1

1

Materiały dydaktyczne zawieraj

ą

ce 23 slajdy na 12 stronach,

dotycz

ą

ce

ć

wiczenia T 7 z przedmiotu „Wytrzymało

ść

materiałów”,

przeznaczone

dla studentów II roku studiów I stopnia w kierunku „Energetyka”

na wydz. Energetyki i Paliw w AGH

Autor materiałów i osoba prowadz

ą

ca

ć

wiczenia:

Marek Płachno, dr hab. in

ż

., prof. AGH

Autor nie wyra

ż

a zgody na inne wykorzystywanie tych materiałów,

ni

ż

podane w ich przeznaczeniu.

2

Ć

wiczenie T 7 -

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych.

Na

ć

wiczeniu T 7 - dla przypadku pr

ę

tów zginanych,

studenci poznaj

ą

pi

ą

ty krok obliczeniowy analizy wytrzymało

ś

ciowej,

którym jest

ocena

napr

ęż

e

ń

ekstremalnych

w materiale pr

ę

ta zginanego ze wzgl

ę

du na

napr

ęż

enia

dopuszczalne

tego materiału.

2

Ć

wiczenie T 7

Przykład nr 1 –

Temat

=

J

o

k

Dla belki z rozkładem momentu

zginaj

ą

cego

pokazanym na rysun-

ku, obliczy

ć

ekstremalne

napr

ęż

enia

doznawane przez materiał

belki. Obliczenia wykona

ć

dla ka

ż

dego z podanych ni

ż

ej przypad-

ków przekroju tej belki. Do oblicze

ń

przyj

ąć

parametry: a = 1 m,

P = 1 kN.

Nowe

poj

ę

cia do samodzielnego opanowania:

1. Zało

ż

enia i wyprowadzenie wzoru na

ekstremalne

napr

ęż

enia

w przekroju pr

ę

ta

zginane-

go

, dla przypadku materiału

spr

ęż

ysto

-

plastycznego

oraz

spr

ęż

ysto

-

kruchego

.

2. Definicja matematyczna i fizyczna

warstwy

oboj

ę

tnej

oraz

osi

oboj

ę

tnej

przekroju pr

ę

ta.

3. Definicja matematyczna i fizyczna

wska

ź

nika

wytrzymało

ś

ci

przekroju pr

ę

ta

na zginanie

.

3

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

Ć

wiczenie T 7

=

J

o

k

Dla belki z rozkładem momentu

zginaj

ą

cego

pokazanym na rysun-

ku, obliczy

ć

ekstremalne

napr

ęż

enia

doznawane przez materiał

belki. Obliczenia wykona

ć

dla ka

ż

dego z podanych ni

ż

ej przypad-

ków przekroju tej belki. Do oblicze

ń

przyj

ąć

parametry: a = 1 m,

P = 1 kN.

Cztery

kroki

obliczeniowe:

1. Dobór i zestawienie

wzorów

do oblicze

ń

.

2. Tablica

danych

oraz szablon tablicy wyników oblicze

ń

.

3. Obliczenia i wypełnianie tablicy wyników oblicze

ń

.

4. Sformułowanie

wniosków

wynikaj

ą

cych z oblicze

ń

.

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

4

Przykład nr 1 –

Temat

3

Ć

wiczenie T 7

Krok 1: dobór i zestawienie

wzorów

do oblicze

ń

=

J

o

k

5

[

]

.

F

)

e

s

(

Jy

2

J

,

J

2

J

,

F)

e

J

(

2

J

,

J

2

J

,

J

J

,

J

J

,

12

h

g

J

,

12

h

g

J

2

X4.2

x

X4.1

2

y

X3.2

x

X3.1

y

2

.

2

X

x

1

.

2

X

3

2

.

1

X

3

1

.

1

X

⋅

−

+

⋅

=

⋅

=

⋅

+

=

⋅

=

=

=

⋅

=

⋅

=

[

]

[

]

a

P

4

-

M

,

0

Y

,

0

)

Y

(

,

Y

J

M

)

Y

(

,

Y

J

M

)

Y

(

Y

J

M

)

Y

(

XE

g

min

X

XE

D

g

max

X

XE

G

g

X

XE

g

⋅

⋅

=

=

=

σ

⋅

=

σ

⋅

=

σ

⇒

⋅

=

σ

gdy

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

- przykład nr 1

.

s

Y

,

s

Y

,

h

5

,

0

Y

,

h

5

,

0

Y

,

s

Y

,

s

Y

,

h

5

,

0

Y

,

h

5

,

0

Y

),

e

s

(

Y

,

e

Y

,

h

5

,

0

Y

,

h

5

,

0

Y

,

g

5

,

0

Y

,

g

5

,

0

Y

,

h

5

,

0

Y

,

h

5

,

0

Y

2

.

4

.

min

2

.

4

max

1

.

4

min

1

.

4

max

2

.

3

min

2

.

3

max

1

.

3

min

1

.

3

max

2

.

2

min

2

.

2

max

1

.

2

min

1

.

2

max

2

.

1

min

2

.

1

max

1

.

1

min

1

.

1

max

−

=

=

⋅

−

=

⋅

=

−

=

=

⋅

−

=

⋅

=

−

−

=

=

⋅

−

=

⋅

=

⋅

−

=

⋅

=

⋅

−

=

⋅

=

Ć

wiczenie T 7

=

J

o

k

6

70

mm

s

1,0

m

a

1

114

1350

180

8,0

28,0

1,92

kN

cm4

cm

4

mm

mm

cm

2

cm

P

J

y

J

x

h

g

F

e

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych -

przykład nr 1

[

]

[

]

a

P

4

-

M

,

0

Y

,

0

)

Y

(

,

Y

J

M

)

Y

(

,

Y

J

M

)

Y

(

Y

J

M

)

Y

(

XE

g

min

X

XE

D

g

max

X

XE

G

g

X

XE

g

⋅

⋅

=

=

=

σ

⋅

=

σ

⋅

=

σ

⇒

⋅

=

σ

gdy

[

]

.

F

)

e

s

(

Jy

2

J

,

J

2

J

,

F)

e

J

(

2

J

,

J

2

J

,

J

J

,

J

J

,

12

h

g

J

,

12

h

g

J

2

X4.2

x

X4.1

2

y

X3.2

x

X3.1

y

2

.

2

X

x

1

.

2

X

3

2

.

1

X

3

1

.

1

X

⋅

−

+

⋅

=

⋅

=

⋅

+

=

⋅

=

=

=

⋅

=

⋅

=

.

s

Y

,

s

Y

,

h

5

,

0

Y

,

h

5

,

0

Y

,

s

Y

,

s

Y

,

h

5

,

0

Y

,

h

5

,

0

Y

),

e

s

(

Y

,

e

Y

,

h

5

,

0

Y

,

h

5

,

0

Y

,

g

5

,

0

Y

,

g

5

,

0

Y

,

h

5

,

0

Y

,

h

5

,

0

Y

2

.

4

.

min

2

.

4

max

1

.

4

min

1

.

4

max

2

.

3

min

2

.

3

max

1

.

3

min

1

.

3

max

2

.

2

min

2

.

2

max

1

.

2

min

1

.

2

max

2

.

1

min

2

.

1

max

1

.

1

min

1

.

1

max

−

=

=

⋅

−

=

⋅

=

−

=

=

⋅

−

=

⋅

=

−

−

=

=

⋅

−

=

⋅

=

⋅

−

=

⋅

=

⋅

−

=

⋅

=

Krok 2 - cz

ęść

1 - tablica

danych

4

Ć

wiczenie T 7-

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

- przykład nr 1

=

J

o

k

?

?

?

?

?

?

?

?

[

σσσσ

g

(Y)]

G

,

MPa

?

?

?

?

?

?

?

?

[

σσσσ

g

(Y)]

D

,

MPa

?

?

?

?

?

?

?

?

Y

min

, mm

?

?

?

?

?

?

?

?

Y

ma

x

, mm

?

?

?

?

?

?

?

?

J

x

, cm4

?

?

?

?

?

?

?

?

M

XE

,

kNm

4.2

4.1

3.2

3.1

2.2

2.1

1.2

1.1

Przekrój

Krok 2 - cz

ęść

2 – szablon tablicy

wyników

oblicze

ń

[

]

[

]

a

P

4

-

M

,

0

Y

,

0

)

Y

(

,

Y

J

M

)

Y

(

,

Y

J

M

)

Y

(

Y

J

M

)

Y

(

XE

g

min

X

XE

D

g

max

X

XE

G

g

X

XE

g

⋅

⋅

=

=

=

σ

⋅

=

σ

⋅

=

σ

⇒

⋅

=

σ

gdy

[

]

.

F

)

e

s

(

Jy

2

J

,

J

2

J

,

F)

e

J

(

2

J

,

J

2

J

,

J

J

,

J

J

,

12

h

g

J

,

12

h

g

J

2

X4.2

x

X4.1

2

y

X3.2

x

X3.1

y

2

.

2

X

x

1

.

2

X

3

2

.

1

X

3

1

.

1

X

⋅

−

+

⋅

=

⋅

=

⋅

+

=

⋅

=

=

=

⋅

=

⋅

=

.

s

Y

,

s

Y

,

h

5

,

0

Y

,

h

5

,

0

Y

,

s

Y

,

s

Y

,

h

5

,

0

Y

,

h

5

,

0

Y

),

e

s

(

Y

,

e

Y

,

h

5

,

0

Y

,

h

5

,

0

Y

,

g

5

,

0

Y

,

g

5

,

0

Y

,

h

5

,

0

Y

,

h

5

,

0

Y

2

.

4

.

min

2

.

4

max

1

.

4

min

1

.

4

max

2

.

3

min

2

.

3

max

1

.

3

min

1

.

3

max

2

.

2

min

2

.

2

max

1

.

2

min

1

.

2

max

2

.

1

min

2

.

1

max

1

.

1

min

1

.

1

max

−

=

=

⋅

−

=

⋅

=

−

=

=

⋅

−

=

⋅

=

−

−

=

=

⋅

−

=

⋅

=

⋅

−

=

⋅

=

⋅

−

=

⋅

=

Ć

wiczenie T 7-

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

=

J

o

k

,

cm

114

J

J

,

cm

1350

J

J

,

cm

0,77

12

10

180

)

10

8

(

12

h

g

J

,

cm

88,8

3

12

)

10

180

(

10

8

12

h

g

J

4

y

2

.

2

X

4

x

1

.

2

X

4

1

3

1

3

2

.

1

X

4

3

1

1

3

1

.

1

X

=

=

=

=

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

−

−

−

−

Przykład nr 1 – krok 3 – obliczenia i wypełnianie tablicy wyników oblicze

ń

- cz. 1

kNm

4

-

1

1

4

-

a

P

4

-

M

XE

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

mm,

-50,8

10)

1,92

70

(

)

e

s

(

Y

,

mm

19,2

10

1,92

e

Y

,

mm

90

180

5

,

0

h

5

,

0

Y

,

mm

90

180

5

,

0

h

5

,

0

Y

2

.

2

min

2

.

2

max

1

.

1

min

1

.

1

max

=

⋅

−

−

=

−

−

=

=

⋅

=

=

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

=

⋅

=

⋅

=

[

] [

]

cm

673,2

1

28

)

1,92

1

,

0

70

(

114

2

F

)

e

s

(

Jy

2

J

,

cm

2700

J

2

J

,

cm

4

,

434

)

28

92

,

1

114

(

2

F)

e

J

(

2

J

,

cm

2700

1350

2

J

2

J

4

2

2

X4.2

4

x

X4.1

4

2

2

y

X3.2

4

x

X3.1

=

⋅

−

⋅

+

⋅

=

⋅

−

+

⋅

=

=

⋅

=

=

⋅

+

⋅

=

⋅

+

=

=

⋅

=

⋅

=

-70

-90

-70

-90

-50,8

-90

-4

-90

Y

min

, mm

70

90

70

90

19,2

90

4

90

Y

ma

x

, mm

1673,2

2700

434,4

2700

114

1350

0,77

388,8

J

x

, cm4

- 4

- 4

- 4

- 4

- 4

- 4

- 4

- 4

M

XE

,

kNm

4.2

4.1

3.2

3.1

2.2

2.1

1.2

1.1

Przekrój

5

Ć

wiczenie T 7-

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

=

J

o

k

Przykład nr 1 – krok 3 – obliczenia i wypełnianie tablicy wyników oblicze

ń

- cz. 2

?

?

?

?

?

?

-2078

-92,6

[

σσσσ

g

(Y)]

G

,

MPa

?

?

?

?

?

?

2078

92,6

[

σσσσ

g

(Y)]

D

,

MPa

-70

-90

-70

-90

-50,8

-90

-4

-90

Y

min

, mm

70

90

70

90

19,2

90

4

90

Y

ma

x

, mm

1673,2

2700

434,4

2700

114

1350

0,77

388,8

J

x

, cm4

- 4

- 4

- 4

- 4

- 4

- 4

- 4

- 4

M

XE

,

kNm

4.2

4.1

3.2

3.1

2.2

2.1

1.2

1.1

Przekrój

[

]

[

]

[

]

[

]

,

MPa

2078

Pa

10

2078

)

10

4

(

10

77

,

0

10

4

Y

J

M

)

Y

(

,

MPa

2078

Pa

10

2078

10

4

10

77

,

0

10

4

Y

J

M

)

Y

(

,

MPa

6

,

92

Pa

10

92,6

)

10

90

(

10

8

,

388

10

4

Y

J

M

)

Y

(

,

MPa

6

,

92

Pa

10

6

,

92

10

90

10

8

,

388

10

4

Y

J

M

)

Y

(

6

3

8

3

21

min

12

X

XE

12

D

g

6

3

8

3

21

max

12

X

XE

G12

g

6

3

8

3

11

min

11

X

XE

11

D

g

6

3

8

3

11

max

11

X

XE

G11

g

=

⋅

=

⋅

−

⋅

⋅

⋅

−

=

⋅

=

σ

−

=

⋅

−

=

⋅

⋅

⋅

⋅

−

=

⋅

=

σ

=

⋅

=

⋅

−

⋅

⋅

⋅

−

=

⋅

=

σ

−

=

⋅

−

=

⋅

⋅

⋅

⋅

−

=

⋅

=

σ

−

−

−

−

−

−

−

−

Ć

wiczenie T 7-

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

=

J

o

k

Przykład nr 1 – krok 3 – obliczenia i wypełnianie tablicy wyników oblicze

ń

- cz. 3

?

?

?

?

-67,4

-26,7

-2078

-92,6

[

σσσσ

g

(Y)]

G

,

MPa

?

?

?

?

178,2

26,7

2078

92,6

[

σσσσ

g

(Y)]

D

,

MPa

-70

-90

-70

-90

-50,8

-90

-4

-90

Y

min

, mm

70

90

70

90

19,2

90

4

90

Y

ma

x

, mm

1673,2

2700

434,4

2700

114

1350

0,77

388,8

J

x

, cm4

- 4

- 4

- 4

- 4

- 4

- 4

- 4

- 4

M

XE

,

kNm

4.2

4.1

3.2

3.1

2.2

2.1

1.2

1.1

Przekrój

[

]

[

]

[

]

[

]

,

MPa

2

,

178

Pa

10

2

,

178

)

10

8

,

50

(

10

114

10

4

Y

J

M

)

Y

(

,

MPa

4

,

67

Pa

10

4

,

67

10

2

,

19

10

114

10

4

Y

J

M

)

Y

(

,

MPa

26,7

Pa

10

26,7

)

10

90

(

10

1350

10

4

Y

J

M

)

Y

(

,

MPa

6

,

26

Pa

10

26,7

10

90

10

1350

10

4

Y

J

M

)

Y

(

6

3

8

3

22

min

22

X

XE

22

D

g

6

3

8

3

22

max

22

X

XE

G22

g

6

3

8

3

21

min

21

X

XE

21

D

g

6

3

8

3

21

max

21

X

XE

G21

g

=

⋅

=

⋅

−

⋅

⋅

⋅

−

=

⋅

=

σ

−

=

⋅

−

=

⋅

⋅

⋅

⋅

−

=

⋅

=

σ

=

⋅

=

⋅

−

⋅

⋅

⋅

−

=

⋅

=

σ

−

=

⋅

−

=

⋅

⋅

⋅

⋅

−

=

⋅

=

σ

−

−

−

−

−

−

−

−

6

Ć

wiczenie T 7-

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

- przykład nr 1

Krok 4 - sformułowanie

wniosków

wynikaj

ą

cych z oblicze

ń

:

=

J

o

k

11

16,7

13,3

64,4

`13,3

178,2

26,7

2078

92,6

[

σσσσ

g

(Y)]

D

,

MPa

-16,7

-13,3

-64,4

-13,3

-67,4

-26,7

-2078

-92,6

[

σσσσ

g

(Y)]

G

,

MPa

4.2

4.1

3.2

3.1

2.2

2.1

1.2

1.1

Przekrój

1. Je

ż

eli moment wewn

ę

trzny

zginaj

ą

cy

jest

ujemny

, to cz

ęść

materiału pr

ę

ta

ponad

warst-

w

ą

oboj

ę

tn

ą

jest

rozci

ą

gana

, a cz

ęść

pod

warstw

ą

oboj

ę

tn

ą

-

ś

ciskana.

2.

Gdyby

moment wewn

ę

trzny

zginaj

ą

cy

był

dodatni

, to

znak

napr

ęż

e

ń

w materiale pr

ę

ta

byłby

przeciwny

.

Tablica wyników oblicze

ń

3.

Ekstremalne

napr

ęż

enie

spowodowane w materiale pr

ę

ta momentem wewn

ę

trznym

zgi-

naj

ą

cym

jest tym

mniejsze

co do

matematycznego

modułu - im

wi

ę

ksza

jest warto

ść

trzeciej

pot

ę

g

i długo

ś

ci

, jak

ą

ma

bok

przekroju pr

ę

ta -

prostopadły

do wektora mo-

mentu

zginaj

ą

cego

.

Koniec przykładu nr 1

Ć

wiczenie T 7

Przykład nr 2 –

Temat

:

=

J

o

k

Obliczy

ć

wska

ź

niki

wytrzymało

ś

ci na

zginanie

dla przekrojów pr

ę

ta z materiału

spr

ęż

ysto

–

plastycznego

, pokazanych na rysunkach poni

ż

ej:

12

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

Cztery

kroki

obliczeniowe:

1. Dobór

wzorów

do oblicze

ń

.

2. Tablica

danych

oraz szablon tablicy

wyników

oblicze

ń

.

3.

Obliczenia

i wypełnianie tablicy

wyników

oblicze

ń

.

4. Sformułowanie

wniosku

wynikaj

ą

cego z oblicze

ń

.

7

13

Ć

wiczenie T 7 -

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

Przykład nr 2: – Obliczy

ć

wska

ź

niki

wytrzymało

ś

ci na

zginanie

dla przekrojów pr

ę

ta z mate-

riału

spr

ęż

ysto

–

plastycznego

, pokazanych na rysunkach poni

ż

ej:

=

J

o

k

Krok 1 – dobór

wzorów

do oblicze

ń

– cz. 1 - wzory w postaci ogólnej:

















=

















=

min

Y

max

Y

Y

min

X

max

X

X

X

J

,

X

J

min

W

,

Y

J

,

Y

J

min

W















=















=

















=

















=

2

.

4

min

2

.

4

Y

2

.

4

max

2

.

4

Y

2

.

4

Y

2

.

4

min

2

.

4

X

2

.

4

max

2

.

4

X

2

.

4

X

1

.

1

min

1

.

1

Y

1

.

1

max

1

.

1

Y

1

.

1

Y

1

.

1

min

1

.

1

X

1

.

1

max

1

.

1

X

1

.

1

X

X

J

,

X

J

min

W

,

Y

J

,

Y

J

min

W

..

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

X

J

,

X

J

min

W

,

Y

J

,

Y

J

min

W

Krok 1 – dobór

wzorów

do oblicze

ń

– cz. 2 - wzory dostosowane do przykładu nr 2:

14

Ć

wiczenie T 7 -

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

Przykład nr 2: – Obliczy

ć

wska

ź

niki

wytrzymało

ś

ci na

zginanie

dla przekrojów pr

ę

ta z mate-

riału

spr

ęż

ysto

–

plastycznego

, pokazanych na rysunkach poni

ż

ej:

=

J

o

k

Krok. 2 – cz

ęść

1 - tablica

danych

:

-90

-70

-90

-70

-90

-19,2

-90

-4

X

min

, mm

90

70

90

70

90

50,8

90

4

X

max

, mm

2700

1673,2

2700

434,4

1350

114

388,8

0,77

J

Y

, cm

4

-70

-90

-70

-90

-50,8

-90

-4

-90

Y

min

, mm

70

90

70

90

19,2

90

4

90

Y

max

, mm

1673,2

2700

434,4

2700

114

1350

0,77

388,8

J

x

, cm

4

4.2

4.1

3.2

3.1

2.2

2.1

1.2

1.1

Przekrój

8

15

Ć

wiczenie T 7 -

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych -

przykład nr 2

=

J

o

k

Krok. 2 – cz

ęść

2 -

szablon

tablicy

wyników

:

Wzory do oblicze

ń















=















=















=















=

2

.

4

min

2

.

4

Y

2

.

4

max

2

.

4

Y

2

.

4

Y

2

.

4

min

2

.

4

X

2

.

4

max

2

.

4

X

2

.

4

X

1

.

1

min

1

.

1

Y

1

.

1

max

1

.

1

Y

1

.

1

Y

1

.

1

min

1

.

1

X

1

.

1

max

1

.

1

X

1

.

1

X

X

J

,

X

J

min

W

,

Y

J

,

Y

J

min

W

..

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

X

J

,

X

J

min

W

,

Y

J

,

Y

J

min

W

?

?

?

?

?

?

?

?

W

Y

, cm

4

?

?

?

?

?

?

?

?

W

x

, cm

4

4.2

4.1

3.2

3.1

2.2

2.1

1.2

1.1

Przekrój

16

Ć

wiczenie T 7 -

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

- przykład nr 2

=

J

o

k

Tablica danych

Krok 3 -

obliczenia

i wypełnianie tablicy

wyników

oblicze

ń

:

-90

-70

-90

-70

-90

-19,2

-90

-4

X

min

, mm

90

70

90

70

90

50,8

90

4

X

ma

x

, mm

2700

1673,2

2700

434,4

1350

114

388,8

0,77

J

Y

, cm

4

-70

-90

-70

-90

-50,8

-90

-4

-90

Y

min

, mm

70

90

70

90

19,2

90

4

90

Y

ma

x

, mm

1673,2

2700

434,4

2700

114

1350

0,77

388,8

J

x

, cm

4

4.2

4.1

3.2

3.1

2.2

2.1

1.2

1.1

Przekrój

[

]

[

]

.

cm

2,24

2,24

,

5,94

min

50,8

114

,

19,2

114

min

Y

J

,

Y

J

min

W

......

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

,

cm

2,24

5,94

,

2,24

min

19,2

114

,

50,8

114

min

X

J

,

X

J

min

W

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

cm

0,19

4

77

,

0

,

4

77

,

0

min

X

J

,

X

J

min

W

,

cm

43,2

10

90

8

,

388

,

10

90

8

,

388

min

Y

J

,

Y

J

min

W

3

min2.2

X2.2

max2.2

X2.2

X2.2

3

min2.1

Y2.1

max2.1

Y2.1

Y2.1

3

1

.

1

min

1

.

1

Y

1

.

1

max

1

.

1

Y

1

.

1

Y

3

1

1

1

.

1

min

1

.

1

X

1

.

1

max

1

.

1

X

1

.

1

X

=

=













−

=















=

=

=













−

=















=

=













−

=















=

=













⋅

−

⋅

=















=

−

−

9

Ć

wiczenie T 7 -

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

Przykład nr 2: obliczy

ć

wska

ź

niki

wytrzymało

ś

ci na

zginanie

dla przekrojów pr

ę

ta z mate-

riału

spr

ęż

ysto

–

plastycznego

, pokazanych na rysunkach jak ni

ż

ej:

=

J

o

k

300

239,2

300

59,3

150

2,24

43,2

0,192

W

Y

, cm

4

239,2

300

59,3

300

2,24

150

0,192

43,2

W

x

, cm

4

4.2

4.1

3.2

3.1

2.2

2.1

1.2

1.1

Przekrój

Tablica

wyników

oblicze

ń

Krok 4 - sformułowanie

wniosku

wynikaj

ą

cego z oblicze

ń

:

4

4

4

4

4

4

4

4

l

M

XE

l

,

kNm

16,7

13,3

67,4

13,3

178,2

26,7

2078

92,6

l

σσσσ

gXE

l

,

MPa

Wska

ź

nik

wytrzymało

ś

ci na

zginanie

przekroju pr

ę

ta z materiału

spr

ęż

ysto

–

plastycznego

jest

współczynnikiem

odwrotnej

proporcjonalno

ś

ci

pomi

ę

dzy

bezwzgl

ę

dnymi

warto

ś

ciami

momentu

wewn

ę

trznego

zginaj

ą

cego

i

ekstremalnego

napr

ęż

enia

powodowanego przez ten moment.

Koniec przykładu nr 2

17

Ć

wiczenie T 7 -

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

Przykład nr 3 –

Temat

:

=

J

o

k

Wspornik instalacyjny o przekroju z osiami oboj

ę

tnymi X, Y jak

na rysunku i z osiowym momentem bezwładno

ś

ci J

X

= 335 cm

4

,

18

Cztery

kroki

obliczeniowe:

1. Dobór

wzorów

do oblicze

ń

.

2. Tablica

danych

oraz szablon tablicy

wyników

oblicze

ń

.

3.

Obliczenia

i wypełnianie tablicy

wyników

oblicze

ń

.

4. Sformułowanie

liczbowych

postaci warunków

bezpiecze

ń

stwa

.

ma wykonanie z materiału

spr

ęż

ysto

-

plastycznego

oraz z ma-

teriału

spr

ęż

ysto

-

kruchego

.

Sprawdzi

ć

warunek

bezpiecze

ń

-

stwa

wspornika na ekstremalny moment wewn

ę

trzny

zginaj

ą

cy

M

XE

= -6 kNm, je

ż

eli

napr

ęż

enia

dopuszczalne

wynosz

ą

:

• dla materiału

spr

ęż

ysto

–

plastycznego

: k

g

= 150 MPa,

• dla materiału

spre

ż

ysto

-

kruchego

: k

c

= 200 MPa, k

r

= 65 MPa.

10

19

Ć

wiczenie T 7 -

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

Przykład nr 3 –

Temat

:

=

J

o

k

Wspornik instalacyjny o przekroju z osiami oboj

ę

tnymi X, Y jak

na rysunku i z osiowym momentem bezwładno

ś

ci J

X

= 335 cm

4

,

Krok 1 - dobór

wzorów

do oblicze

ń

:

1). Warunek

bezpiecze

ń

stwa

dla wspornika z materiału

spr

ęż

ysto

–

plastycznego

:















=

≤

=

σ

min

X

max

X

X

g

X

XE

max

g

Y

J

,

Y

J

min

W

,

k

W

M

2). Warunek

bezpiecze

ń

stwa

dla wspornika z materiału

spr

ęż

ysto

–

kruchego

:

r

max

X

XE

max

r

c

min

X

XE

max

c

k

)

Y

(

J

M

,

k

Y

J

M

≤

−

⋅

=

σ

≤

⋅

=

σ

ma wykonanie z materiału

spr

ęż

ysto

-

plastycznego

oraz z ma-

teriału

spr

ęż

ysto

-

kruchego

.

Sprawdzi

ć

warunek

bezpiecze

ń

-

stwa

wspornika na ekstremalny moment wewn

ę

trzny

zginaj

ą

cy

M

XE

= -6 kNm, je

ż

eli

napr

ęż

enia

dopuszczalne

wynosz

ą

:

• dla materiału

spr

ęż

ysto

–

plastycznego

: kg = 150 MPa,

• dla materiału

spr

ęż

ysto

-

kruchego

: kc = 200 MPa, kr = 65 MPa.

20

Ć

wiczenie T 7 -

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

Przykład nr 3 –

Temat

:

=

J

o

k

Wspornik instalacyjny o przekroju z osiami oboj

ę

tnymi X, Y jak

na rysunku i z osiowym momentem bezwładno

ś

ci J

X

= 335 cm

4

,

Wzory

do oblicze

ń

:

Krok. 2 – cz

ęść

1 - tablica

danych

:

,

Y

J

,

Y

J

min

W

,

k

W

M

min

X

max

X

X

g

X

XE

max

g















=

≤

=

σ

-60

40

-6

65

150

200

335

mm

mm

kNm

MPa

MPa

MPa

cm

4

Y

min

Y

max

M

XE

k

r

k

g

k

c

J

X

r

max

X

XE

max

r

c

min

X

XE

max

c

k

)

Y

(

J

M

,

k

Y

J

M

≤

−

⋅

=

σ

≤

⋅

=

σ

ma wykonanie z materiału

spr

ęż

ysto

-

plastycznego

oraz z ma-

teriału

spr

ęż

ysto

-

kruchego

.

Sprawdzi

ć

warunek

bezpiecze

ń

-

stwa

wspornika na ekstremalny moment wewn

ę

trzny

zginaj

ą

cy

M

XE

= - 6 kNm, je

ż

eli

napr

ęż

enia

dopuszczalne

wynosz

ą

:

• dla materiału

spr

ęż

ysto

–

plastycznego

: k

g

= 150 MPa,

• dla materiału

spr

ęż

ysto

-

kruchego

: k

c

= 200 MPa, k

r

= 65 MPa.

11

21

Ć

wiczenie T 7-

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

- przykład nr 3

=

J

o

k

Wzory do oblicze

ń

:

Tablica danych:

,

k

W

M

,

Y

J

,

Y

J

min

W

g

X

XE

max

g

min

X

max

X

X

≤

=

σ















=

-60

40

-6

65

150

200

335

mm

mm

kNm

MPa

MPa

MPa

cm

4

Y

min

Y

max

M

XE

k

r

k

g

k

c

J

X

Krok 2 – cz

ęść

2 -

szablon

tablicy

wyników

oblicze

ń

:

?

?

?

?

MPa

MPa

MPa

cm

3

σσσσ

rmax

σσσσ

cmax

σσσσ

gmax

W

X

r

max

X

XE

max

r

c

min

X

XE

max

c

k

)

Y

(

J

M

,

k

Y

J

M

≤

−

⋅

=

σ

≤

⋅

=

σ

22

Ć

wiczenie T 7 -

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych

Przykład nr 3 – krok 3 –

Obliczenia

i wypełnianie tablicy

wyników

oblicze

ń

=

J

o

k

Tablica danych:

,

cm

55,8

1

10

60

-

335

,

10

40

335

min

Y

J

,

Y

J

min

W

3

-

1

-

min

X

max

X

X

=















⋅

⋅

=















=

-60

40

-6

65

150

200

335

mm

mm

kNm

MPa

MPa

MPa

cm

4

Y

min

Y

max

M

XE

k

r

k

g

k

c

J

X

71,6

107,5

107,5

55,8

MPa

MPa

MPa

cm

3

σσσσ

rmax

σσσσ

cmax

σσσσ

gmax

W

X

a

MP

07,5

1

Pa

10

07,5

1

10

)

60

(

10

335

10

6

Y

J

M

6

3

8

3

min

X

XE

max

c

=

⋅

⋅

−

⋅

⋅

⋅

−

=

⋅

=

σ

=

−

−

MPa

107,5

Pa

10

107,5

10

8

,

55

10

6

W

M

6

6

3

X

XE

max

g

=

⋅

=

⋅

⋅

−

=

=

σ

−

MPa

71,6

MPa

10

71,6

10

)

40

(

10

335

10

6

)

Y

(

J

M

6

3

8

3

min

X

XE

max

r

=

⋅

=

⋅

−

⋅

⋅

⋅

−

=

−

⋅

=

σ

−

−

Obliczenia:

Tablica

wyników

:

12

23

Ć

wiczenie T 7-

Sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

dla pr

ę

tów

zginanych -

przykład nr 3

Krok 4 – Sformułowanie

liczbowych

postaci warunków

bezpiecze

ń

stwa

:

=

J

o

k

Tablica danych:

-60

40

-6

65

150

200

335

mm

mm

kNm

MPa

MPa

MPa

cm

4

Y

min

Y

max

M

XE

k

r

k

g

k

c

J

X

71,6

107,5

107,5

55,8

MPa

MPa

MPa

cm

3

σσσσ

rmax

σσσσ

cmax

σσσσ

gmax

W

X

Tablica wyników oblicze

ń

:

Warunek

bezpiecze

ń

stwa

dla wspornika z materiału

spr

ęż

ysto

–

plastycznego

:

MPa

150

k

MPa

107,5

g

max

g

⇒

=

<

=

σ

warunek jest spełniony

Warunek

bezpiecze

ń

stwa

dla wspornika z materiału

spr

ęż

ysto

–

kruchego

:

a

MP

65

k

a

MP

71,6

,

a

MP

200

k

a

MP

07,5

1

r

max

r

c

max

c

=

>

=

σ

⇒

=

<

=

σ

warunek

nie jest

spełniony.

Koniec przykładu nr 3