Konspekt nr 6 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”

1

Wybrane zagadnienia z weryfikacji hipotez statystycznych

1. Wprowadzenie

Badania niewyczerpujące (częściowe) nie dają podstaw do formułowania stanowczych

(stuprocentowych) stwierdzeń dotyczących obserwowanych zmiennych losowych. Można
natomiast, na podstawie

tych badań, wysuwać pewne przypuszczenia w odniesieniu do nie-

znanej

bliżej klasy rozkładu zmiennej losowej, jak również – przy znanym rozkładzie – w

odniesieniu do nieznanych wartości parametrów rozkładu. Przypuszczenia te nazywane są
hipotezami statystycznymi

. Hipotezy dotyczące parametrów nazywane są hipotezami parame-

trycznymi,

natomiast hipotezy dotyczące klasy rozkładu – a więc postaci funkcji opisującej

rozkład zmiennej losowej, ale bez odwoływania się do liczbowych wartości parametrów –
nazywamy hipotezami nieparametrycznymi.

W celu pełniejszego zrozumienia problemu rozważmy następujący przykład.

PRZYKŁAD 1.

(a)

W fabryce pracuje urządzenie do produkcji pewnych detali. W celu sprawdzenia jaki procent wyro-
bów produkowanych pr

zez to urządzenie jest wadliwych, trzeba wylosować pewną liczbę detali i

zbadać, ile z nich spełnia przyjęte normy jakości. Jeśli wylosowano n detali i spośród nich jest n

w

wadliwych, to stosunek n do n

w

jest oceną prawdopodobieństwa wyprodukowania wadliwego deta-

lu przez badane urządzenie.

(b)

Wyobraźmy sobie teraz, że ta sama fabryka kupuje nowe urządzenie do produkcji tych samych de-

tali i że producent zapewnia, że średnio tylko 1 na 100 (n

w

/n = 0.01) wyprodukowanych detali jest

wadliwych

. Aby to sprawdzić losuje się np. n = 500 detali wyprodukowanych na tym urządzeniu

i

bada ich jakość. Załóżmy, że n

w

= 20 nie spełnia norm jakości (n

w

/n = 0.05). Czy na podstawie ta-

kiego wyniku badań można by obalić zapewnienia producenta urządzenia?

W punkcie (a)

zadanie sprowadza się do oceny (estymacji)

I

(b)

pewnego parametru, w punk-

cie

do podjęcia lub odrzucenia zapewnienia producenta, że prawdopodobieństwo wypro-

dukowania braku nie jest większe od 0.01, a więc do zweryfikowania hipotezy.

Procedury służące do sprawdzania (weryfikowania) owych hipotez noszą nazwę testów

statystycznych.

Postępowanie weryfikacyjne rozpoczyna się od sformułowania hipotezy ze-

rowej H

0

oraz jednej lub kilku hipotez alternatywnych H

1

II

. Hipotez

ę zerową formułuje się w

ten sposób, by orzekała brak różnic lub ogólniej – brak wpływu badanego czynnika doświad-

czalnego na obserwowany parametr. Jeśli przez Q oznaczymy nieznaną wartość badanego
parametru

III

zmiennej losowej X a przez Q

0

wartość tego samego parametru uzyskaną w do-

świadczeniu, to hipoteza zerowa wygląda w następujący sposób

0

0

:

Q

Q

H

=

(1).

Zapisana w taki sposób hipoteza zerowa jest hipotezą prostą. Wysuwamy mianowicie

przypuszczenie, że parametr Q ma wartość Q

0

.

Hipoteza zerowa może być również hipotezą złożoną w postaci

0

0

:

Q

Q

H

≤

(2)

albo

I

Podstawowe zagadnienia z estymacji parametrów statystycznych zostały omówione w poprzednim konspek-

cie.

II

W niektórych podręcznikach można znaleźć oznaczenie hipotezy zerowej przez H, a hipotezy alternatywnej

przez K.

III

Tym parametrem może być przykładowo: wartość średnia, wariancja, parametr λ w rozkładzie Poissona itp.

Konspekt nr 6 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”

2

0

0

:

Q

Q

H

≥

(3).

Hipotezy alternatywne formułuje się następująco

0

1

:

Q

Q

H

≠

(4),

0

1

:

Q

Q

H

>

(5),

0

1

:

Q

Q

H

<

(6).

Są to hipotezy złożone. Każda z nich może być alternatywną hipotezą wobec hipotezy ze-

rowej postaci (1)

. Alternatywą hipotezy zerowej (2) jest hipoteza (5), natomiast hipoteza (6)

jest alternatywą hipotezy zerowej (3).

Przy tak sformułowanych hipotezach zerowych i alternatywnych procedura weryfikacyjna

przebiega według podanego poniżej schematu:

− Ze populacji generalnej Z, w której określona jest zmienna losowa X, pobiera się

n-

elementową próbę losową.

− Na podstawie zbioru realizacji X

n

oblicza się wartość G(X

n

) statystyki

IV

−

Na podstawie rozkładu prawdopodobieństwa statystyki G wyznacza się przedział (ob-
szar) krytyczny W

k

, taki

że prawdopodobieństwo tego, iż wartość funkcji G(X

n

) trafi do

obszaru krytycznego, przy założeniu, że Q = Q

0

, wynosi

α. Co zapisuje się następująco

G

, będącej

sprawdzianem hipotezy zerowej. Statystykę G wybiera się odpowiednio do treści wery-
fikowanej hipotezy.

(

)

α

=

=

∈

0

|

)

(

P

Q

Q

W

X

G

k

n

(7).

Prawdopodobieństwo α jest dowolnie małe, ale różne od zera i nazywane jest pozio-

mem istotności testu. Zazwyczaj przyjmuje się wartości α = 0.05 albo α = 0.01.
W prz

ypadku hipotez zerowych złożonych typu (2) i (3) mamy

(

)

α

=

≤

∈

0

|

)

(

P

Q

Q

W

X

G

k

n

(8),

(

)

α

=

≥

∈

0

|

)

(

P

Q

Q

W

X

G

k

n

(9).

−

Jeśli uzyskana z doświadczenia wartość G(X

n

) spełnia warunek

k

n

W

X

G

∈

)

(

(10),

to sprawdzaną hipotezę zerową odrzuca się na korzyść alternatywnej. Decyzja taka jest

realizacją poglądu opartego na doświadczeniu, że zdarzenia mało prawdopodobne za-

chodzą rzadko. Jeśli więc wystąpiło zdarzenie, które – przy założeniu prawdziwości
H

0

–

praktycznie nie powinno zajść, to kwestionujemy słuszność przyjętego założenia,

odrzucając H

0

.

−

Jeśli natomiast

k

n

W

X

G

∉

)

(

(11),

to nie ma podstaw do odrzucenia weryfikowanej hipotezy zerowej.

Weryfikując daną hipotezę statystyczną H

0

, na podstawie wyników próby losowej, pono-

simy zawsze pewne ryzyko podjęcia błędnej decyzji. Wynika to stąd, że na podstawie próbki

IV

Dla przypomnienia – statystyka jest to dowolna funkcja, której dziedziną są wartości zmiennej losowej. W

tym przypadku dziedziną funkcji G jest zbiór realizacji X

n

uzyskany w próbie losowej.

Konspekt nr 6 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”

3

nigdy nie mamy całkowitej informacji o populacji, z której pobrana została próba. W związku

z tym możemy więc podjąć decyzję poprawną, albo popełnić jeden z dwóch błędów:

a)

możemy odrzucić weryfikowaną hipotezę H

0

wtedy, gdy jest ona w rzeczywistości

prawdziwa (popełniamy wtedy błąd pierwszego rodzaju),

b) lub

możemy przyjąć weryfikowaną hipotezę H

0

jako prawdziwą, podczas gdy jest

ona w rzeczywistości fałszywa, czyli prawdziwa jest hipoteza alternatywna H

1

(popełniamy wtedy błąd drugiego rodzaju).

Istotę tych błędów można też zilustrować za pomocą diagramu przedstawionego na rys. 1.

Rys. 1

. Błędy popełniane przy weryfikacji hipotez statystycznych

Prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju wynosi α. Jest ono znane

a priori

(założone z góry) na etapie tworzenia przedziału krytycznego W

k

. Natomiast, aby

określić prawdopodobieństwo popełnienia błędu drugiego rodzaju, trzeba wprowadzić dodat-

kowe założenia co do postaci hipotez alternatywnych. My nie będziemy zajmować się obli-

czeniem tego prawdopodobieństwa. Należy jedynie wiedzieć, że im mniejsze prawdopodo-

bieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju, tym większe jest prawdopodobieństwo po-

pełnienia błędu drugiego rodzaju. Gdybyśmy założyli prawdopodobieństwo popełnienia błędu
pierw

szego rodzaju jako równe 0 (tzn. jeśli niezależnie od wyników eksperymentu zawsze

będziemy przyjmować hipotezę H

0

), to prawdopodobieństwo popełnienia błędu drugiego ro-

dzaju jest równe 1 (wtedy nigdy nie odrzucimy hipotezy H

0

, gdy jest fałszywa). Dla ustalone-

go poziomu istotności testu α prawdopodobieństwo popełnienia błędu drugiego rodzaju male-
je wraz ze wzrostem

liczności próbki losowej. Oznacza to, że im większa próba losowa, tym

częściej będziemy odrzucać hipotezę H

0

, gdy jest ona nieprawdziwa.

2.

Weryfikacja hipotezy dotyczącej wartości przeciętnej w rozkładzie normalnym

Jeśli wariancja (σ

2

) obserwowanej zmiennej losowej X

o rozkładzie normalnym nie jest

znana, to do weryfikacji hipotez zerowych (1) – (3)

wykorzystuje się test t-Studenta. W przy-

padku gdy wariancję σ

2

szacuje się za pomocą statystyki S

2

, sprawdzian hipotezy zerowej ma

postać

1

0

0

,

−

µ

−

=

ν

n

S

X

T

(12).

Jeśli natomiast wariancję σ

2

szacuje się za pomocą statystyki S

*2

, to wówczas

n

S

X

T

*

0

0

,

µ

−

=

ν

(13).

Hipoteza zerowa H

0

Przyjąć

Odrzucić

Decyzja

Decyzja

Decyzja

prawidłowa

Błąd II rodzaju

Błąd I rodzaju

Decyzja

prawidłowa

H

0

prawdziwa

w rzeczywistości

H

0

fałszywa

w rzeczywistości

H

0

prawdziwa

w rzeczywistości

H

0

fałszywa

w rzeczywistości

Konspekt nr 6 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”

4

Zmienna losowa T

ν,0

ma roz

kład Studenta o ν = n – 1 stopniach swobody.

Jeśli hipoteza zerowa ma postać (1) i jest weryfikowana wobec hipotezy alternatywnej (4)

to test jest dwustronny. W takim przypadku obszar krytyczny, przedstawiony na rys. 2, ma
po

stać

)

;

[

]

;

(

2

/

1

,

2

/

,

+∞

∪

−∞

=

α

−

ν

α

ν

t

t

W

k

(14),

przy czym wartości t

ν,α/2

< 0 i t

ν,1-α/2

> 0

są odpowiednio: kwantylem dolnym i górnym rozkła-

du Studenta,

a ich wartości wyznacza się w taki sposób, aby

(

)

2

P

2

/

,

0

,

α

=

≤

α

ν

ν

t

T

(15),

(

)

2

P

2

/

1

,

0

,

α

=

≥

α

−

ν

ν

t

T

(16).

Rys. 2. Konstrukcja zbioru krytycznego (dwustronnego) testu do weryfikacji hipotezy H

0

:

μ = μ

0

przeciw hipotezie alternatywnej H

1

:

μ ≠ μ

0

dla poziomu istotności testu α

Ponieważ |t

ν,α/2

| = t

ν,1-α/2

, zatem w przypadku testu dwustronnego mamy następujące reguły

decyzyjne:

−

jeśli wartość T

ν,0

wyliczona ze wzoru (12) albo (13)

spełnia nierówność

2

/

1

,

0

,

α

−

ν

ν

≥ t

T

(17),

to odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej,

−

jeśli natomiast

2

/

1

,

0

,

α

−

ν

ν

< t

T

(18),

to nie ma podstaw do odrzucenia weryfikowanej hipotezy zerowej.

PRZYKŁAD 1. W pewnym zakładzie pracy, gdzie w sposób ciągły pracuje agregat służący do pakowania

bentonitu w worki, p

obrano w sposób losowy 10 takich worków, a następnie zwarzono je. Uzyskano następujące

wyniki w kg: 1.06; 0.98; 1.01; 0.99; 1.00; 0.98; 1.03; 1.08; 0.96; 1.02. Na podstawie uzyskanych wyników

sprawdzić, czy zadana na początku pracy wartość nominalna masy pojedynczego worka wynosi μ

0

= 1.00 kg.

Przy

jąć poziom istotności testu α = 0.01.

Konspekt nr 6 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”

5

Ponieważ agregat pracuje w sposób ciągły a próba losowa liczy tylko 10 worków to taką próbkę będziemy

traktować jako małą. W związku z tym do testu będziemy używać statystyki (13).

Stawiamy hipotezę zerową orzekającą, że agregat nadal pakuje bentonit w worki o średniej masie równej

1.00 kg. Hipotezę tą zapisujemy następująco: H

0

:

μ = μ

0

. Hipotezą alternatywna orzekać będzie, że automat

rozregulował się, czyli H

1

:

μ ≠ μ

0

. Wartość μ szacujemy obliczając średnią arytmetyczną z wyników próby

losowej

01

.

1

10

1

=

=

=

µ

∑

=

i

i

X

X

.

Wartość statystyki S

*

wyliczamy w następujący sposób (patrz wzór 12 w poprzednim konspekcie)

(

)

04

.

0

01

.

1

1

1

10

1

2

2

*

*

=

−

−

=

=

∑

=

i

i

X

n

S

S

.

Tą samą wartość można uzyskać stosując funkcje Excela o nazwie ODCH.STANDARDOWE.

Wyliczamy wartość statystyki (13)

8582

.

0

10

04

.

0

00

.

1

01

.

1

*

0

0

,

=

−

=

µ

−

=

ν

n

S

X

T

.

Wartość kwantylu t

ν,1-α/2

liczymy korzystając z funkcji Excala ROZKŁAD.T.ODW o następującej składni:

Prawdopodobieństwo =

α = 0.01 (nie należy wpisywać 1 – α/2); stopnie_swobody = ν = n – 1 = 9, otrzymując

t

ν,1-α/2

= 3.2498.

Ponieważ zgodnie z nierównością (18) |T

ν,0

= 0.8582| < t

ν,1-α/2

= 3.2498 to nie ma podstaw do odrzucenia hi-

potezy zerowej. Inaczej możemy powiedzieć, że z prawdopodobieństwem 1 – α agregat nadal pakuje worki
o nominalnej masie 1.00 kg.

Gdy hipoteza (5)

jest alternatywą wobec hipotezy zerowej (2), to test jest jednostronny

(prawostronny). W takim przypadku obszar krytyczny (rys. 3

) wygląda następująco

)

;

[

1

,

+∞

=

α

−

ν

t

W

k

(19),

przy czym

(

)

α

=

≥

α

−

ν

ν

1

,

0

,

P

t

T

(20),

gdzie t

ν,1-α/2

> 0.

Dla testu prawostronnego reguły decyzyjne są następujące:

−

jeśli wartość T

ν,0

wyliczona ze wzoru (12) albo (13)

spełnia nierówność

α

−

ν

ν

≥

1

,

0

,

t

T

(21),

to odrzuca się hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej,

−

jeśli natomiast

α

−

ν

ν

<

1

,

0

,

t

T

(22),

to nie ma podstaw do odrzucenia weryfikowanej hipotezy zerowej.

Test lewostronny występuje w przypadku weryfikowaniu hipotezy zerowej (3) wobec hi-

potezy alternatywnej (6). Obszar krytyczny

dla testu lewostronnego wygląda następująco (rys.

4)

Konspekt nr 6 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”

6

]

;

(

,

α

ν

−∞

=

t

W

k

(23),

przy czym

(

)

α

=

≤

α

ν

ν

,

0

,

P

t

T

(24),

gdzie t

ν,α

< 0.

Rys. 3. Konstrukcja zbioru krytycznego (prawostronnego) testu do weryfikacji hipotezy H

0

:

μ ≤ μ

0

przeciw hipotezie alternatywnej H

1

:

μ > μ

0

dla poziomu istotności testu α

Rys. 4. Konstrukcja zbioru krytycznego (lewostronnego) testu do weryfikacji hipotezy H

0

:

μ ≥ μ

0

przeciw hipotezie alternatywnej H

1

:

μ < μ

0

dla poziomu istotności testu α

Regu

ły decyzyjne dla testu lewostronnego są analogiczne jak dla testu prawo i dwustron-

nego. Decyzje podejmuje si

ę następująco:

−

jeśli wartość T

ν,0

wyliczona ze wzoru (12) albo (13)

spełnia nierówność

α

ν

ν

≥

,

0

,

t

T

(25)

Konspekt nr 6 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”

7

to odrzuca się hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej,

−

jeśli natomiast

α

ν

ν

<

,

0

,

t

T

(26),

to nie ma podstaw do odrzucenia weryfikowanej hipotezy zerowej.

Aby obliczy

ć wartość kwantyli t

ν,α

oraz t

ν,1-α

przy pomocy funkcji Excela o nazwie

ROZKŁAD.T.ODW jako argument Prawdopodobieństwo nale

ży wskazać wartość 2∙α.

LITERATURA

W. Krysicki, J. Bartos, W. Dysza, K. Królikowska, M. Wasilewska: Rachunek prawdopo-

dobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warsza-
wa 2005.

A. Iwasiewicz, A. Paszek: Statystyka z elementami statystycznych metod monitorowania

procesów. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 2004.

W. Kordecki:

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczny. Oficyna Wy-

dawnicza GiS, Wrocław 2003.