0

1





gradp

F





PŁYN – ciecze lub gaz, brak zdolności do utrzymania kształtu
= brak sprężystości postaciowej, w mechanice płynów – płyn
traktuje się jako OŚRODEK CIĄGŁY, tzn. płyn jest materią
ciągłą doskonale wypełniającą przestrzeń, bez przerw i
wtrąceń
CIECZ

- nie przejawia tendencji do nieograniczonego

rozprzestrzeniania się = sprężystość objętościowa, mało
ściśliwe; zał. ciecz jest lepka i nieściśliwa
GAZ – duża ściśliwość = brak sprężystości postaciowej i
objętościowej, samoistnie dążą do wypełnia całej wolnej
przestrzeni; zał. nielepkie i ściśliwe

wielkości charakteryzujące:
Gęstość – ρ=m/V [kg.m-3]; ogólnie ρ= ρ(T,p);
Ciężar właściwy – γ (gama) ciężar właściwy γ = ρg [N.m-3],
[kg.m-2.s-2]; ciężar dG=gdm; objętością właściwą v =
odwrotnością gęstości;
Ściśliwość – ζ (dzeta); [m2.N-1] w przedziale ciśnień p1-p2
jest to wartość względnego zmniejszenia się objętości płynu,
przy zmianie ciśnienia o jednostkę; odwrotność współ.
ściśliwości, to moduł sprężystości Younga
Lepkość – η,ν (eta, ni); zdolność przenoszenia naprężeń
stycznych jeżeli sąsiednie warstwy płynu poruszają się z
różnymi prędkościami; dynamiczny współ. lepkości η
[kg/m.s] lub [N.s/m2]; jedn. techniczną 1P (poise); 1 P = 10-1
[kg/m.s]; kinematyczny współ. lepkości ν = η/ρ [m2/s], jedn.
techniczną 1 St (stokes) 1 St=10-4 m2/s

Płyn newtonowski lub tzw. doskonałymi = płyn w którym
nie występują naprężenia styczne, tj. lepkość jest zerowa.
Płyny doskonałe – pomijamy lepkość i ściśliwość (ciecze,
gazy- małe prędkości).
Płyny rzeczywiste - płyn lepki (newtonowski ) i ściśliwy.

SIŁY:
-masowe (objętościowe): 1. zewnętrzne: siły ciężkości
związane z polem grawitacyjnym, siły bezwładności
d'Alamberta w nieinercjalnym układzie odniesienia (np. ciecz
w zbiorniku nieruchoma, a zbiornik porusza się ruchem
niestacjonarnym), siły elektromagnetyczne; 2. wewnętrzne:
siły bezwładności, wynikające z ruchu niestacjonarnego
cieczy
-powierzchniowe: siły ciśnienia, siły styczne wywołane
tarciem w samym płynie lub płynu o ściany sztywne, napór
cieczy na ściany, siły hydrodynamiczne będące wynikiem
ruchu ciała stałego w płynie (siła nośna na skrzydłach
samolotu)
SIŁY STYCZNE: Naprężenia styczne wywołane są lepkością
cieczy. Przy założeniu cieczy newtonowskiej:

dn

dV

nt











a całkowita powierzchniowa siła styczna:









A

dA

dn

dV

T





Siły powierzchniowe występują zawsze niezależnie od tego
czy ciecz jest lepka czy nie, w spoczynku, czy w ruchu. Siły
powierzchniowe styczne nie występują w cieczach
idealnych. Przy założeniu cieczy rzeczywistych musi być
spełniony dodatkowy warunek: ciecz musi być w ruchu.

NAPÓR HYDROSTATYCZNY

napór na ściany płaskie = ciężar słupa cieczy, którego
podstawą jest dana ściana a wysokość głębokości środka
geometrycznego od zwierciadła cieczy;

A

gz

N

s





punkt przyłożenia siły naporu to środek naporu:

A

y

I

y

y

s

os

s

N







s

N

y

y



A

y

I

x

x

s

y

x

s

N

o

o





I

xy

biegunowy moment bezwładności względem osi xy

o

x

y

I

0

- biegunowy moment bezwładności względem osi

przechodzącej przez środek geometryczny figury, równoległej
do osi xy.

Liczby podobieństwa, zwane też liczbami kryterialnymi – to
bezwymiarowe współczynniki:
LICZBA REYNOLDSA – wyraża stosunek składowej siły
unoszenia do sił tarcia lepkiego; podstawowe kryterium
podobieństwa przepływów płynów lepkich nieważkich i
nieściśliwych; Re=lV

0

/ ν; l-charakterystyczny wymiar

liniowy, V

0

– stała prędkość charakterystyczna, ν- lepkość

kinematyczna;
pozwala oszacować występujący podczas ruchu płynu
stosunek sił czynnych (sił bezwładności) do sił biernych
związanych z tarciem wewnętrznym w płynie przejawiającym
się w postaci lepkości
wielkość liczby Reynoldsa pozwala na określenie kiedy ruch
płynu jest laminarny, a kiedy może pojawić się turbulencja

LICZBA FROUDE’A – wyraża stosunek siły unoszenia so
siły ciężkości; charakteryzuje podobieństwo przepływów z
uwagi na siły ciężkości; Fr=V

0

2

/gl;

oszacowanie względnej wielkości wyrazu związanego
z siłami bezwładności i siły grawitacji, zastosowanie
szczególnie w przepływach z powierzchnią swobodną

Kryterium Frounde’a jest sprzeczne z kryterium Reynoldsa to
znaczy: niemożliwe jest równoczesne zachowanie
podobieństwa oporu falowego i sił tarcia (w cieczach o tej
samej gęstości)

Liczba STROUHALA – wyraża stosunek lokalnej siły
bezwładności do składowej siły unoszenia, St=l/Vt
Liczba EULERA – wyraża stosunek sił ciśnienia do składowej
siły unoszenia, Eu=p/ρV

2

Liczba MACHA – stosunek prędkości przepływu do
prędkości rozchodzenia się dźwięku w tym gazie, dot. badania
przepływów płynów ściśliwych (gazów), Ma=V/c

REAKCJA HYDRODYNAMICZNA – reakcja ścian na ciecz,
występuje wszędzie tam, gdzie zachodzi zmiana pędu
strumienia równa jest pochodnej pędu po czasie i zwrócona
jest przeciwnie do zwrotu geometrycznego przyrostu
prędkości; R= ρQ(v

2

-v

1

)

ZASADA ZACHOWANIA KRĘTU, moment pędu (kręt);
kręt jest iloczynem wektorowym pędu i wektora promienia
u=ωr prędkość unoszenia

Równianie równowagi (rów. EULERA) umożliwia nam
analizę równowagi cieczy poddanej działaniu sił
ciśnieniowych

Równania EULERA:

Opisują one wyłącznie ruch płynu nie lepkiego, ponieważ
przy ich wyprowadzaniu nie uwzględniliśmy tarcia
wewnętrznego . Natomiast równania te odnoszą się zarówno
do płynów nieściśliwych (tzn. cieczy), jak i do gazów , a
różnica polega na traktowaniu gęstości bądź jako wielkości
stałej ,bądź te§ jako funkcji położenia i czasu.

Równanie Naiviera – Stokesa, postać wektorowa:



gdzie v=



/



- lepkość kinematyczna

dot. dynamiki płynów newtonowskich, nieściśliwych

RÓWNANIE CIĄGŁOŚCI wynika bezpośrednio z zasady
zachowania masy (czyli D/Dt*∫ ρdV=0)
dm/dt = d/dt * ∫ ρdV = 0

Masa układu (obszaru płynnego) pozostaje stała. Masa cząstki
elementarnej jest równa ρdV, gdzie dV jest objętością zajętą
przez cząstkę, a ρ jest gęstością płynu. Wiedząc, że gęstość
może się zmieniać w rożnych punktach układu, zachowanie
masy może być wyrażone przez całkę D/Dt*∫ ρdV=0.

RÓWNANIA BERNOULLIEGO
dla cieczy doskonałej

const

gz

p

v









2

2

dla płynu doskonałego

const

z

p

g

v

z

p

g

v













2

2

2

2

1

1

2

1

2

2





dla płynów nieściśliwych



1





F

dt

V

d

grad p

dla gazów nieściśliwych

const

p

v







2

2

dla gazów ściśliwych







dp

v

2

2

STRATY
Wychodząc z równania Bernouliego mamy

Wysokość strat tarcia gdzie :



- współczynnik tarcia

Wysokość strat lokalnych
gdzie:



- współczynnik strat miejscowych

Dla przepływu laminarnego; burzliwego:

Dynamika cieczy rzeczywistej – równanie Bernoulliego

















hstrat

z

p

g

v

z

p

g

v

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2









α – współ. Coriolisa
przepływ laminarny: α=2; 2v

sr

=v

max

przepływ burzliwy: α=1,06; v

max

/v

sr

=1,15-1,22

straty: liniowe i miejscowe

dV

dm

V

m

T

z

y

x

V













lim

0

)

,

,

,

(



,

1

x

p

q

z

v

v

y

v

v

x

v

v

t

v

X

X

Z

X

Y

X

X

X

































,

1

y

p

q

z

v

v

y

v

v

x

v

v

t

v

Y

Y

Z

Y

Y

Y

X

Y

































,

1

z

p

q

z

v

v

y

v

v

x

v

v

t

v

Z

ż

Z

ż

Y

Z

X

Z

































v

v

gradp

q

v

gradp

v

t

v

2

1

)

*

(



























































0

1

0

1

0

1

z

P

z

y

P

y

x

P

x







sm

strat

k

k

z

P

g

V

z

P

g

V















2

2

2

2

1

1

2

1

2

2





g

d

lv

k

strat

2

2





g

V

P

k

sm

2

2











Re

64





4

Re

316

,

0



