3

4

4

3

F

B

3

k

N

/m

D

C

E

A

3

4

4

3

F

B

3

k

N

/m

D

C

E

A

HA

MA

N1

N2

RE=12kN

HA=0

N2=-10kN

N1=-6kN

MA=24kN

VA=8kN

RF=8kN

3

4

4

3

F

B

3

k

N

/m

D

C

E

A

VA

HA

HA

MA

MA

N1

N1

N2

N2

RE

RF

Egzamin z Mechaniki Teoretycznej

Budownictwo, 23 stycznia 2012 - termin 0

Zadanie 1

Wyznaczyć reakcje podpór układu
oraz siły w prętach kratowych.
Sprawdzić poprawność obliczeń.

Rozwiązanie
Znaczenie indeksów występujących w równaniach równowagi:
Indeks dolny A, B, C, D, E, F – oznaczenie punktu, względem

którego liczony jest moment.

Indeks górny p lub l

– prawa lub lewa strona.

Indeks górny d, g lub c

– dół, góra lub całość

:

0





d

B

M

0

4

6

,

0

2

4

3

2













N

kN

10

2





N

:

0





p

C

M

0

8

10

6

,

0

4













E

R

kN

12



E

R

:

0





p

E

M

0

4

10

6

,

0

4

1











N

kN

6

1





N

:

0





p

Y

0

10

8

,

0







F

R

kN

8



F

R

:

0





l

X

0

10

6

,

0

6

4

3













A

H

kN

0



A

H

:

0





l

Y

0

10

8

,

0







A

V

kN

8





A

V

:

0

,





g

l

B

M

0

3

8







A

M

kNm

24





A

M

Sprawdzenie:

:

0

?





c

X

:

0

?





c

Y

:

0

?





c

A

M

Student

Grupa

Ocena

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Test

Zadanie 2
Wyznaczyć główne centralne osie
i główne centralne momenty bezwładności
obszaru materialnego jak na rysunku.
Przyjąć gęstość  = 1

Sprawdzenie

A

1

2

12



9



4 3





 2

2



2





A

35.717



Sx

1

2

12



9

 6



4 3

 7.5





 2

2



2

6

4 2



3 























yc

Sx

A



Sx 201.634



yc 5.645



Sy

1

2

12



9



4



(

)



4 3



2



(

)





 2

2



2

2



(

)







xc

Sy

A



Sy

179.434





xc

5.024





Ix

12 9

3



36

1

2

12



9

 6

2





4 3

3



12

4 3

 7.5

2



















 2

4



8

 2

2



2

6

4 2



3 

















2





















Ix 1329.995



Iy

12

3

9



36

1

2

12



9

 4

2





4

3

3



3



 2

4



8

 2

2



2

2

2





















Iy

1200.584



Ixy

12

2

9

2



72



1

2

12



9



4



(

)



6





0

4 3



2



(

)



7.5





[

]



0

 2

2



2

2



(

)



6

4 2



3 





































Ixy

1213.268





Ixc

Ix A yc

2







Ixc 191.698



Iyc

Iy A xc

2







Iyc

299.148



Ixcyc

Ixy A xc



yc







Ixcyc

200.301





I1c

Ixc Iyc



2

Ixc Iyc



2













2

Ixcyc

2







I1c 452.804



1c

atan

Ixcyc

Iyc I1c















1c

180





52.507



I2c

Ixc Iyc



2

Ixc Iyc



2













2

Ixcyc

2







I2c 38.041



2c

atan

Ixcyc

Iyc I2c















2c

180





37.493





Jc

Ixc

Ixcyc



Ixcyc



Iyc















cos 1c

 

sin 1c

 



sin 1c

 

cos 1c

 













J

 Jc





T





J

452.804

4.263



10

14





0

38.041













L

k

f

y

m

m

x

Położenie równowagi

L

y

1

y

2

k

f

y

m

m

x

Położenie równowagi

mg

ky

Zadanie 3
Stosując równania Lagrange’a II rodzaju wyznaczyć
równania ruchu układu przedstawionego na rysunku.

Zmienne uogólnione:



,

y





y

r

0

1











cos

sin

2

l

y

l

r









y

r





0

1















sin

cos

2









l

y

l

r









1

0

1







y

r





1

0

2







y

r





0

0

1









r











sin

cos

2

l

l

r









Równanie Lagrange’a II rodzaju







Q

E

E

dt

d

Q

y

E

y

E

dt

d

k

k

y

k

k





















































Energia kinetyczna































sin

2

2

1

sin

sin

2

cos

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1



























y

l

y

l

y

m

E

l

y

l

y

l

y

m

r

r

m

E

k

k



































sin

2

sin

2

2

2

2

1













ml

y

m

l

y

y

m

y

E

k























cos

sin

2

2













ml

ml

y

m

y

E

dt

d

k























0







y

E

k















sin

sin

2

2

2

1

2

2

y

ml

ml

y

l

l

m

E

k

































cos

sin

2















y

ml

y

ml

ml

E

dt

d

k





























cos



y

ml

E

k









Siły uogólnione





ky

r

k

F









0

1

1





mg

F

0

2





 

 

 



1

0

0

1

0

0

2

2

1

1





mg

ky

y

r

F

y

r

F

Q

y



















mg

ky

Q

y









 

 

 













sin

cos

0

0

0

0

2

2

1

1

l

l

mg

ky

r

F

r

F

Q





























sin

mgl

Q





Równania ruchu





















































sin

cos

cos

sin

cos

sin

2

2

2

mgl

y

ml

y

ml

y

ml

ml

mg

ky

ml

ml

y

m



























1. Napisać:

a. równanie ruchu oscylacyjnego punktu

materialnego tłumionego bez wymuszenia,

b. równanie charakterystyczne,
c. rozwiązanie równania ruchu wraz

z wyjaśnieniem znaczenia użytych
symboli.

a)

0







kx

x

c

x

m







b)

0

0

,

,

,

2

2

2





















k

cr

r

ke

cre

e

mr

e

r

x

re

x

e

x

rt

rt

rt

rt

rt

rt







c)





t

A

t

A

e

x

d

d

t







cos

sin

2

1







,

kr

c

c





,

m

k





,

2

1











d

A

1

, A

2

– stałe całkowania, c

kr

– tłumienie krytyczne

c – współczynnik tłumienia, ω – częstość kołowa, k – współczynnik sprężystości

2. Podać możliwe przypadki ruchu jak

w pytaniu 1 na podstawie analizy równania
charakterystycznego.

mk

c

k

cr

mr

4

,

0

2

2













0





- ruch periodyczny

0





- ruch aperiodyczny

3. Podać definicje:

a. głównych osi bezwładności,
b. głównych centralnych osi bezwładności.

a) Główne osie bezwładności to osie wyznaczone przez kierunki główne tensora
bezwładności.
b) Główne centralne osie bezwładności to główne osie bezwładności wyznaczone
przez kierunki główne tensora bezwładności zestawionego w środku ciężkości
bryły.

4. Podać własności głównych osi bezwładności. 1. Każdy sztywny układ materialny ma co najmniej trzy osie bezwładności:

 dokładnie trzy, gdy wszystkie wartości własne są różne,
 jedną i płaszczyznę osi, gdy dwie wartości własne są jednakowe,
 całą przestrzeń, gdy wszystkie wartości własne są jednakowe.

2. Tensor bezwładności w układzie głównych osi bezwładności ma postać

diagonalną (momenty dewiacji względem płaszczyzn wyznaczonych przez
główne osie bezwładności maja wartość 0).

3. Momenty bezwładności z przekątnej głównej przyjmują wartości ekstremalne.
4. Jeśli układ materialny posiada oś symetrii to ta oś pokrywa się z jedną

z głównych osi bezwładności

5. W odniesieniu do przedstawionych obszarów

materialnych podać:
a. ile głównych centralnych osi bezwładności

mają te obszary?

b. ile wynoszą główne centralne momenty

bezwładności tych obszarów?

a) Dwie główne centralne a) ∞ wiele głównych centralnych osi bezwładności
osie bezwładności (każda oś przechodząca przez środek masy)

b)

12

4

a

I

yc



b)







3

4

2

8

2

4

r

r

r

I

xc







8

4

r

I

yc





6. Podać twierdzenie o pędzie układu.

Pęd środka masy układu materialnego jest równy pędowi środka masy tego układu

7. Napisać równania ruchu swobodnej bryły

sztywnej wraz z objaśnieniami użytych
symboli.

S

- suma układu sił,

M

- moment układu sił względem

środka masy,







,

,

- gł. centralne osie bezwładności,







I

I

I

,

,

- gł. centralne momenty bezwł.

Równanie ruchu postępowego środka masy:





















z

y

x

S

z

m

S

y

m

S

x

m

S

p















Równanie ruchu obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek masy:





















































































































































M

I

I

I

M

I

I

I

M

I

I

I

J

J

J

M

J

K











8. Napisać równanie wynikające z zasady

d’Alemberta (zasada prac wirtualnych układu
sił czynnych i bezwładności) wraz
założeniami o więzach. Podać znaczenie
użytych symboli.





...

,

2

,

1

0











i

B

F

si

i

si

i

i





Więzy: geometryczne, stacjonarne, dwustronne i gładkie.

i

i

B

F ,

– siły czynne i bezwładności

si



– przemieszczenia wirtualne

r

a

a