 2,24
π
≈ 3,14
a) 7
−
√
2
,
7
0
,
7
1
2
,
7
−2,1
,
7
π
,
7
3
b)
2
3
√
5
,
2
3
√
3
,
2
3
−1
,
2
3
0
,
2
3
1
π
c) 2
5
√
2
,
4
√
3
,
1
2
4
,
3
√
2
π
,
32
0
,
1
16
2
6.
Ile razy większa od liczby
√
2
√
2
√
2
jest liczba
2
√
2
√
2
?
POTĘGI O WYKŁADNIKACH RZECZYWISTYCH
27
MLR2x str. 28
7.
Na osi liczbowej zaznaczono liczby 2
π
, 12
1
π
, 1
√
3
, 4
√
5
i π
−
√
2
. Przyporządkuj
te liczby odpowiadającym im literom.
8.
Która z podanych dwóch liczb jest większa?
a) 2
√
2
,
√
2
2
b) 3
1
π
, 3
−π
c) 2
π
, π
1
2
9.
Udowodnij, że potęga liczby niewymiernej o wykładniku niewymiernym może
być liczbą wymierną.
TEST
T1.
Która z poniższych liczb jest niewymierna?
A.
√
3
0
B. 1
√
3
C.
√
3
1
D. 0
√
3
T2.
Oszacuj, która z poniższych liczb jest największa.
A. 9
−π
B.
1
3
√
3
C.
√
3
π
D. 3
√
2
T3.
Oszacuj, wartość którego z poniższych wyrażeń jest większa od 100?
A. 4
√
7
B. 5
π
C. 7
√
3
D. 10
√
2
T4.
Wartość wyrażenia 2
3−2π
jest równa:
A.
2
3
2
2
·2
π
B.
2
3
− 2
2
π
C.
8
4
π
D. 8
·
1
4
π
G
ARYTMY
LOGARYTMY
A
Znajdź liczby oznaczone literami.
2
a
= 16
3
b
= 27
4
c
= 2
125
d
= 5
7
e
=
1
49
10
f
= 0,001
Rozważmy pytania: Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzy-
mać 32? Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać 30?
Pytania te można przedstawić za pomocą równań:
2
x
= 32
2
x
= 30
28
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 29
Łatwo stwierdzić, że rozwiązaniem pierwszego z równań jest liczba 5, po-
nieważ 2
5
= 32. Nie jest łatwo ustalić, jaka liczba spełnia drugie równanie.
Liczbę spełniającą równanie typu 2
x
= b (gdzie b > 0) nazywać będziemy
logarytmem liczby b przy podstawie 2 i oznaczać symbolem log
2
b. Roz-
wiązanie pierwszego z równań możemy więc zapisać jako log
2
32. Zatem
log
2
32 = 5. Rozwiązaniem drugiego równania jest liczba log
2
30 (równa
jest ona około 4,91).
Niech a i b oznaczają liczby dodatnie,
a
= 1. Logarytmem liczby b przy podsta-
wie a nazywamy wykładnik potęgi, do
której należy podnieść a, aby otrzymać
liczbę b. Tak więc:
log
a
b = x
⇐⇒
a
x
=
b
Na przykład:
log
3
81 = 4, bo 3
4
= 81
log
10
0,001 = −3, bo 10
−3
=
1
10
3
= 0,001
log
8
125
2
5
=
1
3
, bo
8
125
1
3
=
3
8
125
=
2
5
log
√
3
1
27
= −6, bo (
√
3)
−6
=
1
27
log
7
7 = 1, bo 7
1
= 7
log
0,2
1 = 0, bo (0,2)
0
= 1
B
Oblicz:
1.
log
2
4, log
10
10000, log
9
3, log
7
1
7
, log
1
3
1
27
, log
1
4
1
2
2.
log
6
6, log
2
3
1, log
1
4
1
4
, log
8
1, log
5
5
4
, log
3
3
12
3.
2
log
2
8
, 3
log
3
9
,
1
2
log
1
2
2
, 10
log
10
1000
Z definicji logarytmu dla a > 0 i a
= 1 oraz b > 0 wynikają równości:
log
a
1 = 0
log
a
a = 1
log
a
a
b
=
b
a
log
a
b
=
b
Ostatnią z tych równości można uzasadnić tak: Z definicji logarytmu liczba log
a
b to
wykładnik potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać b, czyli a
log
a
b
= b.
C
Uzasadnij pozostałe z zapisanych wyżej równości.
P
Oblicz log
3
√
5
25
√
5.
log
3
√
5
25
√
5 =
x
Szukaną liczbę oznaczamy literą
x.
3
√
5
x
= 25
√
5
log
a
b = x
⇐⇒
a
x
=
b
5
1
3
x
= 5
2+
1
2
1
3
x =
5
2
, czyli
x = 7
1
2
Jeśli
a
b
=
a
c
(
a > 0, a = 1),
to
b = c.
LOGARYTMY
29
MLR2x str. 30
CIEKAWOSTKA
Na kalkulatorze — oprócz klawisza log służącego do obliczania logaryt-
mów dziesiętnych — znaleźć też można klawisz ln. Służy on do obliczania
tzw. logarytmów naturalnych, to znaczy takich, których podstawą jest pew-
na liczba, nazywana liczbą e. Liczba e jest niewymierna, poniżej zapisano
kilkanaście cyfr jej rozwinięcia dziesiętnego.
e = 2,7182818284904 . . .
Liczba ta ma szczególne znaczenie. Pojawia się we wzorach i zależnościach
w wielu różnych działach matematyki. Oto przykłady kilku wzorów i za-
leżności ze współczesnej matematyki, w których pojawia się liczba e:
Pole obszaru zacieniowanego
na rysunku poniżej jest rów-
ne 1.
e = 1 + 1 +
1
1
·2
+
1
1
·2·3
+
1
1
·2·3·4
+ . . .
e =
2 +
2
2 +
3
3 +
4
4 +
5
5 + ...
Liczbę e wprowadził do matematyki w XVIII wieku szwajcarski matematyk
Leonard Euler (czyt. Ojler). Zauważył on, że kolejne wyrazy ciągu liczb:
1 +
1
2
2
,
1 +
1
3
3
,
1 +
1
4
4
, . . . zbliżają się do pewnej liczby, którą nazwał
liczbą e.
Wyrażenie
1 +
1
n
n
pojawiło się przy okazji rozważań dotyczących pro-
centu składanego, prowadzonych w 1683 roku przez szwajcarskiego mate-
matyka Jakuba Bernoulliego (czyt. Bernuliego).
Załóżmy, że kwotę 1 zł wpłacamy na lokatę, której oprocentowanie wynosi
p % w stosunku rocznym. Wówczas stan konta po roku zależy od tego, jak
często kapitalizowane są odsetki.
Stan konta po roku
Jak często kapitalizowane są odsetki
1 +
p
100
1
1 raz dolicza się odsetki (po roku)
1 +
1
2
·
p
100
2
2 razy dolicza się odsetki (co pół roku)
1 +
1
12
·
p
100
12
12 razy dolicza się odsetki (co miesiąc)
1 +
1
n
·
p
100
n
n razy w roku dolicza się odsetki
Gdy przyjmiemy, że oprocentowanie jest równe 100 % (p = 100), to stan
konta po roku przy n okresach doliczania odsetek będzie wynosił
1 +
1
n
n
.
Ponieważ liczba
1 +
1
n
n
nigdy nie przekracza liczby e
≈ 2,72, więc nawet
gdyby odsetki doliczane były co ułamek sekundy, to stan konta po roku
nigdy nie przekroczy 2,72 zł.
30
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 31
Dla logarytmów przy podstawie 10 oraz dla logarytmów przy podstawie e
(zobacz ciekawostkę) wprowadzono szczególne oznaczenia i nazwy.
log b
oznacza to samo co
log
10
b
Logarytm przy podstawie 10 na-
zywamy logarytmem dziesiętnym
i zamiast pisać log
10
b, możemy
pisać log b.
ln b
oznacza to samo co
log
e
b
Logarytm przy podstawie e na-
zywamy logarytmem naturalnym
i zamiast pisać log
e
b, możemy
pisać ln b.
Logarytmy dziesiętne i naturalne można ła-
two obliczać, gdy mamy do dyspozycji od-
powiedni kalkulator. Służą do tego klawisze
z napisami log i ln.
D
Oblicz za pomocą kalkulatora:
log 6
log 89
log 0,2
log 1500
ln 1,2
ln 0,5
ln 45
ln 455
Uwaga. Wykorzystując logarytmy dziesiętne lub logarytmy naturalne, można obli-
czać logarytmy przy dowolnych podstawach. W jaki sposób to zrobić, pokażemy
w następnym rozdziale.
z historii
Na pomysł wprowadzenia logarytmów jako pierwszy wpadł Szkot John
Napier. Swoje rozważania opublikował w 1614 r. w książce „Opisanie cu-
downych zasad logarytmów”. Logarytmy Napiera różniły się nieco od tych,
którymi posługujemy się dzisiaj, ale stanowiły tak ogromny postęp w me-
todach rachunkowych, że od razu wzbudziły ogromny entuzjazm.
Zastosowanie logarytmów do obliczeń astronomicznych pozwoliło J. Ke-
plerowi odkryć prawa dotyczące ruchu planet.
Żyjący 150 lat później uczony francuski Pierre Laplace twierdził nawet, że
„wynalazek logarytmów (. . .) podwaja życie astronomom”.
Nazwę „logarytm” wprowadził sam Napier. Powstała ona z greckich słów
logos — myślenie i arithmos — liczenie.
Właściwie nie wiadomo, jak naprawdę brzmiało jego nazwisko (być może
Neper lub Naper). Wiadomo jednak, że John Napier był szkockim baronem,
a matematyka była tylko jego hobby.
LOGARYTMY
31
MLR2x str. 32
ZADANIA
1.
Zapisz za pomocą logarytmu liczby a, b, c i d:
5
a
= 10
1
4
b
= 7
0,02
c
=
2
3
e
d
= 0,6
2.
a) Zastąp podaną równość odpowiednią równością typu a
b
= c.
log
8
4 =
2
3
log
7
1 = 0
log
5
1
125
= −3
ln
1
√
e
= −
1
2
b) Zastąp podaną równość odpowiednią równością typu log
a
b = c.
3
5
= 243
6
−
1
3
=
1
3
√
6
10
0
= 1
e
−3
=
1
e
3
3.
Znajdź x:
a) log
2
x = 4
c) log
3
x =
1
4
e) log x = −5
g) ln x = 1
b) log
1
2
x = 5
d) log
2
5
x = −1
f) log
√
3
x =
1
2
h) ln x = 3
4.
Znajdź x:
a) log
x
125 = 3
c) log
x
e = 1
e) log
x
3
9
= 3
g) log
x
5 = −2
b) log
x
10000 = 2
d) log
x
3 =
1
2
f) log
x
7 = −
1
2
h) log
x
0,0001 = −8
5.
Znajdź liczby a, b i c spełniające warunki:
a) log
2
32 = a
b) log
9
√
3 = a
c) log
5
3
√
5 = a
log
b
1
4
=
1
2
log
b
√
3 =
1
4
log
b
3
√
5 = 5
log
1
2
c = −3
log
√
3
c = −
1
2
log
3
√
5
c = 5
6.
Oblicz:
a) log
2
16
log
1
3
3
log
4
2
log
0,3
0,027
log
0,1
100
b) log
5
5
log
7
1
log
5
5
3
log
8
8
1
3
log
3
4
3
4
c) log 10
log 0,1
log 10
5
log 1000
log
√
10
d) ln e
ln 1
ln e
2
ln
1
e
3
ln
3
√
e
e) log
3
√
3
log
1
2
2
log
1
3
9
log
5
4
√
5
log
6
1
36
7.
Oblicz:
a) log
0,1
100
log
2
1
√
2
log
1
2
4
log
9
1
3
log
5
1
125
log
2
3
9
4
b) log
1
5
4
√
5
log
1,5
4
9
log
2
3
1,5
log
4
3
√
2
log
0,25
8
log
1
9
3
√
3
c) log
√
5
5
log
√
3
27
log
√
2
4
√
2
log
3
√
6
6
log
3
√
10
√
10
log
√
7
3
√
49
32
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 33
8.
Przedstaw liczbę l jako logarytm pewnej liczby przy podstawie p.
a) l = 4, p = 3
c) l = 1, p = 7
e) l = −2, p = 6
g) l =
1
2
, p = 10
b) l = 5, p =
1
2
d) l = 0, p =
3
4
f) l = −4, p = e
h) l = −
2
3
, p = 2
9.
Oblicz:
a) log
5
5
−
2
7
log
5
5
3
7
log
5
5
2
3
−6
log
5
5
−4
1
5
b) log
6
(6
15
)
−4
log
6
1
36
log
6
(
3
√
6)
2
log
6
1
5
√
36
c) log
1
2
2
−4
log
1
2
(0,5)
7
8
log
1
2
4
13
log
1
2
(
√
2)
18
10.
a) Przyjmując, że 6
9
≈ 10
7
, wykaż, że log 6
≈
7
9
.
b) Przyjmując, że 2
10
≈ 1000, wykaż, że log 2 ≈ 0,3.
c) Przyjmując, że 14
7
≈ 10
8
, znajdź przybliżoną wartość log 14.
11.
Dla każdego z podanych wyrażeń zapisz warunki, jakie muszą spełniać zgodnie
z definicją logarytmu liczby a, b, c i d, i oblicz wartość tego wyrażenia.
a) log
a
a
23
log
a
a
√
2
log
a
5
√
a
2
log
a
1
a
7
log
a
a
3
√
a
b) log
b
b
log
b
2
b
log
√
b
b
log
1
b
b
log
1
3
√
b
b
c) log
c
2
c
4
log
c
3
c
5
log
√
c
c
2
log
1
c
c
3
log
1
c2
c
10
d) log
d
2
√
d
log
d
5
1
d
log
3
√
d
5
√
d
log
1
d
d
√
d
log
1
√
d
d
3
4
12.
Oblicz:
a) 2
log
2
5
c) e
ln
1
3
e) 5
3 log
5
2
g) 16
log
2
3
b) 15
log
15
6
d) 10
log 0,7
f) e
1
2
ln 9
h)
1
10
log 11
13.
Które z podanych liczb są dodatnie, a które ujemne?
log
2
10
log
1
20
log
1
2
5
log
20
0,1
log
12
100
log
0,2
1
100
14.
Wyznacz z podanego wzoru wskazaną wielkość.
a) P = Ma
t
,
t
e) M = m − a log
2
r ,
r
b) R = e
−
a
b
,
a
f) V = w ln(1 + a), a
c) n = 1 −
1
α
k
,
k
g) A = B + 5 log
L
M
,
M
d) D = d + 5
· 10
−m
,
m
h) t =
ln
N
N0
−k
,
N
LOGARYTMY
33
MLR2x str. 34
TEST
T1.
O dwóch liczbach dodatnich a oraz b wiadomo, że a
b
= 3. Z tej równości
wynika, że:
A. a = log
3
b
B. log
a
b = 3
C. b = log
3
a
D. b = log
a
3
T2.
W którym wypadku wartość a jest najmniejsza?
A. log
a
16 = 4
B. a = log
3
1
9
C. log a = 0,5
D. ln
√
e = a
T3.
Ile spośród liczb: log
2
3, log
5
3, log
1
2
0,25, log 0,1 jest większych od 1?
A. jedna
B. dwie
C. trzy
D. cztery
T4.
Wartość log
3
√
3
1
81
jest równa:
A.
2
3
B. −2
2
3
C. −1
1
2
D. −3
√
3
T5.
Wzór D = 10
B − 2A
C
otrzymano w wyniku przekształcenia jednego z poniższych
wzorów. Wskaż ten wzór.
A. A =
1
2
B − C log D
B. C = D
10
B − 2A
C. B = 2A + log CD
D. log
D
10 =
C
B − 2A
G
ARYTMÓW
WŁASNOŚCI LOGARYTMÓW
Pojęcie logarytmu jest ściśle związane z pojęciem potęgi. Nic więc dziwne-
go, że z praw działań na potęgach wynikają pewne własności logarytmów.
A
Sprawdź, że spełniona jest równość:
1.
log
2
4 + log
2
8 = log
2
(4
· 8)
2.
log
1
2
2 + log
1
2
1
8
= log
1
2
2
·
1
8
3.
log 100 + log 1000 = log 100 000
4.
ln e
5
+ ln e
7
= ln e
12
5.
log
2
4 − log
2
8 = log
2
4
8
6.
log
1
2
2 − log
1
2
1
8
= log
1
2
2 :
1
8
7.
log 100 − log 1000 = log 0,1
8.
ln e
5
− ln e
7
= ln e
−2
34
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 35
Równości zapisane w ćwiczeniu A wynikają z następujących ogólnych wła-
sności logarytmów.
Twierdzenie o logarytmie iloczynu
Jeśli a, b i c są liczbami dodatnimi i a
= 1, to
log
a
(
bc) = log
a
b + log
a
c
Dowód
Niech log
a
b = x i log
a
c = y, wobec tego b = a
x
i c = a
y
.
Zatem bc = a
x
· a
y
bc = a
x+y
Korzystamy z własności potęg.
Stąd x + y = log
a
(bc),
Korzystamy z definicji logarytmu.
czyli log
a
b + log
a
c = log
a
(bc).
B
Oblicz:
log
6
9 + log
6
4,
log
1
2
25 + log
1
2
0,01,
log
3
√
6 + log
3
√
2
2
.
Twierdzenie o logarytmie ilorazu
Jeśli a, b i c są liczbami dodatnimi i a
= 1, to
log
a
b
c
= log
a
b − log
a
c
Dowód
Niech log
a
b = x i log
a
c = y, wtedy b = a
x
i c = a
y
.
Zatem
b
c
=
a
x
a
y
,
b
c
= a
x−y
,
Stąd x − y = log
a
b
c
,
czyli log
a
b − log
a
c = log
a
b
c
.
C
Oblicz:
log
5
35 − log
5
7,
log
1
4
18 − log
1
4
9,
log 0,03 − log 3.
Twierdzenie o logarytmie potęgi
Jeśli a, b są liczbami dodatnimi i a
= 1, to dla każdej liczby c
log
a
b
c
=
c log
a
b
Dowód
Niech log
a
b = x i log
a
b
c
= y, wobec tego b = a
x
i b
c
= a
y
.
Zatem a
y
= (a
x
)
c
a
y
= a
cx
Korzystamy z własności potęg.
Stąd y = cx,
czyli log
a
b
c
= c log
a
b.
WŁASNOŚCI LOGARYTMÓW
35
MLR2x str. 36
D
Oblicz:
log
3
√
3
15
,
log
1
100
2
3
,
log
1
2
1
4
√
2
.
Twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu
Jeśli a, b są liczbami dodatnimi i a
= 1, to dla dowolnej różnej od 1 liczby
dodatniej c
log
a
b =
log
c
b
log
c
a
Dowód
Niech log
a
b = x i log
c
a = y, wobec tego b = a
x
i a = c
y
.
Zatem b = (c
y
)
x
, więc b = c
xy
.
Stąd xy = log
c
b, czyli log
a
b
· log
c
a = log
c
b.
Z założenia wiemy, że a
= 1, więc log
c
a
= 0, zatem log
a
b =
log
c
b
log
c
a
.
Za pomocą kalkulatora możemy łatwo obliczyć logarytm dziesiętny oraz
logarytm naturalny. Ostatnia z omówionych własności umożliwia oblicza-
nie za pomocą kalkulatora logarytmu, gdy podstawą jest dowolna liczba
dodatnia różna od 1. Własność ta pozwala wyrazić bowiem taki logarytm
za pomocą logarytmów dziesiętnych (lub logarytmów naturalnych). Oto
przykłady:
log
2
30 =
log 30
log 2
≈
1,48
0,3
≈ 4,9
log
1
2
20 =
log 20
log
1
2
≈
1,3
−0,3
≈ −4,3
log
2
30 =
ln 30
ln 2
≈
3,40
0,69
≈ 4,9
log
1
2
20 =
ln 20
ln
1
2
≈
3
−0,69
≈ −4,3
E
Wyraź za pomocą logarytmów dziesiętnych: log
3
5, log
12
3
4
, log
0,3
7.
P
a) Oblicz log
2
10 + log
2
80 − log
4
10 000
log
2
10 + log
2
80 − log
4
10 000 = log
2
800 −
log
2
10 000
log
2
4
= log
2
800 −
1
2
log
2
10 000 =
= log
2
800 − log
2
10 000
1
2
= log
2
800 − log
2
100 = log
2
800
100
= log
2
8 = 3
b) Przedstaw wyrażenie 3 log
2
a
2
−
1
2
log
2
9
a
3
+ 4 w postaci jednego logarytmu.
3 log
2
a
2
−
1
2
log
2
9
a
3
+ 4 = log
2
(
a
2
)
3
− log
2
(9
a
3
)
1
2
+ log
2
2
4
= log
2
16
a
9
2
3
c) Przyjmując, że ln 2
≈ 0,693 i ln 7 ≈ 1,946, oblicz ln
√
7
4
.
ln
√
7
4
= ln
√
7 − ln 4 =
1
2
ln 7 − 2 ln 2
≈
1
2
· 1,946 − 2 · 0,693 = −0,413
36
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 37
ZADANIA
1.
Oblicz:
a) log
2
80 + log
2
0,1
e) log
7
14 − log
7
2
√
7
b) log
3
4,5 + log
3
2
f) log
2
6 + log
2
12 + log
2
4
9
c) log 2000 + log
1
2
g) log 4 − log 5 + log 125
d) log
2
7 − log
2
56
h) ln 3e
2
− ln 6 + ln 2e
2.
Przedstaw podany logarytm za pomocą wyrażeń log a, log b i log c.
a) log(abc)
b) log
ab
c
c) log
a
bc
d) log
1
abc
3.
Przedstaw podany logarytm w postaci sumy lub różnicy logarytmów.
a) log
3
(ab)
c) log
5
p
q
e) ln
5
x
g) log
7
2
st
b) log
2
(5x)
d) log
1
2
a
3
f) log
4x
y
h) log
0,1
u
7v
4.
Przedstaw podane wyrażenie jako jeden logarytm.
a) log
2
3 + log
2
x
e) log
7
n
2
+ log
7
n
2
− log
7
n
b) log
5
a + log
5
4b
f) log
6
a + log
6
5b − log
6
10c
c) log
m
9
+ log 3m
g) log
3
2v + log
3
v − log
3
3v
d) log 7a − log 4a − log 3a
h) log
√
x − log
3
√
x + log
√
2x
5.
Niech a będzie taką liczbą, że log a = 2. Oblicz:
a) log a
13
c) log a
2
3
e) log
5
√
a
2
g) log
1
a
12
b) log a
−7
d) log
3
√
a
f) log
1
a
5
h) log
1
4
a
3
6.
Przyjmij, że log 7
≈ 0,845 i oblicz:
log 70
log 700
log 7000 000
log 0,7
log 0,07
log
7
· 10
−10
WŁASNOŚCI LOGARYTMÓW
37
MLR2x str. 38
7.
Przyjmij, że log 2
≈ 0,3 i log 5 ≈ 0,7. Oblicz:
a) log 4
log
√
2
log
1
2
log 32
log
1
2
10
b) log 125
log
5
√
5
log
1
25
log
6
√
5
5
log
√
5
125
c) log 20
log 50
log 0,4
log
√
2
500
log
0,02
d) log
2
5
log
4
5
log 2,5
log
25
64
log 6,25
e) log
5
8
log 5
√
2
log
2
√
5
5
log
8
√
2
25
log 40
√
2
8.
Wykaż, że log
2
(2 +
√
3) = 2 log
2
(1 +
√
3) − 1.
9.
Przyjmij, że log
a
b = x i log
a
c = y. Przedstaw za pomocą liczb x i y wyrażenie:
a) log
a
(bc)
d) log
a
√
bc
g) log
a
b
3
√
bc
2
b) log
a
(b
2
c
3
)
e) log
a
1
b
2
c
h) log
a
5
b
2
b
√
c
c) log
a
3
√
b
c
f) log
a
b
√
b
c
10.
Przyjmij, że ln 2
≈ 0,7 i ln 3 ≈ 1,1. Oblicz:
a) log
2
3
c) log
2
18
e) log
6
8
b) log
3
4
d) log
4
9
f) log
27
12
11.
Przedstaw podany logarytm za pomocą logarytmów dziesiętnych, a następnie
oblicz jego wartość za pomocą kalkulatora (wynik podaj z dokładnością do części
tysięcznych).
a) log
2
5
c) log
0,3
4
e) log
1,2
124
b) log
7
2
d) log
1
4
2,9
f) log
15
32,2
12.
Wykaż, że:
a) log
4
81 + log
16
81 = log
2
27
b) log
9
4 + log
1
3
10 = log
3
0,2
13.
Wykaż, że dla a > 0, a
= 1 i b > 0 zachodzi równość:
a) log
1
a
b = log
a
1
b
c) log
a
n
b = log
a
b
1
n
b) log
√
a
b = log
a
b
2
d) log
n
√
a
b = n log
a
b
38
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 39
14.
Przedstaw podane wyrażenie jako jeden logarytm.
a) 3 log
2
a + log
2
b
e) 2 log
1
2
3u +
1
2
log
1
2
1
9
v − 3 log
1
2
2w
b) 2 log
5
4x +
1
5
log
5
y
f) −2 ln z − 4 ln 2z +
1
3
ln 8z
c)
1
3
log
3
8n − 2 log
3
5n
g) 3 log 2k
5
− 5 log k
3
− 2 log k
d) −4 log 3p −
1
2
log 3q
h)
1
2
log
2
16a
6
+
1
3
log
2
16a
9
−
1
4
log
2
16a
12
15.
a) Wykaż, że jeśli a i b są liczbami dodatnimi i różnymi od 1, to zachodzi
równość:
log
a
b
· log
b
a = 1
b) Korzystając z powyższej równości, oblicz:
ln 7
· log
7
e
log 5
· log
5
100
log
3
8
· log
2
9
16.
Przedstaw podane wyrażenie jako jeden logarytm.
a) 2 + log
3
5
c) log
2
3 − 4
e) 4 − log 3
g)
1
2
+ log
4
7
b) log 2 + 3
d) log
1
2
10 − 1
f) 1 − ln 5
h)
2
3
− ln 2
TEST
T1.
Które z poniższych wyrażeń nie jest równe log 36?
A. 2 log 6
B. 2 log 10 − 2 log 8
C.
ln 36
ln 10
D. 2 + log 0,36
T2.
Przyjmij, że log
2
3 = a oraz log
2
5 = b. Która z równości jest fałszywa?
A. log
2
0,6 = a − b
B. log
2
27 = 3a
C. log
2
75 = a + 2b
D. log
3
5 =
a
b
T3.
Liczba log
2
(15
· 16) jest od liczby log
2
15:
A. 16 razy większa
B. o 16 większa
C. 4 razy większa
D. o 4 większa
T4.
Oznaczmy literami a, b oraz c liczby: a = log 25, b = log 15, c = log 3. Oceń,
czy podana równość jest prawdziwa.
I
log 5 = a
2
TAK/NIE
II
2a = b − c
TAK/NIE
III
2c = log 9
TAK/NIE
WŁASNOŚCI LOGARYTMÓW
39
MLR2x str. 40
FUNK
C
JE
WYKŁ
ADNICZE
FUNKCJE WYKŁADNICZE
Wiesz już, że dla każdej liczby rzeczywistej x określona jest liczba 2
x
.
Można więc rozpatrywać funkcję y = 2
x
. Dziedziną tej funkcji jest zbiór
liczb rzeczywistych.
A
Oblicz wartości funkcji y = 2
x
dla argumentów: −3, −2, −1, 0,
1
2
, 1, 2, 3, a na-
stępnie zaznacz w układzie współrzędnych odpowiadające im punkty wykresu
tej funkcji.
Na poniższym rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji y = 2
x
.
Zauważ, że:
Wartości funkcji są dodatnie, gdyż 2
x
> 0
dla każdej liczby rzeczywistej x.
Wykres nie przecina osi x, ale możemy
na nim znaleźć punkty leżące dowolnie
blisko tej osi. Oś x jest więc poziomą
asymptotą wykresu funkcji.
Wykres funkcji przecina oś y w punkcie
o współrzędnych (0, 1), bo 2
0
= 1.
B
Na rysunku obok przedstawiono wykres
funkcji y = 3
x
. Sprawdź, którą z opisa-
nych wyżej własności ma ta funkcja.
C
Oblicz wartości funkcji określonej wzorem y =
1
2
x
dla argumentów: −3, −2,
−1, 0, 1, 2, 3, a następnie zaznacz w układzie współrzędnych odpowiadające
im punkty wykresu tej funkcji. Naszkicuj ten wykres.
Każdą funkcję, której wzór można zapisać w postaci y = a
x
, gdzie a >
0, nazywamy funkcją wykładniczą. Dziedziną funkcji wykładniczej jest
zbiór liczb rzeczywistych.
Zwróć uwagę, że dla a = 1 funkcja wykładnicza ma postać y = 1, a więc
jest funkcją stałą.
40
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 41
Obok przedstawiono wykresy funkcji
f (x) = 2
x
i g(x) =
1
2
x
. Zauważ, że
wzór funkcji g można zapisać w posta-
ci g(x) = 2
−x
. Zatem zachodzi równość:
f (−x) = g(x)
Wobec tego wykres funkcji g(x) =
1
2
x
jest symetryczny do wykresu funkcji
f (x) = 2
x
względem osi y.
Poniżej narysowano wykresy kilku funkcji wykładniczych.
Z wykresów tych można odczytać następujące własności funkcji typu y = a
x
(dla a > 0 i a
= 1):
Zbiorem wartości funkcji jest przedział (0; +
∞).
Oś x jest asymptotą poziomą wykresu funkcji.
Wykres funkcji przecina oś y w punkcie o współrzędnych (0, 1).
Funkcja jest różnowartościowa, czyli dla różnych argumentów przyjmu-
je różne wartości, tzn. jeśli x
1
= x
2
, to a
x
1
= a
x
2
.
Dla a > 1 funkcja y = a
x
jest rosnąca, a dla 0 < a < 1 jest malejąca.
Korzystając z wykresów funkcji wykładniczych, możemy rysować wykresy
innych funkcji. Kilka przykładów przedstawiono na poniższych rysunkach.
FUNKCJE WYKŁADNICZE
41
MLR2x str. 42
ZADANIA
1.
Poniżej narysowano wykresy następujących funkcji:
f (x) = (0,6)
x
g(x) =
6
7
x
h(x) = e
x
k(x) = 10
x
Dopasuj wzory do wykresów.
2.
Na poniższych rysunkach przedstawione są wykresy następujących funkcji:
f (x) = 3
x
+ 3,
k(x) =
1
3
x
− 1,
g(x) = 3
x
− 1,
l(x) = 3
x+3
,
h(x) = 3
−x
,
m(x) = 3
x−4
.
Dopasuj wzory funkcji do wykresów.
3.
Narysuj wykres funkcji y = 2
x
, a następnie wykres funkcji:
a) y = 1 + 2
x
c) y = 2
x+2
e) y = −2
x
g) y = 8
· 2
x
b) y = −3 + 2
x
d) y = 2
x−1
f) y = 5 − 2
x
h) y =
2
x
4
42
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 43
4.
Wśród podanych wzorów znajdź takie, które przedstawiają tę samą funkcję.
a(x) = 10
x+2
c(x) = 100 + 10
x
g(x) =
10
x
100
i(x) = 10
x
2
b(x) = 10
x−2
d(x) = 100
· 10
x
h(x) = 100
x
j(x) = 10
2x
5.
W tabelkach przedstawiono wyniki pomiarów wielkości t i M dokonanych pod-
czas trzech doświadczeń. Przypuszcza się, że wielkości te związane są wzorem
M = b
· a
t
, gdzie a i b są pewnymi stałymi charakterystycznymi dla danego do-
świadczenia. Które wyniki pomiarów potwierdzają to przypuszczenie?
1
t
0
1
5
M
0,01
0,1 1000
2
t
0
2
3
M
50
2
3
3
t
0
2
4
M
5
20
80
6.
Oblicz, dla jakich wartości a i b wykres funkcji y = ba
x
przechodzi przez punkty:
a) K = (0, 6), L =
2,
2
3
b) K = (1, 8), L =
1
2
, 2
7.
Dane są funkcje:
f (x) = 2 + e
x
g(x) =
5
6
x
− 5
h(x) =
1
5
x−3
k(x) = 6
x+4
Które z tych funkcji:
a) są rosnące,
d) mają miejsca zerowe,
b) przyjmują tylko wartości dodatnie,
e) przecinają oś y,
c) mają asymptotę y = 0,
f) są różnowartościowe?
8.
Znajdź równanie asymptoty oraz współrzędne punktów przecięcia wykresu
funkcji f z osiami układu współrzędnych.
a) f (x) = 5 + e
x
c) f (x) = 0,1
x + 3
+ 7
e) f (x) = 3
x
− 3
b) f (x) = 4
x − 2
d) f (x) =
1
2
x
− 1
f) f (x) =
1
5
x + 2
− 5
9.
Zapisz przykład wzoru funkcji postaci y = 5
x+a
+ b spełniającej warunek:
a) Asymptotą wykresu funkcji jest y = 5.
b) Wykres przecina oś y w punkcie o współrzędnych (0, −3).
c) Miejscem zerowym funkcji jest x = 1.
d) Asymptotą wykresu funkcji jest y = −1 i przecina on oś y w punkcie o współ-
rzędnych (0, 4).
e) Asymptotą wykresu funkcji jest y = −5 i przechodzi on przez punkt (0, 0).
FUNKCJE WYKŁADNICZE
43
MLR2x str. 44
TEST
T1.
Dla jakiego argumentu funkcja y = 3
x
przyjmuje wartość 7?
A.
1
7
B.
√
7
C. log
3
7
D. log
7
3
T2.
Ustal, czy podane zdania są prawdziwe.
I
Wzory f (x) = 10
x+2
i g(x) = 100 + 10
x
przedstawiają tę samą funkcję.
TAK/NIE
II
Wzory f (x) = 10
x
2
i g(x) = 10
2x
przedstawiają tę samą funkcję.
TAK/NIE
III
Wzory f (x) = 10
x−2
i g(x) =
10
x
100
przedstawiają tę samą funkcję.
TAK/NIE
T3.
Ile jest funkcji malejących wśród niżej podanych?
y = 5
−x
y =
√
5
5
y = −
1
5
x
y = 0,5
x
A. jedna
B. dwie
C. trzy
D. cztery
T4.
Której z poniższych własności nie ma funkcja wykładnicza f (x) = a
x
?
A. Funkcja nie ma miejsc zerowych.
B. Asymptotą wykresu funkcji jest prosta o równaniu y = 0.
C. Zbiorem wartości funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
D. Wykres funkcji przecina oś y w punkcie (0, 1).
T5.
Punkt, w którym funkcja f (x) = −5
1
10
x−2
+ 5 przecina oś y ma współrzędne:
A. (0, 5)
B. (0, −495)
C. (0, −5)
D. (0, −4,95)
YTMICZNE
FUNKCJE LOGARYTMICZNE
Każdą funkcję, której wzór można zapisać w postaci y = log
a
x, gdzie a > 0
i a
= 1, nazywamy funkcją logarytmiczną. Dziedziną funkcji logarytmicz-
nej jest przedział (0; +
∞).
A
Podaj współrzędne punktów symetrycznych względem prostej o równaniu y =
x do punktów:
A = (0, 1)
B = (−6, 1)
C = (−1, 3)
D = (2, 5)
E = (7, 1)
44
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 45
Zauważmy, że w układzie współrzędnych punkty o współrzędnych (a, b)
i (b, a) są symetryczne do siebie względem prostej y = x. Tę własność
wykorzystamy przy rysowaniu wykresu funkcji y = log
2
x.
B
Sprawdź, że punkty A = (5, 32), B = (0, 1), C =
−3,
1
8
należą do wykresu
funkcji y = 2
x
, oraz że punkty A
= (32, 5), B
= (1, 0), C
=
1
8
, −3
należą do
wykresu funkcji y = log
2
x.
Rozważmy następujące funkcje:
f (x) = 2
x
g(x) = log
2
x
Niech punkt (p, r ) będzie dowolnym
punktem wykresu funkcji f . Zatem:
r = 2
p
log
2
r = p
Wobec tego punkt (r , p) należy do wy-
kresu funkcji g. Wynika stąd, że wykres
funkcji g(x) = log
2
x jest symetryczny
względem prostej y = x do wykresu
funkcji f (x) = 2
x
.
Oto przykłady wykresów kilku funkcji logarytmicznych oraz ich własności.
Zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych.
Oś y jest asymptotą (pionową) wykresu funkcji.
Wykres funkcji przecina oś x tylko w punkcie (1, 0), tzn. jedynym miej-
scem zerowym funkcji jest x = 1.
Funkcja jest różnowartościowa, czyli dla różnych argumentów przyjmu-
je różne wartości, tzn. jeśli x
1
= x
2
, to log
a
x
1
= log
a
x
2
.
Dla a > 1 funkcja y = log
a
x jest rosnąca, a dla 0 < a < 1 jest malejąca.
FUNKCJE LOGARYTMICZNE
45
MLR2x str. 46
C
Na poniższych rysunkach przedstawione są wykresy funkcji:
1 y =
3
4
x
2 y =
4
3
x
3 y = 3
x
4 y = log
3
4
x
5 y = log
4
3
x
6 y = log
3
x
Dopasuj wzory do wykresów.
ZADANIA
1.
Określ dziedzinę funkcji:
a) y = log
3
(x − 2)
d) y = log(x
2
− 3x − 10)
g) y = log
x
(x + 1)
b) y = log(3 + 2x)
e) y = log
x
2
h) y = log
x
(2 − x)
c) y = log
1
2
(x
2
− 9)
f) y = log
x−3
5
i) y = log
2
|x − 1|
2.
Na rysunkach obok przedstawione
są wykresy następujących funkcji:
f (x) = log x
h(x) = log
5
6
x
g(x) = ln x
k(x) = log
0,1
x
Dopasuj wzory do wykresów.
3.
Narysuj wykres funkcji y = log
2
x, a następnie wykres funkcji:
a) y = log
2
(x − 3)
d) y = −4 + log
2
x
g) y = − log
2
x
b) y = log
2
(5 + x)
e) y = log
2
x
8
h) y = 3 − log
2
x
c) y = 1 + log
2
x
f) y = log
2
(4x)
i) y =
| log
2
x − 1
|
4.
Które z podanych wzorów przedstawiają tę samą funkcję?
f (x) = 2 log
3
x
g(x) = log
3
2x
h(x) = 2 + log
3
x
i(x) = log
3
x
2
j(x) = log
3
2 + log
3
x
k(x) = log
3
(2 + x)
l(x) = 2 log
3
|x|
m(x) = (log
3
x)
2
46
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 47
5.
Dobierz wartości a i b tak, aby podane wzory opisywały tę samą funkcję:
a) y = log
x
5
3
i y = a + b log x
b) y = 4 −
1
2
log x i y = log(ax)
b
6.
Oblicz, dla jakich wartości a i b wykres funkcji y = a + b log x przechodzi przez
punkty P i R, jeśli:
a) P = (1, 5), R = (10, 2)
b) P =
1
10
, 6
, R = (100, 0)
7.
W tabelkach przedstawiono wyniki pomiarów wielkości t i p dokonanych pod-
czas trzech różnych doświadczeń. Przypuszcza się, że zależność między tymi
wielkościami przedstawia wzór p = a + b log t, gdzie a i b są pewnymi stałymi
charakterystycznymi dla danego doświadczenia. Które wyniki pomiarów potwier-
dzają to przypuszczenie?
1
t
1
10
1
10
p
−16
−10
−6
2
t
0,01
1
1000
p
13
−2
−12
3
t
0,1
1
100
p
−3
4
8
8.
Na
rysunkach
obok
przedstawione są wykresy
następujących funkcji:
f (x) = log
1
2
(x − 1)
g(x) = log
1
2
(x + 2)
h(x) = log
1
2
4x
k(x) = log
1
2
x
4
Dopasuj wzory funkcji do
wykresów.
9.
Dane są funkcje:
f (x) = ln(x − 13)
g(x) = log(x + 10)
h(x) = 13 + log
0,1
x
k(x) = −10 + log
1
6
x
Ustal dziedziny tych funkcji i wskaż, które z tych funkcji:
a) są rosnące,
d) mają wykresy przecinające oś y,
b) mają asymptotę x = 0,
e) mają wykresy przecinające oś x,
c) mają miejsce zerowe,
f) są różnowartościowe.
10.
Znajdź równanie asymptoty podanej funkcji i współrzędne punktów przecięcia
jej wykresu z osiami układu współrzędnych.
a) y = log
5
(x − 2)
c) y = 4 + log x
e) y = log
2
(16x)
g) y = 3 − ln x
b) y = log
3
(x + 3)
d) y = −2 + log
1
3
x
f) y = log
1
5
x
5
h) y = 1 + log(x − 5)
FUNKCJE LOGARYTMICZNE
47
MLR2x str. 48
11.
Podaj przykład wzoru funkcji postaci y = a + log
2
(x + b) spełniającej warunek:
a) Asymptotą wykresu jest x = 3.
b) Wykres przecina oś y w punkcie o współrzędnych (0, 4).
c) Miejscem zerowym funkcji jest x = 2.
d) Asymptotą wykresu jest x = −1 i wykres przecina oś y w punkcie o współrzęd-
nych (0, 1).
e) Asymptotą wykresu jest x = −2 i wykres przechodzi przez początek układu
współrzędnych.
TEST
T1.
Która z poniższych funkcji ma asymptotę o równaniu x = 5?
A. f (x) = 5 log
5
x
B. f (x) = log(x + 5)
C. f (x) = 5 + log
2
x
D. f (x) = ln (x − 5)
T2.
Wykres funkcji f (x) = 4 − log
1
4
(4 + x) przecina oś y w punkcie o współrzędnych:
A. (0, 4)
B. (0, −4)
C. (0, 5)
D. (0, 3)
N
IERÓWNOŚCI
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
WYKŁADNICZE
Przyjrzyj się poniższym rysunkom. Na każdym z nich przedstawiono
wykresy dwóch funkcji. Korzystając z tych wykresów, można znaleźć roz-
wiązania równań, które zapisano pod rysunkami.
Funkcja kwadratowa nie jest róż-
nowartościowa. Równanie ma dwa
rozwiązania:
x = −4
x = 4
Funkcja wykładnicza jest różnowar-
tościowa. Równanie ma jedno roz-
wiązanie:
x = 4
Równanie pod drugim rysunkiem jest przykładem równania wykładnicze-
go, czyli takiego, w którym niewiadoma występuje tylko w wykładniku.
48
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 49
Funkcja wykładnicza
y = a
x
jest różnowartościowa.
a
x
= a
b
⇐⇒
x = b
Zauważ, że równanie 2
x
= 16 można za-
pisać tak:
2
x
= 2
4
Korzystając z różnowartościowości funk-
cji wykładniczej, otrzymujemy więc:
x = 4
Każde równanie wykładnicze, którego dwie strony można zapisać w po-
staci potęg o tych samych podstawach, możemy rozwiązać, porównując
wykładniki tych potęg.
P
Rozwiąż równania:
a) 9
x
=
27
x
81
(3
2
)
x
=
(3
3
)
x
3
4
Zapisujemy obie strony równania w postaci
potęg o podstawie 3.
3
2
x
= 3
3
x−4
Porównujemy wykładniki.
2
x = 3x − 4
x = 4
b) 5
x+1
− 15
· 5
x−2
= 110
5
· 5
x
−
15
5
2
· 5
x
= 110
5
x
·
5 −
15
25
= 110
5
x
·
110
25
= 110
5
x
= 25, czyli
x = 2
c) 4
x
− 6
· 2
x
− 16 = 0
Zapisujemy wszystkie potęgi występujące
w równaniu jako potęgi o tych samych pod-
stawach.
(2
2
)
x
− 6
· 2
x
− 16 = 0
(2
2
)
x
= (2
x
)
2
(2
x
)
2
− 6
· 2
x
− 16 = 0
Niech
t = 2
x
. Zatem
t > 0
t > 0, bo dla dowolnej wartości x potęga 2
x
jest liczbą dodatnią.
t
2
− 6
t − 16 = 0
Szukamy dodatnich rozwiązań równania
kwadratowego.
Δ = 36 + 4
· 16 = 100
t
1
=
6 − 10
2
= −2
t
2
=
6 + 10
2
= 8
t
1
< 0
2
x
=
t
2
Liczba
t
1
= −2 nie spełnia warunku
t > 0.
2
x
= 8, czyli
x = 3
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYKŁADNICZE
49
MLR2x str. 50
Nie zawsze warto w równaniu wykładniczym zamieniać wszystkie potęgi
na potęgi o tych samych podstawach. Na przykład równanie:
7
x
= 11
możemy rozwiązać, korzystając z definicji logarytmu:
x = log
7
11
Pokażemy teraz, jak rozwiązać równanie 7
x
= 11 jeszcze w nieco inny
sposób.
Funkcja logarytmiczna y = log
a
x jest
funkcją różnowartościową. Zatem dla
dowolnych liczb dodatnich p i r :
p = r
⇐⇒
log
a
p = log
a
r
Z różnowartościowości funkcji
logarytmicznej wynika, że mo-
żemy zlogarytmować obie stro-
ny równania (za podstawę loga-
rytmu możemy wybrać dowolną
liczbę dodatnią różną od 1).
Poniżej wykonano taką operację na trzy sposoby. Za każdym razem otrzy-
mano takie samo rozwiązanie, tylko zapisane w inny sposób.
7
x
= 11
log
7
7
x
= log
7
11
x log
7
7 = log
7
11
x = log
7
11
7
x
= 11
log
11
7
x
= log
11
11
x log
11
7 = 1
x =
1
log
11
7
7
x
= 11
log 7
x
= log 11
x log 7 = log 11
x =
log 11
log 7
Uwaga. Gdy chcemy obliczyć przybliżoną wartość rozwiązania za pomocą kalku-
latora, najwygodniej jest używać logarytmu dziesiętnego lub naturalnego.
A
1.
Uzasadnij, że wszystkie otrzymane rozwiązania przedstawiają tę samą licz-
bę, tzn., że zachodzą równości: log
7
11 =
1
log
11
7
=
log 11
log 7
.
2.
Rozwiąż równanie 5
x
=
3
4
.
P
Rozwiąż równianie 4
x−1
= 5
x
.
Sposób I.
4
x
4
1
= 5
x
4
x
5
x
= 4
Korzystamy z własności potęg.
4
5
x
= 4
Korzystamy z definicji logarytmu.
x = log
4
5
4
50
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 51
Sposób II.
log
4
4
x−1
= log
4
5
x
Logarytmujemy obie strony równania (za
podstawę logarytmu przyjmujemy 4).
(
x − 1) log
4
4 =
x log
4
5
x − 1 = x log
4
5
x − x log
4
5 = 1
x(1 − log
4
5) = 1
: (1 − log
4
5)
Wiadomo, że 1
= log
4
5.
x =
1
1− log
4
5
log
4
5 =
log 5
log 4
≈ 1,16, więc x ≈ −6,21
B
Korzystając z wykresów nary-
sowanych obok, podaj, dla ja-
kich wartości x spełniona jest
nierówność 2
x
< 4, a dla jakich
nierówność
1
2
x
< 4.
Rozwiązując nierówności wykładnicze postaci a
x
< c (a także postaci a
x
>
c), postępujemy inaczej, gdy podstawa a jest liczbą większą od 1, a inaczej,
gdy jest liczbą dodatnią mniejszą od 1.
Funkcja y = a
x
jest rosnąca, więc
a
x
< a
c
⇑
⇓
x < c
a
x
> a
c
⇑
⇓
x > c
Nie zmieniamy znaku nierówności.
Funkcja y = a
x
jest malejąca, więc
a
x
< a
c
⇑
⇓
x > c
a
x
> a
c
⇑
⇓
x < c
Zmieniamy znak nierówności na
przeciwny.
C
Rozwiąż nierówność:
1.
3
x
< 3
7
2.
1
5
x
<
1
5
4
3.
4
x
> 4
1
9
4.
(0,6)
x
> (0,6)
0,8
5.
2
x
< 8
6.
1
3
x
>
1
3
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYKŁADNICZE
51
MLR2x str. 52
P
Rozwiąż nierówności:
a)
1
5
x
− 10
·
1
5
x+2
≥ 15
1
5
x
− 10
·
1
5
2
·
1
5
x
≥ 15
1
5
x
1 −
2
5
≥ 15
:
3
5
1
5
x
≥ 25
1
5
x
≥
1
5
−2
, stąd
x ≤ −2
Zapisujemy obie strony nierówności w posta-
ci potęg o takiej samej podstawie.
Zmieniamy znak nierówności na przeciwny,
bo
1
5
< 1.
Odp. Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (−
∞; −2).
b)
9
16
·
4
3
x
<
3
4
2
x
4
3
−2
·
4
3
x
<
4
3
−2
x
Wszystkie potęgi w nierówności zapisujemy
w postaci potęg o takiej samej podstawie.
4
3
x−2
<
4
3
−2
x
x − 2 < −2x, stąd x <
2
3
Zachowujemy znak nierówności, bo
4
3
> 1.
Odp. Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział
−
∞;
2
3
.
ZADANIA
1.
Rozwiąż równanie:
a)
1
5
x
= 125
e)
√
2
x
=
1
32
i) 2
x
·
√
2 =
1
16
b)
6
7
4
=
7
6
x
f)
√
7
x
=
3
√
7
j)
1
49
· 7
x
=
√
7
c) 9
x
= 27
g)
1
9
x
=
1
√
3
k)
0,2 = 25
x
d)
1
4
= 8
x
h) 0,1 = 1000
· 10
x
l)
4
3
=
8
27
x
· 3
2.
Rozwiąż równanie:
a) 3
x
· 5
x
= 15
e)
2
x
16
= 2
· 4
x
i) 4
x
· 8
x+1
=
1
2
b)
1
2
x
· 6
x
= 9
f) 0,2
· 5
x
=
√
5
x
j) 27
x+3
=
√
3
· 81
x
c) 4
x
=
1
8
· 2
x
g) 81
·
1
3
x
=
9
x
3
k)
4
9
x
·
3
2
x−1
=
27
8
d) 10
x
=
√
2
· 5
x
h)
3
2
x
· 1,5 =
8
27
x
l) 2,5
x+2
= 0,4
· 0,16
x
52
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 53
3.
Rozwiąż równanie:
a) 7
x
+ 7
x−1
= 56
d) 5
x+1
+ 5
x
= 1,2
g) 3
x+2
+ 2
· 3
x−1
= 87
b) 3
x+2
− 3
x
= 24
e) 7
x+1
+ 7
x−1
= 350
h) 2
x+3
− 5
· 2
x−2
= 13,5
c) 2
x−3
+ 2
x
= 18
f) 5
x
+ 10
· 5
x−2
=
7
25
i) 2
x−3
+ 4
·
1
2
2−x
= 9
4.
Rozwiąż równanie:
a) 5
2x
− 3
· 5
x
− 10 = 0
c) 4
x
− 5
· 2
x
+ 4 = 0
e) 9
x
− 25
· 3
x
− 54 = 0
b) 7
· 7
2x
− 8
· 7
x
+ 1 = 0
d) 4
x
− 6
· 2
x
− 16 = 0
f) 5
· 25
x
+ 49
· 5
x
− 10 = 0
5.
Rozwiąż równanie:
a) 7
x
= 3
e) 4
2x+3
= 1
i) 2
x
· 3
x
= 5
b) 6
x
= 3
x
f) 5
x
= 2
x+1
j)
1
3
x
· 15
x
= 2
c) 3
x+1
= 4
g)
1
3
x
=
1
2
x−1
k) 14
x
= 3
· 2
x
d) 2
3x−1
= 5
h) 4
1−x
= 5
x
l) 5
· 3
x
=
3
2
x
6.
Rozwiąż równanie:
a) 3
· 2
x−4
= 7
x
d)
2
3
x
· 5 =
7
x
2
g) 3
x
= 2
x−1
· 5
x
b) 2
· 6
1−x
= 5
x
e) 0,2
· 3
x
= 4
x−1
h) 3
x−2
· 4
x
= 8
x+1
c)
3
x
5
= 2
x+3
f)
1
4
· 3
x+2
= 10
x
i) 2
· 2
x+3
= 5
x
· 3
x−2
7.
Rozwiąż równanie:
a) 5
x
2
= 3
x
b) 4
3x
= 10
x
2
c)
1
3
x
= 2
−5x
2
d) 0,4
3x
2
= 7
2x
Wskazówka. Zlogarytmuj obie strony równania.
8.
Po lewej stronie równania zapisano sumę nieskończonego ciągu geometryczne-
go. Rozwiąż to równanie.
a) 2
x
+ 2
x−1
+ 2
x−2
+ . . . =
1
4
b) 3
x
+ 3
x−2
+ 3
x−4
+ . . . =
1
8
9.
Rozwiąż nierówność:
a) 5
x
< 125
d) 0,1
x
≤ 0,001
g) 0,1
x
· 10 < 100
x
b) 7
x
≥
1
49
e) 27
3x
≤
1
3
· 9
x
h)
5
2
·
2
5
x
≥
4
25
x
c)
1
2
x
>
1
32
f)
1
4
5x
· 16 >
1
2
x
i)
3
5
x
≥
3
5
·
5
3
x
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYKŁADNICZE
53
MLR2x str. 54
10.
Rozwiąż nierówność:
a) 3
x+1
+ 3
x
≤
4
9
c)
2
3
x
+
2
3
x−3
≤
35
27
e)
1
3
x−4
− 9
· 3
x
≤ 0
b)
1
2
x−2
−
1
2
x
> 24
d) 2
5x−1
−
1
4
2x
> 0
f) 2
· 5
x
− 5
x−1
< 9
TEST
T1.
Rozwiązaniem którego z poniższych równań jest liczba dodatnia?
A. 3
x
· 9 =
1
3
B.
3
1
5
x
= 25
C.
1
8
x
= 4
D. 0,01
x
=
1
√
10
T2.
Rozwiązaniem równania 4
· 2
x
= 6
x
jest:
A. log
3
4
B.
3
4
C.
log
2
6
4
D.
log
3
2
log 4
T3.
Ile rozwiązań ma równanie 4
x
+ 7
· 2
x
− 8 = 0?
A. nie ma żadnego rozwiązania
B. ma jedno rozwiązanie
C. ma dwa rozwiązania
D. ma więcej niż dwa rozwiązania
T4.
Żadne z rozwiązań nierówności 2
·0,1
x
+0,1
x−1
> 1200 nie należy do przedziału:
A. (−
∞; −10)
B. (−6; −5)
C. (−1; 1)
D. (−3; +
∞)
ERÓWNOŚCI
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
LOGARYTMICZNE
Równania logarytmiczne to takie równania, w których niewiadoma wystę-
puje w podstawie logarytmu lub jako liczba logarytmowana. Najprostsze
równania tego typu można rozwiązać, korzystając z definicji logarytmu.
A
Rozwiąż równanie:
1.
log
5
x = 3
2.
log
1
3
x = −2
3.
log
x
6 = −1
4.
log
5
(x − 1) = 3
5.
log
2x
6 = −1
6.
log
x+1
7 =
1
2
W przykładach na następnej stronie pokazujemy, jak rozwiązuje się bar-
dziej skomplikowane równania. Przy szukaniu rozwiązań równań loga-
rytmicznych należy pamiętać, że logarytm jest określony tylko dla liczb
dodatnich, a jego podstawa musi być liczbą dodatnią różną od 1.
54
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 55
P
Rozwiąż równanie:
2 + log
3
(
x + 4) = log
3
8
Założenie:
x + 4 > 0, czyli x > −4
Rozwiązania równania muszą spełniać waru-
nek
x + 4 > 0, bo liczba logarytmowana musi
być dodatnia.
log
3
(
x + 4) − log
3
8 = −2
log
3
x + 4
8
= −2
Korzystamy z definicji logarytmu.
3
−2
=
x + 4
8
1
9
=
x + 4
8
x + 4 =
8
9
x = −3
1
9
Rozwiązanie spełnia warunek
x > −4.
Jedna z metod rozwiązywania równań polega na przekształceniu równania
tak, aby po obu jego stronach otrzymać logarytmy o tej samej podstawie.
Wówczas możemy opuścić logarytmy i porównać logarytmowane wyraże-
nia. Własność ta wynika z różnowartościowości funkcji logarytmicznej.
P
Rozwiąż równanie:
log
x
4
− 3 log 2 = 2 log
x
Założenie:
x > 0
Zapisujemy warunek, który muszą spełniać
rozwiązania równania (liczby logarytmowane
x oraz x
4
muszą być dodatnie).
4 log
x − log 2
3
= 2 log
x
4 log
x − 2 log x = log 8
2 log
x = log 8
log
x
2
= log 8
x
2
= 8
x = 2
√
2 lub
x = −2
√
2
liczba ta nie spełnia
warunku
x > 0
x = 2
√
2
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNE
55
MLR2x str. 56
P
Rozwiąż równanie:
log
1
2
x − 4
· log
1
2
x = 5
Założenie:
x > 0
Zapisujemy warunek, który muszą spełniać
liczby logarytmowane.
(log
1
2
x)
2
− 4 log
1
2
x − 5 = 0
Niech:
t = log
1
2
x
Liczbę log
1
2
x oznaczamy literą t.
t
2
− 4
t − 5 = 0
Δ = 36
t
1
=
4 + 6
2
= 5
log
1
2
x = 5 lub
x =
1
32
lub
t
2
=
4 − 6
2
= −1
log
1
2
x = −1
x = 2
Korzystamy z definicji logarytmu.
Rozwiązania spełniają warunek
x > 0.
Gdy w równaniach występują logarytmy o różnych podstawach, możemy
skorzystać ze wzoru na zamianę podstaw logarytmów.
P
Rozwiąż równanie:
log
1
25
x − 2 log
5
1
3
= 3 log
125
2
Założenie:
x > 0
Zapisujemy warunek, który muszą spełniać
liczby logarytmowane.
log
5
x
log
5
1
25
− 2 log
5
1
3
= 3
·
log
5
2
log
5
125
Korzystamy ze wzoru log
a
b =
log
c
b
log
c
a
.
log
5
x
−2
− 2 log
5
1
3
= 3
·
log
5
2
3
· (−2)
log
5
x + 4 log
5
1
3
= −2 log
5
2
log
5
x = log
5
1
3
−4
− log
5
2
2
log
5
x = log
5
81
4
x = 20
1
4
Rozwiązanie spełnia założenie.
56
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 57
B
Korzystając z wykresów narysowanych
obok, podaj, dla jakich wartości x speł-
niona jest nierówność log
2
x > 2, a dla
jakich nierówność log
1
2
x > 2.
Rozwiązując nierówności postaci log
a
x < c (a także postaci log
a
x > c),
postępujemy inaczej, gdy podstawa a jest liczbą większą od 1, a inaczej,
gdy jest liczbą dodatnią mniejszą od 1. Obowiązują tu podobne zasady jak
przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych.
Funkcja y = log
a
x jest rosnąca,
więc:
log
a
x < log
a
c
⇑
⇓
x < c
log
a
x > log
a
c
⇑
⇓
x > c
Nie zmieniamy znaku nierówności.
Funkcja y = log
a
x jest malejąca,
więc:
log
a
x < log
a
c
⇑
⇓
x > c
log
a
x > log
a
c
⇑
⇓
x < c
Zmieniamy znak nierówności.
C
Rozwiąż nierówność:
1.
log
2
x ≥ log
2
5
2.
log
0,2
x > log
0,2
7
3.
log
2
3
x ≤ log
2
3
10
4.
log x ≥ log
1
4
P
Rozwiąż nierówność:
log
0,2
(
x − 5) > 3
Założenie:
x − 5 > 0, czyli x > 5
log
0,2
(
x − 5) > log
0,2
0,2
3
Korzystamy z równości
b = log
a
a
b
.
x − 5 < 0,2
3
Zmieniamy znak nierówności, bo 0,2 < 1.
x < 5,008
x ∈ (5; 5,008)
Rozwiązania nierówności muszą spełniać wa-
runek
x > 5.
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNE
57
MLR2x str. 58
P
Rozwiąż nierówność log
7
x + log
7
(
x − 2) ≤ log
7
3.
Założenie:
x > 0 i x − 2 > 0, czyli x > 2
log
7
x(x − 2) ≤ log
7
3
x(x − 2) ≤ 3
Nie zmieniamy znaku nierówności, bo 7 > 1.
x
2
− 2
x − 3 ≤ 0, Δ = 16
x
1
=
2 − 4
2
= −1
x
2
=
2 + 4
2
= 3
Rozwiązujemy nierówność kwadratową.
x ∈ −1; 3
x ∈ −1; 3 i x ∈ (2; +∞)
Rozwiązania nierówności muszą spełniać
warunek
x > 2.
x ∈ (2; 3
ZADANIA
1.
Rozwiąż równanie:
a) log
3
(x − 5) = 3
c) log
0,1
(2x − 3) = 1
e) log
8
(x
2
− 2) = −
1
3
b) log
2
3
(x + 2) = −2
d) log
2
3 +
x
2
= −4
f) log
1
9
(1 − x
2
) =
3
2
2.
Rozwiąż równanie:
a) log
x+1
36 = 2
c) log
x
2
8
125
= −3
e) log
2x−1
3
√
4 = −
1
3
b) log
2−x
1
8
= 3
d) log
3x
15 =
1
2
f) log
2+
x
2
5 = 1
3.
Rozwiąż równanie:
a) log
3
x = log
3
5 + log
3
4
e) 2 log
1
2
x = log
1
2
6 + log
1
2
24
b) log
0,7
x = 3 log
0,7
2 − log
0,7
3
f) 4 log 2 = 2 log x + log 5
c) log
5
4 + log
5
x =
1
2
log
5
49
g) log
6
5 −
1
2
log
6
x = log
6
1
2
d) log 8 = log x − 2 log
1
5
h) log
2
x
2
− log
2
x = 2 log
2
5
58
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 59
4.
Rozwiąż równanie:
a) log
5
x = 2 + log
5
2
d) log(x − 3) + 3 = log 4
b) 3 + log
2
x = log
2
5
e) log
1
2
(2x + 1) − 5 = 2 log
1
2
3
c) 1 − ln x = 3 ln 2
f)
1
2
log
0,1
3 − 2 = log
0,1
(7x + 3)
5.
Rozwiąż równanie:
a) log(x + 2) = log x + log 2
c) log
1
3
x
2
=
1
2
log
1
3
x
b) log
2
(x − 3) = log
2
x − 3
d) ln(2x + 1) = 2 ln x + 1
6.
Rozwiąż równanie:
a) log(x − 3) + log x = log 4
d) log
5
(x + 2) + log
5
(x − 4) = 1
b) log
0,7
(x − 1) + log
0,7
(x − 3) = log
0,7
8
e) log
3
(x − 2) + log
3
x = 0
c) log
3
(x + 3) + log
3
(x + 1) = 1
f) ln(x + 1) + ln(x + 2) = 0
7.
Znajdź x:
a) log
2
(log
3
x) = 2
b) log
4
(log
3
(log
2
x)) = 0
c) log
2
(log
2
(log
2
x)) = 1
8.
Rozwiąż równanie:
a) (log
4
x)
2
= 9
e) 2(log
1
2
x)
2
= 1 − log
1
2
x
b) (log
1
5
x)
2
− 25 = 0
f) (log
1
3
x)(3 + log
1
3
x) = 4
c) (log
2
x)
2
+ log
2
x − 2 = 0
g) (2 log
3
x)
2
= 2 log
3
x
2
+ 3
d) (log x)
2
− log x
2
= 3
h) (ln x)(1 + ln x) = 2 + ln x
2
9.
Rozwiąż równanie:
a) log
2
x = log
8
1000
e) log
27
4 − log
3
4 = log
9
x
b) log
3
x = log
1
3
5
f) log
1
2
3 + log
8
3 + log
4
x = 0
c) log
1
4
3 + log
2
5 = log
2
x
g) 2 log 3 −
1
2
log
0,1
x = log
100
0,5
d) log
3
2 − log
1
9
x = log
1
9
2
h) log
0,2
49 + 2 log
25
x = 3 log
125
7
10.
Rozwiąż równanie:
a) x
log
5
x
= 25x
b) x
log
2
x
= 64x
c) x
log
3
x
=
1
x
2
Wskazówka. Logarytmy obu stron równania muszą być równe.
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNE
59
MLR2x str. 60
11.
Rozwiąż układy równań:
a)
log x + log y = 12
log x
2
− log y = 18
c)
x
y
= 8
log
2
x = y − 2
b)
8
x
· 4
y
= 2
log
2
x − log
2
y = −1
d)
⎧
⎨
⎩
log
2
x + log
4
y = −1
log
2
y + log
1
2
x = 2,5
12.
Po lewej stronie równania zapisano sumę wyrazów nieskończonego ciągu geo-
metrycznego. Rozwiąż to równanie.
a) 1 + log x + (log x)
2
+ . . . =
2
3
b) log
2
x + (log
2
x)
3
+ (log
2
x)
5
+ . . . =
√
2
13.
Rozwiąż nierówność:
a) log
3
x < −4
c) log x ≥ 3
e) log
0,1
x ≥ 5
g) log
2
x ≤ −3
b) log
1
4
x ≤
1
2
d) log
3
5
x > −2
f) ln x < −
1
4
h) log
4
x >
3
2
14.
Rozwiąż nierówność:
a) log
2
5 + log
2
x > log
2
2
e) log
0,3
(x − 1) − log
0,3
5 < 3 log
0,3
3
b) log
1
3
x − 2 log
1
3
6 ≤ log
1
3
4
f)
1
3
log
1
7
5 −
1
2
log
1
7
4 ≥ log
1
7
x
2
c) log x − 3 log 2 + log 5 ≥ 0
g) 4 ln 2 − ln x + ln 3 < ln 5
d)
1
2
log
5
1
9
− log
5
x < 2 log
5
3
h) log
2
3
7 +
1
3
log
2
3
8 > log
2
3
x − log
2
3
3
15.
Rozwiąż nierówność:
a) log
4
x + log
4
(x − 5) < log
4
2
d) log(x + 1) − log 6 + log(x + 2) > 0
b) log
1
5
(x + 4) + log
1
5
x ≥ log
1
5
3
e) log
0,1
2 − log
0,1
(x − 4) > log
0,1
(x − 3)
c) log
0,6
(x − 2) + log
0,6
(x + 1) ≤ log
0,6
4
f) ln(x + 2) ≤ ln 3 − ln(x + 4)
16.
Rozwiąż nierówność:
a) log
x
5 > 1
c) log
x
8 ≥ 3
e) log
x
(x − 1) ≤ 1
g) log
x
(x + 2) > 2
b) log
x
0,1 < −1
d) log
x
9 ≤ 2
f) log
x
(x − 5) ≥ −1
h) log
x−3
(2 − x) < 1
60
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 61
TEST
T1.
Wśród poniższych równań wskaż to, które ma inne rozwiązanie od pozostałych
trzech równań.
A. log
2
x + log
2
5 = log
2
40
B. log 24 − log x = log 3
C. log
x
1
2
= −3
D.
ln x
3
= ln 2
T2.
Rozwiązanie równania log
3
x − 2 = log
3
2 jest liczbą:
A. parzystą
B. ujemną
C. niewymierną
D. niecałkowitą
T3.
Rozwiązaniem równania log
2
x − log
4
9 = log
1
2
5 jest:
A.
36
10
B. 45
C.
5
9
D.
3
5
T4.
Zbiór rozwiązań nierówności log
3
(x − 1) + log
3
(x + 1) > 1 jest taki sam jak zbiór
rozwiązań nierówności:
A. x
2
− 1 > 1
B. x − 2 > 0
C. x
2
> 4
D. x − 1 < x + 1
A
NIA
FUNK
C
JI
ZASTOSOWANIA FUNKCJI
WYKŁADNICZYCH I LOGARYTMICZNYCH
Za pomocą funkcji wykładniczych i logarytmicznych można opisać zjawi-
ska z bardzo różnych dziedzin wiedzy. Oto dwa przykłady.
LICZEBNOŚĆ POPULACJI
Pewna kolonia bakterii liczyła początkowo 1000 bakterii, a co godzinę ich
liczba rosła o 10 %.
A
Oblicz, ile bakterii było w tej kolonii po upływie 2 godzin, a ile — po upływie
10 godzin.
Liczbę bakterii w tej kolonii po upływie t godzin można opisać wzorem:
L(t) = 1000
· 1,1
t
ZASTOSOWANIA FUNKCJI WYKŁADNICZYCH I LOGARYTMICZNYCH
61
MLR2x str. 62
Opisana kolonia bakterii to przykład populacji zmieniającej się w stałym
tempie. Tak zmieniające się populacje można opisać wzorami typu:
L(t) = b
· a
t
,
gdzie t oznacza czas, natomiast współczynniki a i b zależą od tempa zmian
populacji oraz jej początkowej wielkości. Gdy w ten sposób opiszemy po-
pulację, mówimy, że stworzyliśmy jej model wykładniczy. Współczynniki a
oraz b w modelu wykładniczym można obliczyć, gdy znamy wielkość po-
pulacji dla dwóch wartości t.
Na przykład liczba ludności Indii w latach 1960–1995 zmieniała się zgod-
nie z modelem wykładniczym. Wiedząc, że w roku 1971 w Indiach żyło
548 mln ludzi, a w roku 1991 — 846 mln, możemy w następujący sposób
obliczyć współczynniki a i b we wzorze L(t) = b
· a
t
.
Przyjmujemy, że początkiem obserwacji populacji był rok 1971. Wówczas
t = 0 odpowiada rokowi 1971, a rokowi 1991 odpowiada t = 20. Wobec
tego:
548 = b
·a
0
L(0) = 548
b = 548
846 = b
·a
20
846 = 548a
20
a =
20
846
548
≈ 1,022
L(20) = 846
b = 548
Liczbę ludności Indii (w mln) w latach 1960–1995 możemy więc opisać
wzorem:
L(t) = 548
· 1,022
t
,
gdzie t oznacza czas (w latach) liczony od roku 1971 (tzn. t > 0 dla lat po
1971 r., t < 0 dla lat wcześniejszych).
Ten wzór pozwala na obliczenie liczby ludności Indii tylko w pewnym
przybliżeniu. Do wielu celów takie przybliżenie jednak wystarczy.
P
a) Oszacuj liczbę ludności Indii w 1980 roku i w 1960 roku.
L
1980
= 548
· 1,022
9
≈ 667
Korzystamy ze wzoru
L = 548 · 1,022
t
dla
t = 9 i dla t = −11.
L
1960
= 548
· 1,022
−11
≈ 431
Odp. W 1980 roku liczba ludności Indii wynosiła ok. 667 mln, a w 1960 roku —
ok. 431 mln.
62
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 63
b) W 2000 roku liczba ludności Indii przekroczyła 1 miliard. Oblicz, w którym
roku miało to nastąpić zgodnie z podanym wzorem.
1000 = 548
· 1,022
t
Korzystamy ze wzoru
L = 548 · 1,022
t
,
L = 1000.
1,022
t
=
1000
548
log 1,022
t
= log
1000
548
Logarytmujemy obie strony równania.
t · log 1,022 = log
1000
548
t =
log
1000
548
log 1,022
t ≈ 28
28 lat po 1971 roku.
Odp. Zgodnie ze wzorem liczba ludności Indii miała przekroczyć 1 mld w 1999 r.
Model wykładniczy można stosować także do opisu innych wielkości, które
zmieniają się w stałym tempie.
B
Masa M próbki zmienia się zgodnie z modelem wykładniczym. Czy masa ta
rośnie, czy maleje, gdy:
1.
M = 20
· 0,7
t
,
2.
M = 10
· 1,2
t
?
ciekawostka
W 1862 roku prezydent Stanów Zjednoczonych Abraham Lincoln przedsta-
wił Kongresowi prognozę liczby ludności USA do 1930 roku. Na podstawie
spisów ludności z lat 1790–1860 Lincoln zauważył, że współczynnik przy-
rostu naturalnego w tym okresie był stały. Założył więc, że współczynnik
ten nie będzie się zmieniał do 1930 roku i, stosując model wykładniczy,
obliczył, że do tego czasu w USA będzie żyło ponad 250 mln ludzi. W rze-
czywistości Stany Zjednoczone miały w 1930 roku 123 mln mieszkańców.
Gdyby Lincoln prognozował liczbę Amerykanów żyjących w końcu XX wie-
ku, otrzymałby liczbę 2 mld, podczas gdy naprawdę w USA żyło wówczas
mniej niż 280 mln mieszkańców.
Jak widać, model wykładniczy jest skuteczny tylko dla krótkich okresów
czasu, ponieważ zakłada on niezmienność współczynnika przyrostu natu-
ralnego. W rzeczywistości współczynnik ten nie jest stały i zależy od wielu
czynników, m.in. od wielkości populacji, zmian kulturowych, migracji lud-
ności.
ZASTOSOWANIA FUNKCJI WYKŁADNICZYCH I LOGARYTMICZNYCH
63
MLR2x str. 64
POZIOM GŁOŚNOŚCI DŹWIĘKU
Niektóre wielkości opisywane są liczbami od bardzo małych do bardzo du-
żych. Tak rozległy zakres wartości utrudnia posługiwanie się nimi. Często
w takich wypadkach korzysta się z tzw. skali logarytmicznej. Przykładem
takiej skali jest skala poziomu głośności dźwięków.
Siłę dźwięku określa się, obliczając, ile razy natężenie I tego dźwięku (mie-
rzone w W/m
2
) jest większe od natężenia I
0
dźwięku odpowiadającego
progowi słyszalności (I
0
= 10
−12
W/m
2
). Tak więc siłę dźwięku opisuje
iloraz
I
I
0
. Wartości tego ilorazu wahają się od 1 do 10
21
. Są to więc licz-
by, które niezbyt wygodnie się porównuje. Natomiast logarytmy dziesiętne
tych liczb przyjmują wartości od 0 (log 1 = 0) do 21 (log 10
21
= 21). Liczba-
mi w takim zmniejszonym zakresie o wiele łatwiej się posługiwać. Dlatego
wprowadzono nowe pojęcie — poziom głośności dźwięku — i przyjęto,
że jest on równy log
I
I
0
. Za jednostkę przyjęto 1 bel. Jednak najczęściej
stosowana jednostka poziomu głośności jest 10 razy mniejsza niż 1 bel
i nazywana jest decybelem (w skrócie dB). Poziom głośności dźwięku (w de-
cybelach) można obliczyć ze wzoru:
L — poziom głośności dźwięku (w decybelach)
I — natężenie dźwięku w W/m
2
I
0
— natężenie dźwięku odpowiadającego progowi
słyszalności (I
0
= 10
−12
W/m
2
)
L = 10 log
I
I
0
Poziom głośności progu słyszalności wynosi 0 dB, a poziom huku startu-
jącej rakiety jest równy 210 dB (jego natężenie jest 10
21
razy większe od
progu słyszalności).
Warto wiedzieć, że natężenie dwóch równoczesnych dźwięków jest sumą
ich natężeń. Jednak poziom głośności dwóch równoczesnych dźwięków nie
jest sumą ich poziomów głośności.
P
Poziom głośności gwizdka czajnika wynosi 90 dB, a gwizdka pociągu — 110 dB.
a) Ile razy natężenie dźwięku gwizdka pociągu jest większe od natężenia dźwię-
ku gwizdka czajnika?
I
c
— natężenie dźwięku gwizdka czajnika
I
p
— natężenie dźwięku gwizdka pociągu
90 = 10 log
I
c
10
−12
9 = log
I
c
10
−12
I
c
10
−12
= 10
9
I
c
= 10
9
· 10
−12
I
c
= 10
−3
110 = 10 log
I
p
10
−12
11 = log
I
p
10
−12
I
p
10
−12
= 10
11
I
p
= 10
11
· 10
−12
I
p
= 10
−1
Korzystamy ze wzoru L = 10 log
I
I
0
,
gdzie I
0
= 10
−12
W/m
2
.
Korzystamy z definicji logarytmu.
64
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 65
I
p
I
c
=
10
−1
10
−3
= 100
I
c
= 10
−3
W/m
2
Odp. Natężenie dźwięku gwizdka pociągu jest 100 razy większe od natężenia
dźwięku gwizdka czajnika.
b) Oblicz poziom głośności dźwięku wydawanego przez gwizdki dwóch mijają-
cych się pociągów.
I
p
— natężenie dźwięku gwizdka pociągu
I — natężenie dźwięku gwizdków dwóch pociągów
I = I
p
+ I
p
I = 2 · 10
−1
Natężenia dwóch równoczesnych dźwięków
dodają się; wcześniej obliczyliśmy, że
I
p
= 10
−1
W/m
2
.
L = 10 log
2
·10
−1
10
−12
L = 10 log(2
· 10
11
)
log
2
· 10
11
= log 2 + log 10
11
L = 10(log 2 + log 10
11
)
L = 10(11 + log 2)
≈ 113
Odp. Poziom głośności dźwięku gwizdków dwóch pociągów to około 113 dB.
c) Ile gwizdków czajników stwarza hałas bolesny dla ucha, czyli o poziomie
głośności 130 dB?
I
n
— natężenie dźwięku
n gwizdków czajników
I
n
=
n · I
c
Obliczyliśmy wcześniej, że I
c
= 10
−3
W/m
2
.
I
n
=
n · 10
−3
130 = 10 log
n ·10
−3
10
−12
Korzystamy ze wzoru L = 10 log
I
I
0
.
13 = log(
n · 10
9
)
n · 10
9
= 10
13
n =
10
13
10
9
n = 10
4
Odp. Potrzeba byłoby aż 10 000 gwiżdżących czajników, aby poziom głośności
wyniósł 130 dB.
ZASTOSOWANIA FUNKCJI WYKŁADNICZYCH I LOGARYTMICZNYCH
65
MLR2x str. 66
ZADANIA
Ludność Polski
1962
1964
30,5 mln
31,3 mln
1.
Przyjmijmy, że liczbę ludności Polski w latach
1960–1970 można obliczyć ze wzoru L = a
·b
t
, gdzie
a i b są stałymi, a t oznacza czas w latach po 1962
roku (wtedy t > 0) lub przed 1962 (wtedy t < 0).
a) Korzystając z danych przedstawionych w tabelce,
oblicz wartości a i b.
b) Oblicz, jaka była (według otrzymanego wzoru) liczba ludności Polski w 1960 ro-
ku oraz w 1970 roku. Porównaj swoje wyniki z rzeczywistą liczbą ludności w tych
latach (w 1960 r. — 29,8 mln, w 1970 r. — 32,6 mln).
c) Oszacuj, jaka byłaby liczba mieszkańców Polski w 1999 roku, gdyby współczyn-
nik przyrostu naturalnego z lat 1962–1964 utrzymywał się bez zmian aż do tego
czasu. Porównaj otrzymany wynik z rzeczywistą liczbę ludności Polski w 1999 roku,
która wynosiła 38,6 mln.
2.
W pewnej mazurskiej miejscowości podjęto walkę z plagą komarów. Specjaliści
twierdzą, że systematyczne opryski spowodują zmniejszenie liczby komarów o 15 %
rocznie. Przyjmij, że przed opryskami populacja komarów wynosiła 2 mln.
a) Po jakim czasie liczba komarów powinna zmniejszyć się o połowę?
b) Walkę z komarami zamierza się przerwać, gdy populacja komarów będzie mniej-
sza niż 500 000. Jak długo będzie trwała ta walka?
3.
Pacjent przyjął dawkę 50 mg pewnego leku. Wiadomo, że nerki usuwają z krwio-
biegu 60 % tego leku w ciągu 6 godzin.
a) Masę m leku (w mg) pozostałą w organizmie po upływie czasu t (w godzinach)
można obliczyć ze wzoru: m = ab
t
, gdzie a i b są stałymi. Oblicz wartości tych
stałych.
b) Ile leku pozostaje w krwiobiegu po upływie godziny, a ile po upływie doby?
c) Pacjent powinien przyjąć drugą dawkę leku, zanim zawartość pierwszej dawki
w krwiobiegu spadnie poniżej 10 mg. Po jakim czasie od przyjęcia pierwszej dawki
pacjent powinien przyjąć drugą dawkę?
4.
Przyjmij, że w grupie N dorosłych ludzi informacja rozprzestrzenia się z ta-
ką prędkością, że po czasie t zna ją n osób. Według instytucji badających opinię
publiczną liczbę tę można oszacować za pomocą wzoru: n = N(1 − e
−kt
), gdzie k
oznacza stałą, której jednostka jest odwrotnością jednostki czasu t.
a) Po godzinie od momentu ogłoszenia wiadomość o podwyżce płac znało 300
z 500 pracowników fabryki. Ilu pracowników zapewne dowie się o tej nowinie po 2
godzinach, a ilu po 6 godzinach?
b) Plotka o „dniu bez samochodu” po trzech dniach od jej powstania dotarła do
40 % kierowców. Jaka część kierowców znała tę plotkę po pierwszym dniu? Kiedy
znać ją będzie 80 % kierowców?
66
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 67
ciekawostka
Jądra atomów niektórych pierwiastków
ulegają samoistnej przemianie w jądra
innych pierwiastków. Zjawisku temu to-
warzyszy promieniowanie i dlatego na-
zwano je rozpadem promieniotwórczym.
Masa pierwiastka ulegającego rozpado-
wi promieniotwórczemu zmniejsza się
o połowę po upływie pewnego — ściśle
określonego dla tego pierwiastka — cza-
su, zwanego okresem połowicznego roz-
padu. Na przykład okres połowicznego
rozpadu radu
226
Ra wynosi 1600 lat, za-
tem próbka radu
226
Ra o masie 10 g po
1600 latach zawierać będzie 5 g tego
pierwiastka, a po kolejnych 1600 latach
— tylko 2,5 g.
5.
Przeczytaj ciekawostkę. Masa m pierwiastka promieniotwórczego po upływie
czasu t wynosi:
m = m
0
·
1
2
t
T
,
gdzie m
0
— masa początkowa pierwiastka, T — okres połowicznego rozpadu (poda-
ny w tej samej jednostce czasu co t). Wykaż, że ten wzór jest zgodny z informacją,
którą przedstawiono w ciekawostce, gdy czas t jest wielokrotnością okresu poło-
wicznego rozpadu.
6.
a) Okres połowicznego rozpadu izotopu jodu
131
I wynosi 8 dni. Pewna próbka
zawiera 5 g tego izotopu. Oblicz masę
131
I w tej próbce po 20 dniach.
b) Okres połowicznego rozpadu izotopu fransu
223
Fr wynosi 22 minuty. Oblicz, po
jakim czasie zawartość tego izotopu w próbce zmniejszy się z 1 mg do 0,1 mg.
c) Zawartość izotopu cezu
137
Cs w próbce zmniejszyła się w ciągu 6 lat z 2 g do
1,74 g. Oblicz okres połowicznego rozpadu tego izotopu.
Wskazówka. Skorzystaj ze wzoru podanego w zadaniu 5.
ZASTOSOWANIA FUNKCJI WYKŁADNICZYCH I LOGARYTMICZNYCH
67
MLR2x str. 68
CIEKAWOSTKA
Jednym z izotopów węgla występują-
cych w przyrodzie jest izotop
14
C. Izo-
top ten ulega promieniotwórczemu roz-
padowi (zob. str. 67), w wyniku którego
powstaje azot
14
N. Okres połowicznego
rozpadu
14
C wynosi 5715 lat. Każdy ży-
wy organizm absorbuje węgiel
12
C i izo-
top
14
C z otoczenia. Tak długo, jak żyje
roślina, zwierzę czy człowiek, stosunek
liczby atomów
12
C do
14
C w organizmie
się nie zmienia (1 atom
14
C przypa-
da na 1012 atomów
12
C). Po śmierci
organizmu atomy
14
C ulegają rozpado-
wi, a atomy
12
C — nie. Zatem im wię-
cej czasu upływa od śmierci organizmu,
tym większa przewaga liczby atomów
12
C nad liczbą atomów
14
C. Amerykań-
ski fizyk Willard F. Libby w 1946 roku
opracował metodę, która pozwala wyko-
rzystać to zjawisko do określenia wie-
ku znalezisk pochodzenia organicznego.
W tym celu spala się niewielką próbkę
znaleziska i otrzymany dwutlenek wę-
gla przepuszcza przez urządzenie, które
rozdziela atomy
12
C i
14
C na podstawie
różnicy ich mas. To pozwala określić,
jak zmieniła się zawartość izotopu
14
C
w znalezisku w porównaniu z zawarto-
ścią w żywym organizmie, a w konse-
kwencji wiek znaleziska.
Na przykład stwierdzono, że masa izo-
topu
14
C w znalezisku to tylko 90 %
masy tego izotopu, jaką zawierałby ży-
wy organizm. Skorzystamy ze wzoru:
m = m
0
·
1
2
t
T
, gdzie
m = 0,9m
0
i T = 5715
0,9m
0
= m
0
·
1
2
t
5715
0,9 =
1
2
t
5715
log 0,9 = log
1
2
t
5715
log 0,9 =
t
5715
log
1
2
t = 5715
·
log 0,9
log
1
2
t
≈ 870
Wynika stąd, że znalezisko pochodzi
sprzed około 870 lat.
7.
a) Odkrywca pewnego egipskiego grobowca twierdzi, że jego znalezisko pocho-
dzi z okresu Średniego Państwa (około 2 tys. lat p.n.e.). Ponieważ niektórzy uczeni
są innego zdania, przedmioty z grobowca będą poddane badaniom wieku metodą
opartą na pomiarze zawartości izotopu
14
C. Jakiego procentu początkowej masy
izotopu należy się spodziewać w znaleziskach, jeżeli ich odkrywca ma rację?
b) Pewien ekspert ma wątpliwości, czy obraz w muzeum jest dziełem wielkiego
włoskiego malarza Giotto di Bondone (1266–1337). Po zbadaniu zawartości izotopu
węgla
14
C w płótnie i farbach obrazu okazało się, że stanowi ona 95 % początkowej
masy tego izotopu. Czy autorem obrazu mógł być Giotto?
c) W połowie XX wieku pewien genialny fałszerz podrobił obrazy jednego z najwy-
bitniejszych malarzy holenderskich Vermeera van Delfta (1632–1675). Fałszerstwo
udowodniono — mierząc zawartość izotopu
14
C. Jaki procent początkowej masy
izotopu powinny zawierać płótno i farby, jeśli pochodzą z obrazu Vermeera?
d) Najstarszymi świadectwami operacji chirurgicznych przeprowadzanych przez
naszych przodków są czaszki z wyciętymi otworami znalezione w Peru. Badania
wykazały, że czaszki te zawierają zaledwie 23 % początkowej masy
14
C. Sprzed ilu
lat pochodzą te znaleziska?
68
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 69
CIEKAWOSTKA
Jeśli przedmiot umieścimy w otocze-
niu, którego temperatura jest niższa niż
temperatura przedmiotu, to zacznie on
stygnąć. Jeśli założymy, że temperatura
otoczenia nie zmienia się, to tempera-
turę T przedmiotu po upływie czasu t
możemy obliczyć ze wzoru, który poda-
no obok.
T = T
0
+ (T
p
− T
0
)e
−kt
T
0
— temperatura otoczenia (w
◦
C)
T
p
— początkowa temperatura przedmiotu
(w
◦
C)
k — stała charakterystyczna dla danego
przedmiotu
8.
Ciasto wyjęte z piekarnika stygnie w kuchni, w której panuje temperatura 25
◦
C.
Temperaturę ciasta (w
◦
C) po upływie t minut można obliczyć ze wzoru:
T = 25 + 200
· e
−0,1t
a) Jaką temperaturę miało ciasto zaraz po wyjęciu z piekarnika?
b) Jaką temperaturę będzie miało ciasto po upływie 10 minut?
c) Kiedy ciasto ostygnie do temperatury 30
◦
C?
Czas t
0
1
5
10
(w minutach)
Temperatura
90
81,6 56,9 39,5
herbaty (w
◦
C)
9.
W laboratorium, w którym panowa-
ła temperatura 20
◦
C, mierzono tempe-
raturę herbaty w kubku. Wyniki po-
miarów przedstawiono w tabeli. Znajdź
wzór opisujący, jak się zmienia tempe-
ratura herbaty w zależności od czasu.
10.
Z przedstawionego w ciekawostce wzoru T = T
0
+ (T
p
− T
0
)e
−kt
korzystają
specjaliści medycyny sądowej, określając czas, jaki upłynął od śmierci denata.
Przyjmijmy, że policja znalazła zwłoki o godz. 18
00
, oraz że temperatura ciała
ofiary wynosiła 30
◦
, a temperatura otoczenia, podobnie jak przez całe popołudnie,
wynosiła 10
◦
C. Przyjmijmy też, że po upływie godziny temperatura otoczenia się
nie zmieniła, ale ciało ostygło do 28
◦
C. Oblicz, o której godzinie nastąpił zgon.
11.
W 1938 roku amerykański psycholog R. S. Woodworth przeprowadził badania
nad szybkością zapominania zdobytej wiedzy, gdy nie jest ona utrwalana. Okaza-
ło się, że zjawisko zapominania można opisać za pomocą funkcji logarytmicznej.
Wyniki jednego z jego doświadczeń można opisać wzorem:
M — procent pamiętanych wiadomości
t — liczba dni, które upłynęły od nauczenia się tych wiadomości
M = 100 − 15 ln(t + 1)
a) Oblicz, jaka część wiadomości została zapomniana podczas badań Woodwortha
w czasie pierwszych 5 dni, a jaka w czasie 10 dni.
b) Po jakim czasie została zapomniana połowa wiadomości?
ZASTOSOWANIA FUNKCJI WYKŁADNICZYCH I LOGARYTMICZNYCH
69
MLR2x str. 70
CIEKAWOSTKA
Wyobraź sobie eksperyment, w którym
badana osoba ma na przemian trafić
wskaźnikiem w dwa jednakowe paski
położone obok siebie.
Łatwo zrozumieć, że czas potrzebny do
przesunięcia wskaźnika i trafienia w pa-
sek zależy od szerokości pasków i odle-
głości między nimi. W 1954 roku amery-
kański psycholog P. M. Fitts podał wzór,
który przedstawia ten związek.
t = a + b log
2
2y
x
t — czas (w sek.) potrzebny do wykonania
ruchu od paska do paska
y — odległość (w cm) między paskami
x — szerokość (w cm) każdego z pasków
a, b — stałe charakterystyczne dla danego
eksperymentu
Wzór Fittsa został doceniony np. przez
projektantów interfejsów systemów kom-
puterowych. Chociaż opisuje on prostą
prawdę, że trafia się w cel tym łatwiej,
im jest on większy i bliżej położony, to
pomaga zdecydować, czy lepiej umiesz-
czać duże ikony na większej powierzch-
ni, czy małe, ale za to blisko siebie.
12.
W pewnym eksperymencie podobnym do opisanego w powyższej ciekawostce
ustalono, że stałe a i b wynoszą: a = 0,2 s, b = 0,15 s. Zatem:
t = 0,2 + 0,15 log
2
2y
x
a) O ile wydłuży się czas t, gdy odległość między paskami zwiększymy dwukrotnie,
a o ile, gdy zwiększymy ją trzykrotnie?
b) O ile dłuższy jest czas t w wypadku, gdy y = 3 cm i x = 7 cm, od czasu t
w przypadku, gdy y = 2 cm i x = 5 cm?
szelest liści — 10 dB
skrzypce (pianissimo) — 30 dB
krzyk — 80 dB
młot pneumatyczny — 100 dB
orkiestra (fortissimo) —100 dB
koncert rockowy — 120 dB
13.
Przypomnij sobie wiadomości na
temat głośności dźwięku (zob. str. 64).
Obok podano poziomy głośności kilku
wybranych dźwięków.
a) Oblicz natężenie dźwięku wydawa-
nego przez szeleszczące liście.
b) Ile razy mniejsze natężenie ma
dźwięk skrzypiec grających pianissimo
od dźwięku orkiestry grającej fortissimo?
c) Oblicz poziom głośności hałasu wydawanego przez dwa młoty pneumatyczne
pracujące jednocześnie.
d) Oblicz poziom głośności koncertu wykonywanego równocześnie przez dziewię-
ciu skrzypków grających pianissimo.
e) Oblicz poziom głośności hałasu, na który narażony jest sąsiad krzyczącego wi-
dza na głośnym koncercie rockowym.
f) Oblicz, ile pracujących młotów pneumatycznych wytwarza hałas równy pozio-
mem głośności koncertowi rockowemu.
70
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 71
CIEKAWOSTKA
W 1935 roku amerykański sejsmolog
Charles Richter wpadł na pomysł mie-
rzenia siły trzęsień ziemi na podstawie
amplitud drgań wywoływanych przez te
trzęsienia. Początkowo za podstawę swej
miary chciał obrać stosunek amplitudy
drgań (mierzonej w odległości 100 km
od epicentrum) do amplitudy wzorco-
wej, wynoszącej 10
−4
cm (odpowiada
ona drganiom niewyczuwalnym przez
człowieka). Okazało się jednak, że otrzy-
mywał w ten sposób liczby od bardzo
małych do bardzo dużych (od 0 do
800 000 000), co utrudniało ich porów-
nywanie. Postanowił więc jako miarę in-
tensywności trzęsień ziemi przyjąć lo-
garytm dziesiętny otrzymywanych liczb.
Tak powstała, powszechnie dziś używa-
na, skala Richtera. Siłę trzęsienia ziemi
oblicza się w tej skali ze wzoru:
R = log
A
A
0
R — siła trzęsienia ziemi mierzona
w stopniach w skali Richtera
A — amplituda trzęsienia ziemi (w cm)
A
0
— amplituda wzorcowa (10
−4
cm)
Na przykład, jeśli amplituda trzęsienia
ziemi była 100 razy większe od wzor-
cowej
A
A
0
= 100
, to R = log 100 = 2.
Jeśli natomiast trzęsienie ziemi miało
7 stopni w skali Richtera, to z powyż-
szego wzoru można obliczyć, że było
ono 10 mln razy silniejsze od trzęsienia
o amplitudzie wzorcowej.
14.
a) Naukowcy oceniają (na podstawie obserwowanych do dziś skutków), że naj-
silniejsze trzęsienie ziemi nawiedziło Polskę 5 czerwca 1443 roku i miało siłę 5,8
stopnia w skali Richtera. Oblicz amplitudę drgań tego trzęsienia.
b) Najsilniejsze trzęsienie ziemi w Polsce o sile 4,8 stopnia w skali Richtera zano-
towane przez sejsmografy miało miejsce w 2010 roku. Ile razy było one słabsze od
najsilniejszego zarejestrowanego trzęsienia ziemi na świecie, które dotknęło Indie
15 sierpnia 1950 roku i miało siłę 8,7 stopnia w skali Richtera?
TEST
T1.
Okres połowicznego rozpadu izotopu jodu
131
I wynosi 8 dni. Pewna próbka
zawiera 4 g tego izotopu. Po 20 dniach masa
131
I w tej próbce będzie:
A. mniejsza niż 1 g
B. większa niż 1 g, ale mniejsza niż 2 g
C. większa niż 2 g, ale mniejsza niż 3 g
D. większa niż 3 g, ale mniejsza niż 4 g
T2.
Okres połowicznego rozpadu izotopu fransu
223
Fr wynosi 22 minuty. Po jakim
czasie zawartość tego izotopu w próbce zmniejszy się z 1 mg do
1
8
mg.
A. po 33 min
B. po
22
3
min
C. po 3 min
D. po 66 min
ZASTOSOWANIA FUNKCJI WYKŁADNICZYCH I LOGARYTMICZNYCH
71
MLR2x str. 72
POWTÓRZENIE
1.
Oblicz:
a)
5
√
3
−2
√
3
b)
2
3e+1
· 8
−e
c)
0,1
2π
100
2−π
2.
Znajdź x:
a)
log
x
5 = 2
c)
log
8
2 = x
b)
log
1
3
x = −4
d)
log
x
(4x − 3) = 2
3.
Oblicz:
a)
log
5
5
c)
log 0,01
b)
log
0,3
1
d)
ln
√
e
4.
Przedstaw podane wyrażenie jako
jeden logarytm.
a)
2 log
5
a + log
5
a
3
b)
1
3
ln b
2
− 3 ln
√
b
5.
Przyjmij, że log
a
2 = 5 i oblicz:
a)
log
a
2a
d)
log
2
a
b)
log
a
32
e)
log
8
a
3
c)
log
a
a
2
2
f)
log
1
2
4
√
a
6.
Oblicz za pomocą kalkulatora:
a)
log 0,3
b)
ln 18
c)
log
11
20
7.
Dopasuj wzory funkcji do wykresów.
f (x) = 1,5
x
g(x) = e
x
h(x) = 0,7
x
k(x) =
8
9
x
8.
Znajdź wzór funkcji wykładniczej,
której wykres przechodzi przez punkt
A =
−2,
16
9
.
9.
Określ dziedzinę funkcji:
a)
y = log(5 − x)
c)
y = log
x
1
3
b)
y = log
4
(x
2
− 2)
d)
y = ln
x
2
(x
2
− 2x)
10.
Znajdź wzór funkcji logarytmicz-
nej, której wykres przechodzi przez
punkt:
a)
P =
11,
1
2
b)
P = (2, −5)
11.
Rozwiąż równanie:
a)
2
5
·
5
2
x
=
4
25
b)
3
x
+ 3
x+1
= 36
c)
10
x−4
= 2
d)
log
5
x − log
5
2 = 2 log
5
3
e)
2 + log x = log 3
12.
Rozwiąż nierówność:
a)
5
x
≤
1
5
b)
3 log
1
2
(x + 2) > −6
13.
Poniżej podano wzory, za pomo-
cą których można oszacować liczbę
ludności w Bułgarii i w Holandii, za-
kładając, że przyrost naturalny w obu
krajach jest taki jak w 2002 roku i nie
będzie się zmieniał:
Bułgaria: L
B
= 7 600 000
· 0,99
t
Holandia: L
H
= 16 100 000
· 1,005
t
t — oznacza czas (w latach) mierzony
od roku 2002.
Korzystając z tych wzorów, odpowiedz
na pytania:
a)
W którym z tych krajów liczba lud-
ności z roku na rok rośnie, a w którym
maleje?
b)
Jaka była liczba ludności w tych kra-
jach w 2002 roku, a jakiej można było
się spodziewać w 2005 roku?
c)
Jaka była liczba ludności w Holandii
w 2000 roku?
72
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 73
14.
Uporządkuj podane liczby w kolej-
ności od najmniejszej do największej.
2
e
1
2
−π
2
√
10
1
2
√
3
(
√
2)
π
15.
Oblicz wartość wyrażenia, przyj-
mując, że a > 0 i a
= 1.
a)
log
a
a
π
b)
log
1
a
a
2
c)
log
√
a
1
a
16.
a)
Uzasadnij, że jeśli n jest liczbą
naturalną trzycyfrową, to 2 ≤ log n < 3.
b)
Wykaż, że liczba naturalna n ma
w zapisie dziesiętnym k cyfr, wtedy
i tylko wtedy, gdy k − 1 ≤ log n < k.
c)
Ile cyfr w zapisie dziesiętnym ma
liczba 2
100
?
d)
Znajdź w internecie, jaka jest naj-
większa znana liczba pierwsza. Oblicz,
ile ma cyfr w zapisie dziesiętnym.
17.
Z podanego wzoru wyznacz x.
a)
p = 3e
−kx
b)
M = m + 2 log
x
y
18.
Wykres pewnej funkcji wykładni-
czej przechodzi przez punkt (3, 17). Czy
jest to funkcja rosnąca, czy malejąca?
19.
Znajdź współrzędne punktów prze-
cięcia wykresów funkcji f (x) = log x
i g(x) = log
x
10.
20.
Rozwiąż równanie:
a)
1
9
x
−
1
3
x
− 6 = 0
b)
4
x
· 3
x−2
= 2
x
c)
2 log
3
√
x − 3 log
3
1
x
= 8
d)
log
1
2
x
· log
4
x = −4
21.
Rozwiąż nierówność:
a)
9
25
x
·
5
3
x+1
≥ 1
b)
2 log
1
3
5 − log
1
3
1
5
< log
1
3
(x + 4)
22.
Pewien naukowiec ważył próbkę
izotopu ołowiu
214
Pb. Na początku ma-
sa próbki wynosiła 3,127 g, a po minu-
cie 3,047 g. Oblicz okres połowicznego
rozpadu tego izotopu.
23.
Wykaż, że jeśli 0 < a < 1 i b > 1,
to: log
a
b + log
b
a ≤ −2.
24.
Wykaż, że:
log
d
a = log
b
a
· log
c
b
· log
d
c
25.
Rozwiąż nierówność:
a)
2
log
4
x
< 3
b)
log
2x
(2 − 3x) < 0
26.
Jaki warunek muszą spełniać licz-
by a oraz b, aby wykresy funkcji
f (x) = a
· 2
x
i g(x) = b
· 2
−x
miały do-
kładnie jeden punkt wspólny? Znajdź
współrzędne tego punktu.
ZAGADKA
Rozwiązaniem rebusu przedsta-
wionego obok jest pewne po-
jęcie matematyczne (można je
znaleźć w tym rozdziale). Jakie
to pojęcie?
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
73
PRACA BADAWCZA
MLR2x str. 74
CZARNA ŚMIERĆ
Czarną śmiercią nazwano tragiczną epi-
demię dżumy, która w XIV i XV wie-
ku ogarnęła świat. Najprawdopodobniej
miała ona swój początek w środkowej
Azji, a stamtąd przeniosła się na za-
chód, dziesiątkując ludność Indii, Bli-
skiego Wschodu i północnej Afryki, aż
w końcu dosięgnęła Europy.
Kulminacyjnym okresem czarnej śmierci były lata 1347—1351, kiedy to w samej
Europie z powodu epidemii zmarło ponad 20 mln osób, a liczba ludności na świecie
zmniejszyła się o około 100 mln, czyli ponad 20 %.
Bezsprzecznie czarna śmierć miała znaczący wpływ na losy ludzkości. Ciekawe, ilu
ludzi żyłoby dziś na świecie, gdyby nie śmiertelne żniwo tej epidemii. Spróbujmy
oszacować tę liczbę.
Liczba ludności
Rok
świata (w mln)
1000
250
1100
300
1200
400
1300
430
1348
470
1400
370
1500
460
1600
580
1700
680
1800
950
1900
1630
2000
6010
A.
W tabeli obok podano szacunkowe dane doty-
czące liczby ludności świata w ostatnim tysiącleciu.
Narysuj wykres zależności liczby ludności od czasu.
Omów ten wykres.
B.
Aby określić liczbę ludności świata po upływie
okresu t lat, można posłużyć się wzorem:
L
2
= L
1
a
t
L
1
— liczba ludności na początku okresu
L
2
— liczba ludności na końcu okresu
a — stała opisująca roczny przyrost naturalny
Oblicz wartości stałej a dla kolejnych okresów
(1000—1100 itd), korzystając z powyższego wzoru
i danych z tabeli.
Na przykład w celu obliczenia wartości stałej a dla
okresu 1000—1100, przyjmij:
L
1
= 250,
L
2
= 300,
t = 100
Obliczone wartości stałej a przedstaw w tabeli.
74
POTĘGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
MLR2x str. 75
C.
Spróbuj oszacować, ilu ludzi żyłoby na świecie, gdyby epidemia czarnej śmierci
została ludzkości oszczędzona. Przyjmij, że poza tym wszystkie pozostałe wydarze-
nia ostatniego tysiąclecia potoczyłyby się tak samo. W takim razie liczba ludności
na świecie w latach poprzedzających czarną śmierć się nie zmieniła.
Aby przewidzieć liczbę ludności w 1400 roku (bez czarnej śmierci), załóż, że dla
całego XIV wieku wartość stałej a była taka suma, jak obliczona przez ciebie dla
okresu 1300—1348. Dla pozostałych stuleci przyjmij, że wartości stałej a pozostają
bez zmian. Korzystając z tak ustalonych wartości stałej a i wzoru z punktu B, oblicz
liczbę ludności na przełomach kolejnych stuleci i przedstaw te dane w tabeli.
D.
Porównaj liczby otrzymane w punkcie C z liczbami z tabeli na poprzedniej stro-
nie. Narysuj wykres zależności liczby ludności świata (bez czarnej śmierci) od czasu
w tym samym układzie współrzędnych co wykres z punktu A. Omów otrzymane
wyniki.
Liczba ludności
Rok
Europy (w mln)
1000
38
1100
48
1200
59
1300
70
1348
75
1400
55
1500
83
1600
95
1700
135
1800
203
1900
408
2000
740
Co dalej?
1. W tabeli obok przedstawiono szacun-
kowe liczby ludności Europy w ostatnim
tysiącleciu. Zanalizuj te dane w podobny
sposób, jak zrobiłeś to dla liczby ludności
świata, i oszacuj, ilu mieszkańców liczy-
łaby Europa dzisiaj, gdyby nie epidemia
czarnej śmierci.
2. Zbierz i opracuj informacje potrzebne
do oszacowania wpływu innych wydarzeń
historycznych na liczbę ludności świata,
Europy, Polski lub twojego miasta.
PRACA BADAWCZA
75
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
matematyka 2 podrecznik dla liceum i technikum zakres rozszerzony rozdzial 5 ciagi pdf
matematyka 2 podrecznik dla liceum i technikum zakres rozszerzony rozdzial 2 wielomiany pdf
matematyka 2 podrecznik dla liceum i technikum zakres rozszerzony rozdzial 7 statystyka pdf
matematyka 2 podrecznik dla liceum i technikum zakres rozszerzony rozdzial 6 figury podobne pdf
Matematyka z komputerem dla liceum i technikum 2
Matematyka z komputerem dla liceum i technikum matlit
Matematyka z komputerem dla liceum i technikum
więcej podobnych podstron