MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM

Zakład Inżynierii Procesowej

1

3. WYZNACZANIE ĆIŚNIENIA ATMOSFERYCZNEGO

1. Wstęp teoretyczny.

1.1. Ciśnienie atmosferyczne.

Ciśnienie fenomenologicznie (makroskopowo) jest to stosunek siły parcia płynu

działającej na powierzchnię do wielkości tej powierzchni:

A

F

p 

,

(1)

przy czym przyjmuje się, że siła parcia działa prostopadle do powierzchni. Dlatego ciśnienie

jest skalarem. Mikroskopowo ciśnienie oznacza sumę oddziaływań wynikających ze zderzeń

molekuł płynu ze ścianą naczynia. Ponieważ przyjmuje się, że zderzenia te są sprężyste, więc

oddziaływania siłą dające zmianę pędu molekuł są prostopadłe do ścianki.

W takim razie ciśnienie atmosferyczne to stosunek wartości wektora siły, z jaką słup

powietrza naciska na powierzchnię ziemi do powierzchni, na jaką dany słup naciska. Co za

tym idzie, ciśnienie zależy od wysokości słupa powietrza i jest tym niższe im niższy jest słup

powietrza, czyli im wyżej ciśnienie jest mierzone. Dlatego, na podstawie średniej wielkości

ciśnienia atmosferycznego na Ziemi na poziomie morza, wprowadzono jednostkę ciśnienia –

atmosferę – równą 101325 Pa. Ciśnienie o wartości jednej atmosfery jest nazywane

ciśnieniem normalnym.

W meteorologii, w celu wyeliminowania wpływu wysokości wykonywania pomiaru

ciśnienia atmosferycznego wprowadza się pojęcie ciśnienia znormalizowanego (inaczej

ciśnienia zredukowanego). Jest to wartość ciśnienia atmosferycznego, które występowałoby

na poziomie morza w tych samych warunkach otoczenia (ciśnienie rzeczywiste, temperatura

powietrza), w którym następuje pomiar. To właśnie tę wartość podaje się w prognozach

pogody.

Zależność ciśnienia atmosferycznego od wysokości można wyprowadzić korzystając z

równania statyki płynów znajdujących się w polu sił ciężkości:

g

z

p











,

(2)

MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM

Zakład Inżynierii Procesowej

2

gdzie z jest osią pionową skierowaną do góry (przyjmujemy z=0 dla poziomu morza),

 -

gęstością płynu, natomiast g oznacza przyspieszenie. W przypadku powietrza jego gęstość



zależy zarówno od ciśnienia p jak i od temperatury T. Przyjmuje się dla powietrza, że jest

ono, w warunkach panujących w atmosferze, gazem doskonałym. W takim razie spełnia ono

równania stanu gazu doskonałego:

T

R

m

pV





,

(3)

gdzie przez

R



oznaczono indywidualną stałą gazową. Po przekształceniu wzoru (3) otrzymuje

się gęstość powietrza w funkcji ciśnienia p i temperatury T:

T

R

p

V

m









.

(4)

Po podstawieniu (4) do (2) otrzymuje się ogólne równanie opisujące zmianę ciśnienia

w atmosferze:

T

R

pg

z

p











.

(5)

Dla niewielkich wysokości nad poziomem morza zarówno temperatura jak

i przyspieszenie ziemskie w niewielkim stopniu zależą od wysokości, a w takim razie można

przyjąć, że są stałe. Warunkiem brzegowym dla równania (5) jest wartość ciśnienia

znormalizowanego p

z

dla poziomu morza z=0. Otrzymuje się rozwiązanie równania (5) w

postaci:

















T

R

gz

p

p

z



exp

.

(6)

1.2. Ciśnienie hydrostatyczne.

Analogicznie do ciśnienia atmosferycznego wprowadza się ciśnienie hydrostatyczne –

ciśnienie, jakie panuje na pewnej głębokości w cieczy niebędącej w ruchu, znajdującej się w

polu grawitacyjnym. Ciśnienie hydrostatyczne zależy od głębokości (rośnie wraz z

głębokością w cieczy). Dla cieczy zakłada się, że jest nieściśliwa, czyli że jej gęstość jest stała

= const. Jeżeli dodatkowo przyjmie się współrzędną pionową h skierowaną w dół, przy

czym początek osi h=0 przyjmie się na powierzchni cieczy (h – głębokość w cieczy), to z

równania statyki płynów (2) otrzyma się:

g

h

p









.

(7)

MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM

Zakład Inżynierii Procesowej

3

Jako warunek brzegowy przyjmuje się p=p

g

dla h=0, gdzie p

g

oznacza wartość ciśnienia

na powierzchni płynu. Rozwiązanie równania (7) z tym warunkiem brzegowym daje znany

wzór:

gh

p

p

g







,

(8)

pozwalający wyliczyć ciśnienie hydrostatyczne.

1.3. Ciśnienie w gazie, przemiana izotermiczna.

Gaz znajdujący się w warunkach zbliżonych do warunków normalnych można traktować

jako gaz doskonały. W takim przypadku ciśnienie p, objętość V oraz temperatura tego gazu są

związane ze sobą zależnością opisywaną równaniem stanu gazu doskonałego (3). Jeżeli

wymiary naczynia, w którym gaz się znajduje są niewielkie można pominąć zmianę ciśnienia

w gazie wynikającą z wysokości jego słupa. W takim przypadku przyjmuje się, że ciśnienie

gazu w całym naczyniu jest jednakowe. Jeżeli ilość gazu w naczyniu nie ulega zmianie oraz

gaz podlega przemianie izotermicznej, to iloczyn ciśnienia i objętości gazu nie ulega zmianie

(prawo Boyle’a dla gazu doskonałego), co można przedstawić następująco:

2

2

1

1

V

p

V

p



,

(9)

gdzie indeksem 1 oznaczono stan gazu przed przemianą izotermiczną, a indeksem 2 stan gazu

po tej przemianie.

1.4. Gęstość wody.

Gęstość dowolnej substancji jest definiowana jako stosunek masy zawartej w objętości

elementarnej do tej objętości:

dV

dm





.

(8)

Ogólnie gęstość substancji zależy od ciśnienia p i od temperatury T, ponieważ zmiany

tych parametrów mogą pociągać za sobą zmianę objętości. Dla cieczy zmienność gęstości pod

wpływem zmiany ciśnienia jest niewielka i dlatego jest zwykle pomijana, natomiast

rozszerzalność termiczna cieczy ma wyraźny wpływ na jej gęstość. Zwykle zależność

gęstości cieczy od temperatury opisywana jest zależnościami empirycznymi, obowiązującymi

w określonym zakresie temperatury. Dla wody wykorzystuje się następujące zależności

gęstości od temperatury:

 dla T = 0 ÷ 40

o

C

]

[kg/m

)

2

,

67

(

57

,

503

)

283

(

)

4

(

1000

3

2











T

T

T



,

(9)

MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM

Zakład Inżynierii Procesowej

4

 dla T = 25 ÷ 100

o

C

]

[kg/m

)

67

(

7

,

466

)

273

(

)

4

(

1000

3

2











T

T

T



.

(10)

Do powyższych wzorów temperaturę podstawia się w skali Celsjusza.

1.5. Przyspieszenie ziemskie.

Przyspieszenie ziemskie jest to przyspieszenie ciał swobodnie spadających na Ziemię,

bez oporów ruchu. Na takie ciała działają dwie siły, powodujące dwie składowe

przyspieszenia ziemskiego. Pierwszą, i zarazem główną siłą jest siła grawitacji. Powoduje

ona przyspieszenie grawitacyjne. Jest ono odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości

od środka Ziemi, zgodnie z prawem powszechnego ciążenia. Wraz z wzrostem wysokości

przyspieszenie maleje w wyniku zmniejszania się siły grawitacji. Drugą siła działającą na

ciała jest siła odśrodkowa, spowodowana ruchem obrotowym Ziemi dookoła swojej osi.

Wynikające z niej przyspieszenie odśrodkowe jest wprost proporcjonalne do odległości ciała

od osi Ziemi. Powoduje to, że występujące na równiku przyspieszenie odśrodkowe jest

największe, natomiast na biegunach jest równe zeru. Dlatego też wprowadzono

przyspieszenie ziemskie normalne g

n.

. Odpowiada ono ziemskiemu przyspieszeniu

grawitacyjnemu na poziomie morza na szerokości geograficznej około 45,5° i wynosi:

]

[m/s

80665

,

9

2



n

g

.

(11)

Wartość przyspieszenia ziemskiego normalnego g

n.

wykorzystywana jest do obliczeń

niewymagających bardzo wysokiej precyzji. Dokładniejszą wartość można wyliczyć z

wzoru:

]

[m/s

h

10

3,086

-

)

2

sin

0,0000058

-

sin

0053024

,

0

1

(

7803218

,

9

2

-6

2

2











g

,

(12)

gdzie:

 - oznacza szerokość geograficzną, natomiast h wysokość nad poziomem morza.

Powyższa, przybliżona zależność opisuje przyspieszenie ziemskie w dowolnym punkcie na

Ziemi.

2. Zasada pomiaru.

2.1. Wyznaczenie ciśnienia atmosferycznego.

Dla obliczenia ciśnienia atmosferycznego wykorzystuje się wyniki dwóch niezależnych

pomiarów uzyskanych w jednej serii pomiarowej. Biorąc pod uwagę, że w zamkniętej rurce

znajduje się stała ilość powietrza, będącego gazem doskonałym, w stałej temperaturze można

wykorzystać zależność (9) w postaci:

MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM

Zakład Inżynierii Procesowej

5

j

j

i

i

V

p

V

p



,

(13)

gdzie indeksami i,j oznaczono odpowiednio stan gazu dla dwóch niezależnych pomiarów.

Wykorzystując to, że średnica rurki nie zmienia się w trakcie pomiaru (stała

powierzchnia przekroju poprzecznego) można równanie (13) przedstawić w postaci:

j

j

i

i

h

p

h

p



,

(14)

gdzie h oznacza wysokość słupa gazu w rurce (rys. 1). Ciśnienie p w rurce można obliczyć

korzystając z równowagi ciśnień na poziomie c (rys. 1), wykorzystując równanie (8), w

którym p

g

=p

a

:

gH

p

p

a







,

(15)

gdzie p

a

oznacza panujące ciśnienie atmosferyczne. Podstawiając równanie (15) z

odpowiednimi indeksami do wzoru (14) otrzymuje się:

j

j

a

j

j

i

i

a

i

i

h

gH

p

h

p

h

gH

p

h

p

)

(

)

(















,

(16)

i po prostych przekształceniach:

i

j

j

j

i

i

a

h

h

h

H

h

H

g

p









.

(17)

Wzór (17) pozwala wyliczyć wartość ciśnienia atmosferycznego.

2.2. Oszacowanie maksymalnego pozornego błędu względnego.

Maksymalny pozorny błąd względny



f

wartości mierzonej f jest to stosunek maksymalnego

błędu bezwzględnego pomiaru f do uzyskanego wyniku pomiaru f

p

:

p

f

f

f







.

(18)

Jeżeli wartość parametru f nie jest mierzona w pomiarze bezpośrednim, tylko wynika

pośrednio z pomiarów innych parametrów x

i,

przy czym można przedstawić ją w postaci

funkcji tych parametrów:

)

,...,

,

(

2

1

n

x

x

x

f

f 

,

(19)

to błąd bezwzględny pomiaru można wyznaczyć korzystając z różniczki zupełnej:

n

n

x

x

f

x

x

f

x

x

f

f





























...

2

2

1

1

.

(20)

MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM

Zakład Inżynierii Procesowej

6

Obustronne podzielenie równania (20) przez funkcję f pozwala wyliczyć pozorny błąd

względny



p

:

f

x

x

f

f

x

x

f

f

x

x

f

f

f

n

n

f































...

2

2

1

1



.

(20)

W przypadku wyznaczanego w ramach ćwiczenia ciśnienia atmosferycznego p

a

, jest ono

funkcją sześciu zmiennych:

)

,

,

,

,

,

(

j

i

j

i

a

a

h

h

H

H

g

p

p





,

(22)

określoną równaniem (17).

W takim razie:

a

j

j

a

a

i

i

a

a

j

j

a

a

i

i

a

a

a

a

a

a

a

p

p

h

h

p

p

h

h

p

p

H

H

p

p

H

H

p

p

g

g

p

p

p

p

p



























































.

(23)

Do równania (23) podstawia się pochodne cząstkowe obliczone z równania (17) oraz funkcję

ciśnienia, także w postaci (17). Po dokonaniu uproszczeń otrzymuje się:

.

1

1

j

i

j

j

j

i

i

j

i

i

j

j

j

i

i

i

j

j

j

i

i

j

i

j

j

i

i

i

p

h

h

h

h

H

h

H

H

h

h

h

h

H

h

H

H

H

h

H

h

H

h

H

h

H

h

H

h

g

g

















































































(24)

Ponieważ poszukuje się maksymalnego błędu względnego dla wszystkich wartości należy

przyjmować maksymalne, wynikające z pomiarów, błędy bezwzględne oraz wszystkie

wyrazy zostały przyjęte w postaci wartości bezwzględnej. Kolejne sześć składników wzoru

(24) pokazuje wpływ błędów pomiarów poszczególnych mierzonych wartości na błąd

wynikowy.

2.3. Stanowisko pomiarowe.

Stanowisko pomiarowe składa się z dwóch równoległych, przezroczystych rur,

wykonanych z polimetakrylanu metylu PMMA (rys.1). Lewa rura jest szczelnie zamknięta od

góry, natomiast prawa otwarta. Rury są połączone na dole poprzeczną rurką, dzięki czemu

stanowią układ naczyń połączonych. Na dole układu zostały zamieszczone zawory

doprowadzające i odprowadzające wodę do rur.

MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM

Zakład Inżynierii Procesowej

7

Rys.1.

3. Przebieg ćwiczenia.

3.1. Zmierzyć wysokość pomiarową zamkniętej rurki: a.

3.2. Wypełnić wodą układ przy pomocy zaworu doprowadzającego wodę. Woda powinna

wypełniać rurkę otwartą do wysokości pomiarowej b wynoszącej około 1,65 m. Uwaga: ten

punkt wykonywać powoli, aby nie przelać górą wody.

3.3. Zmierzyć długości pomiarowe b oraz c.

3.4. Delikatnie operując zaworem spustowym obniżyć poziom cieczy w rurce otwartej do

wysokości 1,60 m.

3.5. Ponownie zmierzyć długości pomiarowe b oraz c.

3.6. Obniżać poziom wody w rurce otwartej po około 0,1 m, za każdym razem wykonując

kolejne pomiary wielkości b oraz c.

3.7. Czynność 3.6 wykonywać aż do wyczerpania możliwości pomiaru wielkości c.

3.8. Opróżnić układ z wody, równocześnie mierząc temperaturę wody.

3.9. Punkty 3.2 – 3.8 powtórzyć trzykrotnie.

3.10. Sprawdzić aktualną wartość ciśnienia atmosferycznego dla miasta Poznań.

http://polish.wunderground.com/global/stations/12330.html

MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM

Zakład Inżynierii Procesowej

8

4. Opracowanie wyników.

4.1. Obliczyć wartość przyspieszenia ziemskiego korzystając z wzoru (12).

4.2. Obliczyć wartość gęstości wody w poszczególnych cyklach pomiarowych (wzór (9)).

4.3. Na podstawie pomiarów bezpośrednich obliczyć wysokości słupa gazu h

i

oraz słupa

cieczy H

i

.

4.4. Obliczyć ciśnienie atmosferyczne na podstawie wyników poszczególnych serii

pomiarowych:

 Dla pierwszej serii przyjąć i=1, j=2…n.

 Dla drugiej serii przyjąć i=n, j=1…n-1.

 Dla trzeciej serii przyjąć i dla środkowego punktu pomiarowego.

4.5. Obliczyć średnią wartość uzyskanego z pomiarów ciśnienia atmosferycznego i

porównać ją z aktualną wartością ciśnienia dla miasta Poznań.

4.6. Zinterpretować otrzymane wyniki, sformułować wnioski.

Tabele wyników

Tabela 1. Wyniki pomiarów bezpośrednich w poszczególnych seriach

Seria nr serii

Nr pomiaru

a

a

b

b

c

c

T

[m]

[m]

[m]

[m]

[m]

[m]

[

o

C]

1

2

3

Tabela 2. Wyniki pomiarów pośrednich w poszczególnych seriach

Seria nr serii

Nr pomiaru







g

g

H

i

H=b+c

h

i

h=a+c

[kg/m

3

] [kg/m

3

] [m/s

2

] [m/s

2

]

[m]

[m]

[m]

[m]

1

2

3

MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM

Zakład Inżynierii Procesowej

9

Tabela 3. Obliczone ciśnienie atmosferyczne i błędy względne

Seria nr serii obliczenia dla i=…

Nr pomiaru

p

a

δ

p

Składowe δ

p

wynikające z błędów

[Pa]

[-]





g

H

i

H

j

h

i

h

j

1

2

3

Dane przydatne do obliczeń:
indywidualna stała gazowa suchego powietrza

R



= 287,1 [J/(kg·K)]

szerokość geograficzna laboratorium

 = 52º 39’ 38”

średnia wysokość Poznania nad poziomem morza 100 [m]

5. Literatura uzupełniająca.

 „Mechanika płynów w inżynierii środowiska”, Orzechowski Z., Prywer J., Zarzycki

R., WNT Warszawa 2001 r.

 „Laboratorium z mechaniki płynów”, praca zbiorowa pod red. Weinerowskiej K.,

Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2004 r.