62

POCHODNE FUNKCJI

STYCZNA DO WYKRESU FUNKCJI

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI

Dla funkcji f określonej w otoczeniu U(x

0

,

G) i różniczkowalnej w punkcie x

0

Równanie stycznej do wykresu funkcji

y

– f(x

0

) = f '(x

0

)(x – x

0

)

Dla funkcji f i g określonych w otoczeniu U(x

0

,

G) i różniczkowalnych w x

0

Kąt przecięcia wykresów dwóch funkcji

tg

M =

,

gdy f '(x

0

) · g'(x

0

)

z –1

M = 90°,

gdy f '(x

0

) · g'(x

0

) = –1

Dla funkcji f i g różniczkowalnych w punkcie x

∈

X i dla c

∈

R

Pochodna sumy funkcji

Pochodna różnicy funkcji

[f(x) + g(x)]' = f '(x) + g'(x)

[f(x) – g(x)]' = f '(x) – g'(x)

Pochodna iloczynu funkcji

Pochodna ilorazu funkcji

[f(x) · g(x)]' = f '(x) · g(x) + f(x) · g'(x)

=

, g(x)

z 0

Pochodna iloczynu stałej i funkcji

Pochodna funkcji stałej

[c · f(x)]' = c · f '(x)

c

' = 0

Pochodna logarytmiczna

Pochodna pierwiastka z funkcji

[ln f(x) ]' =

, f(x)

z 0

=

, f(x) > 0

Równanie stycznej

do wykresu funkcji

Kąt

między krzywymi

tg

D = f '(x

0

)

f

' x

0

( )

g

' x

0

( )

–

1

f

' x

0

( )

g

' x

0

( )

⋅

+

------------------------------------------

Reguły

różniczkowania

f x

( )

g x

( )

-----------

'

f

' x

( )

g x

( )

⋅

f x

( )

g

' x

( )

⋅

–

g x

( )

[

]

2

-----------------------------------------------------------

f

' x

( )

f x

( )

-----------

f x

( )

'

f

' x

( )

2 f x

( )

-----------------

63

Wzór

Założenie

Wzór

Założenie

(ax + b)' = a

a

, b

∈

R

(ln x )' =

x

z 0

(x

n

)' = nx

n – 1

n

∈

N, n > 1

(sin x)' = cos x

(x

D

)' =

Dx

D – 1

x

∈

R

+

,

D

∈

R

(cos x)' = –sin x

(ax

2

+ bx + c)' = 2ax + b

a

, b, c

∈

R

(tg x)' =

x

z

+

k

S,

k

∈

C

=

x

∈

R

+

(ctg x)' = –

x

z kS, k

∈

C

= –

x

z 0, a

∈

R

(arcsin x)' =

x

∈

(–1; 1)

(a

x

)' = a

x

· ln a

a

∈

R

+

\ {1}

(arccos x)' = –

x

∈

(–1; 1)

(e

x

)' = e

x

(arctg x)' =

(log

a

x )' =

x

z 0,

a

∈

R

+

\ {1}

(arcctg x)' = –

Wzór

Założenie

Wzór

Założenie

(sin x)

(n)

=

sin x + n

(cos x)

(n)

=

cos x + n

(a

x

)

(n)

= a

x

·

(ln a)

n

a

∈

R

+

\ {1}

(e

x

)

(n)

= e

x

=

(–1)

n

·

x

z 0

(ln (1 + x))

(n)

=

= (–1)

n + 1

·

x

∈

(–1; +

f)

Dla złożenia f g i funkcji g różniczkowalnej w punkcie x

∈

X oraz funkcji f

różniczkowalnej w punkcie g(x)

Pochodna funkcji złożonej

[f(g(x))]' = f '(g(x)) · g'(x)

Pochodne funkcji
elementarnych
– wzory

Pochodne rzędu n
wybranych funkcji
– wzory

Pochodna funkcji
złożonej

1
x

---

1

x

2

cos

----------------

S

2

---





x





'

1

2 x

----------

1

x

2

sin

--------------

a
x

---

 

 

'

a

x

2

-----

1

1

x

2

–

------------------

1

1

x

2

–

------------------

1

1

x

2

+

--------------

1

x

a

ln

-------------

1

1

x

2

+

--------------





S

2

---









S

2

---





1
x

---

 

 

n

( )

n

!

x

n

1

+

-----------

n

1

–

(

)

!

1

x

+

(

)

n

-------------------

64

ZASTOSOWANIA POCHODNEJ

Dla funkcji f mającej pochodną f ' w dowolnym przedziale otwartym X = (a; b)

lub w zbiorze X = R

Monotoniczność

funkcja f rosnąca

funkcja f malejąca

funkcja f stała

Warunek

f

'(x) > 0

f

'(x) < 0

f

'(x) = 0

Interpretacja

geometryczna

Dla funkcji f mającej pochodną f ' w otoczeniu U(x

0

,

G) i f '(x

0

) = 0

Ekstrema lokalne

maksimum

minimum

Warunki

f

'(x) > 0 dla x

∈

S

–

(x

0

,

G)

f

'(x) < 0 dla x

∈

S

+

(x

0

,

G)

f

'(x) < 0 dla x

∈

S

–

(x

0

,

G)

f

'(x) > 0 dla x

∈

S

+

(x

0

,

G)

Interpretacja

geometryczna

Dla funkcji f mającej pochodną f '' w dowolnym przedziale otwartym X = (a; b)

lub w zbiorze X = R

Funkcja wypukła

Funkcja wklęsła

Warunki

f

''(x) > 0

f

''(x) < 0

Interpretacja

geometryczna

Dla funkcji f mającej pochodną f '' ciągłą w otoczeniu U(x

0

,

G) i f ''(x

0

) = 0

Punkt przegięcia wykresu funkcji

Warunki

f

''(x) > 0 dla x

∈

S

+

(x

0

,

G)

f

''(x) < 0 dla x

∈

S

–

(x

0

,

G)

f

''(x) < 0 dla x

∈

S

+

(x

0

,

G)

f

''(x) > 0 dla x

∈

S

–

(x

0

,

G)

Interpretacja

geometryczna

Monotoniczność

funkcji

Ekstrema lokalne

funkcji

Funkcja wypukła

i wklęsła

Punkt przegięcia

wykresu funkcji

65

CAŁKI

CAŁKOWANIE FUNKCJI

Dla funkcji f i g całkowalnych w przedziale X i dla c

∈

R

Całka sumy

Całka różnicy

[f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx

[f(x) – g(x)]dx = f(x)dx – g(x)dx

Całka iloczynu stałej i funkcji

Pochodna całki

[c · f(x)]dx = c · f(x)dx

f

(x)dx = f(x)

Dla funkcji f i g mających pochodne f ' i g' ciągłe w przedziale X

Całkowanie przez części

f

(x) · g'(x)dx = f(x) · g(x) – f '(x) · g(x)dx

Dla funkcji f ciągłej w przedziale X i dla funkcji g: T

X mającej pochodną g'

ciągłą w przedziale T

Całkowanie przez podstawienie

f

(x)dx = f(g(t))g'(t)dt, gdzie x = g(t)

Dla funkcji f mającej pochodną f ' ciągłą w przedziale X i C

∈

R

Całka pochodnej funkcji

Całka pochodnej logarytmicznej

Całka pochodnej pierwiastka

z funkcji

f

'(x)dx = f(x) + C

dx

= ln f(x) + C,

f

(x)

z 0

dx

=

+ C,

f

(x) > 0

Dla dowolnych a, p, q, C

∈

R, k

∈

N

+

\ {1} i

' = p

2

– 4q < 0

dx

=

(x – a)

1 – k

+ C

dx

=

arctg

+ C

dx

= ln x +

+ C

dx

= arcsin

+ C, a

z 0

Reguły całkowania

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫





∫





'

Całkowanie
przez części

Całkowanie
przez podstawienie

Całki
pochodnych funkcji

Całki
wybranych funkcji
wymiernych
i niewymiernych

∫

∫

na

∫

∫

∫

∫

f

' x

( )

f x

( )

-----------

∫

f

' x

( )

2 f x

( )

-----------------

f x

( )

∫

1

x

a

–

(

)

k

------------------

1

1

k

–

-----------

∫

1

x

2

px

q

+

+

---------------------------

2

'

–

-----------

2x

p

+

'

–

---------------

∫

1

x

2

a

+

------------------

x

2

a

+

∫

1

a

2

x

2

–

--------------------

x
a

-----

66

Wzór

Wzór

0dx = C

dx

= tg x + C

adx

= ax + C, a = const

dx

= –ctg x + C

x

D

dx

=

x

D + 1

+ C,

D z –1

tg xdx = –ln cos x + C

dx

= ln x + C

ctg xdx = ln sin x + C

dx

=

+ C

dx

= ln a + x + C

a

x

dx

=

+ C, a > 0, a

z 1

dx

= ln

+ C

e

x

dx

= e

x

+ C

dx

= arctg x + C

sin xdx = –cos x + C

dx

= arcsin x + C

cos xdx = sin x + C

dx

= ln x +

+ C

Wzory rekurencyjne na całki wybranych funkcji

sin

n

xdx = – sin

n – 1

xcos x +

sin

n – 2

xdx, n

∈

N

+

tg

n

xdx =

tg

n – 1

x – tg

n – 2

xdx, n

∈

N

+

\ {1}

dx

=

·

+

dx

, n

∈

N

+

\ {1}

x

n

· cos xdx = x

n

· sin x – n x

n – 1

sin xdx, n

∈

N

+

x

n

· sin xdx = –x

n

· cos x + n x

n – 1

cos xdx, n

∈

N

+

Całki nieoznaczone

– wzory

Wzory

rekurencyjne

na całki

wybranych funkcji

∫

∫

1

x

2

cos

---------------

∫

∫

1

x

2

sin

--------------

∫

1

D 1

+

------------

∫

∫

1
x

---

∫

∫

1

2 x

----------

x

∫

1

a

x

+

------------

∫

a

x

a

ln

----------

∫

1

1

x

2

–

--------------

1
2

---

1

x

+

1

x

–

------------

∫

∫

1

1

x

2

+

--------------

∫

∫

1

1

x

2

–

------------------

∫

∫

1

1

x

2

+

------------------

1

x

2

+

∫

1
n

---

n

1

–
n

------------

∫

∫

1

n

1

–

------------

∫

∫

1

1

x

2

+

(

)

n

---------------------

1

2n

2

–

---------------

x

1

x

2

+

(

)

n

1

–

---------------------------

2n

3

–

2n

2

–

---------------

∫

1

1

x

2

+

(

)

n

1

–

---------------------------

∫

∫

∫

∫

67

ZASTOSOWANIA CAŁKI OZNACZONEJ

Dla funkcji f ciągłej w przedziale a; b

Pole figury ograniczonej wykresem funkcji

P

=

f

(x) dx

P

– pole figury ograniczonej wykresem funkcji

y

= f(x), osią Ox i prostymi x = a i x = b

Dla funkcji f i g ciągłych w przedziale a; b o wartościach f(x) > g(x)

Pole figury ograniczonej dwoma wykresami funkcji

P

= [f(x) – g(x)]dx

P

– pole figury ograniczonej wykresami funkcji

y

= f(x) i y = g(x) oraz prostymi x = a i x = b

Dla funkcji f mającej ciągłą pochodną f ' w przedziale a; b

Długość łuku wykresu funkcji

l

=

dx

l

– długość łuku AB wykresu funkcji y = f(x)

Dla funkcji f ciągłej w przedziale a; b o wartościach f(x) > 0

Współrzędne środka ciężkości figury płaskiej

x

S

=

y

S

=

S

– środek ciężkości figury ograniczonej

wykresem funkcji y = f(x), osią Ox i prostymi
x

= a i x = b

Pole figury
ograniczonej
wykresem funkcji

Pole figury
ograniczonej
dwoma wykresami
funkcji

Długość łuku
wykresu funkcji

Współrzędne
środka ciężkości
figury płaskiej

a

b

∫

a

b

∫

a

b

∫

1

f

' x

( )

[

]

2

+

x f x

( )

⋅

x

d

a

b

∫

f x

( )

x

d

a

b

∫

--------------------------

f x

( )

[

]

2

x

d

a

b

∫

2 f x

( )

x

d

a

b

∫

--------------------------

68

CAŁKI EULERA

Dla funkcji f mającej ciągłą pochodną f ' w przedziale a; b

o wartościach f(x)

t 0

Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej

P

b

= 2

S f(x)

dx

P

b

– pole powierzchni bocznej bryły powstałej

z obrotu wykresu funkcji y = f(x), x

∈

a; b ,

dookoła osi Ox

Dla funkcji f ciągłej w przedziale a; b o wartościach f(x)

t 0

Objętość bryły obrotowej

V

=

S f

2

(x)dx

V

– objętość bryły powstałej z obrotu wykresu

funkcji y = f(x), x

∈

a; b , dookoła osi Ox

Dla x, y

∈

R

+

Całka Eulera II rodzaju

Całka Eulera I rodzaju

*(x) = t

x – 1

e

–t

dt

E(x, y) = t

x – 1

(1 – t)

y – t

dt

Własności całek Eulera

*(x + 1) = x · *(x), x

∈

R

+

*

=

*(n) = (n – 1)!, n

∈

N

+

*(x) · * x + =

*(2x), x

∈

R

+

*(x) · *(1 – x) =

, x

∈

(0; 1)

E(x, y) =

Pole powierzchni

bocznej bryły

obrotowej

Objętość

bryły obrotowej

a

b

∫

1

f

' x

( )

[

]

2

+

a

b

∫

Funkcje

gamma i beta

Własności

całek Eulera

0

∞

∫

0

1

∫





1
2

---





S





1
2

---





S

2

2x

1

–

-------------

S

Sx

sin

---------------

* x

( )

* y

( )

⋅

* x y

+

(

)

---------------------------