Zestaw 3

Algebra Liniowa

1. Sprawdzić, czy następujące wektory są liniowo niezależne:

(a) v

1

= [1, 2, 3], v

2

= [1, 2, 0], v

3

= [2, 0, 1],

(b) v

1

= [1, 2, 3], v

2

= [1, 2, 1], v

3

= [6, 8 10].

2. Wektory x, y i z są liniowo niezależne. Wykazać , że wektory x + y, y + z, x + z także są

liniowo niezależne.

3. Dla jakich wartości parametru a następujące wektory są liniowo niezależne:

(a) v

1

= [1, a, 3], v

2

= [1, 2, 3], v

3

= [2, −2, 1],

(b) v

1

= [1, a − 2, 0], v

2

= [a, 5, 0], v

3

= [2, 2, 1],

4. Wykazać , że wektory b

1

= [1, 0, 3], b

2

= [1, 1, 1], b

3

= [1, 0, 2] są bazą przestrzeni R

3

.

Ponadto:

(a) Znaleźć współrzędne wektora x = [2, 3, 1] w tej bazie.

(b) [2, −1, 5] to współrzędne pewnego wektora w podanej bazie. Jaki to wektor?

5. Wykazać, że odwzorowanie T jest liniowe; wyznaczyć przestrzenie Ker T i Im T oraz ich

wymiary jeśli:

(a) T : R

2

→ R

2

dane jest wzorem: T ([x

1

, x

2

]) =[2x

1

+ x

2

, x

1

− x

2

],

(b) T : R

2

→ R

2

dane jest wzorem: T ([x

1

, x

2

]) =[3x

1

− x

2

, −6x

1

+ 2x

2

],

(c) T : R

3

→ R

2

dane jest wzorem: T ([x

1

, x

2

, x

3

]) =[2x

1

− x

2

+ x

3

, −4x

1

+ 2x

2

− 2x

3

],

(d) T : R

3

→ R

3

dane jest wzorem: T ([x

1

, x

2

, x

3

]) =[x

1

+ 2x

3

, 2x

1

+ x

2

, 3x

1

+ x

2

+ 2x

3

] .

(e) T : R

4

→ R

2

dane jest wzorem: T ([x

1

, x

2

, x

3

, x

4

]) = [x

1

+ 2x

3

− x

4

, 2x

1

+ x

2

+ 2x

3

].

6. Wyznaczyć macierze odwzorowań podanych w zad.1 jeśli zadano bazy:

(a) B = {b

1

= [2, 1] , b

2

= [1, 0]} w obu przestrzeniach R

2

,

(b) B = {b

1

= [2, 1] , b

2

= [3, 1]} w obu przestrzeniach R

2

,

(c) B = {b

1

= [2, 1, 0] , b

2

= [1, 0, 1] , b

3

= [2, 0, 1]} w przestrzeni R

3

i

C = {c

1

= [3, 1] , c

2

= [1, 0]} w przestrzeni R

2

,

1

(d) B = {b

1

= [2, 1, 0] , b

2

= [1, 0, 1] , b

3

= [2, 0, 1]} w (dziedzinie odwzorowania) prze-

strzeni R

3

i

C = {c

1

= [1, 1, 1] , c

2

= [1, 1, 0] , c

3

= [1, 0, 0]} w przestrzeni R

3

(zbiorze wartości),

(e) B = {b

1

= [0, 0, 0, 1] , b

2

= [0, 0, 1, 2] , b

3

= [0, 1, 2, 3] , b

4

= [1, 2, 3, 4]} w przestrzeni

R

4

i

C = {c

1

= [1, 4] , c

2

= [0, 1]} w przestrzeni R

2

.

7. Odwzorowanie T : R

2

→ R

2

jest liniowe i przyjmuje wartości: T ([1, 1]) = [0, 1] oraz

T ([2, 3]) = [1, 1]. Znaleźć macierz tego odwzorowania, jeśli w obu przestrzeniach R

2

przyj-

miemy bazy kanoniczne.

8. Obliczyć wyznacznik macierzy:

(a)











0 1 2 0 3

3 1 0 2 1

1 0 2 1 0

2 1 2 1 2

0 0 1 0 5











,

(b)









1 2 3 0

0 0 1 1

2 1 2 3

2 0 1 2









,

(c)









a 1 1 1

1 a 1 1

1 1 a 1

1 1 1 a









,

(d)









1 0 2 0

2 3 1 2

1 1 1 1

5 4 6 3









.

9. Wyznaczyć rząd macierzy:

(a)











0 1

2

3

3 1

0

1

3 3

4

7

3 2

2

4

3 0 −2 −2











,

(b)






1 2 3

0 2

0

2 1 2

1 4

5

1 5 7 −1 2 −5






,

(c)









1 2

1 3

1 0

3 4

1 4 −1 2

2 6

0 5









,

(d)









1 0 2 0 3

2 3 1 2 0

1 1 1 1 1

5 4 6 3 7









.

10. Znaleźć macierz X jeśli:

(a) A · (X − 2B) · C = D, zaś:

A =






5 2 0

2 0 1

3 1 0






, B =






2 −1

0

1

2

4






, C =

"

5 1

4 1

#

, D =






2 3

2 1

4 0






.

2

(b) A · B −

1
2

X

· C = D, zaś:

A =

"

1 2

3 5

#

, B =

"

−2 1

3

4 1 −1

#

, C =






2 4 1

1 0 0

3 3 1






, D =

"

0 −2 3

4

1 2

#

.

11. Rozwiązać równanie macierzowe:

(a)

"

1 2

3 5

# "

−1 1

4

3 1 −2

#

−

1
8

X

!

·






1 4 2

0 0 1

1 3 3






=

h

2 −1

i

T

·

h

−1 2 −3

i

,

(b)






X +






1 2

3 1

0 2











T

·






0

2 −1

1

0

1

2 −1

0






=

h

2 −1

i

T

·

h

−1 2 1

i

.

12. Rozwiązać układy równań:

(a)











2x + 3y −

z =

−8

x

+ 4z =

17

6y −

z = −14

(b)











x + 2y + z = 8

x +

y + z = 6

2x +

y + z = 7

(c)











x + y −

z = 1

x − y + 2z = 2

2x + y −

z = 2

(d)











x − 2y + 3z − 6t =

3

−x + 2y +

z − 2t = −3

2x − 4y + 2z − 4t =

6

(e)











x + 2y −

z −

t = 1

x +

y −

z − 2t = 0

2x + 3y − 2z −

t = 0

13. Ocenić ilość rozwiązań układu w zależności od wartości parametru a:

(a)











x + ay = 1

ax +

y = a

x + ay = 1

3

(b)























ax +

y +

z +

t = 1

x + ay +

z +

t = 1

x +

y + az +

t = 1

x +

y +

z + at = 1

(c)











(a − 2) x + 3y = 0

5x + ay = 0

x +

y = 1

(d)

(

(a − 1) x + 6y = 2

x + ay = 1

14. Ocenić ilość rozwiązań układu w zależności od wartości parametrów a i b:

(a)











x + 2y +

z =

b

x +

y +

z = 2

ax + 4y + 3z = 5

(b)











x +

y −

z = 1

2x +

y − az = 1

5x + 4y − 3z =

b

(c)











x + 2y − 2z = 0

3x + ay +

z = 2

4x + 3y −

z =

b

15. Rozwiązać układ równań:

(a)











x +

y +

z =

6

x +

y + 2z =

8

x + 2y + 3z = 12

(b)











x + 2y +

z = 0

x +

y +

z = 2

x + 4y + 3z = 5

(c)

(

x + 3y = 1

x + 5y = 2

(d)























4x + 3y +

z

= 1

y +

z

= 2

2x +

y

+ 2t = 1

x

+ 2z

= 3

4