SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 5, 2010-11-04
Tabela pochodnych funkcji elementarnych:
f (x)
f
0
(x)
Założenia
f (x)
f
0
(x)
Założenia
x
α
αx
α−1
x > 0 , α ∈ R
tgh x
1
cosh
2
x
ln x
1
x
x > 0
ctgh x
−
1
sinh
2
x
x 6= 0
e
x
e
x
sin x
cos x
arc sin x
1
√
1 − x
2
x ∈ (−1, 1)
cos x
− sin x
arc cos x −
1
√
1 − x
2
x ∈ (−1, 1)
tg x
1
cos
2
x
x 6=
2k+1
2
π , k ∈ Z
arc tg x
1
1 + x
2
ctg x
−
1
sin
2
x
x 6= kπ , k ∈ Z
arc ctg x
−
1
1 + x
2
sinh x
cosh x
cosh x
sinh x
Pochodna jednostronna
Definicja: Pochodną prawostronną funkcji f : D → R w punkcie x takim, że < x, x+) ⊂ D
dla pewnego > 0 nazywamy granicę:
f
0
(x
+
) = lim
h→0
+
f (x + h) − f (x)
h
Analogicznie, pochodną lewostronną funkcji f : D → R w punkcie x takim, że (x−, x >⊂ D
dla pewnego > 0 nazywamy granicę:
f
0
(x
−
) = lim
h→0
−
f (x + h) − f (x)
h
Twierdzenie: Funkcja jest różniczkowalna w punkcie x wtedy i tylko wtedy, gdy ma po-
chodną lewostronną równą pochodnej prawostronnej.
Przykład: Obliczyć f
0
(0
+
) jeżeli f (x) =
√
x
3
D =< 0, ∞) , a więc nie można obliczyć pochodnej f
0
(0) . Pochodna prawostronna jest
równa:
f
0
(0
+
) = lim
h→0
+
√
h
3
− 0
h
= lim
h→0
+
√
h = 0
Przykład: Pokazać że funkcja f (x) = |x| nie jest różniczkowalna w punkcie x = 0
f
0
(0
+
) =
x
0
|
x=0
= 1
f
0
(0
−
) =
−x
0
|
x=0
= −1
Ponieważ f
0
(0
+
) 6= f
0
(0
−
) więc pochodna f
0
(0) nie istnieje.
Twierdzenie Jeśli f jest różniczkowalna w x ∈ D to jest w tym punkcie ciągła
1
Dowód: Niech x + h ∈ D i h 6= 0 . Wtedy
lim
h→0
f (x + h) − f (x)
= lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
· h = f
0
(x) · 0 = 0
Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przykład funkcja f (x) = |x| jest
ciągła w x = 0, a nie jest w tym punkcie różniczkowalna.
Przykład: Dla jakich a, b ∈ R jest różniczkowalna funkcja f : R → R :
f (x) =
e
x
dla x > 0
ax + b dla x ¬ 0
Rozwiązanie:
Funkcja jest różniczkowalna na zbiorze (−∞, 0) ∪ (0, ∞) . Pozostaje sprawdzić różniczko-
walność w punkcie x = 0. Aby funkcja była różniczkowalna musi być ciągła w tym punkcie,
czyli:
f (0
+
) = f (0
−
) = f (0)
1 = b = b
Obliczamy oddzielnie pochodną lewostronną i prawostronną:
f
0
(0
+
) = e
x
|
x=0
= 1
Uwaga: Obliczając tę pochodną korzystamy już z ciągłości f w punkcie x = 0 .
f
0
(0
−
) = a
Czyli:
a = 1
Odpowiedź: Dla a = 1 , b = 1 funkcja jest różniczkowalna.
Pochodna nieskończona
Jeśli granica ilorazu różnicowego w punkcie x jest równa ∞ albo −∞ to prosta styczna do
wykresu funkcji jest w tym punkcie prostą pionową.
Różniczka
Niech dana będzie funkcja f : D → R oraz punkt x ∈ int D . Różniczką funkcji f w punkcie
x nazywamy funkcję liniową: df : R → R , df (dx) = a · dx taką, że:
lim
dx→0
f (x + dx) − f (x) − a · dx
dx
= 0
Widać, że różniczka funkcji f istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje jej pochodna, oraz:
df = f
0
(x) · dx
Uwaga 1: Jeżeli przesuniemy układ współrzędnych tak, aby jego początek był w punkcie
(x, f (x)) to różniczka funkcji jest funkcją liniową przechodzącą przez początek przesuniętego
układu współrzędnych. Jej wykresem jest prosta styczna do wykresu funkcji. Pochodna f
0
(x)
jest współczynnikiem kierunkowym tej prostej.
Uwaga 2: Różniczkę funkcji można traktować jako liniowe przybliżenie przyrostu funkcji:
∆f ≈ df
Błąd tego przybliżenia = ∆f − df dla małych przyrostów argumentu dx jest dużo mniejszy
niż dx; stosunek
dx
dąży do zera. Wykorzystując różniczkę w ten sposób zakładamy, że dx
jest małe (nieskończenie małe). W zastosowaniach fizycznych pochodnej najczęściej przybliża
się przyrost funkcji jej różniczką.
Uwaga 3: Różniczkę funkcji można również traktować jako równanie prostej stycznej do
wykresu funkcji. Wtedy nie zakładamy, że przyrost argumentu dx jest mały, ale różniczka
wyznacza punkt na prostej stycznej, który dla dużych dx może być daleki od wykresu funkcji.
2
Uwaga 4: Symbol pochodnej
df
dx
można interpretować jako stosunek różniczki funkcji do
różniczki argumentu. Np. wzór na pochodną funkcji złożonej: h(x) = f (g(x)) przy oznaczeniu
y = g(x) mamy:
dh
dx
=
dh
dy
·
dg
dx
.
Często stosuje się oznaczenia: g(x) → y(x) , h(x) → f (x) ; wtedy mamy wzór:
df
dx
=
df
dy
·
dy
dx
Przykład: Obliczyć różniczkę funkcji f (x) = arc tg 2x w punkcie x = 1
df = f
0
(x)dx
f
0
(x) =
2
1 + 4x
2
f
0
(1) =
2
5
Stąd:
df =
2
5
dx
Przykład: Obliczyć przybliżoną wartość
√
4, 01
Niech f (x) =
√
x , x
0
= 4 , dx = 0, 01
Szukamy f (x
0
+ dx). Mamy:
f (x
0
+ dx) − f (x
0
) = ∆f ≈ df
f (x
0
+ dx) ≈ f (x
0
) + df
f (x
0
) = 2
df = f
0
(x
0
)dx
f
0
(x) =
1
2
√
x
f
0
(4) =
1
4
Stąd: df =
1
4
dx = 0, 0025
Czyli:
√
4, 01 ≈ f (x
0
) + df = 2, 0025
Przykład: Znaleźć równanie prostej stycznej do wykresu funkcji y =
2x
x − 1
w punkcie x = 2
Niech y(x) =
2x
x − 1
, x
0
= 2 , dx = (x − x
0
) , y
0
= y(x
0
) = 4 , dy = (y − y
0
)
(Punkt P (x, y) jest punktem na prostej stycznej, a nie na wykresie funkcji, nie zakładamy,
że dx jest małe)
Obliczamy różniczkę:
dy = y
0
(x
0
)dx
y
0
=
2(x − 1) − 2x
(x − 1)
2
=
2
(x − 1)
2
y
0
(x
0
) = 2
dy = 2dx
Stąd równanie prostej stycznej:
y − 4 = 2(x − 2)
y = 2x
Przykład: Pokazać, że wykresy funkcji f (x) = x
2
i g(x) = 2 ln x + 1 są styczne w punkcie
x = 1
Wykresy są styczne, gdy przecinają się. czyli f (1) = g(1) , oraz mają tę samą prostą styczną,
czyli f
0
(1) = g
0
(1)
f (1) = 1
2
= 1
3
g(1) = 2 ln 1 + 1 = 1
czyli f (1) = g(1)
f
0
(x) = 2x
f
0
(1) = 2
g
0
(x) = 2
1
x
g
0
(1) = 2
czyli f
0
(1) = g
0
(1)
Definicja Niech D będzie zbiorem otwartym. Funkcję f : D → R nazywamy funkcją róż-
niczkowalną wtedy i tylko wtedy, gdy jest rózniczkowalna dla każdego x ∈ D.
Uwaga: Podobnie mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna na zbiorze A ⊂ D wtedy i tylko
wtedy, gdy jest rózniczkowalna dla każdego x ∈ A.
Pochodna jako funkcja
Dla ustalonego x ∈ D , pochodna f
0
(x) jest liczbą. Jeżeli punkt x będzie się zmieniał, to
pochodną f
0
(x) możemy traktować jak funkcję f
0
: D
1
→ R. D
1
⊂ D . Może się przy tym
zdarzyć, że dziedzina pochodnej nie będzie równa dziedzinie funkcji.
Uwaga Funkcje elementarne są różniczkowalne na całej swojej dziedzinie z wyjątkiem funk-
cji:
1. f (x) = x
α
w punkcie x = 0 dla α ∈ (0, 1) oraz dla α > 1 takich, że D =< 0, ∞)
2. f (x) = |x| w punkcie x = 0
3. f (x) = arc sin x w punkcie x = ±1
4. f (x) = arc cos x w punkcie x = ±1
Uwaga: Jeżeli uwzględnimy zmianę argumentu, to różniczka jest funkcją dwóch zmiennych:
df (x, dx) = f
0
(x)dx
Przykład: Pochodna funkcji nie musi być funkcją ciągłą. Na przykład funkcja :
f (x) =
x
2
sin
1
x
dla x 6= 0
0
dla x = 0
Ma dla x 6= 0 pochodną:
f
0
(x) = 2x sin
1
x
+ x
2
cos
1
x
·
−1
x
2
= 2x sin
1
x
− cos
1
x
A dla x = 0
f
0
(0) = lim
h→0
h
2
sin
1
h
h
= lim
h→0
h sin
1
h
= 0
Funkcja:
f
0
(x) =
2x sin
1
x
− cos
1
x
dla x 6= 0
0
dla x = 0
nie jest ciągła w x = 0, ponieważ nie istnieje granica lim
x→0
(2x sin
1
x
− cos
1
x
)
Definicja Niech D ⊂ R będzie zbiorem, a f : D → R. Funkcję f nazywamy:
• klasy C wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na D.
• klasy D
1
wtedy i tylko wtedy, gdy jest jest różniczkowalna na D
• klasy C
1
wtedy i tylko wtedy, gdy jest jest różniczkowalna na D i jej pochodna f
0
jest
ciągła na D
4
Uwaga 1: Zbiór wszystkich funkcji klasy C na zbiorze D oznaczamy C(D). Podobnie sto-
sujemy oznaczenia D
1
(D) , C
1
(D).
Uwaga 2: Dla funkcji klasy C dziedzina funkcji f może być dowolnym zbiorem. Dla funkcji
klasy D
1
i C
1
dziedzina zwykle jest zbiorem otwartym. Czasami wygodnie jest, korzystając
z pochodnej jednostronnej, rozszerzyć definicję na inne zbiory. Np. dla funkcji klasy D
1
<
a, b >
i C
1
< a, b >
traktujemy pochodną w punktach a i b jako pochodną jednostronną.
Uwaga 3: Wykres funkcji klasy C
1
określonej ma przedziale nazywamy krzywą gładką.
Wyższe pochodne
Definicja: Drugą pochodną funkcji f : D → R w punkcie x
0
∈ int D nazywamy pochodną
funkcji f
0
(x) w punkcie x
0
:
f
00
(x
0
) = (f
0
(x))
0
|
x=x
0
Uwaga 1: Aby istniała druga pochodna f w punkcie x
0
musi istnieć pierwsza pochodna
funkcji f w pewnym otoczeniu punktu x
0
, oraz granica ilorazu różnicowego funkcji f
0
(x).
Uwaga 2: Jeżeli istnieje druga pochodna f
00
(x
0
) to pierwsza pochodna f
0
(x) jest ciągła w
punkcie x
0
.
Przykład: Obliczyć f
00
(x) jeśli f (x) = x ln x
f
0
(x) = ln x + x
1
x
= ln x + 1
f
00
(x) = (f
0
(x))
0
= (ln x + 1)
0
=
1
x
Definicja: Analogicznie definiujemy n-tą pochodną funkcji f : D → R w punkcie x
0
∈ int D
f
(n)
(x
0
) =
f
(n−1)
(x)
0
|
x=x
0
Przykład: Obliczyć f
IV
(x) jeśli f (x) = x
5
+ 4x + e
2x
f
0
(x) = 5x
4
+ 4 + 2e
2x
f
00
(x) = (f
0
(x))
0
= (5x
4
+ 4 + 2e
2x
)
0
= 20x
3
+ 4e
2x
f
000
(x) = (f
00
(x))
0
= (20x
3
+ 4e
2x
)
0
= 60x
2
+ 8e
2x
f
IV
(x) = (f
000
(x))
0
= (60x
2
+ 8e
2x
)
0
= 120x + 16e
2x
Pochodna iloczynu: (f (x)g(x))
(n)
=
n
P
k=0
n
k
(f (x))
(k)
(g(x))
(n−k)
Przykład: Obliczyć (x
2
e
x
)
(20)
Niech f (x) = x
2
, g(x) = e
x
Wtedy:
f
0
(x) = 2x , f
00
(x) = 2 , f
000
(x) = f
IV
(x) = · · · = f
(20)
(x) = 0
g
0
(x) = g
00
(x) = · · · = g
(20)
(x) = e
x
Stąd:
(x
2
e
x
)
(20)
=
20
0
x
2
e
x
+
20
1
2xe
x
+
20
2
2e
x
= x
2
e
x
+ 40xe
x
+ 380e
x
Definicja Niech D będzie zbiorem otwartym. Funkcję f : D → R nazywamy funkcją klasy
C
n
jeśli jest różniczkowalna n razy na D i jej n-ta pochodna f
(n)
jest ciągła na D. Fumckję
nazywamy funkcją klasy C
∞
jeśli ma na D pochodne dowolnego rzędu.
Związek funkcji i jej pochodnej
Poniższe twierdzenia są podstawą wielu bardzo ważnych zastosowań pochodnych. Twierdze-
nie te wyrażają związek pomiędzy funkcją a jej pochodną.
5
Twierdzenie Rolle’a Niech dana będzie funkcja f :< a, b >→ R ciągła na < a, b > i
różniczkowalna na (a, b), oraz taka, że f (a) = f (b) . Wtedy istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że
f
0
(c) = 0
Twierdzenie Lagrange’a Niech dana będzie funkcja f :< a, b >→ R ciągła na < a, b > i
różniczkowalna na (a, b). Wtedy istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że
f (b) − f (a) = f
0
(c) · (b − a)
Twierdzenie Cauchy’ego Niech dane będą funkcje f, g :< a, b >→ R ciągłe na < a, b > i
różniczkowalne na (a, b). Niech ponadto g
0
(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b). Wtedy istnieje punkt c ∈ (a, b)
taki, że
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
Zastosowania tych twierdzeń:
Reguła de L’Hospitala
Twierdzenie: Niech f, g : D → R , gdzie D = (x
0
− , x
0
+ ) \ {x
0
} będą funkcjami ró-
zniczkowalnymi oraz ∀x ∈ D (g
0
(x) 6= 0) . Niech istnieją i są równe zeru granice: lim
x→x
0
f (x) =
lim
x→x
0
g(x) = 0. Jeśli istnieje granica lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
= b to istnieje też granica lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= b
Uwaga 1 Reguła de L’Hospitala umożliwia liczenie granic typu
0
0
poprzez obliczanie granic
ilorazu pochodnych.
Uwaga 2 Twierdzenie działa tylko w jedną stronę: jeżeli granica ilorazu pochodnych nie
istnieje to z tego nie wynika , że nie istnieje granica ilorazu funkcji.
Uwaga 3 Twierdzenie to można uogólnić na granice typu
∞
∞
oraz x
0
= ±∞ , b = ±∞
Przykład: Obliczyć granicę:
lim
x→0
1 − cos x
sin x
2
Jest to granica typu
0
0
. Obliczamy granicę:
lim
x→0
f
0
(x)
g
0
(x)
= lim
x→0
sin x
2x cos x
2
Jest to granica typu
0
0
. Obliczamy granicę:
lim
x→0
f
0
(x)
g
0
(x)
= lim
x→0
cos x
2 cos x
2
− 4x
2
sin x
2
=
1
2
Granica ta isnieje, a więc
lim
x→0
1 − cos x
sin x
2
=
1
2
Jezeli chcemy stosować regułę de L’Hospitala w przypadku innych symboli nieoznaczonych
musimy je najpierw przekształcić do symbolu
0
0
lub
∞
∞
Przykład: 0 · ∞ Obliczyć granicę: lim
x→0
x ln x
lim
x→0
x ln x = lim
x→0
ln x
1
x
=
H
lim
x→0
1
x
−
1
x
2
= lim
x→0
−x = 0
Przykład: ∞ − ∞ Obliczyć granicę: lim
x→0
1
x
−
1
sinh x
6
lim
x→0
1
x
−
1
sinh x
= lim
x→0
sinh x − x
x sinh x
=
H
lim
x→0
cosh x − 1
sinh x + x cosh x
=
H
lim
x→0
sinh x
cosh x + cosh x + x sinh x
=
1
2
Uwaga: Granice 1
∞
, ∞
0
,0
0
obliczamy przekształcając wyrażenie f
g
= e
ln f
g
= e
g ln f
, a
następnie obliczając granicę g ln f typu 0 · ∞
Przykład: 1
∞
Obliczyć granicę: lim
x→∞
2
π
arc tg x
x
2
π
arc tg x
x
= e
x ln
2
π
arc tg x
!
lim
x→∞
x ln
2
π
arc tg x
= lim
x→∞
ln
2
π
arc tg x
1
x
=
H
lim
x→∞
2
π(1 + x
2
)
2
π
arc tg x
−
1
x
2
= lim
x→∞
−x
2
(1 + x
2
) arc tg x
=
lim
x→∞
−1
(
1
x
2
+ 1) arc tg x
= −
2
π
stąd:
lim
x→∞
2
π
arc tg x
x
= e
−
2
π
7
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Analiza Wykład 6 (16 11 10) ogarnijtemat com
Analiza Wykład 7 (18 11 10) ogarnijtemat com
Analiza Wykład 6 (16 11 10) ogarnijtemat com
Algebra Wykład 6 (09 11 10) ogarnijtemat com
Analiza Wykład 8 (25 11 10)
Analiza Wykład 4 (28 10 10) ogarnijtemat com
Analiza Wykład 2 (14 10 10) ogarnijtemat com
Analiza Wykład 10 (09 12 10) ogarnijtemat com
więcej podobnych podstron