Całki krzywoliniowe skierowane

Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej

na całk˛e pojedy´ncz ˛a.

Twierdzenie Greena.

Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej.

Małgorzata Wyrwas

Katedra Matematyki

Wydział Informatyki

Politechnika Białostocka

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 1/25

Pola wektorowe na płaszczy´znie i w przestrzeni

Polem wektorowym na obszarze D ⊂ R

2

nazywamy funkcj˛e

wektorow ˛a ~

F

: D → R

2

okre´slon ˛a wzorem:

~

F

(x, y) = [P (x, y), Q(x, y)] ,

gdzie (x, y) ∈ D.

Polem wektorowym na obszarze V ⊂ R

3

nazywamy funkcj˛e

wektorow ˛a ~

F

: V → R

3

okre´slon ˛a wzorem:

~

F

(x, y, z) = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] ,

gdzie (x, y, z) ∈ V .

-

6

-

/

6

X

Y

Z

Y

O

O

=

?
w -

6

6

6

k





}



=

?

R

-

7

I

y

9

?

^

s

-



-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

--

X

~

F

(x, y)

~

F

(x, y)

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 2/25

Własno´sci pól wektorowych

Je˙zeli funkcje P, Q lub P, Q, R s ˛a ci ˛agłe na obszarach D lub V , to
mówimy, ˙ze

pole wektorowe ~F jest ci ˛agłe na D lub V .

Je˙zeli funkcje P, Q lub P, Q, R maj ˛a ci ˛agłe pochodne na D lub V ,
to mówimy, ˙ze

pole wektorowe ~F jest ró˙zniczkowalne w sposób ci ˛agły na D lub V .

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 3/25

Łuki skierowane

Łuk zwykły niezamkni˛ety, na którym ustalono pocz ˛atek i koniec
(kierunek), nazywamy

łukiem skierowanym. Łuk skierowany

oznaczamy tym samym symbolem co łuk. Łuk o skierowaniu
przeciwnym do łuku L b˛edziemy oznaczamy przez −L.
Je˙zeli ze wzrostem parametru łuku skierowanego poruszamy si˛e
po nim w kierunku skierowania, to mówimy, ˙ze
parametryzacja łuku jest zgodna ze skierowaniem (lub
przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek s ˛a
zgodne), w przeciwnym przypadku mówimy, ˙ze
parametryzacja łuku jest przeciwna do skierowania (lub
przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek s ˛a
niezgodne).

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 4/25

Rozwa˙zmy łuk gładki L = {~r(t) : t ∈ hα, βi} o przedstawieniu
parametrycznym zgodnym z kierunkiem L.

α

= t

0

t

∗
1

t

1

t

∗
2

t

2

t

∗
3

t

3

t

k−

1

t

k

t

∗
k

t

n−

1

t

n

=

β

t

∗
n

. . .

. . .

∆t

1

∆t

2

∆t

3

∆t

k

∆t

n

A

0

A

∗

k

A

n

~r

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 5/25

Oznaczenia w definicji całki skierowanej:

P = {t

0

, t

1

, t

2

, . . . , t

n

}

, gdzie α = t

0

< t

1

< . . . < t

n

−1

< t

n

= β

–

podział odcinka hα, βi na n ∈ N odcinków;

∆t

k

def

= t

k

− t

k

−1

–

długo´s´c k-tego odcinka podziału P, gdzie 1 ¬ k ¬ n;

δ

(P) = max

1¬k¬n

∆t

k

-

´srednica podziału P;

T = {t

∗

1

, t

∗

2

, . . . , t

∗

n

}

, gdzie t

∗

k

∈ ht

k

−1

, t

k

i

dla 1 ¬ k ¬ n –

zbiór

punktów po´srednich podziału P

A

k

(x(t

k

), y(t

k

))

(lub A

k

(x(t

k

), y(t

k

), z(t

k

))

) –

punkty podziału łuku L

indukowane przez podział P, gdzie 0 ¬ k ¬ n;

A

∗

k

= (x

∗

k

, y

∗

k

) = (x

∗

(t

k

), y

∗

(t

k

))

(lub

A

∗

k

= (x

∗

k

, y

∗

k

, z

∗

k

) = (x

∗

(t

k

), y

∗

(t

k

), z

∗

(t

k

))

) –

punkty po´srednie łuku

^

A

k−

1

A

k

indukowane przez wybór punktów po´srednich podziału P, gdzie 1 ¬ k ¬ n;

∆l

k

=

t

k

´

t

k−

1

|~r

0

(t)| dt

–

długo´s´c łuku ^

A

k−

1

A

k

, gdzie 1 ¬ k ¬ n.

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 6/25

Całka krzywoliniowa skierowana

Niech ~

F

b˛edzie polem wektorowym okre´slonym na łuku skierowanym L (L ⊂ R

2

lub L ⊂ R

3

).

Całk˛e krzywoliniow ˛a skierowan ˛a z pola wektorowego ~F po łuku L
definiujemy wzorem

ˆ

L

P

(x, y) dx+Q(x, y) dy

def

= lim

δ

(P)→0

n

X

k

=1

(P (x

∗
k

, y

∗

k

) · ∆x

k

+ Q(x

∗
k

, y

∗

k

) · ∆y

k

) ,

lub

ˆ

L

P

(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz

def

=

lim

δ

(P)→0

P

n
k

=1

P

(x

∗
k

, y

∗

k

, z

∗

k

) · ∆x

k

+Q(x

∗
k

, y

∗

k

, z

∗

k

) · ∆y

k

+ R(x

∗
k

, y

∗

k

, z

∗

k

) · ∆z

k

o ile granica po prawej stronie znaku równo´sci jest wła´sciwa i nie

zale˙zy od sposobu podziału P odcinka hα, βi ani od sposobu wyboru
punktów po´srednich T .

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 7/25

Całka krzywoliniowa skierowana

Całk˛e krzywoliniow ˛a skierowan ˛a z z pola wektorowego ~

F

po łuku

L

oznaczamy te˙z symbolem:

ˆ

L

P dx

+ Qdy

lub

ˆ

L

P dx

+ Qdy + Rdz.

UWAGA:

W zapisie wektorowym całk˛e krzywoliniow ˛a

skierowan ˛a z pola wektorowego ~

F

po łuku L oznaczamy te˙z

symbolem:

ˆ

L

~

F

◦ d~r,

gdzie d~r

def

= [dx, dy]

lub d~r

def

= [dx, dy, dz]

.

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 8/25

Całka krzywoliniowa skierowana po sumie łuków skierowanych

Niech łuk skierowany L b˛edzie sum ˛a łuków skierowanych
L

1

, L

2

, . . . , L

m

, przy czym koniec łuku L

k

jest pocz ˛atkiem łuku

L

k+1

, gdzie 1 ¬ k ¬ m − 1. Ponadto niech ~

F

b˛edzie polem

wektorowym okre´slonym na łuku L.
Całk˛e krzywoliniow ˛a skierowan ˛a z pola ~F po łuku L definiujemy
wzorem:

ˆ

L

~

F

◦ d~r

def

=

ˆ

L

1

~

F

◦ d~r +

ˆ

L

2

~

F

◦ d~r + . . . +

ˆ

L

m

~

F

◦ d~r,

o ile całki po prawej stronie znaku równo´sci istniej ˛a.

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 9/25

Liniowo´s´c całki krzywoliniowej skierowanej

Je˙zeli istniej ˛a całki krzywoliniowe skierowane z pól wektorowych

~

F

i ~

G

po kawałkami gładkim łuku skierowanym L, to

ˆ

L



~

F

+ ~

G



◦d~r =

ˆ

L

~

F

◦d~r+

ˆ

L

~

G

◦d~r,

ˆ

L



c

· ~

F



◦d~r = c·

ˆ

L

~

F

◦d~r,

gdzie c ∈

R

.

Ponadto

ˆ

−L

~

F

◦ d~r = −

ˆ

L

~

F

◦ d~r,

gdzie −L jest łukiem

przeciwnie skierowanym do łuku L.

UWAGA:

Je˙zeli łuk skierowany jest zamkni˛ety, to wtedy

piszemy:

˛

w miejsce

ˆ

.

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 10/25

Zale˙zno´s´c mi˛edzy całkami krzywoliniowymi

Niech pole wektorowe ~

F

b˛edzie ci ˛agłe na łuku gładkim L. Wtedy

ˆ

L

P

(x, y) dx+Q(x, y) dy =

ˆ

L

[P (x, y) cos α + Q(x, y) cos β] dl,

lub

ˆ

L

P

(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =

ˆ

L

[P (x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ] dl.

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 11/25

Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całk˛e pojedy ´ncz ˛a

Je˙zeli pole wektorowe ~

F

jest ci ˛agłe na łuku gładkim L, którego

skierowanie jest zgodne z parametryzacj ˛a, to

ˆ

L

P

(x, y) dx + Q(x, y) dy =

β

ˆ

α

[P (x, y)x

0

(t) + Q(x, y)y

0

(t)] dt,

gdy L = {[x(t), y(t)] : α ¬ t ¬ β} oraz

ˆ

L

P

(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =

β

ˆ

α

[P (x, y, z)x

0

(t) + Q(x, y, z)y

0

(t) + R(x, y, z)z

0

(t)] dt

gdy L = {[x(t), y(t), z(t)] : α ¬ t ¬ β}.

UWAGA:

W zapisie wektorowym powy˙zsze wzory maj ˛a posta´c:

ˆ

L

~

F

(~

r

) ◦ d~

r

=

β

ˆ

α



~

F

(~

r

(t)) ◦ ~

r

0

(t)



dt.

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 12/25

Potencjalne pole wektorowe

Pole wektorowe ~

F

okre´slone na obszarze D ⊂

R

2

lub V ⊂

R

3

nazywamy

potencjalnym, gdy istnieje funkcja u : D →

R

lub

u

: V →

R

, taka ˙ze

~

F

= grad u.

Funkcj˛e u nazywamy

potencjałem pola wektorowego ~F .

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 13/25

Całka krzywoliniowa z pola potencjalnego

Niech pole wektorowe ~

F

b˛edzie ci ˛agłe i ma potencjał u na obszarze

D

⊂ R

2

lub V ⊂ R

3

. Wtedy

ˆ

f

AB

P

(x, y) dx + Q(x, y) dy = u(x

B

, y

B

) − u(x

A

, y

A

),

gdy

g

AB

– dowolny skierowany kawałkami gładki łuk o pocz ˛atku

A

(x

A

, y

A

)

i ko´ncu B(x

B

, y

B

)

, całkowicie zawarty w obszarze D

oraz

ˆ

L

P

(x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy+R(x, y, z)dz = u(x

B

, y

B

, z

B

)−u(x

A

, y

A

, z

A

),

gdy

g

AB

– dowolny skierowany kawałkami gładki łuk o pocz ˛atku

A

(x

A

, y

A

, z

A

)

i ko´ncu B(x

B

, y

B

, z

B

)

, całkowicie zawarty w obszarze V .

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 14/25

Warunek konieczny i wystarczaj ˛acy potencjalno´sci pola

(I) Niech pole wektorowe ~F = [P, Q] b˛edzie ró˙zniczkowalne w sposób
ci ˛agły na obszarze wypukłym D ⊂ R

2

. Wówczas pole wektorowe ~

F

jest potencjalne na D wtedy i tylko wtedy, gdy

∂P

∂y

(x, y) =

∂Q

∂x

(x, y),

dla ka˙zdego (x, y) ∈ D.

(II) Niech pole wektorowe ~F = [P, Q, R] b˛edzie ró˙zniczkowalne w
sposób ci ˛agły na obszarze wypukłym V ⊂ R

3

. Wówczas pole

wektorowe ~

F

jest potencjalne na V wtedy i tylko wtedy, gdy

∂P

∂y

(x, y, z) =

∂Q

∂x

(x, y, z),

∂P

∂z

(x, y, z) =

∂R

∂x

(x, y, z),

∂Q

∂z

(x, y, z) =

∂R

∂y

(x, y, z),

dla ka˙zdego (x, y, z) ∈ V .

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 15/25

Rotacja pola wektorowego

Niech pole wektorowe ~

F

= [P, Q, R]

b˛edzie ró˙zniczkowalne w

sposób ci ˛agły na obszarze wypukłym V ⊂

R

3

.

Rotacj ˛a pola wektorowego ~F nazywamy pole wektorowe
okre´slone wzorem:

rot ~

F

def

=



















~i

~j

~k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

P

Q

R



















=

∂R

∂y

−

∂Q

∂z

!

~i +

∂P

∂z

−

∂R

∂x

!

~j +

∂Q

∂x

−

∂P

∂y

!

~k.

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 16/25

Rotacja pola potencjalnego

Pole wektorowe ~

F

= [P, Q, R]

jest potencjalne na obszarsze

wypukłym V ⊂

R

3

wtedy i tylko wtedy, gdy

rot ~

F

= ~0.

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 17/25

Skierowanie krzywej

Niech L b˛edzie kawałkami gładkim łukiem zamkni˛etym (bez samoprzeci˛e´c) na R

2

, tzn. krzyw ˛a Jordana.

Mówimy, ˙ze
krzywa L jest skierowana dodatnio wzgl˛edem swego wn˛etrza D, gdy
podczas ruchu po łuku L w kierunku jego skierowania obszar D le˙zy
cały czas po lewej stronie łuku. W przeciwnym przypadku mówimy, ˙ze
krzywa L jest skierowana ujemne wzgl˛edem swego wn˛etrza D.

-

6

X

Y

O

-

6

X

Y

O

+

*

D

1

L

1

=

>

D

2

L

2

L

1

-

dodatnio

skierowany wzgl˛edem obszaru D

1

L

2

-

ujemnie

skierowany wzgl˛edem obszaru D

2

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 18/25

Twierdzenie Greena

Je˙zeli

obszar domkni˛ety D ⊂ R

2

b˛edzie b˛edzie obszarem normalnym

(wzgledem OX i OY )
brzeg L tego obszaru jest skierowany dodatnio wzgl˛edem wn˛etrza
pole wektorowe ~

F

= [P, Q]

b˛edzie ró˙zniczkowalne w sposób

ci ˛agły na D ,

to

‰

L

P

(x, y) dx + Q(x, y) dy =

¨

D

∂Q

∂x

−

∂P

∂y

!

dxdy

UWAGA:

Wzór Greena tak˙ze jest prawdziwy dla obszaru D, który

mo˙zna podzieli´c na sko´nczon ˛a liczb˛e obszarów normalnych (wzgl˛edem
obu osi).

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 19/25

Cyrkulacja pola wektorowego

Cyrkulacj ˛a pola wektorowego ~F po łuku zamkni˛etym
skierowanym L nazywamy

˛

L

~

F

◦ d~r.

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 20/25

Zastosowania całek krzywoliniowych skierowanych

Pole obszaru

Pole obszaru D ⊂

R

2

ograniczonego łukiem zamknietym

kawałkami gładkim L, dodatnio skierowanym wzgl˛edem swego
wn˛etrza D wyra˙za si˛e wzorem:

|D| = −

‰

L

y dx

=

‰

L

x dy

=

1
2

‰

L

x dy

− y dx.

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 21/25

Zastosowania całek krzywoliniowych skierowanych

Praca w polu wektorowym

Praca w polu wektorowym ~

F

wykonana wzdłu˙z łuku

skierowanego L od punktu pocz ˛atkowego do ko´ncowego wyra˙za
si˛e wzorem:

W

=

ˆ

L

~

F

◦ d~r.

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 22/25

Zastosowania krzywoliniowych skierowanych

Ilo´s´c umownej „płaskiej cieczy"

Ilo´s´c umownej „płaskiej cieczy" przepływaj ˛acej w jednostce czasu
przez łuk skierowany L wyra˙za si˛e wzorem:

A

= −

ˆ

L

Q

(x, y)dx − P (x, y)dy,

gdzie ~v(x, y) = [P (x, y), Q(x, y)] oznacza pr˛edko´s´c przepływu
cieczy w punkcie (x, y) tego łuku.

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 23/25

Podsumowanie

Pola wektorowe na płaszczy´znie i w przestrzeni.

Całki krzywoliniowe skierowane.

Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całk˛e

pojedy´ncz ˛a.

Pewne zastosowania całek krzywoliniowych skierowanych.

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 24/25

Dzi˛ekuj˛e za uwag˛e ;)

Budownictwo,

SEMESTR

II

, rok. akad. 2008/2009

Całki krzywoliniowe skierowane – str. 25/25