ZESTAW 11. Funkcje wielu zmiennych – granice i ciągłość oraz pochodne cząstkowe

Zadanie 11.1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji

)

,

(

y

x

f

i przedstawić ją graficznie

a)

2

2

1

)

,

(

y

x

y

x

f

+

=

b)

y

x

y

x

f

+

=

1

)

,

(

c)

)

ln(

1

)

,

(

xy

y

x

f

=

d)

y

x

y

x

f

+

=

1

)

,

(

e)

y

x

y

x

f

+

=

)

,

(

f)

2

)

,

(

2

2

−

+

=

y

x

x

y

x

f

g)

2

2

)

,

(

y

x

y

x

f

−

=

h)

1

)

,

(

2

−

=

x

y

x

f

i)

2

2

4

)

,

(

y

x

y

x

f

−

−

=

j)

3

2

ln

)

,

(

2

−

−

=

x

x

y

y

x

f

k)

y

x

y

x

f

arcsin

)

,

(

=

l)

)

3

2

ln(

1

)

,

(

+

−

=

y

x

y

x

f

Zadanie 11.2. Wykazać, że nie istnieją następujące granice:

a)

2

2

)

0

,

0

(

)

,

(

lim

y

x

xy

y

x

+

→

b)

2

2

2

)

0

,

0

(

)

,

(

lim

y

x

x

y

x

+

→

c)

2

2

2

2

)

0

,

0

(

)

,

(

2

lim

y

x

y

x

y

x

−

+

→

d)

1

lim

2

6

)

1

,

0

(

)

,

(

−

→

y

x

y

x

Zadanie 11.3. Pokazać, że

a)

1

1

lim

2

)

0

,

1

(

)

,

(

=

+

→

y

x

y

x

b)

0

lim

2

2

3

)

0

,

0

(

)

,

(

=

+

→

y

x

x

y

x

c)

0

lim

2

2

4

4

)

0

,

0

(

)

,

(

=

+

−

→

y

x

y

x

y

x

d)

2

1

)

2

(

1

1

)

2

(

lim

2

2

2

2

)

2

,

0

(

)

,

(

=

−

+

−

+

−

+

→

y

x

y

x

y

x

e)

1

1

e

lim

2

2

)

0

,

0

(

)

,

(

2

2

=

+

−

+

→

y

x

y

x

y

x

Zadanie 11.4. Obliczyć następujące granice:

a)

)

2

(

lim

)

0

,

0

(

)

,

(

y

x

y

x

+

→

b)

)

(

lim

2

2

)

0

,

0

(

)

,

(

y

x

y

x

+

→

c)

2

2

)

0

,

0

(

)

,

(

1

e

lim

2

2

y

x

y

x

y

x

+

−

+

→

d)

y

x

y

x

y

x

+

−

+

→

1

e

lim

)

0

,

0

(

)

,

(

e)

2

2

2

2

)

0

,

0

(

)

,

(

3

9

lim

y

x

y

x

y

x

+

−

+

+

→

f)

2

2

2

2

)

0

,

0

(

)

,

(

1

ln

)

(

lim

y

x

y

x

y

x

+

+

→

Zadanie 11.5. Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie (0,0)

a)







=

≠

+

=

)

0

,

0

(

)

,

(

gdy

0

)

0

,

0

(

)

,

(

gdy

)

,

(

2

2

y

x

y

x

y

x

y

x

f

b)











=

≠

+

−

=

+

)

0

,

0

(

)

,

(

gdy

1

)

0

,

0

(

)

,

(

gdy

1

e

)

,

(

2

2

2

2

y

x

y

x

y

x

y

x

f

y

x

c)











=

≠

+

−

=

+

)

0

,

0

(

)

,

(

gdy

0

)

0

,

0

(

)

,

(

gdy

1

e

)

,

(

4

4

4

4

y

x

y

x

y

x

y

x

f

y

x

d)









=

≠

=

−

−

)

0

,

0

(

)

,

(

gdy

3

)

0

,

0

(

)

,

(

gdy

e

3

6

)

,

(

1

2

y

x

y

x

y

x-

y

x

f

y

x

e)











=

≠

+

−

+

+

=

)

0

,

0

(

)

,

(

gdy

2

)

0

,

0

(

)

,

(

gdy

3

9

)

,

(

2

2

2

2

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

f

.

Zadanie 11.6. Zbadać, czy podane funkcje można tak określić w punkcie (0,0), aby były
ciągłe w tym punkcie.

a)

2

2

2

)

,

(

y

x

x

y

x

f

+

=

b)

2

2

4

)

,

(

y

x

x

y

x

f

+

=

c)

2

2

1

sin

)

,

(

y

x

x

y

x

f

+

=

d)

2

2

1

sin

)

,

(

y

x

y

x

f

+

=

e)

y

x

y

x

f

y

x

+

−

=

+

1

e

)

,

(

f)

2

2

2

2

3

9

)

,

(

y

x

y

x

y

x

f

+

−

+

+

=

g)

2

2

1

2

2

)

1

(

)

,

(

y

x

y

x

y

x

f

+

+

+

=

Zadanie 11.7. Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego dla podanych funkcji:

a)

3

2

5

3

)

,

(

xy

y

x

y

x

f

+

=

b)

x

y

y

x

f

5

sin

)

,

(

=

c)

))

sin(

2

(

)

,

(

y

x

y

e

y

x

f

x

+

+

=

d)

2

2

3

)

,

(

y

x

x

y

x

f

+

=

e)

y

x

y

x

y

x

f

+

−

=

2

)

,

(

f)

xy

y

x

y

xy

y

x

f

1

2

)

,

(

2

+

+

−

=

g)

y

x

y

x

f

+

=

2

2

3

)

,

(

h)

)

5

ln(

)

,

(

2

y

x

y

x

f

−

=

i)

2

2

2

)

,

(

xy

x

x

y

x

f

−

+

=

j)

x

x

y

x

f

y

ln

)

,

(

+

=

k)

x

y

y

x

f

arctg

)

,

(

=

l)

)

ln(

)

,

(

y

x

y

y

x

f

+

−

=

m)

z

y

xyz

z

y

x

f

3

2

3

)

,

,

(

+

=

n)

xz

z

z

y

z

y

x

f

y

x

2

e

)

1

ln(

)

,

,

(

3

−

+

−

=

+

o)

2

3

2

)

,

,

(

z

xy

z

xy

e

z

y

x

f

x

−

−

=

p)

)

3

ln(

2

5

)

,

,

(

2

xyz

y

x

z

x

z

y

x

f

+

−

+

+

=