Prezentacja modelu

długości trwania

Piotr Bielawski

Przemysław Sowa

1

Model długości trwania

Australijski sektor węgla kamiennego

Autorzy: Anthony Lawrance i Robert Marks
Publikacja wyników: Marzec 2000
Przedmiot: Firmy wydobywające węgiel
Miejsce: Nowa Południowa Walia, Au
Okres badania: 1960 – 1999
Powód: Gwałtowny rozwój rynku spowodowany rozwojem

eksportu węgla
(1 mln ton w 1960 r., 78 mln ton w 1998 r.)

2

Co badamy?

•

Długość cyklu życia firmy wydobywającej węgiel

•

Początek cyklu życia:

a) moment podjęcia decyzji o wejściu do gałęzi
b) moment uzyskania licencji na wydobycie węgla
c) moment poniesienia pierwszych wydatków inwestycyjnych

•

Koniec cyklu życia: utrata większościowego udziału w ostatniej

kopalni węgla

3

Dane

•

Pochodzą z Joint Coal Board

•

39 obserwacji kompletnych – początek i koniec zawarły się w

czasie 39 lat badania

•

40 obserwacji ocenzurowanych – początek lub koniec przypadły

na okres odpowiednio przed 1960 lub po 1999

•

Obserwacji obustronnie ocenzurowanych lub krótszych niż rok

nie wzięto pod uwagę

4

Hipotezy postawione przez Lawrance’a i

Marksa

•

Ujemna korelacja pomiędzy wiekiem firmy a wartością funkcji

przeżywalności

•

Ujemna korelacja pomiędzy wielkością firmy (definiowaną jako

roczna wielkość produkcji) a wartością funkcji
przeżywalności

5

Analiza przeżywalności - krótkie

przypomnienie:

•

Funkcja przeżywalności (survival function)

S

t=1 −F t=Pr T t 

•

Dla

h

0

z wyrażenia

l

t , h=Pr tT th∣T t 

otrzymujemy funkcję hazardu (hazard function):

t =

f

t 

S

t 

•

Zintegrowana funkcja hazardu jest równa -log(funkcja
przeżywalności)

t=

∫

t

0

sds=−ln S t

6

Analizowane formy funkcyjne:

•

Estymator Kaplana-Meiera (Kaplan-Meier product-limit

estimator)

•

Rozkład Weibulla (Weibull distribution)

•

Mediana (median ranks)

•

Estymator MNW (Maximum likelihood estimators)

7

Metoda estymacji Kaplana-Meiera (1)

•

zastosowany z powodu braku propozycji parametrycznego
rozkładu dla przedsiębiorstw tej branży

•

czysto empiryczny, nieparametryczny sposób estymacji funkcji
hazardu i przeżywalności

•

wzory te stosujemy tylko w przypadku gdy obserwacje nie są
cenzurowane

•

w przypadku cenzurowania – stosujemy wzory zmodyfikowane

8

Metoda estymacji Kaplana-Meiera (2)

•

Funkcja przeżywalności szacowana wg wzoru:

S t=

∏

j :t

j

t

n

j

−d

j

n

j

gdzie:

n

j

– ilość istniejących firm w momencie t

j

d

j

– ilość firm które zakończyły działalność w

analizowanym okresie (completed durations)

•

Estymator funkcji hazardu:

T

k

=

d

k

n

k

9

Metoda estymacji Kaplana-Meiera (3)

10

Rozkład Weibulla (1)

•

Próba zastosowania modelu ciągłego wynika z natury procesów
ekonomicznych, które są bardziej ciągłe niż dyskretne: decyzja
wejścia lub wyjścia z branży może nastąpić w dowolnym dniu,
nie tylko na koniec roku

•

Założenie: istnieje związek między wielkością a długością
istnienia przedsiębiorstw

11

Rozkład Weibulla (2)

•

Funkcja przeżywalności:

S

t=1 −F t=exp−

t







•

Funkcja hazardu:

t= pt

p

−1

•

Parametry rozkładu szacowane na podstawie regresji

log

t =ab loglog [1/ S t ]c

a

=1 / b=exp

•

W celu sprawdzenia czy dobrano właściwy model –
zmodyfikowany test W (Shapiro)

12

Statystyka pozycyjna: mediana

•

Parametry rozkładu Weibulla są szacowane za pomocą regresji dla
wartości środkowych

•

Uzyskana w ten sposób funkcja przeżywalności przyjmuje
wartości mniejsze niż w przypadku metody Kaplana Meiera

•

Wartości środkowe są w tym przypadku lepsze niż wartości
średnie, ponieważ nie ma zagrożenia niedoszacowania nachylenia
funkcji

•

Problem z cenzurowaniem: 7 ocenzurowanych firm przetrwało
dłużej niż najdłuższy okres trwania spośród firm
nieocenzurowanych – w efekcie przesunięcie wykresu funkcji
przeżywalności w dół (niedoszacowanie)

13

Estymator największej wiarygodności

•

Szukamy parametrów MNW β i η funkcji przeżywalności dla
formy funkcyjnej Weibulla

•

Funkcja wiarygodności ma większą wartość niż uzyskana w
przypadku Kaplana-Meiera (nieznacznia różnica) i statystyk
pozycyjnych

•

Przy ilości obserwacji 85 stosowanie estymacji MNW jest
uzasadnione

14

Podsumowanie – formy funkcyjne (1)

15

Podsumowanie – formy funkcyjne (2)

16

Podsumowanie – formy funkcyjne (3)

•

rozkłady metodą MNW i Kaplana- Meiera są zbliżone

•

najlepsze rezulataty daje metoda MNW – wyższe niż w
przypadku Kaplana Meiera wartości funkcji przeżywalności
można interpretować jako uwzględnianie obserwacji
cenzurowanych z lepiej dopasowanymi wagami

17

Wnioski z metody MNW (1)

•

Średni czas życia przedsiębiorstwa wynosi 15.8 lat, a wartość
funkcji przeżywalności 0.41

•

Mediana długości trwania przedsiębiorstwa - 13.8 lat.

•

Parametr η (charakterystyczna długość życia) wynosi 17.6 lat, a
wartość funkcji przeżywalności 0.36 (uzyskujemy przez
podstawienie do funkcji przeżywalności t = η)

18

Wnioski z metody MNW (2)

•

Dla β < 1 funkcje hazardu dla wszystkich rozkładów Weibulla są
monotonicznie malejące

•

Dla β > 1 funkcje hazardu dla wszystkich rozkładów Weibulla są
monotonicznie rosnące

•

Dla β = 1 rozkład wykładniczy ze stałą funkcją hazardu

•

W tym przypadku: β = 1.5

•

Istnienie zależności pomiędzy długością trwania a wartością
funkcji hazardu potwierdza fakt, że dH(t)/dt ≠ 0 i mamy do
czynienia z negatywną zależnością.

•

Potwierdza to prawdziwość postawionej hipotezy (wynika
prawdopodobnie z wyczerpywania zasobów)

19

Zmiana w czasie

•

Hipoteza: średnia długość cyklu życia firmy nie zmieniała się

w trakcie badania

•

Podzielono próbę na dwie grupy umownie nazwane „Early” i

„Late” z linią podziału przypadającą na 30 czerwca 1979 roku

•

Test chi-kwadrat: nie ma podstaw do przyjęcia hipotezy o

równym rozkładzie grupy „Early” i „Late”- autorzy zakładają,

że długość spodziewanego cyklu życia rośnie z czasem

20

Podział na grupy „Early” oraz „Late”

21

Test interwałów

•

MLE eta (charakterystyczna długość życia) – rośnie wraz z

usuwaniem kolejnych 5-cio letnich okresów

•

MLE beta (nachylenie funkcji hazardu) – maleje wraz z
usuwaniem kolejnych okresów

•

Prawdopodobnie im później firma rozpoczęła działalność tym
większa jest jej szansa na dłuższy cykl życia

22

Wielkość a długość trwania

•

Hipoteza: średnia długość cyklu życia jest mniejsza dla dużej

firmy

•

Korelacja: ilorazów – wielkość produkcji firmy na rok przed

zakończeniem działalności do wielkości produkcji całej branży

skupionej w NSW

•

Korelacja wynosi 0.29 toteż nie mamy podstaw do stwierdzenia,
że duża firma szybciej wydobędzie zasoby niż mała, innymi
słowy funkcja przeżywalności nie ma większej wartości dla
małych firm niż dla dużych, ani na odwrót

•

Trend w innych branżach wskazuje na wyższą wartość funkcji
hazardu dla małych firm

23

Dziękujemy za uwagę

24