Test próbny

1. Granice nast¦puj¡cych ci¡gów przy n → ∞ wynosz¡
(a)

√

n

2

+ 2n −

√

n

2

− 2n → 2

;

(b)

1 +

1

n

3n

→ e

2

;

(c)

(−4)

n

+7n

3

3

n

+n

41

→ −4

.

2. Dla macierzy A i B

A =





1

1

−1

1

−3

2

−1

2

−1





,

B =





−3
−1

2





(a)

macierz AB ma wyraz a

21

= −2

;

(b)

macierz BA ma wyraz a

23

= 6

;

(c)

wyznacznik macierzy A wynosi 3.

3. Dla macierzy C i D

C =

5

1

3

3



,

D =

 1

−1

−2

0



(a)

macierz CD ma wyraz a

22

= 6

;

(b)

macierz C ma wyznacznik równy 12;

(c)

macierz B ma wyznacznik równy -2.

4. Sprawd¹ prawdziwo±¢ stwierdze«
(a)

je»eli f(x) =

x

2

−1

2x

2

+1

to f

0

(2) = 2

;

(b)

je»eli pochodna jest ujemna to funkcja jest rosn¡ca;

(c)

funkcja ci¡gªa w punkcie ma w tym punkcie granic¦.

5. Sprawd¹ prawdziwo±¢ stwierdze«
(a)

koniunkcja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy obydwa zdania s¡ prawdziwe;

(b)

alternatywa jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy obydwa zdania s¡ prawdziwe;

(c)

implikacja jest faªszywa wtedy i tylko wtedy gdy z faªszu wynika prawda.

6. Sprawd¹ prawdziwo±¢ zda«
(a)

f (x) = x

3

, x ∈ R to funkcja ró»nowarto±ciowa;

(b)

funkcja ró»nowarto±ciowa i na ma funkcj¦ odwrotn¡;

(c)

zªo»enie f(g(x)) = 3(x + 2)

4

gdzie f(x) = 3x

2

a g(x) = x + 1.

7. Sprawd¹ nast¦puj¡ce równo±ci pot¦gowe
(a)

3

6

3

−3

16

−7/4

= 4

;

(b)

√

6416

−1/2

8

1.5

= 12

;

(c)

(−3)

2

27

−2

18

−1/2

= 12

.

8. Sprawd¹ nast¦puj¡ce równo±ci logarytmiczne
(a)

log

2

8

3

= 6

;

(b)

log

3

1 = 3

;

(c)

log

3

18 − log

3

81 = 3

.

9. Oblicz granice funkcji przy x → 1
(a)

f (x) = (3x

2

)

2x

→ 9

;

(b)

f (x) =

x

2

−1

2x−2

→ 0

;

(c)

f (x) = log x → ∞

.

10. Oblicz pochodne funkcji
(a)

((3x

2

)

2x

)

0

= x

2

;

(b)

(

x

3

−1

2x

2

−2

cos x)

0

= − sin x + x

;

(c)

(

√

x

5

+ 5)

0

=

√

x

3

.

1