Metody rozwiązywania równań nieliniowych

Niech

]

,

[ b

a

x

∈

,

a<b oraz funkcja f(x) będzie taka, że f(a)f(b)<0. Jeśli funkcja f(x) jest ciągła

na przedziale

[a,b], to istnieje taki punkt

)

,

(

b

a

c

∈

, że

f(c)=0. Wtedy c nazywamy

pierwiastkiem funkcji

f.

Metoda Newtona

Założenia:

1.

W przedziale

[a,b] funkcja posiada pierwiastek, f(a)f(b)<0.

2.

Funkcja

f(x) jest ciągła na przedziale [a,b] i posiada pochodną.

3.

Pierwsza i druga pochodna funkcji

f ma stały znak na przedziale [a,b].

Algorytm metody Newtona:

1.

Wybieramy punkt startowy, zazwyczaj

a, b, 0 lub 1.

2.

Wyprowadzamy styczną w tym punkcie do funkcji

f(x). Współrzędna odcięta punktu

przecięcia stycznej z osią

OX stanowi pierwsze przybliżenie pierwiastka funkcji.

3.

Jeżeli przybliżenie to nie jest zadowalające powtarzamy krok 2.

Wzór rekurencyjny na kolejne przybliżenia pierwiastka funkcji

f metodą Newtona

(stycznych):

)

(

'

)

(

1

k

k

k

k

x

f

x

f

x

x

−

=

+

.

Metoda siecznych

W metodzie newtona w każdej iteracji musimy obliczyc wartość funkcji i wartość pochodnej.

Aby uniknąć obliczania pochodnej możemy wartość pochodnej zastąpić ilorazem

różnicowym.

Wzór

na

kolejne

przybliżenie

wtedy

przyjmuje

postać:

)

(

)

(

)

(

1

1

1

n

n

n

n

n

n

n

x

f

x

f

x

f

x

x

x

x

−

−

+

−

−

−

=

.

1.

Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J. Metody Numeryczne. Warszawa : Wydawnictwa

Naukowo-Techniczne, 2005. ISBN 83-204-3245-6.