POCHODNE CZĄSTKOWE

1. Wyznaczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:

a. f (x, y) =

x

3

+y

3

x

2

+y

2

b. f (x, y) = ln (x + ln y)

c. f (x, y, z) = (sin x)

yz

2. Wyznaczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

a. f (x, y) = ln (x +

y

2x

) b. f (x, y, z) = xy

2

+ yx

2

+ xz

3. Niech f (x, y) = arctg

y

x

. Pokazać, że

∂

3

f

∂y

2

∂x

=

∂

3

f

∂x∂y

2

.

4. Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem x

i y dla podanych funkcji:

a. f (u, v) = ln

u+1
v−1

, gdzie u = x sin y, v = x cos y,

b. f (u, v, w) = arcsin

u

v+w

, gdzie u = e

x

y

, v = x

2

+ y

2

,

w = 2xy.

5. Wyznaczyć gradienty i pochodne kierunkowe:

a. f (x, y) = x

4

+ y

4

+ 2xy + 1 w punkcie A(1, 2) w kierunku

wektora −

→

u = [3, −1],

b. f (x, y) = ln (x

2

+ y

2

) w punkcie B(1, 1) w kierunku wer-

sora dwusiecznej pierwszej ćwiartki,

c. f (x, y, z) = x + y

2

+ xyz

3

w punkcie C(1, 1, −1) w kie-

runku wektora −

→

v = [2, 0, 1].

6. Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżone warto-

ści podanych wyrażeń:

a.

ln 1,05

√

8,9

b.

0,99

2,02

2,02

−1,98