Analiza matematyczna Wykłady, CAŁKI NIEOZNACZONE

background image

63

CAŁKI NIEOZNACZONE

1

1

.

.

C

C

A

A

Ł

Ł

K

K

A

A

N

N

I

I

E

E

O

O

Z

Z

N

N

A

A

C

C

Z

Z

O

O

N

N

A

A

Poszukiwanie funkcji F(x), gdy jest jej pochodna F'(x)=f(x), czyli działanie

odwrotne do ró

ż

niczkowania nazywa si

ę

całkowaniem, a funkcj

ę

szukan

ą

F(x) nazywa si

ę

funkcj

ą

pierwotn

ą

funkcji f(x).

Całkowanie jest działaniem odwrotnym wzgl

ę

dem ró

ż

niczkowania

(wyznaczania pochodnej) i nie jest działaniem jednoznacznym, co okre

ś

la

nast

ę

puj

ą

ce twierdzenie, zwane twierdzeniem podstawowym o funkcjach

pierwotnych:

TWIERDZENIE 1.1 Je

ż

eli funkcja F(x) jest funkcj

ą

pierwotn

ą

funkcji f(x) w

przedziale X, to funkcja F(x) + C, gdzie C jest dowoln

ą

stał

ą

, jest równie

ż

funkcj

ą

pierwotn

ą

funkcji f(x) w przedziale X.

Dowód. Istotnie, dla ka

ż

dego x

X i ka

ż

dej stałej C, mamy

[F(x) + C]' = F'(x) = f(x),

zatem funkcja F(x) + C jest funkcj

ą

pierwotn

ą

funkcji f(x) w przedziale X. Z

drugiej strony, je

ż

eli funkcje F(x) i G(x) s

ą

funkcjami pierwotnymi funkcji f(x)

w przedziale X, czyli

F'(x) = f(x) i

G'(x) = f(x)

to

0

)]'

(

)

(

[

=

x

G

x

F

X

x

background image

64

Oznacza to,

ż

e funkcja F(x) i G(x) w przedziale X jest wielko

ś

ci

ą

stał

ą

, czyli

G(x) = F(x)+C

0

.

Zatem, je

ż

eli funkcja F(x) jest funkcja pierwotn

ą

funkcji f(x) w przedziale X,

to suma

F(x) + C,

gdzie C jest dowoln

ą

stał

ą

, przedstawia wszystkie funkcje pierwotne funkcji

f(x) w tym przedziale i tylko takie funkcje.

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) w przedziale X nazywamy

całk

ą

nieoznaczon

ą

funkcji f(x) w tym przedziale i oznaczamy symbolem

(1.1)

dx

x

f

)

(

.

Funkcj

ę

f(x) nazywamy funkcj

ą

podcałkow

ą

, a liter

ę

x nazywamy zmienn

ą

całkowania. Z podstawowego twierdzenia o funkcjach pierwotnych wynika,

ż

e

(1.2)

+

=

C

x

F

dx

x

f

)

(

)

(

,

gdzie F(x) jest dowoln

ą

funkcj

ą

pierwotn

ą

funkcji f(x), a C jak

ą

kolwiek stał

ą

.

Z definicji całki nieoznaczonej wynika,

ż

e funkcja pierwotna F(x) okre

ś

lona

jest w dziedzinie funkcji podcałkowej f(x).

background image

65

PRZYKŁAD 1.1. Znajdziemy funkcj

ę

pierwotn

ą

funkcji f(x)=x

2

, której wykres

przechodzi przez punkt (-1,1).

Obliczaj

ą

c całk

ę

nieoznaczon

ą

z funkcji podcałkowej f(x)=x

2

, otrzymamy

zbiór

+

=

C

x

dx

x

3

3

1

2

funkcji pierwotnych. Poniewa

ż

szukana funkcja pierwotna

0

3

3

1

)

(

C

x

x

F

+

=

ma przechodzi

ć

przez punkt (-1,1), zatem musi by

ć

spełniony warunek

F(-1) = 1,

czyli

0

3

3

1

)

1

(

1

C

+

=

sk

ą

d

3

4

0

=

C

Tak wi

ę

c

3

4

3

3

1

)

(

+

=

x

x

F

jest szukan

ą

funkcj

ą

pierwotn

ą

.

background image

66

W tablicy podano całki nieoznaczone funkcji elementarnych.

Nale

ż

y podkre

ś

li

ć

,

ż

e wzory podane w tablicy s

ą

prawdziwe w ka

ż

dym

przedziale ci

ą

gło

ś

ci odpowiedniej funkcji podcałkowej.

Lp.

Całka

Uzasadnienie

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

+

=

+

=

+

=

+

+

=

+

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

>

+

=

+

=

+

+

=

+

=

=

+

C

x

x

dx

C

x

x

dx

C

arcctgx

x

dx

C

arctgx

x

dx

C

tg

dx

x

C

ctgx

dx

x

C

x

xdx

C

x

xdx

C

e

dx

e

a

a

C

a

a

dx

a

C

x

dx

C

x

dx

x

C

x

dx

C

dx

x

x

x

x

x

x

x

arccos

1

)

1

(

arcsin

1

1

)

1

(

1

cos

1

sin

1

sin

cos

cos

sin

)

1

,

0

(

ln

|

|

ln

)

1

(

1

1

0

2

2

2

2

2

2

1

1

α

α

[

]

2

2

2

2

2

2

'

1

1

1

]'

[arccos

1

1

]'

[arcsin

1

1

]'

[

1

1

]'

[

cos

1

]'

[

sin

1

]'

[

cos

]'

[sin

sin

]'

cos

[

]'

[

ln

]'

|

|

[ln

'

1

1

1

'

0

]'

[

x

C

x

x

C

x

x

C

arcctgx

x

C

arctgx

x

C

tgx

x

C

ctgx

x

C

x

x

C

x

e

C

e

a

C

a

a

a

C

x

x

C

x

C

x

C

x

x

x

x

x

x

x

=

+

=

+

+

=

+

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=





+

+

=

+

=

+

α

background image

67

PRZYKŁAD 1.2. Obliczaj

ą

c pochodn

ą

[ ln |x| + C]' dla x>0 otrzymujemy

+

=

C

x

x

dx

|

|

ln

natomiast dla x<0

,

1

)

1

(

)]'

[ln(

|]'

|

[ln

x

x

x

x

=

=

=

czyli

x

C

x

1

]'

|

|

[ln

=

+

PRZYKŁAD 1.3. Mamy

),

,

0

(

),

,

(

8

ln

8

8

),

,

(

3

2

5

5

1

4

+∞

+

=

+∞

−∞

+

=

+∞

−∞

+

=

x

dla

C

x

x

dx

x

x

dla

C

dx

x

dla

C

x

dx

x

x

x

).

,

(

1

1

),

,

0

(

)

0

,

(

3

1

1

3

10

3

7

3

7

3

2

3

2

10

3

1

3

7

3

2

3

1

3

2

3

2

+∞

−∞

+

=

+

+

=

=

+∞

−∞

+

=

+

+

=

=

+

+

x

dla

C

x

C

x

dx

x

dx

x

x

x

dla

C

x

C

x

dx

x

x

dx

2

2

.

.

P

P

O

O

D

D

S

S

T

T

A

A

W

W

O

O

W

W

E

E

W

W

Ł

Ł

A

A

S

S

N

N

O

O

Ś

Ś

C

C

I

I

C

C

A

A

Ł

Ł

K

K

I

I

N

N

I

I

E

E

O

O

Z

Z

N

N

A

A

C

C

Z

Z

O

O

N

N

E

E

J

J

Podamy obecnie podstawowe własno

ś

ci całki nieoznaczonej.

1. Je

ż

eli funkcja f(x) ma w pewnym przedziale funkcj

ę

pierwotn

ą

, a k jest

dowoln

ą

stał

ą

liczb

ą

od zera, to

(2.1)

).

0

(

)

(

)

(

=

k

dx

x

f

k

dx

x

kf

background image

68

Z definicji całki nieoznaczonej wynika,

ż

e

[

]

)

(

)

(

'

x

f

dx

x

f

=

Mamy

[

]

[

]

),

(

)

(

)

(

)

(

'

'

x

kf

dx

x

f

k

oraz

x

kf

dx

x

kf

=

=

zatem

=

dx

x

f

k

dx

x

kf

)

(

)

(

Własno

ść

1 mo

ż

na wyrazi

ć

w nast

ę

puj

ą

cy sposób: stały czynnik

wyst

ę

puj

ą

cy w funkcji podcałkowej mo

ż

na wył

ą

czy

ć

przed znak całki.

PRZYKŁAD 2.1. Obliczmy całki nieoznaczone

.

3

4

2

dx

i

dx

x

x

Z podanej własno

ś

ci otrzymujemy

.

0

|

|

ln

4

4

,

1

2

1

3

3

3

3

4

3

1

2

2

2

+

=

=

+

=

+

+

=

=

+

x

dla

C

x

dx

R

x

dla

C

x

C

x

dx

x

dx

x

x

dx

2. Je

ż

eli funkcje f(x) i g(x) maj

ą

funkcje pierwotne w pewnym przedziale, to

(2.2)

.

)

(

)

(

)]

(

)

(

[

±

=

±

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

Istotnie:

[

]

[

]

),

(

)

(

)

(

)

(

),

(

)

(

)]

(

)

(

[

'

'

x

g

x

f

dx

x

g

dx

x

f

x

g

x

f

dx

x

g

x

f

±

=

±

±

=

±

background image

69

zatem

±

=

±

.

)

(

)

(

)]

(

)

(

[

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

Zauwa

ż

amy,

ż

e je

ż

eli całkujemy sum

ę

(ró

ż

nic

ę

) kilku funkcji, to po

obliczeniu całek z poszczególnych składników dopisujemy jedn

ą

stał

ą

dowoln

ą

, poniewa

ż

suma stałych dowolnych jest równie

ż

stał

ą

dowoln

ą

.

PRZYKŁAD 2.2. Obliczmy całk

ę

+

+

.

)

2

3

4

5

(

3

4

dx

x

x

x

Korzystaj

ą

c z własno

ś

ci całki nieoznaczonej mamy

).

,

(

2

2

3

4

5

2

3

4

5

)

2

3

4

5

(

2

2

3

4

5

3

4

3

4

3

4

+∞

−∞

+

+

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

x

dla

C

x

x

x

x

dx

xdx

dx

x

dx

x

dx

xdx

dx

x

dx

x

dx

x

x

x

3

3

.

.

C

C

A

A

Ł

Ł

K

K

O

O

W

W

A

A

N

N

I

I

E

E

P

P

R

R

Z

Z

E

E

Z

Z

P

P

O

O

D

D

S

S

T

T

A

A

W

W

I

I

E

E

N

N

I

I

E

E

Przy obliczaniu wielu całek nieoznaczonych pomocnym jest nast

ę

puj

ą

ce

twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie t = h(x).

TWIERDZENIE 3.1 Je

ż

eli istnieje taka funkcja t = h(x)

ż

niczkowalna w

przedziale T i h(x)



T, oraz

ż

e funkcja podcałkowa

(3.1)

),

(

)]

(

[

)

(

t

g

x

h

g

x

f

=

=

to w przypadku gdy funkcja g(t) ma w przedziale T funkcj

ę

pierwotn

ą

G(t) i

ponadto w przedziale X zachodzi

(3.2)

)

(

'

)]

(

[

)

(

x

h

x

h

g

x

f

=

background image

70

to dla x



X prawdziwa jest równo

ść

(3.3)

C

x

h

G

dx

x

f

+

=

)]

(

[

)

(

D o w ó d. Funkcja zło

ż

ona G[h(x)] jest funkcj

ą

pierwotn

ą

funkcji f(x) w

przedziale X, poniewa

ż

dla ka

ż

dego x



X zachodzi

)

(

)

(

'

)]

(

[

)

(

'

)]

(

[

'

)]

(

[

x

f

x

h

x

h

g

x

h

x

h

g

x

h

G

dx

d

=

=

=

Zatem istnieje całka nieoznaczona funkcji f(x) w przedziale X.

Je

ż

eli zast

ą

pimy w wyra

ż

eniu G[h(x)]+C symbol h(x) liter

ą

t, to otrzymamy

G(t)+C, czyli całk

ę

nieoznaczon

ą

dt

t

g )

(

. Mo

ż

emy zatem napisa

ć

(3.4)

=

dt

t

g

dx

x

f

)

(

)

(

lub

(3.5)

.

)

(

)

(

'

)]

(

[

)

(

=

=

dt

t

g

dx

x

h

x

h

g

dx

x

f

Ostatni

ą

równo

ść

nazywamy wzorem na całkowanie przez podstawienie t =

h(x). Metoda całkowania przez podstawienie zwana jest tak

ż

e metod

ą

całkowania przez zmian

ę

zmiennej. Jest to jedna z najcz

ęś

ciej

stosowanych metod całkowania. Metod

ę

t

ę

stosujemy wtedy, gdy funkcja

podcałkowa jest funkcj

ą

zło

ż

on

ą

. Metod

ę

całkowania przez podstawienie

nale

ż

y stosowa

ć

wówczas, gdy całka

dt

t

g )

(

jest łatwiejsza do obliczenia

ni

ż

całka

dx

x

f

)

(

. Nie istniej

ą

zasady podstawiania przy obliczaniu całek.

Odpowiednich umiej

ę

tno

ś

ci nabywa si

ę

tylko drog

ą

wprawy przez

obliczanie całek.

background image

71

PRZYKŁAD 3.1. Obliczmy całk

ę

+

dx

x

5

)

1

3

(

Podstawiamy

1

3

+

=

x

t

, czyli

1

3

)

(

+

=

x

x

h

Mamy

.

3

,

3

)

(

'

dx

dt

x

h

=

=

Poniewa

ż

{ ,

3

)

1

3

(

)

1

3

(

)

(

'

)]

(

[

5

3

1

)

(

5

x

h

x

h

g

x

f

x

x

+

=

+

4

3

42

1

4

3

42

1

zatem

5

3

1

)

(

t

t

g

=

Korzystaj

ą

c ze wzoru (5.7.5) otrzymujemy

.

)

1

3

(

18

1

18

1

1

5

1

)

1

3

(

6

6

1

5

3

1

5

3

1

5

3

1

5

C

x

C

t

C

t

dt

t

dt

t

dx

x

+

+

=

+

=

=

+

+

=

=

=

+

+

PRZYKŁAD 3.2. Obliczmy całk

ę

.

2

3

3

2

dx

x

x

Podstawiamy

3

x

t

=

, czyli

3

)

(

x

x

h

=

. Ponadto

2

3

)

(

'

x

x

h

=

oraz

dx

x

dt

2

3

=

. Mamy

{

{

)

(

'

2

)]

(

[

)

(

2

3

2

2

3

3

3

x

h

x

h

g

x

x

f

x

x

x

=

4

3

42

1

background image

72

zatem

t

t

g

2

)

(

=

. Ze wzoru na całkowanie przez podstawienie otrzymujemy

C

C

dt

dx

x

x

t

t

x

+

=

+

=

=

2

ln

2

2

ln

2

2

2

3

3

3

2

W

dalszych

przykładach

zapisywa

ć

b

ę

dziemy

tylko

niezb

ę

dne

przekształcenia. Nale

ż

y doda

ć

,

ż

e wszystkie całki nieoznaczone s

ą

okre

ś

lone tylko w dziedzinie funkcji podcałkowej.

PRZYKŁAD 3.3. Obliczmy całk

ę

.

cos

sin

3

xdx

x

Podstawiamy t = sin x. Mamy

.

sin

cos

sin

,

cos

4

4

1

4

4

1

3

3

C

x

C

t

dt

t

xdx

x

xdx

dt

+

=

+

=

=

=

PRZYKŁAD 3.4. Obliczmy całk

ę

+

.

1

3

2

dx

x

x

Podstawiamy

1

3

2

+

=

x

t

. Mamy

.

)

1

3

ln(

|

|

ln

1

3

,

,

6

2

6

1

6

1

1

6

1

2

6

1

C

x

C

t

dt

dx

x

x

dt

xdx

xdx

dt

t

+

+

=

+

=

=

+

=

=

Je

ż

eli mamy obliczy

ć

całk

ę

(3.6)

dx

x

x

)

(

)

(

'

ϕ

ϕ

background image

73

tzn. całk

ę

z funkcj

ą

podcałkow

ą

tak

ą

,

ż

e w liczniku jest pochodna

mianownika, to stosujemy podstawienie

(3.7)

).

(x

t

ϕ

=

Mamy wi

ę

c

(3.8)

dx

x

dt

)

(

'

ϕ

=

oraz

(3.9)

C

x

C

t

t

dt

dx

x

x

+

=

+

=

=

|

)

(

|

ln

|

|

ln

)

(

)

(

'

ϕ

ϕ

ϕ

PRZYKŁAD 3.4. Obliczmy całk

ę

.

ctgxdx

Mamy

.

sin

cos

dx

x

x

ctgxdx

=

Stwierdzamy,

ż

e całka ta jest całk

ą

postaci (5.7.6), zatem

+

=

.

|

sin

|

ln

C

x

ctgxdx

PRZYKŁAD 3.5. Obliczmy całk

ę

.

)

ln

3

(

+

x

x

dx

Podstawiamy t = 3 + ln x. Mamy

dx

dt

x

1

=

, sk

ą

d

background image

74

.

|

ln

3

|

ln

|

|

ln

)

ln

3

(

C

x

C

t

t

dt

x

x

dx

+

+

=

+

=

=

+

Przy obliczaniu niektórych całek nale

ż

y stosowa

ć

podstawienie

)

(t

x

ψ

=

. Podamy obecnie drugie twierdzenie o całkowaniu przez

podstawienie

)

(t

x

ψ

=

.

TWIERDZENIE

3.2

Je

ż

eli

funkcja

)

(t

ψ

jest

ż

niczkowalna

i

ż

nowarto

ś

ciowa w przedziale T i warto

ś

ci funkcji

)

(t

ψ

nale

żą

do

przedziału X oraz funkcja f(x) dla x



X ma funkcj

ę

pierwotn

ą

, to

(3.10)

=

dt

t

t

f

dx

x

f

)

(

'

)]

(

[

)

(

ψ

ψ

PRZYKŁAD 3.5. Obliczmy całk

ę

.

3

+

x

x

dx

Stosuj

ą

c podstawienie

)

0

(

6

=

t

t

x

mamy oraz

2

3

3

5

,

,

6

t

x

t

x

dt

t

dx

=

=

=

oraz

.

)

1

ln(

6

6

3

2

)

1

ln(

6

6

3

2

)]

1

ln(

[

6

)

1

(

6

1

6

6

6

6

3

2

3

2

2

1

3

3

1

1

1

2

3

2

3

5

3

C

x

x

x

x

C

t

t

t

t

C

t

t

t

t

dt

t

t

dt

t

t

t

t

dt

t

x

x

dx

t

+

+

+

=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

=

+

=

+

=

+

=

+

+

background image

75

4

4

.

.

C

C

A

A

Ł

Ł

K

K

O

O

W

W

A

A

N

N

I

I

E

E

P

P

R

R

Z

Z

E

E

Z

Z

C

C

Z

Z

Ę

Ę

Ś

Ś

C

C

I

I

W wielu przypadkach przy obliczaniu całek nieoznaczonych korzysta si

ę

z

nast

ę

puj

ą

cego twierdzenia o całkowaniu przez cz

ęś

ci:

TWIERDZIENIE 4.1. Je

ż

eli funkcje u(x) i v(x) maj

ą

w pewnym przedziale

ci

ą

głe pochodne u'(x) i v'(x), to zachodzi wzór zwany wzorem całkowania

przez cz

ęś

ci

(4.1)

.

)

(

'

)

(

)

(

)

(

)

(

'

)

(

=

dx

x

u

x

v

x

v

x

u

dx

x

v

x

u

D o w ó d. Mamy

).

(

'

)

(

)

(

'

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

'

]'

)

(

'

)

(

)

(

)

(

[

x

v

x

u

x

u

x

v

x

v

x

u

x

v

x

u

dx

x

u

x

v

x

v

x

u

=

+

=

Z definicji całki nieoznaczonej wynika wi

ę

c,

ż

e

).

(

'

)

(

]'

)

(

'

)

(

[

x

v

x

u

dx

x

v

x

u

=

Zatem wzór (4.1) jest prawdziwy.

Wzór (4.1) stosowany jest wówczas, gdy całka wyst

ę

puj

ą

ca po prawej

stronie tego wzoru jest łatwiejsza do obliczenia, ani

ż

eli całka znajduj

ą

ca si

ę

po lewej stronie wzoru. Istot

ę

całkowania przez cz

ęś

ci wyja

ś

nimy na

przykładach. Stosuj

ą

c poj

ę

cie ró

ż

niczki, wzór (4.1) mo

ż

na zapisa

ć

w

postaci

(4.2)

.

=

vdu

uv

udv

background image

76

Obliczaj

ą

c całk

ę

nieoznaczon

ą

metod

ą

całkowania przez cz

ęś

ci,

oznaczamy odpowiednie czynniki funkcji podcałkowej przez u(x) i v'(x) (w

podanych przykładach s

ą

one zapisane po lewej stronie pionowej kreski), a

nast

ę

pnie obliczamy u'(x) i v(x). Obliczana funkcja v(x) jest tutaj dowoln

ą

funkcj

ą

pierwotn

ą

funkcji v'(x).

PRZYKŁAD 4.1. Obliczmy całk

ę

dx

xe

x

Mamy

,

|

'

,

1

'

|

,

=

=

=

=

=

x

x

x

e

dx

e

v

e

v

u

x

u

zatem

.

C

e

xe

dx

e

xe

dx

xe

x

x

x

x

x

+

=

=

PRZYKŁAD 4.2. Obliczmy całk

ę

.

ln xdx

Je

ż

eli dan

ą

całk

ę

zapiszemy w postaci

xdx

ln

1

to

x

v

v

u

x

u

x

=

=

=

=

|

,

1

'

,

'

|

,

ln

1

background image

77

oraz

.

ln

ln

ln

1

C

x

x

x

dx

x

x

x

xdx

x

+

=

=

PRZYKŁAD 4.3. Obliczmy całk

ę

.

sin

xdx

x

Mamy

x

xdx

v

x

v

u

x

u

cos

sin

|

sin

'

,

1

'

|

,

=

=

=

=

=

zatem

.

sin

cos

)

cos

(

cos

sin

+

+

=

=

C

x

x

x

dx

x

x

x

xdx

x

PRZYKŁAD 4.4. Obliczmy całk

ę

.

cos

xdx

e

x

Mamy

x

x

e

v

e

v

x

u

x

u

=

=

=

=

|

,

'

,

sin

'

|

,

cos

(1)

.

sin

cos

cos

+

=

xdx

e

x

e

xdx

e

x

x

x

Obliczamy całk

ę

xdx

e

x

sin

background image

78

Mamy

x

x

e

v

e

v

x

u

x

u

=

=

=

=

|

,

'

,

cos

'

|

,

sin

Podstawiaj

ą

c t

ę

całk

ę

do całki (1) otrzymujemy

.

cos

sin

cos

)

cos

sin

(

cos

cos

+

=

+

=

xdx

e

x

e

x

e

xdx

e

x

e

x

e

xdx

e

x

x

x

x

x

x

x

Poniewa

ż

po obu stronach wyst

ę

puje ta sama całka z ró

ż

nym znakiem,

zatem mo

ż

e napisa

ć

,

2

sin

cos

cos

2

C

x

e

x

e

xdx

e

x

x

x

+

+

=

sk

ą

d

.

)

sin

(cos

cos

2

1

C

x

x

e

xdx

e

x

x

+

+

=

Przy obliczaniu wielu całek nieoznaczonych nale

ż

y jednocze

ś

nie stosowa

ć

metod

ę

całkowania przez cz

ęś

ci i metod

ę

podstawiania.

PRZYKŁAD 4.5. Obliczmy całk

ę

.

cos

2

xdx

x

Poniewa

ż

,

2

2

cos

1

cos

2

x

x

+

=

zatem

background image

79

(1)

.

2

cos

)

2

cos

1

(

cos

2

1

2

1

2

1

2

+

=

+

=

xdx

x

xdx

dx

x

x

dx

x

x

Obliczamy całk

ę

xdx

x

2

cos

stosuj

ą

c podstawienie t = 2x. Mamy dt = 2dx,

sk

ą

d

t

x

dt

dx

2

1

2

1

,

=

=

oraz

(2)

.

cos

cos

2

cos

4

1

2

1

2

1

=

=

tdt

t

dt

t

t

xdx

x

Obliczamy całk

ę

.

cos

tdt

t

korzystaj

ą

c z metody całkowania przez cz

ęś

ci.

Mamy

t

tdt

v

t

v

u

t

u

sin

cos

|

,

cos

'

,

1

'

|

,

=

=

=

=

=

(3)

t

t

t

tdt

t

t

tdt

t

cos

sin

sin

sin

cos

+

=

=

Podstawiamy całk

ę

(3) do całki (2), wyniku otrzymujemy

.

2

cos

2

sin

)

cos

sin

(

2

cos

4

1

2

1

4

1

x

x

x

t

t

t

xdx

x

+

=

+

=

Zatem wykorzystuj

ą

c równo

ść

(1) mamy ostatecznie

C

x

x

x

x

xdx

x

+

+

+

=

2

cos

2

sin

cos

8

1

4

1

2

4

1

2

5

5

.

.

C

C

A

A

Ł

Ł

K

K

I

I

F

F

U

U

N

N

K

K

C

C

J

J

I

I

W

W

Y

Y

M

M

I

I

E

E

R

R

N

N

Y

Y

C

C

H

H

Funkcj

ą

wymiern

ą

nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji

wymiernej jest wi

ę

c postaci:

.

...

...

)

(

)

(

0

1

1

1

0

1

1

1

+

+

+

+

+

+

+

+

=

dx

b

x

b

x

b

x

b

a

x

a

x

a

x

a

dx

x

W

x

W

m

m

m

m

n

n

n

n

m

n

background image

80

Całk

ę

tego typu mo

ż

na rozło

ż

y

ć

na sum

ę

całek, z których ka

ż

d

ą

w wyniku

dalszych przekształce

ń

, sprowadza si

ę

do wzorów podstawowych

rachunku całkowego. Przy obliczaniu post

ę

pujemy w nast

ę

puj

ą

cy sposób:

1) skracamy ułamek, aby wielomiany W

n

(x) i W

m

(x) nie miały

wspólnych czynników,

2) je

ż

eli

m

n

, to licznik dzielimy przez mianownik i funkcj

ę

podcałkow

ą

przedstawiamy jako sum

ę

wielomianu oraz funkcji wymiernej,

w której ju

ż

stopie

ń

licznika jest mniejszy ni

ż

stopie

ń

mianownika,

3) je

ż

eli n<m, to mianownik rozkładamy na czynniki liniowe i

kwadratowe o wyró

ż

niku ujemnym, a nast

ę

pnie funkcj

ę

podcałkow

ą

rozkładamy na ułamki proste, tj. na wyra

ż

enia postaci

p

x

k

e

dx

cx

C

B

oraz

b

ax

A

)

(

)

(

2

+

+

+

+

(p, k – liczby naturalne),

gdzie A, B, C, a, b, c, d, e s

ą

liczbami stałymi.

Sposób rozkładania funkcji wymiernej na ułamki proste oraz obliczania

całek z ułamków prostych zostanie przedstawiony w podanych poni

ż

ej

przykładach.

PRZYKŁADY

1. Obliczy

ć

całk

ę

.

0

,

+

a

b

ax

cdx

Rozwi

ą

zanie. Zakładamy,

ż

e ax+b

0. Wykonujemy podstawienie ax+b=t.

ż

niczkuj

ą

otrzymujemy adx=dt, sk

ą

d

dt

dx

a

1

=

. Podstawiamy te warto

ś

ci

do całki:

background image

81

C

b

ax

C

t

t

dt

a

c

t

dt

c

b

ax

cdx

a

c

a

c

a

+

+

=

+

=

=

=

+

|

|

ln

|

|

ln

1

2. Obliczy

ć

całk

ę

.

0

,

+

+

m

dx

n

mx

b

ax

Rozwi

ą

zanie. Zakładamy,

ż

e mx+n jest ró

ż

ne od zera. Dzielimy licznik

przez mianownik, poniewa

ż

s

ą

równego stopnia.

,

n

mx

b

m

a

n

mx

b

ax

m

an

+

+

=

+

+

sk

ą

d

.

|

|

ln

)

(

)

(

2

C

n

mx

m

an

bm

x

n

mx

dx

b

x

dx

n

mx

b

dx

n

mx

dx

b

ax

x

a

m

an

m

a

m

an

m

a

+

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

W dalszym ci

ą

gu zajmiemy si

ę

całkami typu

0

,

2

+

+

a

c

bx

ax

dx

Obliczamy je ró

ż

nie w zale

ż

no

ś

ci od znaku wyró

ż

nika trójmianu

c

bx

ax

+

+

2

.

Na przykładach rozpatrzymy przypadki:

0

,

0

,

0

<

=

>

.

Przykłady

1.

0

>

. Obliczy

ć

całk

ę

+

15

2

2

x

x

dx

Rozwi

ą

zanie. Obliczamy wyró

ż

nik trójmianu znajduj

ą

cego si

ę

w

mianowniku

0

64

60

4

>

=

+

=

. Mianownik ma pierwiastki -5 i 3, a wi

ę

c

rozkłada si

ę

na czynniki liniowe:

)

3

)(

5

(

)

3

)(

5

(

15

2

2

x

x

x

x

x

x

+

+

+

background image

82

W

dalszych

rozwa

ż

aniach

przyjmujemy

ograniczenia:

3

,

5

x

x

.

Rozkładamy funkcj

ę

podcałkow

ą

na sum

ę

ułamków prostych:

x

B

x

A

x

x

+

+

=

+

3

5

15

2

1

2

W celu wyliczenia stałych A i B mno

ż

ymy obie strony to

ż

samo

ś

ci przez

(x+5)(3-x) i otrzymujemy

),

5

(

)

3

(

1

+

+

x

B

x

A

sk

ą

d

)

5

3

(

)

(

1

B

A

x

A

B

+

+

Mamy tutaj do czynienia z to

ż

samo

ś

ci

ą

, czyli zwi

ą

zkiem, który jest

spełniony dla ka

ż

dego x. Z porównania współczynników przy ró

ż

nych

pot

ę

gach x, po obu stronach to

ż

samo

ś

ci, wynikaj

ą

nast

ę

puj

ą

ce zale

ż

no

ś

ci:

B-A=0,

3A+5B=1, sk

ą

d

.

,

8

1

8

1

=

=

B

A

Wracaj

ą

c do funkcji podcałkowej otrzymujemy rozkład:

.

3

5

15

2

1

8

1

8

1

2

x

x

x

x

+

+

+

Całkujemy obie strony to

ż

samo

ś

ci i po prawej stronie wynosimy czynniki

stałe przed znak całki:

C

x

x

C

x

x

x

dx

x

dx

x

x

dx

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

3

5

ln

|

3

|

ln

|

5

|

ln

3

8

1

5

15

2

8

1

8

1

8

1

8

1

2

2.

0

=

. Obliczy

ć

całk

ę

+

25

20

4

2

x

x

dx

background image

83

Rozwi

ą

zanie. Mamy

0

400

400

=

=

, a wi

ę

c mianownik jest kwadratem

zupełnym

2

2

)

5

2

(

25

20

4

=

+

x

x

x

. Zakładamy, ze

2

5

x

i podstawiamy 2x-5=t.

ż

niczkuj

ą

c otrzymujemy 2dx = dt, sk

ą

d dx=1/2 dt . Obliczamy:

C

x

C

x

C

t

dt

t

t

dt

x

dx

x

x

dx

+

=

+

=

+

=

=

=

=

+

)

5

2

(

2

1

)

5

2

(

)

5

2

(

25

20

4

1

2

1

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

3.

0

<

. Obliczy

ć

całk

ę

+

27

12

2

2

x

x

dx

Rozwi

ą

zanie. Obliczamy wyró

ż

nik mianownika

72

216

144

=

=

Sprowadzamy mianownik do postaci kanonicznej wg wzoru:

(

)

( )

[

]

(

)

[

]

.

9

)

3

(

2

2

27

12

2

2

4

4

72

2

2

2

12

2

4

2

2

2

2

+

=

+

=

+

+

+

=

+

+

x

x

x

x

x

a

c

bx

ax

a

a

b

A wi

ę

c

+

=

+

2

9

2

2

1

2

)

3

(

27

12

2

x

dx

x

x

dx

W całce tej postaci dokonujemy podstawienia

t

x

2

9

3

=

, sk

ą

d

dt

dx

2

9

=

.

Podstawiaj

ą

c powy

ż

sze warto

ś

ci do całki, mamy:

(

)

.

)

3

(

1

)

3

(

9

2

3

2

3

2

2

2

9

2

9

2

9

2

2

9

2

9

2

9

2

C

x

arctg

arctgt

t

dt

t

dt

x

dx

+

=

=

+

=

+

=

Ostatecznie otrzymujemy

(

)

(

)

.

)

3

(

)

3

(

27

12

2

3

2

2

3

1

3

2

3

2

2

1

2

C

x

arctg

C

x

arctg

x

x

dx

+

=

+

=

+

background image

84

W dalszym ci

ą

gu interesowa

ć

nas b

ę

d

ą

metody obliczania całek postaci:

.

0

,

2

+

+

+

a

dx

c

bx

ax

n

mx

Przede wszystkim sprawdzamy, czy licznik nie jest pochodn

ą

mianownika,

bo wówczas wynik otrzymujemy natychmiast korzystaj

ą

c ze wzoru:

C

x

f

dx

x

f

x

f

+

=

|

)

(

|

ln

)

(

)

(

'

Je

ż

eli licznik nie jest pochodn

ą

mianownika, ani nie jest do niej

proporcjonalny, to sposób obliczania tych całek zale

ż

y (podobnie jak

poprzednio) od znaku wyró

ż

nika trójmianu kwadratowego znajduj

ą

cego si

ę

w mianowniku funkcji podcałkowej. Na przykładach rozpatrzymy przypadki:

.

0

,

0

,

0

<

=

>

Przykłady

1.

0

>

. Obliczy

ć

całk

ę

+

dx

x

x

x

12

7

2

2

Rozwi

ą

zanie. Obliczamy

0

1

48

49

>

=

=

, a wi

ę

c trójmian mianownika ma

pierwiastki 3 i 4 i rozkłada si

ę

na czynniki liniowe (x-3)(x-4). Zakładaj

ą

c,

ż

e

4

3

x

i

x

, rozkładamy funkcj

ę

podcałkow

ą

na ułamki proste:

4

3

12

7

2

2

+

+

x

B

x

A

x

x

x

Mno

żą

c obie strony to

ż

samo

ś

ci przez wspólny mianownik otrzymujemy:

)

3

(

)

4

(

2

+

x

B

x

A

x

background image

85

W przykładzie tym obliczymy współczynniki A i B inn

ą

metod

ą

. W miejsce x

podstawiamy kolejno pierwiastki mianownika funkcji podcałkowej.

Przyjmuj

ą

c x=4 otrzymujemy:

)

3

4

(

2

4

=

B

, sk

ą

d B=2

Podobnie przyjmuj

ą

c x=3 mamy:

3-2=A(3-4), sk

ą

d A=-1.

A wi

ę

c

4

2

3

1

12

7

2

2

+

+

x

x

x

x

x

Obliczamy

.

|

4

|

ln

2

|

3

|

ln

4

2

3

12

7

2

2

C

x

x

x

dx

x

dx

dx

x

x

x

+

+

=

+

=

+

2.

0

=

. Obliczy

ć

całk

ę

+

+

dx

x

x

x

9

6

2

3

2

Rozwi

ą

zanie. Mamy

0

9

4

36

=

=

. Mianownik jest pełnym kwadratem

2

2

)

3

(

9

6

+

=

+

+

x

x

x

. Zakładamy,

ż

e

3

x

.

Rozkładamy funkcj

ę

podcałkow

ą

na ułamki proste w nast

ę

puj

ą

cy sposób:

3

)

3

(

9

6

2

3

2

2

+

+

+

+

+

x

B

x

A

x

x

x

Mno

żą

c obie strony to

ż

samo

ś

ci przez wspólny mianownik otrzymujemy

)

3

(

)

3

(

2

3

B

A

Bx

x

B

A

x

+

+

=

+

+

background image

86

Rozwi

ą

zujemy układ równa

ń

3=B i A+3B=-2, sk

ą

d B=3, A=-11

Otrzymujemy to

ż

samo

ść

3

3

)

3

(

11

9

6

2

3

2

2

+

+

+

+

x

x

x

x

x

Całkujemy

C

x

x

x

dx

x

dx

dx

x

x

x

+

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

|

3

|

ln

3

3

1

11

3

3

)

3

(

11

9

6

2

3

2

2

Ostatecznie wi

ę

c

C

x

x

dx

x

x

x

+

+

+

+

=

+

+

|

3

|

ln

3

3

11

9

6

2

3

2

3.

0

<

. Obliczy

ć

całk

ę

+

+

dx

x

x

x

4

3

3

4

2

.

Rozwi

ą

zanie. Wyró

ż

nik mianownika

0

7

16

9

<

=

=

. Wtedy licznik

sprowadzamy do nast

ę

puj

ą

cej postaci

C

1

(pochodna mianownika) + C

2

gdzie C

1

, C

2

- odpowiednio dobrane stałe. W tym celu obliczamy

pochodn

ą

mianownika

3

2

)'

4

3

(

2

+

=

+

+

x

x

x

Nast

ę

pnie dziel

ą

c licznik przez pochodn

ą

mianownika otrzymujemy:

background image

87

,

3

2

9

2

3

2

3

4

+

=

+

x

x

x

sk

ą

d

4x-3=2(2x+3)-9

A wi

ę

c

.

4

3

9

)

3

2

(

2

4

3

3

4

2

2

+

+

+

=

+

+

dx

x

x

x

dx

x

x

x

Dan

ą

całk

ę

rozwijamy na sum

ę

dwóch całek i czynniki stałe wynosimy

przed znak całki:

+

+

+

+

+

=

+

+

4

3

9

4

3

)

3

2

(

2

4

3

)

3

4

(

2

2

2

x

x

dx

x

x

dx

x

x

x

dx

x

Obliczamy kolejno obie całki. W pierwszej z nich licznik jest pochodn

ą

mianownika. Wynik jest wi

ę

c natychmiastowy:

|

4

3

|

ln

4

3

3

2

2

2

+

+

=

+

+

+

x

x

dx

x

x

x

Drug

ą

całk

ę

najpierw zapisujemy nast

ę

puj

ą

co:

+

+

=

+

+

4

7

2

2

3

2

)

(

4

3

x

dx

x

x

dx

A nast

ę

pnie wykonujemy podstawienie

t

x

4

7

2

3

=

+

, sk

ą

d

dt

dx

2

7

=

Podstawiaj

ą

c otrzymujemy

C

x

arctg

C

x

arctg

C

arctgt

t

dt

t

dt

x

x

dx

+

+

=

+

+

=

+

=

+

=

+

=

+

+

7

3

2

7

2

7

)

(

2

7

2

7

2

1

4

3

2

3

2

4

7

2

7

4

7

2

4

7

2

7

2

background image

88

Wracaj

ą

c do danej całki mamy ostatecznie:

C

x

arctg

x

x

dx

x

x

x

+

+

+

+

=

+

+

7

3

2

7

18

)

4

3

ln(

2

4

3

3

4

2

2

W ten sposób, rozpatruj

ą

c wszystkie mo

ż

liwe przypadki, zako

ń

czyli

ś

my

badanie całek maj

ą

cych w mianowniku funkcj

ę

liniow

ą

lub funkcj

ę

kwadratow

ą

. Teraz obliczymy całki o mianowniku stopnia wy

ż

szego ni

ż

2.

Przykłady

1. Obliczy

ć

całk

ę

+

n

x

dx

)

1

(

2

(n- liczba naturalna).

Rozwi

ą

zanie. B

ę

dziemy szukali tak zwanego wzoru redukcyjnego (lub

rekurencyjnego), na podstawie którego wyrazimy dan

ą

całk

ę

przez całk

ę

o

ni

ż

szej pot

ę

dze w mianowniku. W tym celu robimy nast

ę

puj

ą

ce

przekształcenie.

+

+

=

+

+

=

+

=

n

n

n

n

n

x

dx

x

x

dx

dx

x

x

x

x

dx

I

)

1

(

)

1

(

)

1

(

1

)

1

(

2

2

1

2

2

2

2

2

.

Otrzymali

ś

my wzór

+

=

n

n

n

x

dx

x

I

I

)

1

(

2

2

1

We

ź

my pod uwag

ę

drug

ą

całk

ę

:

+

=

+

n

n

x

xdx

x

x

dx

x

)

1

(

)

1

(

2

2

2

i zastosujmy wzór na całkowanie przez cz

ęś

ci:

background image

89

n

x

xdx

dv

x

u

)

1

(

,

2

+

=

=

sk

ą

d

1

2

2

)

1

)(

1

(

2

1

)

1

(

,

+

=

+

=

=

n

n

x

n

x

xdx

v

dx

du

Mamy wi

ę

c

1

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

)

1

(

2

2

1

)

1

)(

2

2

(

)

1

)(

2

2

(

)

1

(

+

+

=

+

+

+

=

+

n

n

n

n

n

I

n

x

x

n

x

n

dx

x

n

x

x

dx

x

Podstawiaj

ą

c ten wynik do wzoru na I

n

otrzymujemy:

1

1

2

1

2

2

1

)

1

(

2

2

1

+

+

=

n

n

n

n

I

n

x

x

n

I

I

Ostatecznie otrzymujemy wzór rekurencyjny dla n>1:

1

1

2

2

2

3

2

)

1

(

2

2

1

+

+

=

n

n

n

I

n

n

x

x

n

I

2. Obliczy

ć

całk

ę

+

64

4

x

dx

Rozwi

ą

zanie. W całce tej mianownik jest wielomianem stopnia 4, wobec

czego musimy go rozło

ż

y

ć

na iloczyn czynników liniowych i czynników

kwadratowych o delcie ujemnej. W tym celu dodajemy i odejmujemy w

mianowniku jednomian 16x

2

, otrzymamy wtedy

2

2

2

2

2

4

4

16

)

8

(

16

64

16

64

x

x

x

x

x

x

+

=

+

+

=

+

background image

90

Do ostatniej ró

ż

nicy mo

ż

emy zastosowa

ć

znany wzór

)

)(

(

2

2

b

a

b

a

b

a

+

=

,

mamy wi

ę

c

)

4

8

)(

4

8

(

64

2

2

4

x

x

x

x

x

+

+

+

=

+

Otrzymanych czynników kwadratowych nie mo

ż

emy dalej rozkłada

ć

,

poniewa

ż

obydwa maj

ą

wyró

ż

niki ujemne. Widzimy wi

ę

c,

ż

e dany

wielomian stopnia 4 rozkłada si

ę

na iloczyn wył

ą

cznie czynników

kwadratowych. Funkcj

ę

podcałkow

ą

mo

ż

emy wobec rozło

ż

y

ć

na ułamki

proste postaci:

8

4

8

4

64

1

2

2

4

+

+

+

+

+

+

+

x

x

D

Cx

x

x

B

Ax

x

Mno

żą

c przez wspólny mianownik otrzymujemy

).

8

8

)(

4

8

4

8

(

)

4

4

(

)

(

1

),

8

4

)(

(

)

8

4

)(

(

1

2

3

2

2

D

B

D

C

B

A

x

C

D

A

B

x

C

A

x

x

x

D

Cx

x

x

B

Ax

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Po porównaniu współczynników przy równych pot

ę

gach x, otrzymujemy

układ równa

ń

:



+

=

+

+

=

+

+

=

+

=

D

B

D

C

B

A

C

D

A

B

C

A

8

8

1

4

8

4

8

0

4

4

0

0

sk

ą

d

16

1

64

1

16

1

64

1

,

,

,

=

=

=

=

D

C

B

A

.

Korzystaj

ą

c z wyliczonych stałych, dan

ą

całk

ę

przedstawiamy jako sum

ę

dwu całek w sposób nast

ę

puj

ą

cych:

background image

91

.

64

1

64

1

8

4

)

4

(

64

1

8

4

)

4

(

64

1

8

4

8

4

64

2

1

2

2

2

16

1

64

1

2

16

1

64

1

4

I

I

x

x

dx

x

x

x

dx

x

dx

x

x

x

dx

x

x

x

x

dx

I

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

=

+

=

Całki I

1

, I

2

wyliczymy wg metod podanych poprzednio:

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

=

4

)

2

(

2

)

8

4

ln(

8

4

2

8

4

4

2

8

4

)

4

(

2

2

2

1

2

2

2

1

4

1

x

dx

x

x

x

x

dx

dx

x

x

x

x

x

dx

x

I

Mianownik w ostatniej całce sprawdzili

ś

my do postaci kanonicznej.

Podstawiaj

ą

c x+2=2t mamy dx=2dt, a po podstawieniu do całki

otrzymujemy:

2

2

1

4

4

2

4

)

2

(

2

1

2

1

2

2

1

2

2

+

=

=

+

=

+

=

+

+

x

arctg

arctgt

t

dt

t

dt

x

dx

Wstawiaj

ą

c wynik do I

1

mamy:

1

2

2

1

1

2

2

)

8

4

ln(

C

x

arctg

x

x

I

+

+

+

+

+

=

Liczymy w podobny sposób całk

ę

I

2

:

+

+

=

+

+

=

+

=

4

)

2

(

2

)

8

4

ln(

8

4

2

8

4

4

2

8

4

)

4

(

2

2

2

1

2

2

2

1

4

2

x

dx

x

x

x

x

dx

dx

x

x

x

x

x

dx

x

I

Podstawiamy w ostatniej całce x-2=2t, sk

ą

d dx=2dt oraz

2

2

1

4

4

2

4

)

2

(

2

1

2

1

2

2

1

2

2

=

=

+

=

+

=

+

x

arctg

arctgt

t

dt

t

dt

x

dx

Wracaj

ą

c do mamy:

2

2

2

1

2

2

2

)

8

4

ln(

C

x

arctg

x

x

I

+

+

+

=

background image

92

Podstawiaj

ą

c C

1

+C

2

=C, ostatecznie otrzymujemy:

.

2

2

2

2

8

4

8

4

ln

2

2

)

8

4

ln(

2

2

)

8

4

ln(

64

2

2

2

1

64

1

2

2

1

64

1

2

2

1

64

1

4

C

x

arctg

x

arctg

x

x

x

x

x

arctg

x

x

x

arctg

x

x

x

dx

I

+





+

+

+

+

+

+

=

=

+

+

+

+

+

=

+

=


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Analiza matematyczna. Wykłady CAŁKI NIEOZNACZONE
Analiza matematyczna, lista analiza 2008 11 calki nieoznaczone
Analiza matematyczna Wykłady, GRANICE FUNKCJI
Analiza matematyczna Wykłady, CIAGI LICZBOWE
Analiza matematyczna wykład(1)(1)
Analiza matematyczna. Wykłady GRANICE FUNKCJI
Analiza matematyczna, Analiza matematyczna - wykład, Ściąga z wykładów
Analiza matematyczna Wykłady, POCHODNE FUNKCJI
Matematyka Wyklad Calki Calkowanie
Wyklad-02-AM1, Analiza matematyczna, Analiza matematyczna, Wykłady
Wyklad-07-08-AM1, Analiza matematyczna, Analiza matematyczna, Wykłady
Analiza matematyczna. Wykłady TWIERDZENIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO
Analiza matematyczna. Wykłady CIAGLOSC FUNKCJI
Wyklad-04-AM1, Analiza matematyczna, Analiza matematyczna, Wykłady
Wyklad-10-AM1, Analiza matematyczna, Analiza matematyczna, Wykłady
Algebra i Analiza Matematyczna, wykład 1, 06 10 2001-10-09

więcej podobnych podstron