63
CAŁKI NIEOZNACZONE
1
1
.
.
C
C
A
A
Ł
Ł
K
K
A
A
N
N
I
I
E
E
O
O
Z
Z
N
N
A
A
C
C
Z
Z
O
O
N
N
A
A
Poszukiwanie funkcji F(x), gdy jest jej pochodna F'(x)=f(x), czyli działanie
odwrotne do ró
ż
niczkowania nazywa si
ę
całkowaniem, a funkcj
ę
szukan
ą
F(x) nazywa si
ę
funkcj
ą
pierwotn
ą
funkcji f(x).
Całkowanie jest działaniem odwrotnym wzgl
ę
dem ró
ż
niczkowania
(wyznaczania pochodnej) i nie jest działaniem jednoznacznym, co okre
ś
la
nast
ę
puj
ą
ce twierdzenie, zwane twierdzeniem podstawowym o funkcjach
pierwotnych:
TWIERDZENIE 1.1 Je
ż
eli funkcja F(x) jest funkcj
ą
pierwotn
ą
funkcji f(x) w
przedziale X, to funkcja F(x) + C, gdzie C jest dowoln
ą
stał
ą
, jest równie
ż
funkcj
ą
pierwotn
ą
funkcji f(x) w przedziale X.
Dowód. Istotnie, dla ka
ż
dego x
∈
X i ka
ż
dej stałej C, mamy
[F(x) + C]' = F'(x) = f(x),
zatem funkcja F(x) + C jest funkcj
ą
pierwotn
ą
funkcji f(x) w przedziale X. Z
drugiej strony, je
ż
eli funkcje F(x) i G(x) s
ą
funkcjami pierwotnymi funkcji f(x)
w przedziale X, czyli
F'(x) = f(x) i
G'(x) = f(x)
to
0
)]'
(
)
(
[
=
−
∈
∀
x
G
x
F
X
x
64
Oznacza to,
ż
e funkcja F(x) i G(x) w przedziale X jest wielko
ś
ci
ą
stał
ą
, czyli
G(x) = F(x)+C
0
.
Zatem, je
ż
eli funkcja F(x) jest funkcja pierwotn
ą
funkcji f(x) w przedziale X,
to suma
F(x) + C,
gdzie C jest dowoln
ą
stał
ą
, przedstawia wszystkie funkcje pierwotne funkcji
f(x) w tym przedziale i tylko takie funkcje.
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) w przedziale X nazywamy
całk
ą
nieoznaczon
ą
funkcji f(x) w tym przedziale i oznaczamy symbolem
(1.1)
∫
dx
x
f
)
(
.
Funkcj
ę
f(x) nazywamy funkcj
ą
podcałkow
ą
, a liter
ę
x nazywamy zmienn
ą
całkowania. Z podstawowego twierdzenia o funkcjach pierwotnych wynika,
ż
e
(1.2)
∫
+
=
C
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
,
gdzie F(x) jest dowoln
ą
funkcj
ą
pierwotn
ą
funkcji f(x), a C jak
ą
kolwiek stał
ą
.
Z definicji całki nieoznaczonej wynika,
ż
e funkcja pierwotna F(x) okre
ś
lona
jest w dziedzinie funkcji podcałkowej f(x).
65
PRZYKŁAD 1.1. Znajdziemy funkcj
ę
pierwotn
ą
funkcji f(x)=x
2
, której wykres
przechodzi przez punkt (-1,1).
Obliczaj
ą
c całk
ę
nieoznaczon
ą
z funkcji podcałkowej f(x)=x
2
, otrzymamy
zbiór
∫
+
=
C
x
dx
x
3
3
1
2
funkcji pierwotnych. Poniewa
ż
szukana funkcja pierwotna
0
3
3
1
)
(
C
x
x
F
+
=
ma przechodzi
ć
przez punkt (-1,1), zatem musi by
ć
spełniony warunek
F(-1) = 1,
czyli
0
3
3
1
)
1
(
1
C
+
−
=
sk
ą
d
3
4
0
=
C
Tak wi
ę
c
3
4
3
3
1
)
(
+
=
x
x
F
jest szukan
ą
funkcj
ą
pierwotn
ą
.
66
W tablicy podano całki nieoznaczone funkcji elementarnych.
Nale
ż
y podkre
ś
li
ć
,
ż
e wzory podane w tablicy s
ą
prawdziwe w ka
ż
dym
przedziale ci
ą
gło
ś
ci odpowiedniej funkcji podcałkowej.
Lp.
Całka
Uzasadnienie
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
=
−
−
+
=
−
+
=
+
−
+
=
+
+
=
+
−
=
+
=
+
−
=
+
=
≠
>
+
=
+
=
−
≠
+
+
=
+
=
=
+
C
x
x
dx
C
x
x
dx
C
arcctgx
x
dx
C
arctgx
x
dx
C
tg
dx
x
C
ctgx
dx
x
C
x
xdx
C
x
xdx
C
e
dx
e
a
a
C
a
a
dx
a
C
x
dx
C
x
dx
x
C
x
dx
C
dx
x
x
x
x
x
x
x
arccos
1
)
1
(
arcsin
1
1
)
1
(
1
cos
1
sin
1
sin
cos
cos
sin
)
1
,
0
(
ln
|
|
ln
)
1
(
1
1
0
2
2
2
2
2
2
1
1
α
α
[
]
2
2
2
2
2
2
'
1
1
1
]'
[arccos
1
1
]'
[arcsin
1
1
]'
[
1
1
]'
[
cos
1
]'
[
sin
1
]'
[
cos
]'
[sin
sin
]'
cos
[
]'
[
ln
]'
|
|
[ln
'
1
1
1
'
0
]'
[
x
C
x
x
C
x
x
C
arcctgx
x
C
arctgx
x
C
tgx
x
C
ctgx
x
C
x
x
C
x
e
C
e
a
C
a
a
a
C
x
x
C
x
C
x
C
x
x
x
x
x
x
x
−
−
=
+
−
=
+
+
−
=
+
+
=
+
=
+
=
+
−
=
+
=
+
−
=
+
=
+
=
+
=
+
+
=
+
=
+
α
67
PRZYKŁAD 1.2. Obliczaj
ą
c pochodn
ą
[ ln |x| + C]' dla x>0 otrzymujemy
∫
+
=
C
x
x
dx
|
|
ln
natomiast dla x<0
,
1
)
1
(
)]'
[ln(
|]'
|
[ln
x
x
x
x
=
−
−
=
−
=
czyli
x
C
x
1
]'
|
|
[ln
=
+
PRZYKŁAD 1.3. Mamy
),
,
0
(
),
,
(
8
ln
8
8
),
,
(
3
2
5
5
1
4
+∞
∈
+
=
+∞
−∞
∈
+
=
+∞
−∞
∈
+
=
∫
∫
∫
x
dla
C
x
x
dx
x
x
dla
C
dx
x
dla
C
x
dx
x
x
x
).
,
(
1
1
),
,
0
(
)
0
,
(
3
1
1
3
10
3
7
3
7
3
2
3
2
10
3
1
3
7
3
2
3
1
3
2
3
2
+∞
−∞
∈
+
=
+
+
=
=
+∞
∪
−∞
∈
+
=
+
+
−
=
=
∫
∫
∫
∫
+
+
−
−
x
dla
C
x
C
x
dx
x
dx
x
x
x
dla
C
x
C
x
dx
x
x
dx
2
2
.
.
P
P
O
O
D
D
S
S
T
T
A
A
W
W
O
O
W
W
E
E
W
W
Ł
Ł
A
A
S
S
N
N
O
O
Ś
Ś
C
C
I
I
C
C
A
A
Ł
Ł
K
K
I
I
N
N
I
I
E
E
O
O
Z
Z
N
N
A
A
C
C
Z
Z
O
O
N
N
E
E
J
J
Podamy obecnie podstawowe własno
ś
ci całki nieoznaczonej.
1. Je
ż
eli funkcja f(x) ma w pewnym przedziale funkcj
ę
pierwotn
ą
, a k jest
dowoln
ą
stał
ą
liczb
ą
od zera, to
(2.1)
).
0
(
)
(
)
(
≠
=
∫
∫
k
dx
x
f
k
dx
x
kf
68
Z definicji całki nieoznaczonej wynika,
ż
e
[
]
)
(
)
(
'
x
f
dx
x
f
=
∫
Mamy
[
]
[
]
),
(
)
(
)
(
)
(
'
'
x
kf
dx
x
f
k
oraz
x
kf
dx
x
kf
=
=
∫
∫
zatem
∫
∫
=
dx
x
f
k
dx
x
kf
)
(
)
(
Własno
ść
1 mo
ż
na wyrazi
ć
w nast
ę
puj
ą
cy sposób: stały czynnik
wyst
ę
puj
ą
cy w funkcji podcałkowej mo
ż
na wył
ą
czy
ć
przed znak całki.
PRZYKŁAD 2.1. Obliczmy całki nieoznaczone
.
3
4
2
∫
∫
dx
i
dx
x
x
Z podanej własno
ś
ci otrzymujemy
.
0
|
|
ln
4
4
,
1
2
1
3
3
3
3
4
3
1
2
2
2
≠
+
=
=
∈
+
=
+
+
=
=
∫
∫
∫
∫
+
x
dla
C
x
dx
R
x
dla
C
x
C
x
dx
x
dx
x
x
dx
2. Je
ż
eli funkcje f(x) i g(x) maj
ą
funkcje pierwotne w pewnym przedziale, to
(2.2)
.
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
∫
∫
∫
±
=
±
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
Istotnie:
[
]
[
]
),
(
)
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)]
(
)
(
[
'
'
x
g
x
f
dx
x
g
dx
x
f
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
±
=
±
±
=
±
∫
∫
∫
69
zatem
∫
∫
∫
±
=
±
.
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
Zauwa
ż
amy,
ż
e je
ż
eli całkujemy sum
ę
(ró
ż
nic
ę
) kilku funkcji, to po
obliczeniu całek z poszczególnych składników dopisujemy jedn
ą
stał
ą
dowoln
ą
, poniewa
ż
suma stałych dowolnych jest równie
ż
stał
ą
dowoln
ą
.
PRZYKŁAD 2.2. Obliczmy całk
ę
∫
+
+
−
.
)
2
3
4
5
(
3
4
dx
x
x
x
Korzystaj
ą
c z własno
ś
ci całki nieoznaczonej mamy
).
,
(
2
2
3
4
5
2
3
4
5
)
2
3
4
5
(
2
2
3
4
5
3
4
3
4
3
4
+∞
−∞
∈
+
+
+
+
=
+
+
−
=
+
+
−
=
+
+
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
x
dla
C
x
x
x
x
dx
xdx
dx
x
dx
x
dx
xdx
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
3
3
.
.
C
C
A
A
Ł
Ł
K
K
O
O
W
W
A
A
N
N
I
I
E
E
P
P
R
R
Z
Z
E
E
Z
Z
P
P
O
O
D
D
S
S
T
T
A
A
W
W
I
I
E
E
N
N
I
I
E
E
Przy obliczaniu wielu całek nieoznaczonych pomocnym jest nast
ę
puj
ą
ce
twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie t = h(x).
TWIERDZENIE 3.1 Je
ż
eli istnieje taka funkcja t = h(x) ró
ż
niczkowalna w
przedziale T i h(x)
∈
T, oraz
ż
e funkcja podcałkowa
(3.1)
),
(
)]
(
[
)
(
t
g
x
h
g
x
f
=
=
to w przypadku gdy funkcja g(t) ma w przedziale T funkcj
ę
pierwotn
ą
G(t) i
ponadto w przedziale X zachodzi
(3.2)
)
(
'
)]
(
[
)
(
x
h
x
h
g
x
f
=
70
to dla x
∈
X prawdziwa jest równo
ść
(3.3)
C
x
h
G
dx
x
f
+
=
∫
)]
(
[
)
(
D o w ó d. Funkcja zło
ż
ona G[h(x)] jest funkcj
ą
pierwotn
ą
funkcji f(x) w
przedziale X, poniewa
ż
dla ka
ż
dego x
∈
X zachodzi
)
(
)
(
'
)]
(
[
)
(
'
)]
(
[
'
)]
(
[
x
f
x
h
x
h
g
x
h
x
h
g
x
h
G
dx
d
=
=
=
Zatem istnieje całka nieoznaczona funkcji f(x) w przedziale X.
Je
ż
eli zast
ą
pimy w wyra
ż
eniu G[h(x)]+C symbol h(x) liter
ą
t, to otrzymamy
G(t)+C, czyli całk
ę
nieoznaczon
ą
∫
dt
t
g )
(
. Mo
ż
emy zatem napisa
ć
(3.4)
∫
∫
=
dt
t
g
dx
x
f
)
(
)
(
lub
(3.5)
.
)
(
)
(
'
)]
(
[
)
(
∫
∫
∫
=
=
dt
t
g
dx
x
h
x
h
g
dx
x
f
Ostatni
ą
równo
ść
nazywamy wzorem na całkowanie przez podstawienie t =
h(x). Metoda całkowania przez podstawienie zwana jest tak
ż
e metod
ą
całkowania przez zmian
ę
zmiennej. Jest to jedna z najcz
ęś
ciej
stosowanych metod całkowania. Metod
ę
t
ę
stosujemy wtedy, gdy funkcja
podcałkowa jest funkcj
ą
zło
ż
on
ą
. Metod
ę
całkowania przez podstawienie
nale
ż
y stosowa
ć
wówczas, gdy całka
∫
dt
t
g )
(
jest łatwiejsza do obliczenia
ni
ż
całka
∫
dx
x
f
)
(
. Nie istniej
ą
zasady podstawiania przy obliczaniu całek.
Odpowiednich umiej
ę
tno
ś
ci nabywa si
ę
tylko drog
ą
wprawy przez
obliczanie całek.
71
PRZYKŁAD 3.1. Obliczmy całk
ę
∫
+
dx
x
5
)
1
3
(
Podstawiamy
1
3
+
=
x
t
, czyli
1
3
)
(
+
=
x
x
h
Mamy
.
3
,
3
)
(
'
dx
dt
x
h
=
=
Poniewa
ż
{ ,
3
)
1
3
(
)
1
3
(
)
(
'
)]
(
[
5
3
1
)
(
5
x
h
x
h
g
x
f
x
x
⋅
+
=
+
4
3
42
1
4
3
42
1
zatem
5
3
1
)
(
t
t
g
=
Korzystaj
ą
c ze wzoru (5.7.5) otrzymujemy
.
)
1
3
(
18
1
18
1
1
5
1
)
1
3
(
6
6
1
5
3
1
5
3
1
5
3
1
5
C
x
C
t
C
t
dt
t
dt
t
dx
x
+
+
=
+
=
=
+
+
⋅
=
=
=
+
+
∫
∫
∫
PRZYKŁAD 3.2. Obliczmy całk
ę
∫
.
2
3
3
2
dx
x
x
Podstawiamy
3
x
t
=
, czyli
3
)
(
x
x
h
=
. Ponadto
2
3
)
(
'
x
x
h
=
oraz
dx
x
dt
2
3
=
. Mamy
{
{
)
(
'
2
)]
(
[
)
(
2
3
2
2
3
3
3
x
h
x
h
g
x
x
f
x
x
x
⋅
=
⋅
4
3
42
1
72
zatem
t
t
g
2
)
(
=
. Ze wzoru na całkowanie przez podstawienie otrzymujemy
C
C
dt
dx
x
x
t
t
x
+
=
+
=
=
∫
∫
2
ln
2
2
ln
2
2
2
3
3
3
2
W
dalszych
przykładach
zapisywa
ć
b
ę
dziemy
tylko
niezb
ę
dne
przekształcenia. Nale
ż
y doda
ć
,
ż
e wszystkie całki nieoznaczone s
ą
okre
ś
lone tylko w dziedzinie funkcji podcałkowej.
PRZYKŁAD 3.3. Obliczmy całk
ę
.
cos
sin
3
∫
xdx
x
Podstawiamy t = sin x. Mamy
.
sin
cos
sin
,
cos
4
4
1
4
4
1
3
3
C
x
C
t
dt
t
xdx
x
xdx
dt
+
=
+
=
=
=
∫
∫
PRZYKŁAD 3.4. Obliczmy całk
ę
∫
+
.
1
3
2
dx
x
x
Podstawiamy
1
3
2
+
=
x
t
. Mamy
.
)
1
3
ln(
|
|
ln
1
3
,
,
6
2
6
1
6
1
1
6
1
2
6
1
C
x
C
t
dt
dx
x
x
dt
xdx
xdx
dt
t
+
+
=
+
=
=
+
=
=
∫
∫
Je
ż
eli mamy obliczy
ć
całk
ę
(3.6)
∫
dx
x
x
)
(
)
(
'
ϕ
ϕ
73
tzn. całk
ę
z funkcj
ą
podcałkow
ą
tak
ą
,
ż
e w liczniku jest pochodna
mianownika, to stosujemy podstawienie
(3.7)
).
(x
t
ϕ
=
Mamy wi
ę
c
(3.8)
dx
x
dt
)
(
'
ϕ
=
oraz
(3.9)
C
x
C
t
t
dt
dx
x
x
+
=
+
=
=
∫
∫
|
)
(
|
ln
|
|
ln
)
(
)
(
'
ϕ
ϕ
ϕ
PRZYKŁAD 3.4. Obliczmy całk
ę
∫
.
ctgxdx
Mamy
.
sin
cos
dx
x
x
ctgxdx
∫
∫
=
Stwierdzamy,
ż
e całka ta jest całk
ą
postaci (5.7.6), zatem
∫
+
=
.
|
sin
|
ln
C
x
ctgxdx
PRZYKŁAD 3.5. Obliczmy całk
ę
.
)
ln
3
(
∫
+
x
x
dx
Podstawiamy t = 3 + ln x. Mamy
dx
dt
x
1
=
, sk
ą
d
74
.
|
ln
3
|
ln
|
|
ln
)
ln
3
(
C
x
C
t
t
dt
x
x
dx
+
+
=
+
=
=
+
∫
∫
Przy obliczaniu niektórych całek nale
ż
y stosowa
ć
podstawienie
)
(t
x
ψ
=
. Podamy obecnie drugie twierdzenie o całkowaniu przez
podstawienie
)
(t
x
ψ
=
.
TWIERDZENIE
3.2
Je
ż
eli
funkcja
)
(t
ψ
jest
ró
ż
niczkowalna
i
ró
ż
nowarto
ś
ciowa w przedziale T i warto
ś
ci funkcji
)
(t
ψ
nale
żą
do
przedziału X oraz funkcja f(x) dla x
∈
X ma funkcj
ę
pierwotn
ą
, to
(3.10)
∫
∫
=
dt
t
t
f
dx
x
f
)
(
'
)]
(
[
)
(
ψ
ψ
PRZYKŁAD 3.5. Obliczmy całk
ę
.
3
∫
+
x
x
dx
Stosuj
ą
c podstawienie
)
0
(
6
≥
=
t
t
x
mamy oraz
2
3
3
5
,
,
6
t
x
t
x
dt
t
dx
=
=
=
oraz
.
)
1
ln(
6
6
3
2
)
1
ln(
6
6
3
2
)]
1
ln(
[
6
)
1
(
6
1
6
6
6
6
3
2
3
2
2
1
3
3
1
1
1
2
3
2
3
5
3
C
x
x
x
x
C
t
t
t
t
C
t
t
t
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
dt
t
x
x
dx
t
+
+
−
+
−
=
=
+
+
−
+
−
=
+
+
−
+
−
=
=
−
+
−
=
+
=
+
=
+
∫
∫
∫
∫
+
75
4
4
.
.
C
C
A
A
Ł
Ł
K
K
O
O
W
W
A
A
N
N
I
I
E
E
P
P
R
R
Z
Z
E
E
Z
Z
C
C
Z
Z
Ę
Ę
Ś
Ś
C
C
I
I
W wielu przypadkach przy obliczaniu całek nieoznaczonych korzysta si
ę
z
nast
ę
puj
ą
cego twierdzenia o całkowaniu przez cz
ęś
ci:
TWIERDZIENIE 4.1. Je
ż
eli funkcje u(x) i v(x) maj
ą
w pewnym przedziale
ci
ą
głe pochodne u'(x) i v'(x), to zachodzi wzór zwany wzorem całkowania
przez cz
ęś
ci
(4.1)
.
)
(
'
)
(
)
(
)
(
)
(
'
)
(
∫
∫
−
=
dx
x
u
x
v
x
v
x
u
dx
x
v
x
u
D o w ó d. Mamy
).
(
'
)
(
)
(
'
)
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
]'
)
(
'
)
(
)
(
)
(
[
x
v
x
u
x
u
x
v
x
v
x
u
x
v
x
u
dx
x
u
x
v
x
v
x
u
=
−
+
=
−
∫
Z definicji całki nieoznaczonej wynika wi
ę
c,
ż
e
).
(
'
)
(
]'
)
(
'
)
(
[
x
v
x
u
dx
x
v
x
u
=
∫
Zatem wzór (4.1) jest prawdziwy.
Wzór (4.1) stosowany jest wówczas, gdy całka wyst
ę
puj
ą
ca po prawej
stronie tego wzoru jest łatwiejsza do obliczenia, ani
ż
eli całka znajduj
ą
ca si
ę
po lewej stronie wzoru. Istot
ę
całkowania przez cz
ęś
ci wyja
ś
nimy na
przykładach. Stosuj
ą
c poj
ę
cie ró
ż
niczki, wzór (4.1) mo
ż
na zapisa
ć
w
postaci
(4.2)
.
∫
∫
−
=
vdu
uv
udv
76
Obliczaj
ą
c całk
ę
nieoznaczon
ą
metod
ą
całkowania przez cz
ęś
ci,
oznaczamy odpowiednie czynniki funkcji podcałkowej przez u(x) i v'(x) (w
podanych przykładach s
ą
one zapisane po lewej stronie pionowej kreski), a
nast
ę
pnie obliczamy u'(x) i v(x). Obliczana funkcja v(x) jest tutaj dowoln
ą
funkcj
ą
pierwotn
ą
funkcji v'(x).
PRZYKŁAD 4.1. Obliczmy całk
ę
∫
dx
xe
x
Mamy
,
|
'
,
1
'
|
,
∫
=
=
=
=
=
x
x
x
e
dx
e
v
e
v
u
x
u
zatem
.
C
e
xe
dx
e
xe
dx
xe
x
x
x
x
x
+
−
=
−
=
∫
∫
PRZYKŁAD 4.2. Obliczmy całk
ę
∫
.
ln xdx
Je
ż
eli dan
ą
całk
ę
zapiszemy w postaci
∫
xdx
ln
1
to
x
v
v
u
x
u
x
=
=
=
=
|
,
1
'
,
'
|
,
ln
1
77
oraz
.
ln
ln
ln
1
C
x
x
x
dx
x
x
x
xdx
x
+
−
=
−
=
∫
∫
PRZYKŁAD 4.3. Obliczmy całk
ę
.
sin
∫
xdx
x
Mamy
x
xdx
v
x
v
u
x
u
cos
sin
|
sin
'
,
1
'
|
,
−
=
=
=
=
=
∫
zatem
.
sin
cos
)
cos
(
cos
sin
∫
∫
+
+
−
=
−
−
−
=
C
x
x
x
dx
x
x
x
xdx
x
PRZYKŁAD 4.4. Obliczmy całk
ę
.
cos
∫
xdx
e
x
Mamy
x
x
e
v
e
v
x
u
x
u
=
=
−
=
=
|
,
'
,
sin
'
|
,
cos
(1)
.
sin
cos
cos
∫
∫
+
=
xdx
e
x
e
xdx
e
x
x
x
Obliczamy całk
ę
∫
xdx
e
x
sin
78
Mamy
x
x
e
v
e
v
x
u
x
u
=
=
=
=
|
,
'
,
cos
'
|
,
sin
Podstawiaj
ą
c t
ę
całk
ę
do całki (1) otrzymujemy
.
cos
sin
cos
)
cos
sin
(
cos
cos
∫
∫
∫
−
+
=
−
+
=
xdx
e
x
e
x
e
xdx
e
x
e
x
e
xdx
e
x
x
x
x
x
x
x
Poniewa
ż
po obu stronach wyst
ę
puje ta sama całka z ró
ż
nym znakiem,
zatem mo
ż
e napisa
ć
,
2
sin
cos
cos
2
C
x
e
x
e
xdx
e
x
x
x
+
+
=
∫
sk
ą
d
.
)
sin
(cos
cos
2
1
C
x
x
e
xdx
e
x
x
+
+
=
∫
Przy obliczaniu wielu całek nieoznaczonych nale
ż
y jednocze
ś
nie stosowa
ć
metod
ę
całkowania przez cz
ęś
ci i metod
ę
podstawiania.
PRZYKŁAD 4.5. Obliczmy całk
ę
.
cos
2
∫
xdx
x
Poniewa
ż
,
2
2
cos
1
cos
2
x
x
+
=
zatem
79
(1)
.
2
cos
)
2
cos
1
(
cos
2
1
2
1
2
1
2
∫
∫
∫
∫
+
=
+
=
xdx
x
xdx
dx
x
x
dx
x
x
Obliczamy całk
ę
∫
xdx
x
2
cos
stosuj
ą
c podstawienie t = 2x. Mamy dt = 2dx,
sk
ą
d
t
x
dt
dx
2
1
2
1
,
=
=
oraz
(2)
.
cos
cos
2
cos
4
1
2
1
2
1
∫
∫
∫
=
=
tdt
t
dt
t
t
xdx
x
Obliczamy całk
ę
.
cos
∫
tdt
t
korzystaj
ą
c z metody całkowania przez cz
ęś
ci.
Mamy
t
tdt
v
t
v
u
t
u
sin
cos
|
,
cos
'
,
1
'
|
,
=
=
=
=
=
∫
(3)
t
t
t
tdt
t
t
tdt
t
cos
sin
sin
sin
cos
+
=
−
=
∫
∫
Podstawiamy całk
ę
(3) do całki (2), wyniku otrzymujemy
.
2
cos
2
sin
)
cos
sin
(
2
cos
4
1
2
1
4
1
x
x
x
t
t
t
xdx
x
+
=
+
=
∫
Zatem wykorzystuj
ą
c równo
ść
(1) mamy ostatecznie
C
x
x
x
x
xdx
x
+
+
+
=
∫
2
cos
2
sin
cos
8
1
4
1
2
4
1
2
5
5
.
.
C
C
A
A
Ł
Ł
K
K
I
I
F
F
U
U
N
N
K
K
C
C
J
J
I
I
W
W
Y
Y
M
M
I
I
E
E
R
R
N
N
Y
Y
C
C
H
H
Funkcj
ą
wymiern
ą
nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji
wymiernej jest wi
ę
c postaci:
.
...
...
)
(
)
(
0
1
1
1
0
1
1
1
∫
∫
+
+
+
+
+
+
+
+
=
−
−
−
−
dx
b
x
b
x
b
x
b
a
x
a
x
a
x
a
dx
x
W
x
W
m
m
m
m
n
n
n
n
m
n
80
Całk
ę
tego typu mo
ż
na rozło
ż
y
ć
na sum
ę
całek, z których ka
ż
d
ą
w wyniku
dalszych przekształce
ń
, sprowadza si
ę
do wzorów podstawowych
rachunku całkowego. Przy obliczaniu post
ę
pujemy w nast
ę
puj
ą
cy sposób:
1) skracamy ułamek, aby wielomiany W
n
(x) i W
m
(x) nie miały
wspólnych czynników,
2) je
ż
eli
m
n
≥
, to licznik dzielimy przez mianownik i funkcj
ę
podcałkow
ą
przedstawiamy jako sum
ę
wielomianu oraz funkcji wymiernej,
w której ju
ż
stopie
ń
licznika jest mniejszy ni
ż
stopie
ń
mianownika,
3) je
ż
eli n<m, to mianownik rozkładamy na czynniki liniowe i
kwadratowe o wyró
ż
niku ujemnym, a nast
ę
pnie funkcj
ę
podcałkow
ą
rozkładamy na ułamki proste, tj. na wyra
ż
enia postaci
p
x
k
e
dx
cx
C
B
oraz
b
ax
A
)
(
)
(
2
+
+
+
+
(p, k – liczby naturalne),
gdzie A, B, C, a, b, c, d, e s
ą
liczbami stałymi.
Sposób rozkładania funkcji wymiernej na ułamki proste oraz obliczania
całek z ułamków prostych zostanie przedstawiony w podanych poni
ż
ej
przykładach.
PRZYKŁADY
1. Obliczy
ć
całk
ę
.
0
,
≠
+
∫
a
b
ax
cdx
Rozwi
ą
zanie. Zakładamy,
ż
e ax+b
≠
0. Wykonujemy podstawienie ax+b=t.
Ró
ż
niczkuj
ą
otrzymujemy adx=dt, sk
ą
d
dt
dx
a
1
=
. Podstawiamy te warto
ś
ci
do całki:
81
C
b
ax
C
t
t
dt
a
c
t
dt
c
b
ax
cdx
a
c
a
c
a
+
+
=
+
=
=
=
+
∫
∫
∫
|
|
ln
|
|
ln
1
2. Obliczy
ć
całk
ę
.
0
,
≠
+
+
∫
m
dx
n
mx
b
ax
Rozwi
ą
zanie. Zakładamy,
ż
e mx+n jest ró
ż
ne od zera. Dzielimy licznik
przez mianownik, poniewa
ż
s
ą
równego stopnia.
,
n
mx
b
m
a
n
mx
b
ax
m
an
+
−
+
=
+
+
sk
ą
d
.
|
|
ln
)
(
)
(
2
C
n
mx
m
an
bm
x
n
mx
dx
b
x
dx
n
mx
b
dx
n
mx
dx
b
ax
x
a
m
an
m
a
m
an
m
a
+
+
−
+
=
+
−
+
=
+
−
+
=
+
+
∫
∫
∫
∫
W dalszym ci
ą
gu zajmiemy si
ę
całkami typu
0
,
2
≠
+
+
∫
a
c
bx
ax
dx
Obliczamy je ró
ż
nie w zale
ż
no
ś
ci od znaku wyró
ż
nika trójmianu
c
bx
ax
+
+
2
.
Na przykładach rozpatrzymy przypadki:
0
,
0
,
0
<
∆
=
∆
>
∆
.
Przykłady
1.
0
>
∆
. Obliczy
ć
całk
ę
∫
+
−
−
15
2
2
x
x
dx
Rozwi
ą
zanie. Obliczamy wyró
ż
nik trójmianu znajduj
ą
cego si
ę
w
mianowniku
0
64
60
4
>
=
+
=
∆
. Mianownik ma pierwiastki -5 i 3, a wi
ę
c
rozkłada si
ę
na czynniki liniowe:
)
3
)(
5
(
)
3
)(
5
(
15
2
2
x
x
x
x
x
x
−
+
≡
−
+
−
≡
+
−
−
82
W
dalszych
rozwa
ż
aniach
przyjmujemy
ograniczenia:
3
,
5
≠
−
≠
x
x
.
Rozkładamy funkcj
ę
podcałkow
ą
na sum
ę
ułamków prostych:
x
B
x
A
x
x
−
+
+
=
+
−
−
3
5
15
2
1
2
W celu wyliczenia stałych A i B mno
ż
ymy obie strony to
ż
samo
ś
ci przez
(x+5)(3-x) i otrzymujemy
),
5
(
)
3
(
1
+
+
−
≡
x
B
x
A
sk
ą
d
)
5
3
(
)
(
1
B
A
x
A
B
+
+
−
≡
Mamy tutaj do czynienia z to
ż
samo
ś
ci
ą
, czyli zwi
ą
zkiem, który jest
spełniony dla ka
ż
dego x. Z porównania współczynników przy ró
ż
nych
pot
ę
gach x, po obu stronach to
ż
samo
ś
ci, wynikaj
ą
nast
ę
puj
ą
ce zale
ż
no
ś
ci:
B-A=0,
3A+5B=1, sk
ą
d
.
,
8
1
8
1
=
=
B
A
Wracaj
ą
c do funkcji podcałkowej otrzymujemy rozkład:
.
3
5
15
2
1
8
1
8
1
2
x
x
x
x
−
+
+
≡
+
−
−
Całkujemy obie strony to
ż
samo
ś
ci i po prawej stronie wynosimy czynniki
stałe przed znak całki:
C
x
x
C
x
x
x
dx
x
dx
x
x
dx
+
−
+
=
+
−
−
+
=
−
+
+
=
+
−
−
∫
∫
∫
3
5
ln
|
3
|
ln
|
5
|
ln
3
8
1
5
15
2
8
1
8
1
8
1
8
1
2
2.
0
=
∆
. Obliczy
ć
całk
ę
∫
+
−
25
20
4
2
x
x
dx
83
Rozwi
ą
zanie. Mamy
0
400
400
=
−
=
∆
, a wi
ę
c mianownik jest kwadratem
zupełnym
2
2
)
5
2
(
25
20
4
−
=
+
−
x
x
x
. Zakładamy, ze
2
5
≠
x
i podstawiamy 2x-5=t.
Ró
ż
niczkuj
ą
c otrzymujemy 2dx = dt, sk
ą
d dx=1/2 dt . Obliczamy:
C
x
C
x
C
t
dt
t
t
dt
x
dx
x
x
dx
+
−
−
=
+
−
−
=
+
−
=
=
=
−
=
+
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
)
5
2
(
2
1
)
5
2
(
)
5
2
(
25
20
4
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
3.
0
<
∆
. Obliczy
ć
całk
ę
∫
+
−
27
12
2
2
x
x
dx
Rozwi
ą
zanie. Obliczamy wyró
ż
nik mianownika
72
216
144
−
=
−
=
∆
Sprowadzamy mianownik do postaci kanonicznej wg wzoru:
(
)
( )
[
]
(
)
[
]
.
9
)
3
(
2
2
27
12
2
2
4
4
72
2
2
2
12
2
4
2
2
2
2
+
−
=
+
−
=
+
−
+
+
=
+
+
⋅
⋅
∆
−
x
x
x
x
x
a
c
bx
ax
a
a
b
A wi
ę
c
∫
∫
+
−
=
+
−
2
9
2
2
1
2
)
3
(
27
12
2
x
dx
x
x
dx
W całce tej postaci dokonujemy podstawienia
t
x
2
9
3
=
−
, sk
ą
d
dt
dx
2
9
=
.
Podstawiaj
ą
c powy
ż
sze warto
ś
ci do całki, mamy:
(
)
.
)
3
(
1
)
3
(
9
2
3
2
3
2
2
2
9
2
9
2
9
2
2
9
2
9
2
9
2
C
x
arctg
arctgt
t
dt
t
dt
x
dx
+
−
=
=
+
=
+
=
−
∫
∫
∫
Ostatecznie otrzymujemy
(
)
(
)
.
)
3
(
)
3
(
27
12
2
3
2
2
3
1
3
2
3
2
2
1
2
C
x
arctg
C
x
arctg
x
x
dx
+
−
=
+
−
=
+
−
∫
84
W dalszym ci
ą
gu interesowa
ć
nas b
ę
d
ą
metody obliczania całek postaci:
.
0
,
2
≠
+
+
+
∫
a
dx
c
bx
ax
n
mx
Przede wszystkim sprawdzamy, czy licznik nie jest pochodn
ą
mianownika,
bo wówczas wynik otrzymujemy natychmiast korzystaj
ą
c ze wzoru:
C
x
f
dx
x
f
x
f
+
=
∫
|
)
(
|
ln
)
(
)
(
'
Je
ż
eli licznik nie jest pochodn
ą
mianownika, ani nie jest do niej
proporcjonalny, to sposób obliczania tych całek zale
ż
y (podobnie jak
poprzednio) od znaku wyró
ż
nika trójmianu kwadratowego znajduj
ą
cego si
ę
w mianowniku funkcji podcałkowej. Na przykładach rozpatrzymy przypadki:
.
0
,
0
,
0
<
∆
=
∆
>
∆
Przykłady
1.
0
>
∆
. Obliczy
ć
całk
ę
∫
+
−
−
dx
x
x
x
12
7
2
2
Rozwi
ą
zanie. Obliczamy
0
1
48
49
>
=
−
=
∆
, a wi
ę
c trójmian mianownika ma
pierwiastki 3 i 4 i rozkłada si
ę
na czynniki liniowe (x-3)(x-4). Zakładaj
ą
c,
ż
e
4
3
≠
≠
x
i
x
, rozkładamy funkcj
ę
podcałkow
ą
na ułamki proste:
4
3
12
7
2
2
−
+
−
≡
+
−
−
x
B
x
A
x
x
x
Mno
żą
c obie strony to
ż
samo
ś
ci przez wspólny mianownik otrzymujemy:
)
3
(
)
4
(
2
−
+
−
≡
−
x
B
x
A
x
85
W przykładzie tym obliczymy współczynniki A i B inn
ą
metod
ą
. W miejsce x
podstawiamy kolejno pierwiastki mianownika funkcji podcałkowej.
Przyjmuj
ą
c x=4 otrzymujemy:
)
3
4
(
2
4
−
=
−
B
, sk
ą
d B=2
Podobnie przyjmuj
ą
c x=3 mamy:
3-2=A(3-4), sk
ą
d A=-1.
A wi
ę
c
4
2
3
1
12
7
2
2
−
+
−
−
≡
+
−
−
x
x
x
x
x
Obliczamy
.
|
4
|
ln
2
|
3
|
ln
4
2
3
12
7
2
2
C
x
x
x
dx
x
dx
dx
x
x
x
+
−
+
−
−
=
−
+
−
−
=
+
−
−
∫
∫
∫
2.
0
=
∆
. Obliczy
ć
całk
ę
∫
+
+
−
dx
x
x
x
9
6
2
3
2
Rozwi
ą
zanie. Mamy
0
9
4
36
=
⋅
−
=
∆
. Mianownik jest pełnym kwadratem
2
2
)
3
(
9
6
+
=
+
+
x
x
x
. Zakładamy,
ż
e
3
−
≠
x
.
Rozkładamy funkcj
ę
podcałkow
ą
na ułamki proste w nast
ę
puj
ą
cy sposób:
3
)
3
(
9
6
2
3
2
2
+
+
+
≡
+
+
−
x
B
x
A
x
x
x
Mno
żą
c obie strony to
ż
samo
ś
ci przez wspólny mianownik otrzymujemy
)
3
(
)
3
(
2
3
B
A
Bx
x
B
A
x
+
+
=
+
+
≡
−
86
Rozwi
ą
zujemy układ równa
ń
3=B i A+3B=-2, sk
ą
d B=3, A=-11
Otrzymujemy to
ż
samo
ść
3
3
)
3
(
11
9
6
2
3
2
2
+
+
−
−
≡
+
+
−
x
x
x
x
x
Całkujemy
C
x
x
x
dx
x
dx
dx
x
x
x
+
+
+
+
−
−
=
+
+
+
−
=
+
+
−
∫
∫
∫
|
3
|
ln
3
3
1
11
3
3
)
3
(
11
9
6
2
3
2
2
Ostatecznie wi
ę
c
C
x
x
dx
x
x
x
+
+
+
+
=
+
+
−
∫
|
3
|
ln
3
3
11
9
6
2
3
2
3.
0
<
∆
. Obliczy
ć
całk
ę
∫
+
+
−
dx
x
x
x
4
3
3
4
2
.
Rozwi
ą
zanie. Wyró
ż
nik mianownika
0
7
16
9
<
−
=
−
=
∆
. Wtedy licznik
sprowadzamy do nast
ę
puj
ą
cej postaci
C
1
⋅
(pochodna mianownika) + C
2
gdzie C
1
, C
2
- odpowiednio dobrane stałe. W tym celu obliczamy
pochodn
ą
mianownika
3
2
)'
4
3
(
2
+
=
+
+
x
x
x
Nast
ę
pnie dziel
ą
c licznik przez pochodn
ą
mianownika otrzymujemy:
87
,
3
2
9
2
3
2
3
4
+
−
=
+
−
x
x
x
sk
ą
d
4x-3=2(2x+3)-9
A wi
ę
c
.
4
3
9
)
3
2
(
2
4
3
3
4
2
2
∫
∫
+
+
−
+
=
+
+
−
dx
x
x
x
dx
x
x
x
Dan
ą
całk
ę
rozwijamy na sum
ę
dwóch całek i czynniki stałe wynosimy
przed znak całki:
∫
∫
∫
+
+
−
+
+
+
=
+
+
−
4
3
9
4
3
)
3
2
(
2
4
3
)
3
4
(
2
2
2
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
x
Obliczamy kolejno obie całki. W pierwszej z nich licznik jest pochodn
ą
mianownika. Wynik jest wi
ę
c natychmiastowy:
|
4
3
|
ln
4
3
3
2
2
2
+
+
=
+
+
+
∫
x
x
dx
x
x
x
Drug
ą
całk
ę
najpierw zapisujemy nast
ę
puj
ą
co:
∫
∫
+
+
=
+
+
4
7
2
2
3
2
)
(
4
3
x
dx
x
x
dx
A nast
ę
pnie wykonujemy podstawienie
t
x
4
7
2
3
=
+
, sk
ą
d
dt
dx
2
7
=
Podstawiaj
ą
c otrzymujemy
C
x
arctg
C
x
arctg
C
arctgt
t
dt
t
dt
x
x
dx
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
+
=
+
+
∫
∫
∫
7
3
2
7
2
7
)
(
2
7
2
7
2
1
4
3
2
3
2
4
7
2
7
4
7
2
4
7
2
7
2
88
Wracaj
ą
c do danej całki mamy ostatecznie:
C
x
arctg
x
x
dx
x
x
x
+
+
−
+
+
=
+
+
−
∫
7
3
2
7
18
)
4
3
ln(
2
4
3
3
4
2
2
W ten sposób, rozpatruj
ą
c wszystkie mo
ż
liwe przypadki, zako
ń
czyli
ś
my
badanie całek maj
ą
cych w mianowniku funkcj
ę
liniow
ą
lub funkcj
ę
kwadratow
ą
. Teraz obliczymy całki o mianowniku stopnia wy
ż
szego ni
ż
2.
Przykłady
1. Obliczy
ć
całk
ę
∫
+
n
x
dx
)
1
(
2
(n- liczba naturalna).
Rozwi
ą
zanie. B
ę
dziemy szukali tak zwanego wzoru redukcyjnego (lub
rekurencyjnego), na podstawie którego wyrazimy dan
ą
całk
ę
przez całk
ę
o
ni
ż
szej pot
ę
dze w mianowniku. W tym celu robimy nast
ę
puj
ą
ce
przekształcenie.
∫
∫
∫
∫
+
−
+
=
+
−
+
=
+
=
−
n
n
n
n
n
x
dx
x
x
dx
dx
x
x
x
x
dx
I
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
2
2
1
2
2
2
2
2
.
Otrzymali
ś
my wzór
∫
+
−
=
−
n
n
n
x
dx
x
I
I
)
1
(
2
2
1
We
ź
my pod uwag
ę
drug
ą
całk
ę
:
∫
∫
+
=
+
n
n
x
xdx
x
x
dx
x
)
1
(
)
1
(
2
2
2
i zastosujmy wzór na całkowanie przez cz
ęś
ci:
89
n
x
xdx
dv
x
u
)
1
(
,
2
+
=
=
sk
ą
d
1
2
2
)
1
)(
1
(
2
1
)
1
(
,
−
+
−
−
=
+
=
=
∫
n
n
x
n
x
xdx
v
dx
du
Mamy wi
ę
c
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
)
1
(
2
2
1
)
1
)(
2
2
(
)
1
)(
2
2
(
)
1
(
−
−
−
−
−
+
+
−
−
=
+
−
+
+
−
−
=
+
∫
∫
n
n
n
n
n
I
n
x
x
n
x
n
dx
x
n
x
x
dx
x
Podstawiaj
ą
c ten wynik do wzoru na I
n
otrzymujemy:
1
1
2
1
2
2
1
)
1
(
2
2
1
−
−
−
−
−
+
−
+
=
n
n
n
n
I
n
x
x
n
I
I
Ostatecznie otrzymujemy wzór rekurencyjny dla n>1:
1
1
2
2
2
3
2
)
1
(
2
2
1
−
−
−
−
+
+
−
=
n
n
n
I
n
n
x
x
n
I
2. Obliczy
ć
całk
ę
∫
+
64
4
x
dx
Rozwi
ą
zanie. W całce tej mianownik jest wielomianem stopnia 4, wobec
czego musimy go rozło
ż
y
ć
na iloczyn czynników liniowych i czynników
kwadratowych o delcie ujemnej. W tym celu dodajemy i odejmujemy w
mianowniku jednomian 16x
2
, otrzymamy wtedy
2
2
2
2
2
4
4
16
)
8
(
16
64
16
64
x
x
x
x
x
x
−
+
=
−
+
+
=
+
90
Do ostatniej ró
ż
nicy mo
ż
emy zastosowa
ć
znany wzór
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
+
−
=
−
,
mamy wi
ę
c
)
4
8
)(
4
8
(
64
2
2
4
x
x
x
x
x
+
+
−
+
=
+
Otrzymanych czynników kwadratowych nie mo
ż
emy dalej rozkłada
ć
,
poniewa
ż
obydwa maj
ą
wyró
ż
niki ujemne. Widzimy wi
ę
c,
ż
e dany
wielomian stopnia 4 rozkłada si
ę
na iloczyn wył
ą
cznie czynników
kwadratowych. Funkcj
ę
podcałkow
ą
mo
ż
emy wobec rozło
ż
y
ć
na ułamki
proste postaci:
8
4
8
4
64
1
2
2
4
+
−
+
+
+
+
+
≡
+
x
x
D
Cx
x
x
B
Ax
x
Mno
żą
c przez wspólny mianownik otrzymujemy
).
8
8
)(
4
8
4
8
(
)
4
4
(
)
(
1
),
8
4
)(
(
)
8
4
)(
(
1
2
3
2
2
D
B
D
C
B
A
x
C
D
A
B
x
C
A
x
x
x
D
Cx
x
x
B
Ax
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+
≡
+
+
+
+
+
−
+
≡
Po porównaniu współczynników przy równych pot
ę
gach x, otrzymujemy
układ równa
ń
:
+
=
+
+
−
=
+
+
−
=
+
=
D
B
D
C
B
A
C
D
A
B
C
A
8
8
1
4
8
4
8
0
4
4
0
0
sk
ą
d
16
1
64
1
16
1
64
1
,
,
,
=
−
=
=
=
D
C
B
A
.
Korzystaj
ą
c z wyliczonych stałych, dan
ą
całk
ę
przedstawiamy jako sum
ę
dwu całek w sposób nast
ę
puj
ą
cych:
91
.
64
1
64
1
8
4
)
4
(
64
1
8
4
)
4
(
64
1
8
4
8
4
64
2
1
2
2
2
16
1
64
1
2
16
1
64
1
4
I
I
x
x
dx
x
x
x
dx
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
I
−
=
+
−
−
−
+
+
+
=
+
−
+
−
+
+
+
+
=
+
=
∫
∫
∫
∫
∫
Całki I
1
, I
2
wyliczymy wg metod podanych poprzednio:
∫
∫
∫
∫
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
4
)
2
(
2
)
8
4
ln(
8
4
2
8
4
4
2
8
4
)
4
(
2
2
2
1
2
2
2
1
4
1
x
dx
x
x
x
x
dx
dx
x
x
x
x
x
dx
x
I
Mianownik w ostatniej całce sprawdzili
ś
my do postaci kanonicznej.
Podstawiaj
ą
c x+2=2t mamy dx=2dt, a po podstawieniu do całki
otrzymujemy:
2
2
1
4
4
2
4
)
2
(
2
1
2
1
2
2
1
2
2
+
=
=
+
=
+
=
+
+
∫
∫
∫
x
arctg
arctgt
t
dt
t
dt
x
dx
Wstawiaj
ą
c wynik do I
1
mamy:
1
2
2
1
1
2
2
)
8
4
ln(
C
x
arctg
x
x
I
+
+
+
+
+
=
Liczymy w podobny sposób całk
ę
I
2
:
∫
∫
∫
∫
+
−
−
+
−
=
+
−
−
+
−
−
=
+
−
−
=
4
)
2
(
2
)
8
4
ln(
8
4
2
8
4
4
2
8
4
)
4
(
2
2
2
1
2
2
2
1
4
2
x
dx
x
x
x
x
dx
dx
x
x
x
x
x
dx
x
I
Podstawiamy w ostatniej całce x-2=2t, sk
ą
d dx=2dt oraz
2
2
1
4
4
2
4
)
2
(
2
1
2
1
2
2
1
2
2
−
=
=
+
=
+
=
+
−
∫
∫
∫
x
arctg
arctgt
t
dt
t
dt
x
dx
Wracaj
ą
c do mamy:
2
2
2
1
2
2
2
)
8
4
ln(
C
x
arctg
x
x
I
+
−
+
+
−
=
92
Podstawiaj
ą
c C
1
+C
2
=C, ostatecznie otrzymujemy:
.
2
2
2
2
8
4
8
4
ln
2
2
)
8
4
ln(
2
2
)
8
4
ln(
64
2
2
2
1
64
1
2
2
1
64
1
2
2
1
64
1
4
C
x
arctg
x
arctg
x
x
x
x
x
arctg
x
x
x
arctg
x
x
x
dx
I
+
−
+
+
+
+
−
+
+
=
=
−
−
+
−
−
+
+
+
+
=
+
=
∫