"!#

%$

&')(*%*,+

Na rozwia

-

zanie wszystkich zada´

n jest 90 minut

Rozwia

-

zania r´

o˙znych zada´

n maja

-

znale´z´c sie

-

na r´

o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-

sza

-

cego, jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza

-

cej ´cwiczenia i nr. grupy ´cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

-

dze´

n

elektronicznych; je´

sli kto´

s ma, musza

-

by´

c schowane i wy la

-

czone!

Nie wolno korzysta´

c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

-

na twierdzenia,

kt´

ore zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1.

Rozwia

-

za´c r´

ownanie:

1
2

log(x + 11) + log(

5x−10)

6

= 1 .

2.

Zdefiniowa´c log

d

c

nie zapominaja

-

c o za lo˙zeniach o c i d .

Niech a = log

1000

2 ,

b

= log

10

14 . Wyrazi´c za pomoca

-

a

i b :

log

10

5 i log

10

35 . Wykaza´c, ˙ze log 2 <

12
19

log 3 .

3.

Rozwia

-

za´c r´

ownanie:

2 log

3

sin(ϕ −

π

4

) = −1 . Zilustrowa´c rozwia

-

zanie tego r´

ownania na

okre

-

gu x

2

+ y

2

= 1 .

4.

Poda´c definicje

-

kosinusa dowolnego ka

-

ta dodatniego. Rozwia

-

za´c nier´

owno´s´c: cos t ≥ −

1
2

.

Zilustrowa´c rozwia

-

zanie tej nier´

owno´sci na okre

-

gu x

2

+ y

2

= 1 .

5.

Rozwia

-

za´c r´

ownanie: sin 2ψ = cos 2ψ . Zilustrowa´c rozwia

-

zanie tego r´

ownania na okre

-

gu

x

2

+ y

2

= 1 .

6.

Znale´z´c naste

-

puja

-

ce granice:

lim

n→∞

15+7n−1410n

2

4n

2

−11n+2005

,

lim

n→∞

966n−1025n

2

n

13

−3n+3

,

lim

n→∞

0,99 +

1

n

n

.

W ka˙zdym z trzech przypadk´

ow odpowiedzie´c na pytanie: czy setny wyraz badanego cia

-

gu

jest wie

-

kszy, r´

owny czy mniejszy ni˙z 1? a wyraz dwusetny?

7.

Znale´z´c kosinus ka

-

ta nierozwartego utworzonego przez proste o r´

ownaniach 7x + y = 16

i 4x − 3y = 2 . Narysowa´c te proste w uk ladzie wsp´

o lrze

-

dnych kartezja´

nskich. Niech

A

= (2, 2) , B = (8, 3) i D = (6, −1) . Znale´z´c taki punkt C , by czworoka

-

t ABCD

by l r´

ownoleg lobokiem. Znale´z´c pole r´

ownoleg loboku ABCD i jego ´srodek symetrii.

8.

Znale´z´c kosinus ka

-

ta nierozwartego, kt´

ory tworza

-

p laszczyzny o r´

ownaniach y + z = 0 i

2x + 2y + z = 0 . Znale´z´c iloczyn wektorowy wektor´

ow ~v = [0, 1, 1] i ~

w

= [2, 2, 1] oraz ka

-

t

jaki tworzy wektor ~v × ~

w

z prosta

-

wsp´

olna

-

obu p laszczyzn. Niech ~u = [1, −1, 1] . Obliczy´c

~

u ·

(~v × ~

w

) .

inf.

Informacje przer´

o˙zne (przydatne albo i nie):

sin

5π

6

=

1
2

;

sin

5π

4

= −

√

2

2

;

1 + x ≤ e

x

dla x ∈

.

;

sin x < x < tg x , gdy

π

2

> x >

0 .

2

7

= 128 , 2

9

= 1024 , 2

12

= 4096 , 2

20

= 1048576 , 3

4

= 81 , 3

8

= 6561 , 3

13

= 1594323 .