Ruch naładowanych cząstek

w polu magnetycznym

Tadeusz Paszkiewicz

Katedra Fizyki

Politechniki Rzeszowskiej

Mechanika

Ch. Kittel, D. Knight, M.A. Ruderman

PWN, Warszawa, Rozdz. 4

Ruch cząstki naładowanej

w stałym polu magnetycznym

Niech cząstka o masie M i ładunku q znajduje się w polu
magnetycznym o wektorze indukcji . Równanie ruchu ma
postać:

B

2

2

d (t)

d

M

M

= q

dt

dt

≡

r

v

v × B .

Niech wektor indukcji będzie skierowany wzdłuż osi
z: , wtedy:

ˆ

= B

B

z

(

)

(

)

(

)

y

z

z

y

y

z

x

x

z

x

x

y

y

x

= v B - v B

v B ;

= v B - v B

-v B;

= v B - v B

0 .

x

y

z

=

=

=

v B

v B

v B

××××

××××

××××

Równania dla składowych

y

x

y

x

z

z

dv

dv

q

q

=

v B ;

= -

v B ;

dt

M

dt

M

dv

0

v

.

dz

const

=

⇒

=

Ruch naładowanej cząstki w polu

magnetycznym – prawo zachowania

Twierdzenie: Energia kinetyczna E

k

nie zmienia się z

upływem czasu, tj. jest całką ruchu: E

k

= (t)= Mv

2

(t)/2=

=const.

( )

[

]

(

)

(

)

2

k

d

M dv (t)

M d

E

t =

(t) (t)

dt

2

dt

2 dt

M

d (t)

d (t)

(t) + (t)

2

dt

dt

d (t)

(t) M

q (t)

(t)

q

(t)

0 .

dt

=

=













=

=

























=

=

⋅

=

⋅

=

F

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

× B

B

v(t)× v









L

Wektor jest prostopadły do wektora ,
więc ich iloczyn skalarny znika!

(

)

(t)

v ×B

(t)

v

Dowód:

Rozwiązanie pary równań

różniczkowych – postać rozwiązań

Będziemy szukali rozwiązania układu równań

y

x

y

x

dv

dv

q

q

=

v B ,

= -

v B ,

dt

M

dt

M

w postaci:

( )

( )

x

1

x

1

v = v sin ωt , v = v cos ωt .

Znajdziemy pochodne zaproponowanych rozwiązań
dwóch równań różniczkowych:

( )

( )

y

x

1

1

dv (t)

dv (t)

= ωv cos ωt ,

= - ωv sin ωt .

dt

dt

Obserwacja

:

(

)

2

2

2

2

2

2

x

y

1

1

v (t) + v (t) = v

sin ωt + cos ωt = v

Rozwiązanie

pary równań różniczkowych

( )

( )

y

x

1

1

dv (t)

dv (t)

= ωv cos ωt ,

= - ωv sin ωt .

dt

dt

do równań:

y

x

y

x

dv

dv

q

q

=

v B ,

= -

v B.

dt

M

dt

M

1

1

1

1

qB

qB

ω

v cosωt =

v cosωt , - ωv sinωt = -

v sinωt .

M

M

Częstość kołowa

ω

c

nazywa się częstością

cyklotronową. Nie zależy ona od prędkości v

1

.

Wstawimy:

c

= ω = qB/M

ω

Prędkość cyklotronowa

c

ω

= qB/M

zależy jedynie od indukcji pola magnetycznego
B i charakterystyk cząstek.

Trajektoria ruchu naładowanej cząstki

w stałym polu magnetycznym

Znamy składowe wektora prędkości v(t):

Składowe x(t) i y(t) wektora wodzącego cząstki

(t) .

r

(

) ( )

( )

(

) ( )

( )

0

1

c

c

0

c

0

1

c

c

0

c

0

z

x(t) = x - v / ω cos ω t = x - ρcos ω t ,

y(t) = y + v / ω sin ω t = y + ρsin ω t ,

z(t) = z + v t .

( )

( )

1

c

1

c

dx(t)

dy(t)

= v sin ω t ;

= v cos ω t ,

dt

dt

( )

( )

x

1

c

y

1

c

v = v sin ω t , v = v cos ω t .

Sens rozwiązania

( )

( )

( )

( )

1

0

c

0

c

c

1

0

c

0

c

0

z

c

v

x(t) = x -

cos ω t = x - ρcos ω t ;

ω

v

y(t) = y +

sin ω t = y + ρsin ω t ; z(t) = z + v t .

ω

W płaszczyźnie x, y ruch odbywa się po okręgu
o promieniu cyklotronowym

ρ

=v

1

/

ω

c

ze środkiem

w punkcie (x

0

,y

0

).

[

] [

]

( )

( )

2

2

2

2

2

2

1

0

0

c

c

c

v

x(t) - x

+ y(t) - y

=

cos

ω

t + sin

ω

t

= ρ .

ω











 







Wzdłuż osi z ruch jest jednostajny z prędkością v

z

.

Złożenie obydwu ruchów daje ruch po spirali.

Trajektoria

ruchu

cząstki

w stałym polu

magnetycznym

q

B

x

y

z

ρρρρ

q

V

z

=V

0

Własności promienia cyklotronowego

1

1

1

1

c

v

v

v M

v M

p

.

qB

ω

qB

q

q

M

⊥

ρ =

=

=

⇒

ρΒ =

=

Wprowadzimy p

⊥

- składową pędu w

płaszczyźnie prostopadłej do kierunku wektora
indukcji magnetycznej, wtedy

Wymiar fizyczny promienia: cyklotronowego

ρ

:

[ ]

1

c

L

v

T

ρ

=

=

= L .

1

ω

T













Zasada działania cyklotronu

W cyklotronie cząstki poruszają się po niemal
kołowych orbitach. Po każdej połowie obrotu
cząstki są przyspieszane w oscylującym polu
elektrycznym. Częstość drgań pola elektrycznego
musi być równa wartości częstości cyklotronowej

ω

c

=qB/M. Po każdym obrocie cząstki przyśpieszają

uzyskując energię od pola elektrycznego. Należy
dobrać tak chwilowe pole elektryczne tak, aby
harmoniczne pole elektryczne przyśpieszało
cząstki. Cząstki poruszają się po okręgach o
okresowo rosnących promieniach

ρ

=v/

ω

c

.

Zależność promienia cyklotronowego

od energii kinetycznej cząstki

2

k

1

1

k

E = Mv /2

v =

2E /M ,

⇒

możemy wyrazić promień cyklotronowy

ρ

przez E

k

k

1

c

c

2E /M

v

ρ

=

=

.

ω

ω

Po każdym cyklu promień cyklotronowy rośnie,
natomiast częstość kołowa jest stała.

Prędkość ruchu cząstki

w oscylującym polu elektrycznym

skierowanym wzdłuż osi x

Obliczymy prędkość ruchu cząstki:

(0)

x

x

0

qE

dx(t)

v (t) =

= -

cosωt + v .

dt

Mω

(0)

x

0

0

2

qE

x(t) = -

sinωt + v t + x .

Mω

Duant

metalowe pudło o kształcie połowy

opakowania tortu.

Wewnątrz duantu cząstki są

ekranowane od pola elektrycznego

Częstość cyklotronowa

ω

c

nie zależy od

prędkości v

1

. Promień cyklotronowy zależy

od energii kinetycznej cząstki:

c

= ω = qB/M

ω

k

c

ρ

=

2E /M / ω .

Cyklotron

Lawrance’a

1931 r.

Zmienne pole elektryczne o częstości

ω

c

.

Gdy częstość

ω

oscylatora zostanie dobrana ilekroć

cząstka znajdzie się pomiędzy duantami tylekroć
zostanie przyśpieszona.

⊗

B

Ernest Orlando Lawrence

1901-1958

nagroda Nobla w 1939 r.

W 1939 r. z 60-calowego cyklotronu w Berkley
National Laboratory wyprowadzono wiązkę
przyśpieszanych jonów (prawdopodobnie protonów
albo deuteronów). Jonizują one otaczające powietrze
powodując niebieską poświatę.

Tunel

akceleratora w

Fermilab

o średnicy ok.

2 km

CERN

Europejskie Laboratorium

Badań Jądrowych

Akceleratory w CERNie

Obwód tunelu
LHC ok. 30 km

LHC w CERNIE

CERN z lotu ptaka

Magnesy nadprzewodzące w

akceleratorach CERN

Selektor prędkości

Siła elektrostatyczna powoduje ruch
cząstki dodatnio naładowanej w lewo.

x

y

⊗

B

v

( )

L

ˆ

q

qvB

=

×

= −

F

v B

x

e

ˆ

qE

=

F

x

F

e

=qE

F

L

=qvB

q

Tylko cząstki dla których qE=qvB nie są
odchylane i poruszają się ruchem
jednostajnym. Cząstki o prędkościach
innych od v=E/B zostają zatrzymane.

L

F

Spektrometr masowy

Pole magnetyczne B

’

do

płaszczyzny ekranu

⊥

S

1

i S

2

przesłony formujące

wąską wiązkę cząstek.

W polu B

/

jony poruszają się

po okręgach o promieniach

c

v

vM

ω

qB

ρ =

=

se

le

k

to

r p

rę

d

k

o

śc

i

Spektrometr masowy

Jony wychodzące z selektora mają tę samą prędkość
v=E/B. Po opuszczeniu selektora poruszają się w po
okręgach polu magnetycznym B

/

prostopadłym do

płaszczyzny ekranu. Promień okręgu

ρ

( )

( ) (

)

c

v/ω

vM / qB'

EM / qBB'

ρ =

=

=

zależy od masy M jonu. Jeżeli znamy E, q, B,B’ to
mierząc położenie śladu na płycie fotograficznej
możemy określić masę jonu M:

M =

qBB'/E .

αρ; α =

Zastosowanie spektrometru masowego

- odkrycie izotopów pierwiastków

Odkryto dwa izotopy neonu o masach
atomowych 20 i 22 g/mol.
Zastosowania spektrometrów masowych
pozwoliło ustalić, że bardzo wiele
pierwiastków ma izotopy.

22.03.2011