WŁASNOŚCI CAŁKI PODWÓJNEJ

I. Liniowość całki.

f, g – całkowalne w P,

R





,













1

O

αf + βg – całkowalne w P

oraz
2

O

















P

P

P

gd

fd

d

g

f















II. Addywność całki względem obszaru całkowania.

f – całkowalna w prostokącie P, gdzie
P jest sumą dwóch prostokątów P

1

,P

2

,

,

2

1

P

P

P





o rozłącznych wnętrzach,

.

int

int

2

1

o

P

P





















1

O

f – całkowalna w P

1

,

f – całkowalna w P

2

oraz
2

O











1

2

P

P

P

fd

fd

fd







III. Ograniczoność całki.

f – całkowalna w prostokącie P,

 

 

 

 

y

x

f

M

y

x

f

m

P

y

x

P

y

x

,

sup

:

,

inf

:

,

,























 

,

,

















M

d

y

x

f

m

P

gdzie

 - pole prostokąta P.

Twierdzenie

(

całkowe o wartości średniej

)

Z:

 

P

C

f



, gdzie C(P) – klasa funkcji ciągłych na prostokącie P

wartość średnia

 

,

,

1

)

(

:

:

T



 



 













P

d

y

x

f

A

f

P

A





gdzie

 - pole prostokąta P.

Dowód

Korzystając z właśności III otrzymamy oszacowanie wartości średniej

 

M

d

y

x

f

m

P











,

1

 funkcja f ciągła, więc spełniona jest własność Darboux

 









P

d

y

x

f

A

f

P

A





,

1

)

(

:

□

1

Twierdzenie

(

o zamianie całki podwójnej na całkę iterowaną

)

   

 

 

 

 

.

,

,

oraz

,

,

:

T

,

,

gdzie

),

(

:

Z



 

 





































P

b

a

d

c

d

c

b

a

P

dx

dy

y

x

f

d

y

x

f

dy

dx

y

x

f

d

y

x

f

d

c

b

a

P

P

C

f





Uwaga

Każdą z całek występujących po prawej stronie powyższych wzorów nazywamy

całką

iterowaną

.

Oznaczenia

1. Sybol



d

nazywamy elementem pola i oznaczamy

.

dxdy

2. Całki iterowane zapisujemy też w postaci.

 

 

 

 

 

 

 

 





























b

a

d

c

b

a

ozn

d

c

d

c

b

a

d

c

ozn

b

a

dy

y

x

f

dx

dx

dy

y

x

f

dx

y

x

f

dy

dy

dx

y

x

f

,

,

,

,

.

.

Przykład

Obliczyć całkę podwójną

.

3

0

2

0

:

gdzie

,

2



















y

x

P

dxdy

xy

I

P

Ponieważ

 

),

(

,

2

P

C

xy

y

x

f





więc możemy zastosować twierdzenie o zamianie całki

podwójnej na całkę iterowaną i wtedy

18

2

9

9

3

1

2

0

2

2

0

2

0

3

0

3

3

0

2

2

0































x

xdx

dx

xy

dy

xy

dx

I

opracował Jacek Zańko

2