Rozdział 2

Kinematyka

Definicja 3

Kinematyka jest to dział mechaniki opisuj ˛

acy ruch punktu

lub bryły, bez uwzgl ˛

edniania masy i przyczyn wywołuj ˛

acych zmian ˛

e ruchu.

Kinematyczne równania ruchu punktu materialnego:

x = f

1

(t) , y = f

2

(t) , z = f

3

(t) - równania parametryczne toru punktu

lub

r = r (t) .

2.1

Pr ˛

edko´s´

c

Rozpatrzmy ruch punktu P w przedziale czasu ∆t = t

2

− t

1

, w którym

punkt przebył drog ˛e ∆s = [

P

1

P

2

. Dla dwóch kolejnych poło˙ze´n mamy

r

2

= r

1

+ ∆r,

∆r = r

2

− r

1

.

Je´sli ∆t → 0, to

v = lim

∆t→0

∆r

∆t

=

dr

dt

=

−

→

˙r

Pr ˛edko´s´c punktu jest wektorem okre´slonym przez pierwsz ˛

a pochodn ˛

a

wektora poło˙zenia wzgl ˛edem czasu.

35

Składowe

v = ˙xi + ˙yj + ˙zk,

v jest wektorem stycznym do toru.

Niech s (t) przedstawia drog ˛e punktu P w przedziale ∆t, to

v =

dr

dt

=

dr
ds

ds

dt

= ˙s

−

→

τ

o

,

gdzie

−

→

τ

o

-wektor jednostkowy styczny do toru w danym punkcie.

Mo˙zna st ˛

ad wywnioskowa´c, ˙ze moduł wektora pr ˛edko´sci, to pochodna

drogi po czasie.

2.2

Przyspieszenie

Rozpatrzmy z kolei, jak zmienia si ˛e wektor pr ˛edko´sci w czasie ∆t.

Dla dwóch kolejnych poło˙ze´n mamy

v

2

= v

1

+ ∆v.

Je´sli ∆t → 0, to

a = lim

∆t→0

∆v

∆t

=

dv

dt

=

−

→

˙v =

−

→

¨

r .

Przyspieszeniem nazywamy wektor dany przez pierwsz ˛

a pochodn ˛

a wek-

tora pr ˛edko´sci lub drug ˛

a pochodn ˛

a wektora poło˙zenia wzgl ˛edem czasu.

Składowe

a = ¨

xi + ¨

yj + ¨

zk.

Kierunek wektora przyspieszenia jest styczny do hodografu pr ˛edko´sci.

Równanie hodografu

v = v (t) ,

v

x

= v

x

(t) , v

y

= v

y

(t) , v

z

= v

z

(t) .

36

Przykład 4

Dane s ˛

a równania ruchu punktu

x = b

1

cos (ωt) , y = b

2

sin (ωt) , z = 0.

Znale´z´c równanie toru, równanie hodografu pr ˛

edko´sci oraz warto´s´c pr ˛

ed-

ko´sci i przyspieszenia w chwili t = t

1

.

2.3

Ruch punktu we współrz ˛

ednych biegunowych

Równania ruchu we współrz ˛ednych biegunowych

r = f

1

(t) ,

ϕ = f

2

(t) .

Zgodnie z twierdzeniem o sumie rzutów, rzut wektora na dowoln ˛

a o´s jest

równy sumie rzutów składowych danego wektora na t ˛

a o´s, rzutujemy

v

x

, v

y

na kierunek r i przyrostu ϕ (w danej chwili). Inaczej- rzutujemy

v na r i ϕ.

v

r

= v

x

cos ϕ+v

y

sin ϕ,

v

ϕ

= −v

x

sin ϕ+v

y

cos ϕ.

Uwzgl ˛edniaj ˛

ac zwi ˛

azki

x = r cos ϕ,

y = t sin ϕ,

mamy

v

x

= ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,

v

y

= ˙y = ˙r sin ϕ + r ˙

ϕ cos ϕ.

St ˛

ad

v

r

=

dr

dt

= ˙r,

v

ϕ

= r

dϕ

dt

= r ˙

ϕ.

Pr ˛

edko´s´

c promieniowa (radialna) jest pierwsz ˛

a pochodn ˛

a promienia

wodz ˛

acego wzgl ˛

edem czasu. Pr ˛

edko´s´

c obwodowa (transwer-

37

salna) jest iloczynem promienia wodz ˛

acego przez pierwsz ˛

a pochodn ˛

a

k ˛

ata biegunowego wzgl ˛

edem czasu.

Podobnie z przyspieszeniem

a

r

= a

x

cos ϕ + a

y

sin ϕ,

a

ϕ

= −a

x

sin ϕ + a

y

sin ϕ

a

x

=

˙v

x

= ¨

r cos ϕ − 2 ˙r ˙ϕ sin ϕ − r¨

ϕ sin ϕ − r ˙ϕ

2

cos ϕ,

a

y

=

˙v

y

= ¨

r sin ϕ + 2 ˙r ˙

ϕ cos ϕ + r ¨

ϕ cos ϕ − r ˙ϕ

2

sin ϕ.

St ˛

ad

a

r

=

¨

r − r ˙ϕ

2

= ˙v

r

−

v

2

ϕ

r

, (radialne)

a

ϕ

= 2 ˙r ˙

ϕ + r ¨

ϕ =

1
r

d

dt

(rv

ϕ

) , (transwersalne).

Przykład 5

Zbada´c ruch okre´slony równaniami r = At, ϕ = Bt.

2.4

Przyspieszenie styczne i normalne

Naturalny (normalny) układ współrz ˛ednych

1. Pr ˛edko´s´c v = v

τ

τ

o

+ v

n

n

o

+ v

b

b

o

. Poniewa˙z wektor pr ˛edko´sci jest

styczny do toru to v

n

= v

b

= 0.

2. Przyspieszenie a = a

τ

τ

o

+ a

n

n

o

+ a

b

b

o

. Poniewa˙z w układzie

lokalnym mo˙zliwy jest rozkład przyspieszenia na styczne i nor-

malne to a

b

= 0.

Wektor pr ˛edko´sci jest funkcj ˛

a czasu (zmienny co do kierunku i warto´sci),

to

v

= v (t) ,

v

= vτ

o

, τ

o

- wektor jednostkowy w kierunku v w danej chwili.

v

= v (t) , τ

o

= τ

o

(t) .

38

St ˛

ad

a =

dv

dt

τ

o

+ v

dτ

dt

.

Przyspieszenie

dv

dt

= a

τ

nazywamy przyspieszeniem stycznym.

Znajdziemy pochodn ˛

a wektora jednostkowego po czasie. Skorzys-

tamy z iloczynu skalarnego

τ

o

◦ τ

o

= 1.

St ˛

ad

d

dt

(τ

o

◦ τ

o

) =

dτ

o

dt

◦ τ

o

+ τ

o◦

dτ

o

dt

= 2τ

o

◦

dτ

o

dt

= 0.

Mamy zatem, ˙ze wektor

dτ

o

dt

jest prostopadły do τ

o

czyli do v. Zna-

jdziemy rozkład

dτ

o

dt

.

¯

¯

¯

¯

∆τ

o

2

¯

¯

¯

¯ = 1 sin

∆ϕ

2

≈

∆ϕ

2

dla małych k ˛

atów,

¯

¯

¯

¯

dτ

o

dt

¯

¯

¯

¯ =

lim

∆t→0

¯

¯

¯

¯

∆τ

o

∆t

¯

¯

¯

¯ = lim

∆t→0

∆ϕ

∆t

=

dϕ

dt

.

Oznaczaj ˛

ac wektor normalnej do v przez n

o

mamy

dτ

o

dt

=

dϕ

dt

n

o

,

a st ˛

ad

a =

dv

dt

=

dv

dt

τ

o

+ v

dϕ

dt

n

o

.

dv

dt

= a

τ

,

v

dϕ

dt

= a

n

,

a = a

τ

τ

o

+ a

n

n

o

.

Ile teraz wynosi moduł przyspieszenia a

n

?

a

n

= v

dϕ

dt

= v

dϕ

ds

ds

dt

= v

2

dϕ

ds

,

39

ds- ró˙zniczka ruchu. Wiemy, ˙ze ds = ρdϕ, (ρ− promie´n krzywizny).

St ˛

ad

a

n

= v

2

dϕ

ρdϕ

=

v

2

ρ

,

ρ =

¡

1 + y

02

¢

3
2

|y

00

|

gdy y = y(x),

ρ =

¡

˙x

2

+ ˙y

2

¢

3
2

| ˙x¨

y − ¨

x ˙y|

gdy x = x(t), y = y(t).

Przykład 6

Ruch punktu okre´slono równaniami x = 40t, y = 5t

2

.

Obliczy´c a

τ

, a

n

oraz ρ dla t = 3s.

2.5

Ruch post ˛

epowy bryły

Je˙zeli bryła porusza si ˛

e tak, ˙ze jej chwilowe poło˙zenia s ˛

a równoległe

do poło˙zenia pocz ˛

atkowego, to mówimy, ˙ze bryła porusza si ˛

e

ruchem post ˛

epowym.

Trzy stopnie swobody

A− biegun

r

i

= r

A

+ ρ

i

,

(bryła sztywna: ρ

i

= const.)

x

i

= x

A

+ C

1

, y

i

= y

A

+ C

2

, z

i

= z

A

+ C

3

.

W ruchu post ˛epowym tory wszystkich punktów s ˛

a równoległe.

Pr ˛edko´s´c w ruchu post ˛epowym

r

i

= r

A

+ ρ

i

, ρ

i

= 0.

r

i

= r

A

.

Pr ˛

edko´sci wszystkich punktów bryły poruszaj ˛

acej si ˛

e ruchem

post ˛

epowym s ˛

a w danej chwili wektorami równoległymi.

40

Przyspieszenie

v

i

= v

A

,

a

i

= a

A

.

Przyspieszenia wszystkich punktów bryły w ruchu post ˛

epowym

s ˛

a w danej chwili wektorami równoległymi.

2.6

Ruch obrotowy bryły dookoła stałej osi

Je˙zeli dwa punkty bryły s ˛

a stałe, to bryła porusza si ˛

e ruchem

obrotowym.

Te dwa punkty wyznaczaj ˛

a o´s obrotu.

Jeden stopie´

n swobody

ϕ = ϕ(t)

Obieramy dwie płaszczyzny w bryle przecinaj ˛

ace si ˛e wzdłu˙z osi obrotu l,

S- jest stała, R- ruchoma zwi ˛

azana sztywno z brył ˛

a. Chwilowe poło˙zenia

płaszczyzny R, czyli poło˙zenia bryły s ˛

a opisane k ˛

atem obrotu ϕ.

Pierwsza pochodna ϕ jest pr ˛edko´sci ˛

a k ˛

atow ˛

a ω.

Druga pochodna ϕ jest przyspieszeniem k ˛

atowym ε.

˙

ϕ = ω,

¨

ϕ

= ε.

Pr ˛edko´s´c dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym

Zwi ˛

azek mi ˛edzy pr ˛edko´sci ˛

a liniow ˛

a punktu bryły a pr ˛edko´sci ˛

a k ˛

a-

tow ˛

a bryły

v

i

= ω × r

i

,

v

i

= ωh

i

,

v

i

= ωr

i

sin α.

41

Dowód.

Obieramy układ z, y, z i x

0

, y

0

, z

0

w ten sposób, ˙ze pokry-

waj ˛

a si ˛e osie z i z

0

. Gdy bryła obraca si ˛e zmieniaj ˛

a si ˛e kierunki wektorów

i

0

, j

0

a k

0

jest stały.

−

→

˙k

0

= 0. Wektory jednostkowe w układzie primowanym spełniaj ˛

a zwi ˛

azki

i

0

◦ i

0

= 1,

j

0

◦ j

0

= 1,

i

0

◦ j

0

= 0,

i

0

◦ k

0

= 0,

j

0

◦ k

0

= 0.

Ró˙zniczkuj ˛

ac te równania otrzymujemy

−

→

˙i

0

◦ i

0

= 0,

−

→

˙j

0

◦ j

0

= 0,

−

→

˙i

0

◦ j

0

+

−

→

˙j

0

◦ i

0

= 0,

(2.1)

−

→

˙i

0

◦ k

0

= 0,

−

→

˙j

0

◦ k

0

= 0.

Wynika st ˛

ad, ˙ze je´sli

−

→

˙i

0

nie jest równy zeru, to musi by´c prostopadły

do i

0

i k

0

, czyli równoległy do j

0

, podobnie

−

→

˙j

0

jest równoległy do i

0

.

Mo˙zemy wi ˛ec napisa´c

−

→

˙i

0

= λ

1

j

0

i

−

→

˙j

0

= λ

2

i

0

,

gdzie λ

1

i λ

2

s ˛

a modułami wektorów

−

→

˙i

0

i

−

→

˙j

0

. Wstawiaj ˛

ac otrzymany

zwi ˛

azek do 2.1 mamy

λ

1

³

j

0

◦ j

0

´

+ λ

2

³

i

0

◦ i

0

´

= 0,

λ

1

= −λ

2

.

Wprowad´zmy teraz nowy wektor zwany pr ˛edko´sci ˛

a k ˛

atow ˛

a ω = λ

1

k

0

.

Le˙zy on na osi obrotu bryły i jej moduł wynosi

|ω| =

¯

¯

¯

¯

−

→

˙j

0

¯

¯

¯

¯ =

¯

¯

¯

¯

−

→

˙i

0

¯

¯

¯

¯ = |λ

1

| = |λ

2

| .

42

Mo˙zna teraz przy pomocy ω przedstawi´c wszystkie pochodne wektorów

jednostkowych układu ruchomego

−

→

˙i

0

= λ

1

j

0

= λ

1

³

k

0

× i

0

´

= λ

1

µ

ω

λ

1

× i

0

¶

= ω × i

0

,

−

→

˙j

0

= λ

2

i

0

= −λ

1

³

j

0

× k

0

´

= −λ

1

µ

j

0

×

ω

λ

1

¶

= −j

0

× ω = ω × j

0

.

Poniewa˙z

−

→

˙k

0

= 0, to ogólnie mamy

−

→

˙e = ω × e

Przejd´zmy teraz do wyznaczenia v

i

dowolnego punktu P o współrz ˛ed-

nych x

0

, y

0

, z

0

.

r

i

= r

A

+ ρ

i

,

r

A

= 0 =⇒ r

i

= ρ

i

,

ρ

i

= x

0

i

0

+ y

0

j

0

+ z

0

k

0

St ˛

ad

v

i

=

−

→

˙ρ

i

= x

0

−

→

˙i

0

+ y

0

−

→

˙j

0

+ z

0

−

→

˙k

0

,

¡

x

0

, y

0

, z

0

¢

= const. -poniewa˙z bryła jest sztywna,

v

i

= x

0

ω × i

0

+ y

0

ω × j

0

+ z

0

ω × k

0

= ω ×

³

x

0

× i

0

+ y

0

× j

0

+ z

0

× k

0

´

,

v

i

= ω × ρ

i

.

Pr ˛

edko´s´

c liniowa dowolnego punktu bryły w ruchu obro-

towym jest równa iloczynowi wektorowemu wektora pr ˛

edko´sci

k ˛

atowej przez wektor poło˙zenia punktu (pocz ˛

atek układu na

osi obrotu).

Przyjmijmy układ współrz ˛ednych (o´s obrotu przechodzi przez pocz ˛

atek

układu)

43

v

i

= v

ix

i + v

iy

j + v

iz

k,

ω

i

= ω

ix

i + ω

iy

j + ω

iz

k,

r

i

= r

ix

i + r

iy

j + r

iz

k.

v

i

=

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

i

j

k

ω

x

ω

y

ω

z

x

i

y

i

z

i

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

.

St ˛

ad v

ix

= ω

y

z

i

− ω

z

y

i

, v

iy

= ω

z

x

i

− ω

x

z

i

, v

iz

= ω

x

y

i

− ω

y

x

i

.

Poniewa˙z wszystkie punkty le˙z ˛

ace na osi obrotu maj ˛

a pr ˛edko´s´c równ ˛

a

zeru, st ˛

ad otrzymujemy równanie osi obrotu

x

ω

x

=

y

ω

y

=

z

ω

z

.

Je˙zeli teraz o´s obrotu nie przechodzi przez pocz ˛

atek układu, to

r

i

= r

A

+ ρ

i

,

v

i

= ω × ρ

i

,

ρ

i

= r

i

− r

A

,

v

i

= ω × (r

i

− r

A

) .

v

i

=

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

i

j

k

ω

x

ω

y

ω

z

x

i

− x

A

y

i

− y

A

z

i

− z

A

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

.

v

ix

= ω

y

(z

i

− z

A

) − ω

z

(y

i

− y

A

) ,

v

iy

= ω

z

(x

i

− x

A

) − ω

x

(z

i

− z

A

) ,

v

iz

= ω

x

(y

i

− y

A

) − ω

y

(x

i

− x

A

) .

44

Równanie osi obrotu w tym przypadku ma posta´c

x − x

A

ω

x

=

y − y

A

ω

y

=

z − z

A

ω

z

.

2.7

Przyspieszenie punktów bryły w ruchu obro-

towym

Korzystamy z definicji

a

i

=

−

→

˙v

i

.

Zakładamy, ˙ze o´s obrotu przechodzi przez pocz ˛

atek układu współrz ˛ed-

nych

a

i

=

d

dt

(ω × r

i

) =

−

→

˙

ω × r

i

+ ω ×

−

→

˙r

i

,

a

i

= ε × r

i

+ ω × (ω × r

i

) .

Poniewa˙z

a ×

³

b × c

´

= (a ◦ c) b −

³

a ◦ b

´

c,

to

a

i

= ε × r

i

+ ω (ω ◦ r

i

)

| {z }

=0, ω⊥r

i

− ω

2

r

i

.

Całkowite przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym

jest sum ˛

a geometryczn ˛

a przyspiesze´

n: obrotowego a

oi

i doosiowego a

di

.

a

oi

= εr

i

sin (ε, r

i

) = εh

i

,

a

di

= ωv

i

sin (ω, v

i

) = ω

2

h

i

.

45

Składowe przyspieszenia

a

ix

= ε

y

z

i

− ε

z

y

i

+ ω

x

(ω

x

x

i

+ ω

y

y

i

+ ω

z

z

i

) − ω

2

x

i

,

a

iy

= ε

z

x

i

− ε

x

z

i

+ ω

y

(ω

x

x

i

+ ω

y

y

i

+ ω

z

z

i

) − ω

2

y

i

,

a

iz

= ε

x

y

i

− ε

y

x

i

+ ω

z

(ω

x

x

i

+ ω

y

y

i

+ ω

z

z

i

) − ω

2

z

i

.

2.8

Ruch płaski bryły

Definicja ruchu

Ruch płaski mo˙zemy traktowa´c jako chwilowy ruch obrotowy wokół

chwilowego ´srodka obrotu lub jako zło˙zenie ruchu post ˛epowego bieguna

i obrotowego wzgl ˛edem bieguna.

Równania ruchu płaskiego

x

A

= x

A

(t) , y

A

= y

A

(t) , z

A

= z

A

(t) ,

r

i

= r

A

+ ρ

i

.

⎧

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎩

x

i

= x

A

+ ξ

i

cos ϕ − η

i

sin ϕ

y

i

= y

A

+ ξ

i

sin ϕ + η

i

cos ϕ

ϕ = ϕ (t)

2.8.1

Pr ˛

edko´s´

c w ruchu płaskim

−

→

˙r

i

=

−

→

˙r

A

+

−

→

˙ρ

i

,

−

→

˙r

i

= v

i

,

−

→

˙r

A

= v

A

.

Wektor ρ

i

opisuje ruch punktu wzgl ˛edem bieguna st ˛

ad pr ˛edko´s´c

−

→

˙ρ

i

(z

ruchu obrotowego) wynosi

−

→

˙ρ

i

= ω × ρ

i

.

46

St ˛

ad

v

i

= v

A

+ v

P/A

= v

A

+ ω × ρ

i

.

Pr ˛edko´s´c dowolnego punktu w ruchu płaskim jest sum ˛

a geometryczn ˛

a

pr ˛edko´sci ruchu post ˛epowego i pr ˛edko´sci ruchu obrotowego dookoła

bieguna.

Zrzutujemy v

P

= v

i

na kierunek AP .

(v

P

)

AP

= (v

A

)

AP

+

¡

v

P/A

¢

AP

,

v

P/A

⊥ AP ⇒

¡

v

P/A

¢

AP

= 0.

Zatem

(v

P

)

AP

= (v

A

)

AP

.

Rzuty pr ˛edko´sci dwóch punktów na kierunek ł ˛

acz ˛

acy te punkty s ˛

a sobie

równe.

v

i

= v

A

+

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

i

j

k

ω

x

ω

y

ω

z

x

i

− x

A

y

i

− y

A

z

i

− z

A

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

(ogólnie),

ale

ω

x

= ω

y

= 0,

ω

z

= ω (ruch płaski).

St ˛

ad

v

ix

=

˙x

A

− (y

i

− y

A

) ω,

v

iy

=

˙y

A

− (x

i

− x

A

) ω.

Podobnie okre´slamy pr ˛edko´sci w układzie ruchomym ξ, η.

Uwzgl ˛edniaj ˛

ac, ˙ze ω

ξ

= ω

η

= 0, ω

ς

= ω oraz ς

i

= ξ

i

ξ

o

+ η

i

η

o

otrzymu-

47

jemy

v

i

= v

A

+

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

ξ

o

η

o

ς

o

0

ω

y

ω

ξ

i

η

i

0

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

v

iξ

= v

Aξ

− η

i

ω,

v

iη

= v

Aη

+ ξ

i

ω.

2.9

Przyspieszenie w ruchu płaskim

Korzystamy z definicji

−

→

˙v

i

=

−

→

˙v

A

+

−

→

˙

ω × ρ

i

+ ω ×

−

→

˙ρ

i

,

a

i

= a

A

+ ε × ρ

i

+ ω × (ω × −

→

ρ

i

) ,

a

i

= a

A

+ ε × ρ

i

− ω

2

−

→

ρ

i

,

bo ω ⊥ −

→

ρ

i

a

i

= a

A

+ a

oi

+ a

di

.

Przyspieszenie w ruchu płaskim jest sum ˛

a geometryczn ˛

a przyspieszenia

ruchu post ˛epowego, przyspieszenia obrotowego i przyspieszenia doosiowego.

Składowe przyspieszenia w układzie stałym

a

i

= a

A

+

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

i

j

k

0

0

ε

x

i

− x

A

y

i

− y

A

0

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

− ω

2

(r

i

− r

A

) .

St ˛

ad

a

ix

=

¨

x

A

− ε (y

i

− y

A

) − ω

2

(x

i

− x

A

) ,

a

iy

=

¨

y

A

+ ε (x

i

− x

A

) − ω

2

(y

i

− y

A

) .

48

Składowe w układzie ruchomym

a

i

= a

A

+

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

ξ

o

η

o

ς

o

0

0

ε

ξ

i

η

i

0

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

− ω

2

−

→

ρ

i

,

a st ˛

ad

a

iξ

= a

Aξ

− εη − ω

2

ξ

2

i

,

a

iη

= a

Aη

− εξ − ω

2

η

2

i

.

2.10

´

Srodek przyspiesze´

n

Przyspieszenie dowolnego punktu B

a

B

= a

A

+ a

B/A

,

a

B/A

= ε × ρ

B

− ω

2

ρ

B

.

Warto´sci

a

τ
B/A

= ερ

AB

,

a

n
B/A

= ω

2

ρ

AB

,

st ˛

ad

a

B/A

=

r³

a

τ
B/A

´

2

+

³

a

n
B/A

´

2

= ρ

AB

p

ε

2

+ ω

4

,

tan β

=

a

τ
B/A

a

n
B/A

=

ε

ω

2

nie zale˙zy od poło˙zenia punktu.

Mo˙zna wykaza´c, ˙ze istnieje taki punkt S figury płaskiej, którego przyspiesze-

nie w danej chwili jest równe zeru.

Poniewa˙z przyspieszenie ka˙zdego punktu wzgl ˛edem bieguna jest nachy-

lone zawsze pod tym samym k ˛

atem do prostej ł ˛

acz ˛

acej ten punkt z

biegunem, wi ˛ec wybieraj ˛

ac odpowiedni ˛

a prost ˛

a nachylon ˛

a pod tym

49

k ˛

atem do przyspieszenia bieguna mo˙zna znale´z´c punkt S, którego całkowite

przyspieszenie jest równe 0.

a

S

= a

A

+ a

S/A

= 0,

a

S/A

= ρ

AS

p

ε

2

+ ω

4

,

st ˛

ad odległo´s´c tego punktu od bieguna, przy zało˙zeniu, ˙ze jego przyspiesze-

nie ma by´c równe zeru

ρ

AS

=

a

A

√

ε

2

+ ω

4

, bo a

S

= a

A

− ρ

AS

p

ε

2

+ ω

4

.

Taka konstrukcja jest mo˙zliwa, poniewa˙z za biegun mo˙zna przyj ˛

a´c dowolny

punkt ciała, a ´srodek przyspiesze´

n musi le˙ze´c na prostej nachylonej pod

k ˛

atem β do przyspieszenia danego punktu. Z kolei k ˛

at β nie zale˙zy od

poło˙zenia punktu.

Na tej drodze mo˙zna w prosty sposób znajdowa´c przyspieszenia

dowolnego punktu figury, bo zakładaj ˛

ac, ˙ze biegun znajduje si ˛e w ´srodku

przyspiesze´

n, mamy a

A

= a

S

= 0, a st ˛

ad

a

B

= a

B/A

,

a

B

= a

B/A

= ρ

SB

p

ε

2

+ ω

4

.

´

Srodek przyspiesze´

n wyznacza si ˛e przy znajomo´sci przyspiesze´

n dwóch

dowolnych punktów figury.

2.11

Ruch kulisty bryły

Poło˙zenie dowolnego punktu bryły w ruchu kulistym:

Układ 0, x, y, z- stały, A, ξ, η, ζ- ruchomy, zwi ˛

azany z brył ˛

a.

Okre´slenie poło˙zenia bryły sprowadza si ˛e dookre´slenia poło˙zenia układu

50

ruchomego

r

i

= r

A

+ ρ

i

.

r

i

= x

i

i + y

i

j + z

i

k,

ρ

i

= ξ

i

ξ

o

+ η

i

η

o

+ ζ

i

ζ

o

,

r

A

= x

A

i + y

A

j + z

A

k.

Ruch kulisty rozpatrujemy jako chwilowy ruch obrotowy dookoła chwilowej

osi obrotu.

Chwilowa pr ˛edko´s´c k ˛

atowa

ω =

dϕ

dt

.

Wektor ω le˙zy na chwilowej osi obrotu. W ruchu kulistym s ˛

a 3 stopnie

swobody- 3 równania ruchu

ϕ = ϕ (t) ,

ψ = ψ (t) ,

υ = υ (t) .

Poniewa˙z r

A

jest wektorem stałym, nic nie stoi na przeszkodzie, by

pocz ˛

atki obu układów były wspólne.

ϕ- k ˛

at obrotu własnego,

ψ- k ˛

at precesji,

υ- k ˛

at nutacji.

Pr ˛edko´s´c k ˛

atowa w układzie Eulera

ω

=

˙

ϕk

1

+ ˙

ψk

2

+ ˙υk

3

ω

= ω

1

+ ω

2

+ ω

3

,

ω

1

- pr ˛edko´s´c k ˛

atowa obrotu własnego,

ω

2

- pr ˛edko´s´c k ˛

atowa precesji,

51

ω

3

- pr ˛edko´s´c k ˛

atowa nutacji.

Wyznaczymy teraz składowe prostok ˛

atne ω w układzie x, y, z (ω

2

na podstawie ostatniego rysunku).

ω

2

= [0, 0, ω

2

] ,

ω

3

= [ω

3

cos ψ, ω

3

sin ψ, 0] .

Na podstawie poni˙zszego rysunku wyznaczymy ω

1

.

ω

1

= [ω

1

sin υ sin ψ, −ω

1

sin υ cos ψ, ω

1

cos υ] .

Poniewa˙z ω

1

= ˙

ϕ, ω

2

= ˙

ψ, ω

3

= ˙υ, mamy

ω

x

= ω

1

sin υ sin ψ + ω

3

cos ψ = ˙

ϕ sin υ sin ψ + ˙υ cos ψ,

ω

y

= −ω

1

sin υ cos ψ + ω

3

sin ψ = − ˙ϕ sin υ cos ψ + ˙υ sin ψ,

ω

z

= ω

1

cos υ + ω

2

= ˙

ϕ cos υ + ˙

ψ,

natomiast w układzie ruchomym

ω

ξ

=

˙

ψ sin υ sin ϕ + ˙υ cos ϕ,

ω

η

=

˙

ψ sin υ cos ϕ − ˙υ sin ϕ,

ω

ζ

=

˙

ϕ + ˙

ψ cos υ.

Rozpatrzmy teraz szczególny przypadek ruchu kulistego, w którym υ =

const = υ

0

, ω

1

= ˙

ϕ = const, ω

2

= ˙

ψ = const. Poniewa˙z ˙υ = 0, wi ˛ec

chwilowa pr ˛edko´s´c k ˛

atowa b ˛edzie wynosiła

ω = ω

1

+ ω

2

.

52

Z rysunku wida´c, ˙ze

ω =

q

ω

2

1

+ ω

2

2

+ 2ω

1

ω

2

cos υ

0

oraz, ˙ze ω ma stał ˛

a warto´s´c i jest nachylona pod stałymi k ˛

atami do osi

z i ξ. Aksoid ˛e nieruchom ˛

a jest sto˙zek o osi z, a ruchom ˛

a sto˙zek o osi ξ.

Ten przypadek nazywa si ˛e precesj ˛

a regularn ˛

a. Je˙zeli k ˛

at mi ˛edzy

pr ˛edko´sci ˛

a k ˛

atow ˛

a obrotu własnego a pr ˛edko´sci ˛

a k ˛

atow ˛

a precesji jest

ostry, to mamy precesj ˛

e prost ˛

a, a gdy rozwarty- precesj ˛

e odwrotn ˛

a.

Łatwo zauwa˙zy´c, ˙ze w tym przypadku zwi ˛

azana z ciałem o´s ξ "wiruje"jednostajnie

wokół osi z ze stał ˛

a pr ˛edko´sci ˛

a ω

2

- pr ˛edko´sci ˛

a precesji.

2.12

Pr ˛

edko´s´

c w ruchu kulistym

Sprowadzaj ˛

ac pocz ˛

atek układu ruchomego do pocz ˛

atku układu stałego

mamy

r

i

= ρ

i

.

W chwilowym ruchu obrotowym

v

i

= ω × r

i

= ω × ρ

i

.

Składowe pr ˛edko´sci w układzie stałym

v

ix

= ω

y

z

i

− ω

z

y

i

,

v

iy

= ω

z

x

i

− ω

x

z

i

,

v

iz

= ω

x

y

i

− ω

y

x

i

.

Poniewa˙z wszystkie punkty bryły posiadaj ˛

a pr ˛edko´s´c równ ˛

a 0 na chwilowej

osi obrotu, st ˛

ad równaie chwilowej osi obrotu w układzie stałym

x

ω

x

=

y

ω

y

=

z

ω

z

53

lub

y
x

=

ω

y

ω

x

= f

1

(t) ,

z

x

=

ω

z

ω

x

= f

2

(t) .

Je˙zeli z tych równa´n wyrugujemy czas otrzymamy równanie aksoidy

stałej

F

³ y

x

,

z

x

´

= 0.

Składowe pr ˛edko´sci w układzie ruchomym

v

iξ

= ω

η

ζ

i

− ω

ζ

η

i

,

v

iη

= ω

z

ξ

i

− ω

ξ

ζ

i

,

v

iζ

= ω

ξ

η

i

− ω

η

ξ

i

.

Równanie osi chwilowej

ξ

ω

ξ

=

η

ω

η

=

ζ

ω

ζ

lub

η
ξ

=

ω

η

ω

ξ

= g

1

(t) ,

ζ
ξ

=

ω

ζ

ω

ξ

= g

2

(t) .

Równanie aksoidy ruchomej

G

µ

η
ξ

,

ζ
ξ

¶

= 0.

54

2.13

Przyspieszenie w ruchu kulistym

Przyspieszenie liniowe punktu bryły

a

i

=

−

→

˙v

i

=

−

→

˙

ω × r

i

+ ω ×

−

→

˙r

i

,

a

i

= ε × r

i

+ ω × (ω × r

i

) ,

a

i

= ε × r

i

+ ω (ω ◦ r

i

) − ω

2

r

i

.

Składowe przyspieszenia w układzie stałym

a

ix

= ε

y

z

i

− ε

z

y

i

+ ω

x

(ω

x

x

i

+ ω

y

y

i

+ ω

z

z

i

) − ω

2

x

i

,

a

iy

= ε

z

x

i

− ε

x

z

i

+ ωy (ω

x

x

i

+ ω

y

y

i

+ ω

z

z

i

) − ω

2

y

i

,

a

iz

= ε

x

y

i

− ε

y

x

i

+ ω

z

(ω

x

x

i

+ ω

y

y

i

+ ω

z

z

i

) − ω

2

z

i

.

W układzie ruchomym

a

iξ

= ε

η

ζ

i

− ε

ζ

η

i

+ ω

ξ

(ω

ξ

ξ

i

+ ω

η

η

i

+ ω

ζ

ζ

i

) − ω

2

ξ

i

,

a

iη

= ε

ζ

ξ

i

− ε

ξ

ζ

i

+ ω

η

(ω

ξ

ξ

i

+ ω

η

η

i

+ ω

ζ

ζ

i

) − ω

2

η

i

,

a

iζ

= ε

ξ

η

i

− ε

η

ξ

i

+ ω

ζ

(ω

ξ

ξ

i

+ ω

η

η

i

+ ω

ζ

ζ

i

) − ω

2

ζ

i

.

2.13.1

Przyspieszenie k ˛

atowe w przypadku precesji reg-

ularnej

Poniewa˙z |ω| = const., a pochodna wektora jest styczna do jego hodografu,

ponadto wektorem poło˙zenia punktu D jest ω, st ˛

ad (pr ˛edko´s´c k ˛

atowa

ω to ω

2

)

dω

dt

= ω

2

× ω.

Poniewa˙z ω = ω

1

+ ω

2

, to

ε =

dω

dt

= ω

2

× (ω

1

+ ω

2

) = ω

2

× ω

1

.

55

2.14

Ruch ogólny bryły

Ruch ogólny: ruch post ˛epowy + kulisty, 6 stopni swobody.

Równania ruchu

x

A

= x

A

(t) ,

y

A

= y

A

(t) ,

z

A

= z

A

(t) ,

ϕ = ϕ (t) ,

ψ = ψ (t) ,

υ = υ (t) .

2.14.1

Pr ˛

edko´s´

c w ruchu ogólnym

r

i

= r

A

+ ρ

i

,

v

i

=

−

→

˙r

A

+

−

→

˙ρ

i

,

v

i

= v

A

+ ω × ρ

i

.

2.14.2

Przyspieszenie w ruchu ogólnym

−

→

a

i

=

−

→

˙v

A

+

−

→

˙

ω × ρ

i

+ ω ×

−

→

˙ρ

i

,

a

i

= a

A

+ ε × ρ

i

+ ω × (ω × −

→

ρ

i

) ,

a

i

=

a

A

|{z}

przysp. ruchu

post ˛epowego

+

ε × ρ

i

| {z }

przyspieszenie

obrotowe

+ ω (ω ◦ −

→

ρ

i

) − ω

2

−

→

ρ

i

|

{z

}

przyspieszenie

doosiowe

.

2.15

Ruch wzgl ˛

edny

Układ x, y- nieruchomy, ξ, η- ruchomy.

Znajdziemy najpierw pochodn ˛

a bezwzgl ˛edn ˛

a wektora ρ wzgl ˛edem

56

czasu. W ruchomym układzie

ρ = ξξ

o

+ ηη

o

+ ζζ

o

,

dρ

dt

=

dξ

dt

ξ

o

+

dη

dt

η

o

+

dζ

dt

ζ

o

+ ξ

dξ

o

dt

+ η

dη

o

dt

+ ζ

dζ

o

dt

,

dξ

o

dt

= ω × ξ

o

,

dη

o

dt

= ω × η

o

,

dζ

o

dt

= ω × ζ

o

.

St ˛

ad

dρ

dt

=

dξ

dt

ξ

o

+

dη

dt

η

o

+

dζ

dt

ζ

o

+ ω ×

³

ξξ

o

+ ηη

o

+ ζζ

o

´

,

dρ

dt

=

δρ

δt

|{z}

poch.

wzgl ˛edna

+ ω × ρ.

Pochodna bezwzgl ˛edna wektora wzgl ˛edem czasu jest równa sumie pochod-

nej wzgl ˛ednej i iloczynu wektorowego pr ˛edko´sci k ˛

atowej przez dany wek-

tor.

2.16

Pr ˛

edko´s´

c w ruchu wzgl ˛

ednym

r

i

= r

A

+ ρ

i

,

−

→

˙r

i

=

−

→

˙r

A

+

−

→

˙ρ

i

,

−

→

˙r

i

=

−

→

˙r

A

+

δρ

δt

+ ω × ρ

i

,

v

b

= v

u

+ v

w

,

gdzie

v

b

=

−

→

˙r

i

,

v

u

=

−

→

˙r

A

+ ω × ρ

i

,

v

w

=

δρ

δt

.

57

W ruchu wzgl ˛ednym pr ˛edko´s´c bezwzgl ˛edna jest sum ˛

a geometryczn ˛

a

pr ˛edko´sci wzgl ˛ednej i pr ˛edko´sci unoszenia.

2.17

Przyspieszenie w ruchu wzgl ˛

ednym

Pr ˛edko´s´c

v

b

= v

A

+ ω × ρ

i

+ v

w

,

−

→

˙v

b

=

−

→

˙v

A

+ ε × ρ

i

+ ω ×

−

→

˙ρ

i

+ v

w

,

−

→

˙ρ

=

δρ

δt

+ ω × ρ

i

= v

w

+ ω × ρ

i

,

−

→

˙v

w

=

δ

δt

µ

δρ

δt

¶

+ ω × v

w

=

δv

w

δt

+ ω × v

w

.

St ˛

ad

−

→

˙v

b

=

−

→

˙v

A

+ ε × ρ

i

+ ω × (ω × ρ

i

) +

δv

w

δt

+ 2ω × v

w

,

a

b

=

−

→

˙v

b

,

a

w

=

−

→

˙v

A

+ ε × ρ

i

+ ω × (ω × ρ

i

) ,

a

c

= 2ω × v

w

.

W ruchu wzgl ˛ednym przyspieszenie bezwzgl ˛edne jest sum ˛

a geometryczn ˛

a

przyspieszenia wzgl ˛ednego, przyspieszenia unoszenia i przyspieszenia

Coriolisa.

58