ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
1
Pojęcia całki
- jest to działanie odwrotne do pochodnej.
′
=
+
=
= ⋅
+
+
f
x
x
x
F x
F x
x
x
C
( )
( )
?
( )
5 2
6
5
3
3
6
2
Obliczyć całkę to odpowiedzieć na pytanie jak wyglądała funkcja która ma taką pochodną.
gdzie stała C może byc dowolną liczbą
f x dx
F x
C
F x
f x
( )
( )
( )
( )
∫
=
+
′
=
Wzory:
1.
x
n
dx
xn
n
C
n
=
+
+
+
≠ −
∫
1
1
1
dla
2.
gdy x = -1 to
1
x
dx
x C
=
∫
+
ln| |
3.
Cf x dx
C f x dx
( )
( )
=
∫
∫
4.
(
)
f x
g x dx
f x dx
g x dx
( )
( )
( )
( )
±
=
±
∫
∫
∫
5.
1
1
1
x
dx
x
dx
C
−
∫
=
−
+
ln(
)
Przykład:
1
5 2
1
5
2
5
3
3
1
1
2
1
1
2
5
3
3
3
2
3
2
x
x
x dx
x
dx
x dx
xdx
x
x
x
C
x
x
x
C
+
+
=
∫
+
∫
+
∫
=
+ ⋅
+
+ =
∫
=
+
+
+
ln| |
ln| |
Przykład:
(
)
x
dx
xdx
dx
x
x
C
x
x
C
+
=
+
=
+
+
+
+ =
+ +
∫
∫
∫
1
1
2
2
0 1
0
1
2
2
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
2
Przykład:
3 5
5
2
1
3
1
5
5
2
1
2
+
+
+
∫
=
∫
+
+
− +
−
∫
∫
∫
=
x
x
x
dx
dx
x dx
x
x
=
+
+
+
+
+
+
− +
− +
+
− +
− +
+ =
+
+ −
− +
+ =
3
0 1
0 1
1
5
1
1
1
5
5
2 1
2
1
1
2
1
1
2
1
3
5
6
6
5
5
1
1
2
1
2
x
x
x
x
C
x
x
x
x
C
(
)
=
+
− − +
+
3
5
6
6
5
5
1
2
1
2
x
x
x
x
C
Przykład:
1
1
1
1
1
x
dx
x
t
x
dx
dx
dt
−
∫
=
− =
− ′ =
=
podstawiamy
liczymy pochodn
ą
stronami:
(
)
(
)
1
1
1
x
dx
dt
t C
x
dx
C
−
∫
=
=
+ =
−
+
∫
1
t
ln| |
ln(
)
Przykład:
1
3
2
3
2
3
3
x
dx
x
t
dx
dt
dx
dt
+
∫
=
+
=
=
=
podstawiamy
liczymy pochodn
ą
stronami:
(
)
1
3
1
3
1
1
3
1
3
3
2
t
dt
t
dt
t C
x
C
=
=
+ =
∫
∫
=
+ +
ln| |
ln|
|
Przykład:
(
)
3
5
3
5
3
3
x
dx
x
t
dx
dt
dx
dt
+
∫
=
+
=
=
=
podstawiamy
liczymy pochodną stronami:
(
)
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
3
(
)
(
)
3
5
1
3
1
3
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
1
3
2
3
3
2
2
9
3
2
2
9
3
5
3
2
x
dx
dx
t dt
t dt
t
C
t
C
t
C
x
C
+
∫
=
∫
=
∫
=
∫
= ⋅
+
+
+ = ⋅ ⋅
+ =
+ =
=
+
+
t
Przykład:
x
x
dx
x
t
x dx
dt
dx
dt
2
3
5
3
5
3
2
3
+
∫
=
+
=
=
=
podstawiamy
liczymy pochodną stronami:
x2
(
)
=
∫
=
∫
= ⋅
+
+
+ = ⋅ ⋅
+ = ⋅
+
+
t
dt
t
t dt
t
C
t
C
x
C
1
3
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
1
3
2
3
2
3
2
9
3
5
3
2
Uproszczenia możliwe w obliczeniach:
Uproszczenie 1.
Wyprowadzenie:
Rozwiążmy poniższy przykład:
1
2
1
2
1
2
2
x
dx
x
t
dx
dt
dx
dt
+
∫
=
+ =
=
=
podstawiamy
liczymy pochodną stronami:
(
)
=
=
∫
+ +
1
2
1
2
2
1
t
dt
x
C
ln|
|
Uproszczenie 1.
Końcowy wzór:
Jeżeli w mianowniku jest funkcja a w liczniku jest pochodna tej funkcji to całka jest równa:
ln| ( )|
f x
C
+
Przykład1:
(
)
(
)
1
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
x
dx
x
dx
x
dx
x
C
+
∫
=
⋅
∫
+
=
+
=
∫
+ +
ln|
|
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
4
Przykład2:
1
2
5
1
2
2
2
5
1
2
2
2
5
1
2
2
5
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
C
+
∫
=
⋅
∫
+
=
∫
+
=
+ +
ln|
|
Uproszczenie 2.
Wyprowadzenie:
Rozwiążmy następujący przykład:
dx
x
x
2
5
6
+
+
∫
Nie możemy zastosować poznanych wcześniej wzorów. Stosujemy metodę rozkładu na
ułamki proste.
Sprowadzamy mianownik do postaci rozłożonej.
∆ =
−
=
−
=
b
ac
2
4
25
24
1
∆ =
1
x1
5 1
2
3
= − − = −
x1
5 1
2
2
= − + = −
dx
x
x
dx
dx
x
x
x
x
dx
dx
x
x
dx
2
5
6
1
2
3
2
+
+
∫
=
−
−
∫
=
+
+
∫
(
)(
)
(
)(
)
Gdyby wyrażenie:
1
3
2
(
)(
)
x
x
+
+
można było przedstawić jako sumę dwu wyrażeń
A
x
B
x
(
)
(
)
+
+
+
3
2
to można by było zastosować znane już wzory.
Zakładamy, że są takie wartości A i B które spełniają te wyrażenia. Dokonajmy więc
przekształcenia takiej sumy wyrażeń:
1
3
2
3
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
3
3
2
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
x
x
A
x
B
x
A x
B( x
x
x
Ax
A
Bx
B
x
x
x A
B
A
B
x
x
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
czyli:
1
3
2
2
3
3
2
(
)(
)
(
)
(
)(
)
x
x
x A
B
A
B
x
x
+
+
=
+
+
+
+
+
Jeżeli strony równania są równe przy jednakowych mianownikach, więc liczniki są też równe.
Możemy więc napisać:
1
2
3
=
+
+
+
x A
B
A
B
(
)
Obliczamy wartość A i B dla których równanie będzie prawdziwe. Aby „x” nie miał wpływu
na wyrażenie musi być spełniony warunek :
x(A+B) = 0
będzie to zawsze spełnione gdy:
A + B = 0
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
5
Przy takim warunku całe wyrażenie
1
2
3
=
+
+
+
x A
B
A
B
(
)
będzie prawdziwe gdy 2A+3B = 1
Możemy napisać układ równań z których wyliczymy wartość A i B :
A
B
A
B
+ =
⋅
+
=
0
2
3
1
| (-2)
−
− =
+
=
+ =
=
2
2
0
2
3
1
0
1
1
A
A
B
B
B
A
B
A
A
+ =
+ =
= −
0
1
0
1
Całe nasze wyrażenie przybierze postać:
dx
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
C
(
)(
)
ln|
| ln|
|
+
+
∫
=
−
+
+
∫
+
=
∫
−
+
+
∫
+
=
∫
−
+ +
+ +
3
2
1
3
1
2
1
3
1
2
3
2
Uproszczenie 2.
Końcowy wzór:
dx
x
x
dx
x
x
C
(
)(
)
ln|
| ln|
|
+
+
∫
= −
+ +
+ +
3
2
3
2
Temat:
Pojęcia całki
- część dalsza
Wzory:
e xdx
e x
C
∫
=
+
sin
cos
xdx
x
C
= −
+
∫
cos
sin
xdx
x
C
=
+
∫
tgxdx
x
x
dx
=
∫
∫
=
sin
cos
a
cos
sin
sin
x
t
xdx
dt
xdx
dt
=
−
=
= −
obl. pochodn
ą
z obu stron
a
= −
∫
= −
+
= −
+
∫
dt
t
x C
tgxdx
x C
ln|cos |
ln|cos |
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
6
f x g x dx
g x F x
F x g x dx
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
−
′
∫
∫
Przykład:
x e
x
dx
f x
e x
F x
e x
g x
x
g x
x
x e x dx
x e x
xe x dx
2
2
2
2
2
2
∫
=
→
=
=
→
′
=
∫
=
−
∫
- mamy tu całk
ę
z mno
ż
enia
- mamy tu nast
ę
pn
ą
całk
ę
z mno
ż
enia, post
ę
pujemy podobnie
( )
( )
( )
( )
f x
e x
F x
e x
g x
x
g x
( )
( )
( )
( )
=
→
=
=
→
′
=
1
=
−
∫
=
−
−
∫
=
=
−
−
+
x e x
xe x dx
x e x
xe x
e xdx
x e
x
xe
x
e
x
C
2
2
2
2
2
2
Przykład:
x
x dx
f x
x
F x
x
g x
x
g x
x
3
3
4
4
1
ln
( )
( )
( )
ln
( )
- mamy tu całkę z mnożenia
∫
=
→
=
=
→
′
=
=
−
⋅
∫
−
∫
=
=
− ⋅
+
x
x
x
x
dx
x
x
x dx
x
x
x
C
4
4
4
4
1
4
4
1
4
3
4
4
1
4
4
4
ln
ln
ln
=
Przykład:
ln
ln
ln
x dx
x dx
x dx
- nie mamy wzoru na taką całkę, ale możemy ją zapisać jako:
=
∫
∫
⋅
∫ 1
mamy więc całkę z mnożenia :
Rozwiązujemy ją w znany sposób:
1
1
1
1
⋅
∫
⋅
∫
=
→
=
=
→
′
=
ln
ln
( )
( )
( )
ln
( )
x dx
x dx
f x
F x
x
g x
x
g x
x
= ⋅
−
⋅
∫
−
∫
=
=
− +
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
C
ln
ln
ln
1
=
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
7
= ⋅
−
⋅
∫
−
∫
=
∫
=
− +
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x dx
x
x
x
C
ln
ln
ln
ln
1
=
Przykład:
x
x dx
f x
x
F x
x
g x
x
g x
sin
( )
sin
( )
cos
( )
( )
- mamy tu całkę z mnożenia
∫
=
→
= −
=
→
′
=
1
= − ⋅
−
−
∫
− ⋅
+
∫
=
= − ⋅
+
+
x
x
x dx
x
x
xdx
x
x
x
C
cos
( cos )
cos
cos
cos
sin
1
=
1
1
2
+
∫
=
+
x
dx
arctgx
C
Wzór do zapamiętania!
Co to jest arctg?
tg
arctg
30
0
3
3
3
3
30
0
=
→
=
tg
arctg
450
1
1
450
=
→
=
Przykład:
dx
x
2
4
+
∫
dx - wykorzystamy powy
ż
szy wzór:
dx
x
dx
x
dx
x
x
t
x= t
dx= dt
2
4
4
2
4
1
1
4
2
2
1
2
2
2
+
∫
=
+
∫
=
+
∫
=
=
∗
dx
dx
dx
| 2
=
+
∫
=
+
∫
=
+
1
4
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
dt
t
dt
t
arctg
x
C
dx
dx
Przykład:
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
8
dx
x
dx
x
dx
x
x
t
dx
dt
dt
dt
t
arctg
x
C
2
2
5
2
2
5
1
2
5
2
1
2
5
2
5
5
2
5
2
2
1
5
2
2
5
+
∫
⋅
+
∫
⋅
⋅
+
∫
=
⋅ =
=
= ⋅
⋅
+
∫
= ⋅
⋅
+
dx =
1
5
dx =
1
5
dx
dx =
1
5
dx
1
5
Matematyka.
Ćwiczenia - Rozwiązywanie całek..
Przykład:
3
2
5
7
1
3
2
5
7
1
1
x
x
x
x dx
x
xdx
dx
x
dx
x x dx
−
+ − +
=
−
−
∫
−
+
∫
∫
∫
∫
=
∫
=
−
−
−
−
+ =
−
−
−
−
+
3
3
3
5
2
2
7
3
2
3
2
3
5
2
2
7
2
3
3
2
x
x
x
x
x
C
x
x
x
x
x
C
ln| |
ln| |
Przykład:
7
3
21
5
1
2
5
7
3
21
1
5
2
5
1
2
7 4
4
21
2
2
x
x
x
x
x
dx
x dx
xdx
x dx
x
x
x
x
C
−
+
−
+
=
∫
−
∫
+
∫
−
−
∫
+
∫
=
−
+
∫
Przykład:
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
x
dx
x
t
dx
dt
dx
dt
t
dt
dt
t
t C
x
C
+
=
+ =
=
=
=
⋅
=
=
+ =
=
+ +
∫
∫
∫
.
(
)
ln| |
ln|
|
podstawiamy
liczymy pochodną stronami:
Przykład:
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
9
6
5
7
6
6
5
7
5
7
5
6
1
5
6
5
1
6
5
6
5
5
7
x
dx
x
dx
x
t
dx
dt
t
dt
t
dt
t
C
x
C
−
=
−
=
− =
=
=
⋅
=
=
+ =
=
− +
∫
∫
∫
∫
podstawiamy
liczymy pochodną stronami:
5dx = dt
ln
ln|
|
Przykład:
(
)
7
9
7
9
7
7
1
7
1
2
1
7
3
2
3
2
1
7
2
3
3
2
2
21
7
9
3
2
x
x
t
dx
dt
dx
dt
t dx
t
C
t
C
x
C
+ =
+ =
=
=
=
= ⋅
+ = ⋅ ⋅
+ =
=
+
+
∫
∫
podstawiamy
liczymy pochodną stronami
Przykład:
(
)
1
2 3
9
1
2
1
3
9
1
2
3
9
3
3
x
dx
x
dx
x
t
dx
dt
dx
dt
+
=
+
=
+ =
=
=
∫
∫
podstawiamy
liczymy pochodną stronami:
(
)
=
=
−
= ⋅ ⋅
− +
− +
+ = ⋅ ⋅
+ = ⋅ ⋅ ⋅
+ =
= ⋅
+
+
∫
∫
1
2
1
1
2
3
1
2
1
2
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
1
2
1
3
1
2
1
2
1
2
1
3
2
1
1
2
1
3
3
9
1
2
t
dt
t
dt
t
C
t
C
t
C
x
C
Przykład:
1
1
2
(
)(
)
..............................
x
x
dx
−
+
=
∫
??????????????????????????????????
=
−
−
+
=
∫
∫
1
3
1
1
1
3
1
2
(
)
(
)
x
dx
x
dx
=
− −
+ +
1
3
1
1
3
2
ln|
|
ln|
|
x
x
C
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
10
Przykład:
2
1
2
6
5
36
20
16
4
1
6
4
2
1
2
6
4
2
5
2
1
2
6
5
2
1
1
5
2
1
1
5
2
1
5
2
5
1
1
5
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
dx
A
x
x
dx
B
x
Ax
x
dx
B
x
Ax x
B x
x
x
dx
−
−
+
∫
=
=
−
=
=
= − =
= + =
−
−
+
∫
=
−
−
−
∫
=
−
+
⋅
−
∫
= ⋅
−
+
−
∫
∫
=
− +
−
−
−
∫
=
∫
x
∆
∆
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
=
−
+
−
−
−
∫
+ =
−
− = −
−
=
= −
=
=
∫
+
−
∫
=
∫
+
−
∫
=
A x
Ax
Bx
B
x
x
B
A
B
A
A
dx
x
dx
dx
x
dx
2 2
10
1
5
2
5
1
4
1
1
4
2
1
4
2
1
4
5
2
1
4
1
5
(
)(
)
??????????????????
............................................
A
dodajemy stronami
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
B
-
1
4
x - 1
-
1
4
1
x - 1
= -
1
4
ln|
|
ln|
|
x
x
C
− +
− +
1 2
1
4
5
Przykład:
dx
x
x
x
x
x
x
A
x
B
x
C
x
A x
x
B( x
x
C x
x
x
x
x
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
(
)(
)
)(
)
(
)(
)
(
)(
)(
)
−
+
+
=
∫
−
+
+
=
−
+
+
+
+
=
+
+
+
−
+
+
−
+
−
+
+
=
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
=
+
+ +
+
+
− −
+
−
−
+
+
=
+
+
+
+
−
+
−
−
+
+
=
=
+
+
+
+
−
+
−
−
+
+
=
+ +
+
+
+
−
−
−
+
+
=
A(x
x
x
B( x
x
x
C x
(x
)(x
)(x
)
(Ax
Ax
A
Bx
Bx
B
Cx
C
(x
)(x
)(x
)
Ax
Ax
A
Bx
Bx
B
Cx
C
(x
)(x
)(x
)
x
A
B
C
x
A
B
A
B
C
(x
)(x
)(x
)
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
3
2
2
2
2
1
1
2
2
3
2
2
2
2
1
1
2
2
3
2
2
1
1
2
)
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Jeżeli ułamki:
1
1
1
2
2
3
2
2
1
1
2
(
)(
)(
)
(
)
(
)
x
x
x
x
A
B
C
x A
B
A
B
C
(x
)(x
)(x
)
−
+
+
=
+ +
+
+
+
−
−
−
+
+
są równe to i liczniki tych ułamków są równe. Możemy więc napisać:
x
A
B
C
x A
B
A
B
C
2
3
2
2
1
(
)
(
)
+ +
+
+
+
−
− =
Obliczamy wartość A, B, C
A + B + C = 0
3A + B + 0 = 0
2A - 2B - C = 1
______________
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
11
Z drugiego równania obliczamy B:
B = -3A
A - 3A + C = 0
2A - 2(-3A) - C = 1
__________________
-2A +C = 0
8A - C = 1
_______________
6A = 1
A = 1/6
B = -3A = - 3(1/6) = - 1/2
B = - 1/2
A + B + C = 0
A + B = - C
1
6
1
2
1 3
6
+ − = −
− = −
C
C
− = −
=
1
3
1
3
C
C
A
=
= −
=
1
6
1
2
1
3
B
C
Nasze równanie przybierze więc postać:
dx
x
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
C
(
)(
)(
)
(
)
(
)
(
)
ln|
|
ln|
|
ln|
|
−
+
+
∫
=
−
+
∫
−
+
+
∫
+
=
∫
=
−
−
+
+
+ +
1
1
2
1
6
1
1
2
1
1
3
2
1
6
1
1
2
1
1
3
2
Przykład:
(
)(
)
5
7
4
256
5
7
2
16
2
16
5
7
4
4
2
16
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
−
−
∫
=
−
−
+
∫
=
−
−
+
+
∫
=
(
)
(
)(
)
(
)(
)
=
−
+
+
+
+
+
∫
=
+
+
+
−
+
+
+
−
+
−
+
+
∫
=
A
x
B
x
Cx
D
x
dx
A x
x
B x
x
Cx
D x
x
x
x
x
dx
4
4
2
16
4
2
16
4
2
16
4
4
4
4
2
16
(
)(
)
(
)
(
)(
)
=
+
+
+
−
+
−
+
−
+
−
−
+
+
∫
=
4
2
16
64
3
4
2
16
64
3
16
2
16
4
4
2
16
Ax
A
A
Bx
Bx
Bx
B
Cx
Cx
Cx
D
x
x
x
dx
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
12
(
)(
)
=
+ +
+
−
+
+
+
−
+
−
−
−
+
+
∫
=
x
A
B
C
x
A
B
D
x
A
B
C
A
B
D
x
x
x
dx
3
2
4
4
16
16
16
64
64
16
4
4
2
16
(
)
(
)
(
)
Aby obliczyć wartości A, B, C, D, piszemy układy równań:
A
B
C
A
B
D
A
B
C
A
B
D
+ + =
∗
−
+ =
∗
+
−
=
−
−
= −
0
4
4
0
16
16
16
5
64
64
16
7
16
16
Dodajemy pierwsze i trzecie równanie :
16
16
16
0
16
16
16
5
32
32
5
A
B
C
A
B
C
A
B
+
+
=
+
−
=
+
=
Dodajemy drugie i czwarte równanie :
64
64
16
0
64
64
16
7
128
128
7
A
B
D
A
B
D
A
B
−
+
=
−
−
= −
−
= −
W wyniku tych działań otrzymujemy dwa równania:
32
32
5
128
128
7
128
128
20
128
128
7
256
13
13
256
A
B
A
B
A
B
A
B
A
A
+
=
∗
−
= −
+
=
−
= −
=
=
4
Z równania
32
32
5
A
B
+
=
obliczamy B
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
13
32
13
256
32
5
13
8
32
5
5
13
8
32
40 13
8
32
27
8 32
27
256
27
256
⋅
+
=
+
=
=
−
=
−
=
⋅
=
=
B
B
B
B
Z równania A + B + C = 0 obliczamy C
C
A
B
C
= − − = − −
= − −
= −
= −
13
256
27
256
13
27
276
40
256
40
256
Z równania 4A - 4B + D = 0 obliczamy D
4
13
256
4
27
256
0
13
64
27
64
0
13
64
27
64
14
64
7
32
7
32
−
+ =
−
+ =
= −
+
=
=
=
D
D
D
D
Podstawiamy obliczone wartości A, B, C, D do równania:
A
x
B
x
Cx
D
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
dx
−
+
+
+
+
+
∫
=
−
∫
+
+
∫
+
−
+
+
∫
=
=
−
∫
+
+
∫
+
−
+
+
∫
=
4
4
2
16
13
256
4
27
256
4
40
256
7
32
2
16
13
256
1
4
27
256
1
4
40
256
7
32
2
16
13
256
4
27
256
4
40
256
7
32
2
16
ln|
|
ln|
|
x
x
x
x
dx
−
+
+
+
−
+
+
∫
( )
( )
= + +
−
+
+
∫
= + +
−
⋅
+
+
∫
= + +
−
+
+
+
∫
=
= + +
−
+
∫
+
+
a
b
x
x
dx
a
b
x
x
dx
a
b
x
x
x
dx
a
b
x
x
dx
x
40
256
7
32
2
16
40
256
1
2
2
7
32
2
16
40
512
2
2
16
7
32
2
16
40
512
2
2
16
7
32
2
16
∫
= + + −
+
∫
+
+
∫
=
dx
a
b
x
x
dx
x
dx
40
512
2
2
16
7
32
1
2
16
c
a
b
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
14
= + + −
+
+
+
∫
= + + +
+
∫
=
= + + +
⋅
+
∫
=
=
=
=
= + + +
⋅
+
a
b
x
x
dx
a
b
c
x
dx
a
b
c
dx
x
x
t x
t dx
dt
a
b
c
dt
t
40
512
2
16
7
32
1
2
16
7
32
1
16
2
16
1
7
32
1
16
4
2
1
4
4
4
7
32
1
16
4
2
1
ln|
|
podstawiamy
∫
= + + +
⋅
+
∫
= + + +
⋅
= + + +
⋅
=
= + + +
a
b
c
dt
t
a
b
c
arctgt
a
b
c
arctg
x
a
b
c
arctg
x
7
32
4
16
2
1
7
32
1
4
7
32
1
4
4
7
128
4
Przykład:
dx
x
dx
x
dx
x
x
t
x
t
dx
dt
dt
t
dt
t
arctgt
C
arctg
x
C
2
7
7
2
7
1
1
7
7
2
1
7
7
7
7
1
7
7
2
1
7
7
2
1
7
7
7
7
7
+
∫
=
+
∫
= ⋅
+
∫
=
=
∗
=
⋅
=
= ⋅
⋅
+
∫
=
⋅
+
∫
=
=
+ =
+
Przykład:
( )
dx
x
dx
x
x
t
x
t
dx
dt
dt
t
dt
t
arctgt
C
arctg
x
C
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
+
∫
=
+
∫
=
⋅ =
=
=
=
+
∫
=
⋅
+
∫
=
=
+ =
⋅
+
|
|
Przykład:
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
15
dx
x
dx
x
dx
x
x
t x
t
dt
dt
dt
t
dt
t
arctgt
C
arctg
x
C
3
2
5
5
3
5
2
1
1
5
3
5
2
1
3
5
3
5
3
5
5
3
1
5
5
3
2
1
1
5
5
3
2
1
1
5
5
3
1
5
5
3
5
3
+
∫
=
+
∫
=
+
∫
⋅ =
=
=
=
=
+
∫
= ⋅
+
∫
=
=
+ =
⋅
+
dx
dx
|
|
Przykład:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
dx
x
x
a
ab
b
x
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
t
x
t
x
2
6
24
2
2
2
2
2
6
24
2
6
9
15
2
6
9
15
3 2
15
2
6
24
3 2
15
15
3
15
2
1
1
15
3
15
2
1
3
15
3
15
3
15
15
+
+
=
=
+
+
+
+
=
+
+ +
=
+
+ +
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
+ =
+ =
⋅
∫
∫
∫
∫
∫
a + b
( )
t
x
dt
dt
t
arctg t
C
arctg
x
C
arctg
x
C
d
+
=
⋅
=
⋅
+
=
⋅
+ =
⋅
+
+
=
+
∫
15
15
1
15
15
15
2
1
1
15
15
15
1
15
15
15
3
15
15
15
3
15
.........................
| |
|
|
|
|
Temat:
cd całki.
Powtórka:
1
1
2
+
∫
=
+
x
dx
arctgx
C
Przykład:
dx
x
x
2
3
7
9
28
19
+
+
∫
= −
= −
∆
delta ujemna, do rozwiązania należy wykorzystać inną
metodę.
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
16
Wykorzystać można wzór:
(
)
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
2
2
2
2
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
dx
x
dx
x
x
t
x
2
3
7
2
2
3
2
9
4
9
4
7
3
2
2
19
4
4
19
3
2
2
19
4
19
4
4
19
3
2
2
19
4
1
4
19
3
2
19
2
2
1
3
2
19
2
3
2
19
2
+
+
∫
+ ⋅
+ − +
∫
=
+
+
∫
=
+
+
∫
=
+
+
∫
=
=
+
+
∫
+
=
+ =
⋅
=
podstawiamy za
t
dx
dt
=
⋅
19
2
=
+
∫
=
⋅
+
∫
=
+
+
4
19
19
2
2
1
4
19
19
2
2
1
2 19
19
2
3
2
19
2
dt
t
dt
t
arctg
x
C
Przykład:
5
7
2
7
20
x
x
x
dx
+
+
+
=
∫
Przypomnienie wzoru:
′
∫
=
+
f
x
f x
f x
C
( )
( )
ln| ( )|
pochodna z mianownika naszego przykładu była by:
x
x
x
2
7
20
2
7
+
+
′
=
+
licznik z naszego przykładu jest :
5
7
x
+
aby doprowadzić go do postaci:
2
7
x
+
należy dokonać przekształcenia:
(
)
(
)
(
)
(
)
5
7
5
1
2
2
7
7
2
7
5
2
2
7
5 7
2
7
5
2
2
7
35
2
14
2
5
2
2
7
21
2
x
x
x
x
x
x
+ =
+ −
+ =
+ −
⋅
+ =
+ −
+
=
=
+ −
6
7
44
8
44
Wracamy do naszej całki:
(
)
5
7
2
7
20
5
2
2
7
21
2
2
7
20
5
2
2
7
2
7
20
21
2
2
7
20
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
dx
x
x
+
+
+
=
∫
+ −
+
+
=
∫
+
+
+
∫
−
+
+
∫
=
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
17
=
+
+
−
+ ⋅
+
−
+
∫
= −
+
+
∫
5
2
2
7
20
21
2
2
2
7
2
49
4
49
4
80
4
21
2
7
2
2
31
4
ln|
|
x
x
K
dx
x
x
B
K
dx
x
B
1
2
44
4
3
444
1
2
44444
3
44444
1
2
44
3
44
B
dx
x
x
dx
dx
x
dx
x
=
+
+
∫
=
+
+
∫
=
⋅
+
+
∫
=
⋅
+
+
∫
=
7
2
2
31
4
4
31
7
2
2
31
4
31
4
4
31
7
2
2
31
4
1
4
31
7
2
31
2
2
1
x
t
x
t
dx
dt
+
=
+ =
⋅
=
⋅
7
2
31
2
7
2
31
2
31
2
| całkujemy stronami
B
dx
x
dt
t
arctg
x
C
=
⋅
+
+
∫
=
⋅
+
∫
=
+
+
4
31
7
2
31
2
2
1
4
31
31
2
2
1
2 31
31
7
2
31
2
|
|
Przykład:
(
)
dx
x
x
dx
x
x
t
dx
dt
2
2
1
1
2
1
+
+
∫
=
+
∫
=
+ =
=
=
∫
= −
∫
=
−
−
+ =
+
+
dt
t
t
dt
t
C
x
C
2
2
1
1
1
1
Temat2: Całki oznaczone.
Wszystkie poznane do tej pory całki to całki nieoznaczone.
Całka oznaczona to całka dla której określa się przedział. Musi być różniczkowalna.
f x dx
a
b
F b
F a
( )
( )
( )
∫
=
−
Przykład:
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
18
xdx
x
1
3
2
2 1
3
32
2
12
2
9
2
1
2
8
2
4
∫
=
=
−
= − = =
|
Przykład:
1
1
5
10
x
dx
−
∫
=
podstawiamy:
x
t
dx
dt
− =
=
1
dla
x
x
=
=
5
10
t
t
( )
(
)
5
4
10
9
=
=
Przy metodzie podstawiania trzeba zmienić granice całkowania bo zmienia się zmienna.
Wracamy do przykładu:
1
1
5
10
1
4
9
4
9
9
4
9
4
x
dx
t
dt
−
∫
=
∫
=
=
=
−
=
ln
|
ln
ln
ln
| t |
Twierdzenia:
f x dx
f f dx
a
c
f f dx
c
b
a
b
c
a b
( )
(
)
(
)
( , )
=
+
∫
∫
∫
∈
f x dx
a
a
( )
=
∫
0
f x
a b
( )
( , )
>
0
P
a b
| |
( )
P
f x dx
a
b
=
∫
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
19
Przykład:
Mamy dwie funkcje:
f x
x
g x
x
( )
( )
=
=
2
4
x
2
4x
Obliczyć pole zawarte między jednym a drugim wykresem w obszarze między przecięciami
się tych wykresów.
Wykresy przecinają się dla x który jest równy:
x
x
2
4
=
x
x
x x
x
x
2
4
0
4
0
0
4
−
=
−
=
=
=
(
)
Pole będzie równe różnicy :
Pole
xdx
x dx
x
x
=
−
∫
∫
=
=
−
=
−
−
−
=
−
⋅
=
−
=
4
4
2
3
4 8
0
64
3
0
32
32 2
3
32 1
2
3
32
3
2
0
4
0
4
2
0
4
3
0
4
|
|
(
)
25.04.98 ćwiczenia
Przykład:
f x
g x
g x
F x
F x
g x dx
C
( )
( )
( )
( )
( )
( )
⋅
=
⋅
−
⋅ ′
+
∫
∫
Miejsce przecięcia się obu
wykresów
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
20
x
xdx
f
x
F
x
g
x
g
x
x
x
x
x
dx
x
x
x dx
x
x
x
C
x
x
C
2
2
3
3
1
3
3
1
3
3
3
3
1
3
2
3
3
1
3
3
3
3
3
1
3
ln
ln
ln
ln
ln
ln
=
=
=
∫
=
′ =
=
−
⋅
∫
=
−
∫
=
− ⋅
+ =
−
+
Przykład:
x
xdx
f
x
F
x
g
x
g
x
x
xdx
x
x
x
C
sin
sin
cos
cos
cos
cos
sin
=
=
= −
∫
=
′ =
= −
+
∫
= −
+
+
1
Przykład:
1
1
1
1
1
x
x
dx
x
t
x
dx
dt
dt
x
x
dx
dx
x
x
dx
x
t
dt
t
dt
t
t
C
x
C
ln
ln
ln
ln
ln
ln(ln )
∫
=
=
=
=
=
∫
=
∫
=
⋅ =
⋅ =
∫
=
∫
+ =
+
∫
dx
x
Przykład:
1
2
2
2
1
1
1
1
x
x
dx
x
t
dx
dx
dt
t
t
dt
t
C
t
C
x
C
ln
ln
ln
∫
=
=
=
=
∫
= −
∫
=
−
−
+ = − + = −
+
1
x
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
21
Przykład:
dx
x
x
x
x
A
x
B
x
A x
B( x
x
x
Ax
A
Bx
x
x
x A
B
A
B
x
x
x
t
x
z
x
dt
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
−
+
∫
=
−
+
=
−
+
+
=
+ +
−
−
+
=
=
+ +
−
−
+
=
+
+ −
−
+
=
− =
+ =
=
5
1
1
5
1
5
1
1
5
5
1
5
5
1
5
5
1
5
1
d
dx
dz
=
A
B
A
B
+ =
−
=
0
5
1
(-1)
− − =
−
=
A
B
A
B
0
5
1
−
=
= −
6
1
1
6
B
B
A
A
− =
=
1
6
0
1
6
=
−
∫
−
+
∫
=
∫
−
∫
=
1
6
1
5
1
6
1
1
1
6
1
1
6
1
x
dx
x
dx
t
dt
z
dz
=
−
+ =
− −
+ +
1
6
1
6
1
6
5
1
6
1
ln
ln
ln
ln
t
z
C
x
x
C
Przykład:
(
)
(
)
(
)
1
2
11
1
2
1 10
1
1
10
1
10
1
10
1
1
10
1
10
1
2
2
2
2
2
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
dx
x
dx
x
+
+
∫
=
+
+ +
∫
=
+
+
∫
=
∫
⋅
+
+
=
+
+
∫
=
x
t
x
t
dx
dt
+
=
+ =
⋅
=
⋅
1
10
1
10
10
=
+
∫
=
⋅
+
∫
=
⋅
+
+
1
10
10
1
10
10
1
10
10
1
10
2
2
dt
t
dt
t
arctg
x
C
Przykład:
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
2 2
7
2 2
7
2
2
2
2
2
7
2
2
2
2
4
1
16
1
16
7
2
+ +
∫
=
+ + =
+
⋅ +
=
+ ⋅ +
−
+
=
wyciągnijmy przed mianownik 2 i przedstawmy go w postaci:
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
22
=
+ ⋅ +
−
+
=
+
−
+ ⋅
=
+
+
=
2
2
2
4
1
16
1
16
7
2
2
1
4
2
1
16
8 7
16
2
1
4
2
55
16
x
x
x
x
Podstawiamy do naszego przykładu:
dx
x
x
2
2
7
2
55
16
1
2
2
55
16
1
2
16
55
2
55
16
55
16
55
16
+ +
∫
=
+
∫
=
⋅
+
∫
=
⋅
+
∫
=
dx
2
x +
1
4
dx
x +
1
4
dx
x +
1
4
= ⋅
+
∫
=
+
∫
=
=
=
⋅
=
⋅
1
2
16
55
2
55
16
2
1
8
55
55
4
2
1
55
4
55
4
55
4
dx
x +
1
4
x +
1
4
podstawiamy:
x +
1
4
x +
1
4
różniczkujemy:
dx
t
t
dx
dt
=
+
∫
=
⋅
+
∫
=
⋅
+ =
⋅
+
+
8
55
55
4
2
1
8
55
55
4
2
1
2 55
55
2 55
55
1
4
55
4
dt
t
dt
t
arctg t
C
arctg
x
C
Przykład:
3
7
6
2
4
x
x
x
+
+ +
∫
=
zastosujemy wzór
′
∫
=
+
f
x
f x
f x
C
( )
( )
ln| ( )|
Obliczamy pochodną mianownika:
(
)
(
)
(
)
6
2
4
12
1
3
7
3
1
12
12
1
1
12
7
1
4
12
1
1
4
7
1
4
12
1
27
4
x
x
x
x
x
x
x
+ +
′
=
+
+ =
+ −
+ =
+ − + =
+ +
aby licznik doprowadzić do takiej wartości,
należy dokonać w nim następujących przekształceń:
Podstawiamy obliczoną wartość w miejsce licznika:
(
)
(
)
(
)
=
+ +
+ +
=
+
+ +
+
+ +
=
+
+ +
+
+ +
=
∫
∫
∫
∫
∫
1
4
12
1
27
4
6 2
4
1
4
12
1
6 2
4
27
4
6 2
4
1
4
12
1
6 2
4
27
4
6 2
4
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
dx
x
x
dx
=
+ + +
+ +
=
+ +
∫
1
4
6
2
4
27
4
6 2
4
1
4
6
2
4
ln
ln
x
x
dx
x
x
dx
x
x
oznaczmy A =
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
23
= +
+ +
∫
A
dx
x
x
dx
27
4
6 2
4
Rozpisujemy mianownik aby można było zastosować wzór:
1
1
2
+
∫
=
+
x
dx
arctgx
C
6 2
4
6
2
2
2 6
4
6
6
2
2
12
1
144
1
144
2
3
6
1
12
2
1
144
2
3
6
1
12
2
95
144
x
x
x
x
x
x
x
x
+ + =
+
⋅
+
=
+
+
−
+
=
+
−
+
=
+
+
Wracamy do obliczeń całki:
= +
+ +
= +
+
+
= +
⋅
⋅
+
+
=
= +
⋅
+
+
=
∫
∫
∫
∫
A
dx
x
x
dx
A
dx
x
A
dx
x
A
dx
x
27
4
6
2
4
27
4
6
1
12
2
95
144
27
4
1
6
144
95
1
12
2
95
144
1
162
95
1
12
2
95
12
2
1
Podstawiamy:
x
t
x
t
dx
dt
+
=
+
=
⋅
=
1
12
95
12
1
12
95
12
95
12
Wstawiamy to do przykładu:
= +
⋅
+
+
= +
⋅
+
= +
⋅
⋅
+
= +
⋅
+ =
= +
⋅
+
+
∫
∫
∫
A
dx
x
A
dt
t
A
dt
t
A
arctg t
C
A
arctg
x
C
162
95
1
12
95
12
2
1
162
95
95
12
2
1
162
95
95
12
2
1
81 95
6 95
81 95
6 95
1
12
95
12
A =
1
4
6
2
4
ln x
x
+ +
Rozwiązaniem
3
7
6 2
4
x
x
x
+
+ +
∫
jest:
=
1
4
6
2
4
ln x
x
+ +
+
⋅
+
+
81 95
6 95
1
12
95
12
arctg
x
C
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
24
Przykład:
Obliczyć pole między wykresami funkcji:
y
x
=
2
y
x
=
7
7
Obliczamy miejsca przecięcia się tych wykresów (wspólne wartości X dla obu wykresów):
x
x
x
x
x x
2
7
2
7
0
7
0
=
−
=
−
=
(
)
Dla
x1 0
=
oraz
x2
7
=
wykresy tych funkcji przecinają się.
Pole między wykresami tych funkcji będzie równe różnicy całek oznaczonych tych funkcji
dla przedziału 0,7
P
xdx
x dx
x
x
P
=
−
=
−
=
−
−
−
= ⋅
−
=
=
∫
∫
7
0
7
2
0
7
7
2
2 0
7
3
3 0
7
7
7
2
2
7
0
2
2
7
3
3
0
3
3
7 49
2
343
3
343
6
343
6
|
|
Przykład:
Obliczyć pole między wykresami funkcji:
y
x
=
y
x
=
2
1/4
Obliczamy miejsca przecięcia się tych wykresów (wspólne wartości X dla obu wykresów):
x
x
x
x
x
x
x
x
=
=
− =
− =
2
4 2
4
2
0
4
1
0
(
)
Dla wartości:
wykresy przecinają się.
x
x
1
0
2
1
4
=
=
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
25
Pole między wykresami tych funkcji będzie równe różnicy całek oznaczonych tych funkcji
dla przedziału
0
1
4
,
P
xdx
xdx
x dx
xdx
x
=
−
=
−
=
−
=
∫
∫
∫
∫
0
1
4
2
0
1
4
1
2
0
1
4
2
0
1
4
2
3
2
3
0
1
4
0
1
4
|
|
2
x
2
2
= ⋅
−
= ⋅ −
=
−
= − =
=
2
3
1
64
1
16
2
3
1
8
1
16
1
12
1
16
4
3
48
1
48
1
48
P
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
26
Wzory na obliczanie całek:
1.
x
n
dx
xn
n
C
n
=
+
+
+
≠ −
∫
1
1
1
dla
gdy x = -1 to
1
x
dx
x C
=
∫
+
ln| |
2.
Cf x dx
C f x dx
( )
( )
=
∫
∫
3.
(
)
f x
g x dx
f x dx
g x dx
( )
( )
( )
( )
±
=
±
∫
∫
∫
4.
1
1
1
x
dx
x
dx
C
−
∫
=
−
+
ln(
)
5.
Jeżeli
w mianowniku jest funkcja a w liczniku jest pochodna tej funkcji to całka jest
równa:
′
∫
=
+
f
x
f x
f x
C
( )
( )
ln| ( )|
6.
1
3
2
3
2
(
)(
)
ln|
| ln|
|
x
x
dx
x
x
C
+
+
= −
+ +
+ +
∫
7.
e xdx
e x
C
∫
=
+
8.
sin
cos
xdx
x
C
= −
+
∫
9.
cos
sin
xdx
x
C
=
+
∫
10.
tgxdx
x C
= −
+
∫
ln|cos |
11.
f x g x dx
g x F x
F x g x dx
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
−
′
∫
∫
12.
ln
ln
x dx
x
x
x
C
∫
=
− +
13.
1
2
1
x
dx
arctgx
C
+
=
+
∫
14.
f x dx
a
b
F b
F a
( )
( )
( )
∫
=
−
15.
Twierdzenia: 1.
f x dx
f f dx
a
c
f f dx
c
b
a
b
c
a b
( )
(
)
(
)
( , )
=
+
∫
∫
∫
∈
2.
f x dx
a
a
( )
=
∫
0
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
analiza notatki 3 id 559208 Nieznany (2)
analiza ilosciowa 6 id 60541 Nieznany (2)
matematyka wzory id 284044 Nieznany
Analiza struktury id 61534 Nieznany (2)
Niweleta wzory id 320305 Nieznany
Fizyka wzory id 177279 Nieznany
analiza ilosciowa 2 id 60539 Nieznany
Analiza czynnikowa id 59935 Nieznany (2)
Darfur analiza kryzysu id 13186 Nieznany
Analiza Finansowa 3 id 60193 Nieznany (2)
podstawy statystyki wzory id 36 Nieznany
Analiza finansowhga id 60398 Nieznany (2)
IMW W02 analiza stanow id 21233 Nieznany
Analiza krancowa id 60743 Nieznany (2)
analiza skupien id 61367 Nieznany
Analiza termiczna id 61671 Nieznany (2)
Analiza biochemiczna id 59863 Nieznany
FIP wzory id 172524 Nieznany
analiza kationow 2 id 60685 Nieznany
więcej podobnych podstron