5. Linia ugięcia belek
Założenia:
1. Materiał liniowo sprężysty (prawo Hooke’a)
2. Płaszczyzna zginania pokrywa się z osią główną przekroju poprzecznego
3. Obowiązuje zasada zesztywnienia
4. Małe gradienty (pochodne) przemieszczeń ( w ’<<1 )
ρ
z
x
A’
B’
A
B
(
)
Y
Y
XX
XX
EI
M
z
EI
M
z
z
z
AB
AB
B
A
=
=
=
=
=
Δ
Δ
−
Δ
+
=
−
=
→
Δ
→
Δ
κ
κ
ε
κ
ρ
ρ
φ
ρ
φ
ρ
φ
ρ
ε
φ
φ
1
lim
'
'
lim
0
0
M
M
krzywizna
Podstawowe zależności
kinematyczne
(
)
''
'
1
''
2
3
2
w
w
w
≅
+
=
κ
w
w
x
0
0
'
'
>
x
0
'
'
>
w
<
κ
w
'
'
w
−
=
⇒
κ
( )
x
M
EIw
w
EI
M
−
=
⇒
−
=
=
'
'
'
'
κ
1
'
2
<<
w
w geometrii różniczkowej wyprowadza się dokładny wzór na krzywiznę:
z założenia o małych gradientach
przemieszczeń:
Równanie różniczkowe linii ugięcia
liniowe, 2-rzędu, niejednorodne,
metoda rozwiązania:
-dwukrotne bezpośrednie całkowanie
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
∫ ∫
∫ ∫
∫
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
+
−
=
−
=
D
Cx
dx
dx
x
M
D
dx
C
dx
x
M
x
EIw
C
dx
x
M
x
EIw
x
M
x
EIw
'
'
'
C,D
stałe całkowania wyznaczane z warunków podparcia,
w(0)=0, w(l)=0
w(0)=0, w’(0)=0
w(l)=0, w’(l)=0
w(l)=0, w’(0)=0
w(0)=0, w’(l)=0
Uwaga:
x
x=0
x=l
⇔
Schemat połówkowy
Symetryczna geometria, obciążenia
warunki podparcia (kinematyczne warunki brzegowe)
Przykład 1
M
( )
( )
( )
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
'
2
'
'
'
2
=
⇒
=
+
⋅
+
⋅
⇒
=
=
⇒
=
+
⋅
⇒
=
+
+
=
+
+
=
−
+
=
+
=
−
=
−
=
∫
∫
D
D
C
M
EIw
C
C
M
EIw
D
Cx
Mx
D
Cx
Mxdx
EIw
C
Mx
C
Mdx
EIw
M
EIw
M
x
M
( )
( )
EI
Ml
l
w
x
EI
M
x
w
2
2
2
2
−
=
−
=
M
x
Przykład 2
P
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
0
'
;
3
1
0
3
2
3
2
1
3
2
3
2
0
3
2
0
2
0
2
0
'
3
2
2
2
'
'
'
2
3
3
2
3
3
2
3
3
2
2
3
2
Pl
EI
w
Pl
EI
w
Pl
x
Pl
Px
EI
x
w
Pl
l
Pl
l
P
D
D
l
C
l
P
l
EIw
Pl
C
C
Pl
l
EIw
D
Cx
Px
D
Cx
xdx
Px
EIw
C
Px
C
Pxdx
EIw
x
P
EIw
x
P
x
M
−
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
⋅
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⋅
⋅
−
=
⇒
=
+
⋅
+
⋅
⋅
⇒
=
−
=
⇒
=
+
⇒
=
+
+
⋅
=
+
+
=
+
=
+
=
⋅
−
=
−
⋅
−
=
∫
∫
P
x
Przykład 3
( )
( )
( )
( )
( )
( )
;
24
1
0
'
;
24
4
6
1
'
384
5
2
1
24
1
8
1
12
1
16
1
24
1
2
;
24
12
24
1
24
12
1
24
1
0
0
4
3
2
3
2
2
0
0
0
0
0
0
0
4
3
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
'
2
2
'
'
2
2
3
3
2
3
4
4
3
3
4
3
3
4
4
4
3
3
2
3
2
2
2
2
ql
EI
w
ql
x
ql
x
q
EI
x
w
EJ
ql
EI
ql
l
w
x
ql
x
ql
x
q
EI
x
w
ql
ql
C
l
C
ql
ql
l
EIw
D
D
C
EIw
D
Cx
qx
qlx
D
Cx
xdx
x
q
x
ql
EIw
C
x
q
x
ql
C
dx
x
q
xdx
ql
EIw
x
q
x
ql
EIw
x
q
x
ql
x
M
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
−
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⇒
=
+
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⇒
=
−
=
⇒
=
+
⋅
+
⇒
=
−
+
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
−
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
+
⋅
−
⋅
=
−
⋅
−
⋅
=
−
⋅
−
⋅
=
∫
∫
∫
x=0
x=l
Przykład 4 – kilka przedziałów charakterystycznych (LP>1)
2
2
2
3
2
2
1
1
3
1
2
2
24
6
14
24
2
14
'
24
14
''
:
)
2
,
1
(
6
14
2
14
'
14
''
:
)
1
,
0
(
D
x
C
x
x
EIw
C
x
x
EIw
x
EIw
D
x
C
x
EIw
C
x
EIw
x
EIw
II
II
II
I
I
I
+
+
+
=
−
+
+
=
−
+
=
−
+
+
=
−
+
=
−
=
−
Wyznaczanie stałych:
warunki podparcia
+
warunki zszycia (ciągłości)
na wspólnych granicach
przedziałów
………………
Liczba stałych całkowania:
2*LP
( )
( )
( )
( )
⋅⋅
⋅⋅
⋅
=
=
1
'
1
'
1
1
II
I
II
I
w
w
w
w
( )
( )
0
6
0
0
=
=
IV
I
w
w
Liczba równań:
2+2*(LP-1)=2*LP
W przykładzie LP=5 =>10równań =>
metoda skomplikowana rachunkowo i pracochłonna
1
1
2
2
0
1
2
4
6
8
x
24kNm
10kN/m
[m]
14
22
16kN
1
1
3
Metoda Clebscha
Alfred Clebsch (1833-1872)-niemiecki matematyk
-Niezależnie od liczby przedziałów do wyznaczenia (z warunków podparcia)
będą tylko 2 stale. Warunki ciągłości będą spełnione automatycznie.
Należy w tym celu przestrzegać poniższych reguł:
(
)
(
) (
)
a
x
d
a
x
dx
a
x
n
n
−
−
≡
−
∫
∫
(
)
1
1
+
+
−
=
n
n
a
x
K
,
2
,
1
,
0
=
n
(
)
∑
−
+
=
+
n
i
i
a
x
O
M
M
1
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
6
22
2
4
10
3
16
2
2
10
1
24
14
2
2
0
−
+
−
+
−
−
−
−
−
+
=
x
x
x
x
x
x
x
M
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
6
22
2
4
10
3
16
2
2
10
1
24
14
''
2
2
0
−
−
−
−
−
+
−
+
−
−
−
=
x
x
x
x
x
x
EIw
1
<
x
2
<
x
3
<
x
4
<
x
6
<
x
8
<
x
Zakres:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
6
22
3
2
4
10
2
3
16
3
2
2
10
1
24
2
14
'
2
3
2
3
1
2
−
−
⋅
−
−
−
+
⋅
−
+
−
−
−
=
x
x
x
x
x
x
C
EIw
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
2
6
22
4
3
2
4
10
3
2
3
16
4
3
2
2
10
2
1
24
3
2
14
3
4
3
4
2
3
⋅
−
−
⋅
⋅
−
−
⋅
−
+
⋅
⋅
−
+
−
−
⋅
−
+
=
x
x
x
x
x
x
Cx
D
EIw
1
1
2
2
0
1
2
4
6
8
x
24kNm
10kN/m
[m]
14
22
16kN
1
1
3
Przykład 5
Warunki podparcia (brzegowe)
( )
( )
⎩
⎨
⎧
=
=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⇒
=
−
−
−
+
−
+
−
−
⋅
−
⋅
+
=
⇒
=
⋅
−
⋅
+
=
6
.
105
0
0
24
)
4
6
(
10
6
)
3
6
(
16
24
)
2
6
(
10
2
)
1
6
(
24
6
6
14
6
:
0
6
0
0
14
0
:
0
0
4
3
4
2
3
C
D
C
D
EIw
C
D
EIw
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
+
−
+
−
−
−
=
6
6
22
24
4
10
6
3
16
24
2
10
2
1
24
6
14
6
.
105
1
3
4
3
4
2
3
x
x
x
x
x
x
x
EI
x
w
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
+
−
+
−
−
−
=
2
6
22
6
4
10
2
3
16
6
2
10
1
24
2
14
6
.
105
1
'
2
3
2
3
1
2
x
x
x
x
x
x
EI
x
w
Równanie kąta ugięcia (pochodnej ugięcia)
Równanie linii ugięcia
1
1
2
2
0
1
2
4
6
8
x
24kNm
10kN/m
[m]
14
22
16kN
1
1
3
1438
61 44
52
[kNm]
[m]
x
W[m]
0
0
0
1
103.2
0.00860
2
180.5
0.01504
3
206.2
0.01718
4
174.4
0.01453
8
-200.5
-0.01670
[
]
[ ]
[
]
[ ]
[
]
2
4
8
2
6
4
12000
10
6000
10
200
6000
200
kNm
m
kNm
EI
cm
I
GPa
E
=
⋅
⋅
⋅
=
=
=
−
−
[
]
3
kNm
EIw
w
M
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
3 UGIECIA plaski id 34174 Nieznany (2)
linia wplywu belka id 268608 Nieznany
obciazenia suwnica belek id 326 Nieznany
Linia dluga id 268593 Nieznany
cwiczenie 5 linia dluga id 1254 Nieznany
LINIA NOCNA id 268596 Nieznany
ANALIZA KINEMATYCZNA BELEK id 6 Nieznany (2)
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
perf id 354744 Nieznany
interbase id 92028 Nieznany
Mbaku id 289860 Nieznany
Probiotyki antybiotyki id 66316 Nieznany
miedziowanie cz 2 id 113259 Nieznany
więcej podobnych podstron