Wykład 18
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego
wartości na elementach pewnej bazy.
DEFINICJA 251
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów
(v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm)
m
nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla
m i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego
wartości na elementach pewnej bazy.
DEFINICJA 251
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów
(v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm)
m
nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla
m i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego
wartości na elementach pewnej bazy.
DEFINICJA 251
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów
(v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm)
m
nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla
m i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego
wartości na elementach pewnej bazy.
DEFINICJA 251
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów
(v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm)
m
nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla
m i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 252
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym
z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W.
Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana
przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Niech macierz odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn),
(w1, w2, . . . , wm) ma postać MA = {ai j}i"Z j"Zm i niech
n
x = Łn ąivi.
i=1
Wtedy Ax = Łm łkwk, gdzie łk = Łn ak iąi.
k=1 i=1
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 252
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym
z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W.
Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana
przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Niech macierz odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn),
(w1, w2, . . . , wm) ma postać MA = {ai j}i"Z j"Zm i niech
n
x = Łn ąivi.
i=1
Wtedy Ax = Łm łkwk, gdzie łk = Łn ak iąi.
k=1 i=1
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 252
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym
z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W.
Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana
przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Niech macierz odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn),
(w1, w2, . . . , wm) ma postać MA = {ai j}i"Z j"Zm i niech
n
x = Łn ąivi.
i=1
Wtedy Ax = Łm łkwk, gdzie łk = Łn ak iąi.
k=1 i=1
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 252
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym
z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W.
Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana
przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Niech macierz odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn),
(w1, w2, . . . , wm) ma postać MA = {ai j}i"Z j"Zm i niech
n
x = Łn ąivi.
i=1
Wtedy Ax = Łm łkwk, gdzie łk = Łn ak iąi.
k=1 i=1
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 252
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym
z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W.
Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana
przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Niech macierz odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn),
(w1, w2, . . . , wm) ma postać MA = {ai j}i"Z j"Zm i niech
n
x = Łn ąivi.
i=1
Wtedy Ax = Łm łkwk, gdzie łk = Łn ak iąi.
k=1 i=1
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 253
Składaniu odwzorowań liniowych odpowiada mnożenie macierzy. Możemy
napisać MAć%B = MA MB. Mamy także MA+B = MA + MB oraz
MA = MA.
DEFINICJA 254
Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) oraz (v1, v2, . . . , vn) beda bazami
uporzadkowanymi przestrzeni wektorowej V.
Macierza przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn)
n
nazywamy macierz Pv v = {pi j}i"Z j"Zn, gdzie vk = pi kvi dla
n i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 253
Składaniu odwzorowań liniowych odpowiada mnożenie macierzy. Możemy
napisać MAć%B = MA MB. Mamy także MA+B = MA + MB oraz
MA = MA.
DEFINICJA 254
Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) oraz (v1, v2, . . . , vn) beda bazami
uporzadkowanymi przestrzeni wektorowej V.
Macierza przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn)
n
nazywamy macierz Pv v = {pi j}i"Z j"Zn, gdzie vk = pi kvi dla
n i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 253
Składaniu odwzorowań liniowych odpowiada mnożenie macierzy. Możemy
napisać MAć%B = MA MB. Mamy także MA+B = MA + MB oraz
MA = MA.
DEFINICJA 254
Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) oraz (v1, v2, . . . , vn) beda bazami
uporzadkowanymi przestrzeni wektorowej V.
Macierza przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn)
n
nazywamy macierz Pv v = {pi j}i"Z j"Zn, gdzie vk = pi kvi dla
n i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
UWAGA 255
Możemy powiedzieć, że macierz przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy
(v1, v2, . . . , vn) jest macierza odzorowania identycznościowego przestrzeni
V z baza (v1, v2, . . . , vn) w przestrzeń V z baza (v1, v2, . . . , vn).
Macierz przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn) jest
macierza odwrotna do macierzy przejścia od bazy(v1, v2, . . . , vn) do bazy
(v1, v2, . . . , vn).
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
UWAGA 255
Możemy powiedzieć, że macierz przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy
(v1, v2, . . . , vn) jest macierza odzorowania identycznościowego przestrzeni
V z baza (v1, v2, . . . , vn) w przestrzeń V z baza (v1, v2, . . . , vn).
Macierz przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn) jest
macierza odwrotna do macierzy przejścia od bazy(v1, v2, . . . , vn) do bazy
(v1, v2, . . . , vn).
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 256
Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V,
n n
oraz x = ąivi = ąivi to
i=1 i=1
ąk = Łn pk iąi, gdzie {pi j}i, j"{1,2...,n} jest macierza przejścia od bazy
i=1
v do bazy v .
TWIERDZENIE 257
Niech v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V,
a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni
W
Niech odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz
MA w v to macierz MA w v = Pw wMA w vPv v jest macierza
odwzorowania A w bazach v , w .
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 256
Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V,
n n
oraz x = ąivi = ąivi to
i=1 i=1
ąk = Łn pk iąi, gdzie {pi j}i, j"{1,2...,n} jest macierza przejścia od bazy
i=1
v do bazy v .
TWIERDZENIE 257
Niech v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V,
a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni
W
Niech odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz
MA w v to macierz MA w v = Pw wMA w vPv v jest macierza
odwzorowania A w bazach v , w .
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 256
Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V,
n n
oraz x = ąivi = ąivi to
i=1 i=1
ąk = Łn pk iąi, gdzie {pi j}i, j"{1,2...,n} jest macierza przejścia od bazy
i=1
v do bazy v .
TWIERDZENIE 257
Niech v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V,
a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni
W
Niech odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz
MA w v to macierz MA w v = Pw wMA w vPv v jest macierza
odwzorowania A w bazach v , w .
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 256
Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V,
n n
oraz x = ąivi = ąivi to
i=1 i=1
ąk = Łn pk iąi, gdzie {pi j}i, j"{1,2...,n} jest macierza przejścia od bazy
i=1
v do bazy v .
TWIERDZENIE 257
Niech v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V,
a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni
W
Niech odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz
MA w v to macierz MA w v = Pw wMA w vPv v jest macierza
odwzorowania A w bazach v , w .
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 258
Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przes-trzeni V,
a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni
W i jeśli odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz
MA w v
to macierz MA w v = Q-1MA w vP, gdzie P jest macierza przejścia od
bazy v do v , a Q jest macierza przejścia od bazy w do w jest macierza
odwzorowania A w bazach v , w .
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 258
Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przes-trzeni V,
a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni
W i jeśli odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz
MA w v
to macierz MA w v = Q-1MA w vP, gdzie P jest macierza przejścia od
bazy v do v , a Q jest macierza przejścia od bazy w do w jest macierza
odwzorowania A w bazach v , w .
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 259
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Jadrem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni V,
złożona z elementów, które odwzorowanie f przekształca w 0 p.w. W.
DEFINICJA 260
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Obrazem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni W,
złożona z elementów bedacych wartościami odwzorowania f.
TWIERDZENIE 261
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym wtedy
dimker f + dimim f = dim V.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 259
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Jadrem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni V,
złożona z elementów, które odwzorowanie f przekształca w 0 p.w. W.
DEFINICJA 260
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Obrazem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni W,
złożona z elementów bedacych wartościami odwzorowania f.
TWIERDZENIE 261
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym wtedy
dimker f + dimim f = dim V.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 259
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Jadrem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni V,
złożona z elementów, które odwzorowanie f przekształca w 0 p.w. W.
DEFINICJA 260
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Obrazem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni W,
złożona z elementów bedacych wartościami odwzorowania f.
TWIERDZENIE 261
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym wtedy
dimker f + dimim f = dim V.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DOWÓD:
Niech v1, v2, . . . , vr stanowia baze ker f. Możemy ja uzpełnić do bazy
p.w. V. Niech v1, v2, . . . , vn bedzie ta baza. Pokażemy, że wektory
f(vr+1), f(vr+2), . . . , f(vn) stanowia baze im f.
Jeżeli 1f(vr+1) + 2f(vr+2) + + n-rf(vn) = 0 to
f(1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn) = 0 czyli
1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn " kerf jeżeli nie wszystkie i sa równe
0 otrzymujemy sprzeczność z liniowa niezależnościa wektorów
v1, v2, . . . , vn.
Niech y " im f wtedy y = f(1v1 + 2v2 + + nvn) =
f(r+1vr+1 + r+2vr+2 + + nvn) = f(r+1vr+1) + f(r+2vr+2) +
+ f(nvn) = r+1f(vr+1) + r+2f(vr+2) + + nf(vn).
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DOWÓD:
Niech v1, v2, . . . , vr stanowia baze ker f. Możemy ja uzpełnić do bazy
p.w. V. Niech v1, v2, . . . , vn bedzie ta baza. Pokażemy, że wektory
f(vr+1), f(vr+2), . . . , f(vn) stanowia baze im f.
Jeżeli 1f(vr+1) + 2f(vr+2) + + n-rf(vn) = 0 to
f(1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn) = 0 czyli
1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn " kerf jeżeli nie wszystkie i sa równe
0 otrzymujemy sprzeczność z liniowa niezależnościa wektorów
v1, v2, . . . , vn.
Niech y " im f wtedy y = f(1v1 + 2v2 + + nvn) =
f(r+1vr+1 + r+2vr+2 + + nvn) = f(r+1vr+1) + f(r+2vr+2) +
+ f(nvn) = r+1f(vr+1) + r+2f(vr+2) + + nf(vn).
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DOWÓD:
Niech v1, v2, . . . , vr stanowia baze ker f. Możemy ja uzpełnić do bazy
p.w. V. Niech v1, v2, . . . , vn bedzie ta baza. Pokażemy, że wektory
f(vr+1), f(vr+2), . . . , f(vn) stanowia baze im f.
Jeżeli 1f(vr+1) + 2f(vr+2) + + n-rf(vn) = 0 to
f(1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn) = 0 czyli
1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn " kerf jeżeli nie wszystkie i sa równe
0 otrzymujemy sprzeczność z liniowa niezależnościa wektorów
v1, v2, . . . , vn.
Niech y " im f wtedy y = f(1v1 + 2v2 + + nvn) =
f(r+1vr+1 + r+2vr+2 + + nvn) = f(r+1vr+1) + f(r+2vr+2) +
+ f(nvn) = r+1f(vr+1) + r+2f(vr+2) + + nf(vn).
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 262
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie f
jest
a) monomorfizmem wtw, gdy ker f = {0},
b) epimorfizmem wtw, gdy im f = W,
c) izomorfizmem wtw, gdy ker f = {0} i im f = W.
TWIERDZENIE 263
n
Niech v1, v2, . . . , vn bedzie baza p.w. V, a wi = aj ivj, dla i " Zr
j=1
wtedy w1, w2, . . . , wr sa liniowo niezależne wtw, gdy rzad macierzy
{aj i}i "Zr, j"Zn jest równy r.
DOWÓD:
Jeżeli rz = r to zmieniajac kolejność wektorów bazy możemy założyć,
łA ł
a11 . . . a1r
ł.
że det . . . . . . . .łł = 0.
ar1 . . . arr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 262
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie f
jest
a) monomorfizmem wtw, gdy ker f = {0},
b) epimorfizmem wtw, gdy im f = W,
c) izomorfizmem wtw, gdy ker f = {0} i im f = W.
TWIERDZENIE 263
n
Niech v1, v2, . . . , vn bedzie baza p.w. V, a wi = aj ivj, dla i " Zr
j=1
wtedy w1, w2, . . . , wr sa liniowo niezależne wtw, gdy rzad macierzy
{aj i}i "Zr, j"Zn jest równy r.
DOWÓD:
Jeżeli rz = r to zmieniajac kolejność wektorów bazy możemy założyć,
łA ł
a11 . . . a1r
ł.
że det . . . . . . . .łł = 0.
ar1 . . . arr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 262
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie f
jest
a) monomorfizmem wtw, gdy ker f = {0},
b) epimorfizmem wtw, gdy im f = W,
c) izomorfizmem wtw, gdy ker f = {0} i im f = W.
TWIERDZENIE 263
n
Niech v1, v2, . . . , vn bedzie baza p.w. V, a wi = aj ivj, dla i " Zr
j=1
wtedy w1, w2, . . . , wr sa liniowo niezależne wtw, gdy rzad macierzy
{aj i}i "Zr, j"Zn jest równy r.
DOWÓD:
Jeżeli rz = r to zmieniajac kolejność wektorów bazy możemy założyć,
łA ł
a11 . . . a1r
ł.
że det . . . . . . . .łł = 0.
ar1 . . . arr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Równość 1w1 + 2w2 + 3w3 + + rwr = 0 oznacza równość
Łr Łn ai jjvi = 0.
j=1 i=1
Stad, że v1, v2, . . , jest baza mamy
ł ł.łvn ł ł ł
a11 . . . a1r 1 0
ł. . . . . . . . .łł ł. . .łł = ł. . .łł .
ar1 . . . arr r 0
ł ł
a11 . . . a1r
ł.
Macierz . . . . . . . .łł ma odwrotna, a zatem
ar1 . . . arr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Równość 1w1 + 2w2 + 3w3 + + rwr = 0 oznacza równość
Łr Łn ai jjvi = 0.
j=1 i=1
Stad, że v1, v2, . . , jest baza mamy
ł ł.łvn ł ł ł
a11 . . . a1r 1 0
ł. . . . . . . . .łł ł. . .łł = ł. . .łł .
ar1 . . . arr r 0
ł ł
a11 . . . a1r
ł.
Macierz . . . . . . . .łł ma odwrotna, a zatem
ar1 . . . arr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Równość 1w1 + 2w2 + 3w3 + + rwr = 0 oznacza równość
Łr Łn ai jjvi = 0.
j=1 i=1
Stad, że v1, v2, . . , jest baza mamy
ł ł.łvn ł ł ł
a11 . . . a1r 1 0
ł. . . . . . . . .łł ł. . .łł = ł. . .łł .
ar1 . . . arr r 0
ł ł
a11 . . . a1r
ł.
Macierz . . . . . . . .łł ma odwrotna, a zatem
ar1 . . . arr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
ł ł ł ł-1 ł ł ł ł
1 a11 . . . a1r 0 0
ł. . .łł = ł. . . . . . . . .łł ł. . .łł = ł. . .łł .
r ar1 . . . arr 0 0
Czyli wektory w1, w2, . . . , wr sa liniowo niezależne.
ł ł
a11 . . . a1r
ł. łł
Załóżmy teraz, że rz . . . . . . . . = p < r.
an1 . . . anr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
ł ł ł ł-1 ł ł ł ł
1 a11 . . . a1r 0 0
ł. . .łł = ł. . . . . . . . .łł ł. . .łł = ł. . .łł .
r ar1 . . . arr 0 0
Czyli wektory w1, w2, . . . , wr sa liniowo niezależne.
ł ł
a11 . . . a1r
ł. łł
Załóżmy teraz, że rz . . . . . . . . = p < r.
an1 . . . anr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
ł ł ł ł-1 ł ł ł ł
1 a11 . . . a1r 0 0
ł. . .łł = ł. . . . . . . . .łł ł. . .łł = ł. . .łł .
r ar1 . . . arr 0 0
Czyli wektory w1, w2, . . . , wr sa liniowo niezależne.
ł ł
a11 . . . a1r
ł. łł
Załóżmy teraz, że rz . . . . . . . . = p < r.
an1 . . . anr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Zmieniajac kolejność wektorów bazy i wektorów w1, w2, , wr możemy
ł ł
a11 . . . a1p
ł. łł
założyć, że det . . . . . . . . = 0.
ap1 . . . app
Pokażemy, że wektory w1, w2, . . . , wp, wp+k dla k " Zr-p sa liniowo
zależne. w tym celu pokażemy, że kombinacja liniowa
1w1 + 2w2 + 3w3 + + wp + wp+k, gdzie
ł ł ł ł-1p
ł ł
1 a11 . . . a1p -a1 p+1
ł. . .łł = ł. . . . . . . . .łł ł łł
. . . zeruje sie, mimo
r ap1 . . . app -ap p+1
niezerowego współczynnika przy wp+k.
Rzeczywiście dla dowolnego l " Zn-p mamy
ł ł
a11 . . . a1p a1 p+k
ł ł
. . . . . . . . . . . .
ł ł
0 = det =
ł
ap1 . . . app ap p+k łł
ap+l1 . . . ap+l p ap+l p+k
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Zmieniajac kolejność wektorów bazy i wektorów w1, w2, , wr możemy
ł ł
a11 . . . a1p
ł. łł
założyć, że det . . . . . . . . = 0.
ap1 . . . app
Pokażemy, że wektory w1, w2, . . . , wp, wp+k dla k " Zr-p sa liniowo
zależne. w tym celu pokażemy, że kombinacja liniowa
1w1 + 2w2 + 3w3 + + wp + wp+k, gdzie
ł ł ł ł-1p
ł ł
1 a11 . . . a1p -a1 p+1
ł. . .łł = ł. . . . . . . . .łł ł łł
. . . zeruje sie, mimo
r ap1 . . . app -ap p+1
niezerowego współczynnika przy wp+k.
Rzeczywiście dla dowolnego l " Zn-p mamy
ł ł
a11 . . . a1p a1 p+k
ł ł
. . . . . . . . . . . .
ł ł
0 = det =
ł
ap1 . . . app ap p+k łł
ap+l1 . . . ap+l p ap+l p+k
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Zmieniajac kolejność wektorów bazy i wektorów w1, w2, , wr możemy
ł ł
a11 . . . a1p
ł. łł
założyć, że det . . . . . . . . = 0.
ap1 . . . app
Pokażemy, że wektory w1, w2, . . . , wp, wp+k dla k " Zr-p sa liniowo
zależne. w tym celu pokażemy, że kombinacja liniowa
1w1 + 2w2 + 3w3 + + wp + wp+k, gdzie
ł ł ł ł-1p
ł ł
1 a11 . . . a1p -a1 p+1
ł. . .łł = ł. . . . . . . . .łł ł łł
. . . zeruje sie, mimo
r ap1 . . . app -ap p+1
niezerowego współczynnika przy wp+k.
Rzeczywiście dla dowolnego l " Zn-p mamy
ł ł
a11 . . . a1p a1 p+k
ł ł
. . . . . . . . . . . .
ł ł
0 = det =
ł
ap1 . . . app ap p+k łł
ap+l1 . . . ap+l p ap+l p+k
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
ł ł
a11 . . . a1p 0
ł ł
. . . . . . . . . . . .
ł ł
det =
ł łł
ap1 . . . app 0
ap+l1 . . . ap+l p Łp jap+lj + ap+l p+k
j=1
ł ł
a11 . . . a1p
ł.
det . . . . . . . .łł Łp jap+l j + ap+l p+k .
j=1
ap1 . . . app
Zatem Łp jap+l j + ap+l p+k = 0 co oznacza, że dla l " Zn-p p + l-ta
j=1
współrzedna kombinacji 1w1 + 2w2 + 3w3 + + pwp + wp+k jest
równa 0.
Z wyboru j dla j " Zp jasne jest, że dla l " Zp l-ta współrzedna
kombinacji 1w1 + 2w2 + 3w3 + + pwp + wp+k jest równa 0.
Stad wektory w1, w2, . . . , wr sa liniowo zależne.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
ł ł
a11 . . . a1p 0
ł ł
. . . . . . . . . . . .
ł ł
det =
ł łł
ap1 . . . app 0
ap+l1 . . . ap+l p Łp jap+lj + ap+l p+k
j=1
ł ł
a11 . . . a1p
ł.
det . . . . . . . .łł Łp jap+l j + ap+l p+k .
j=1
ap1 . . . app
Zatem Łp jap+l j + ap+l p+k = 0 co oznacza, że dla l " Zn-p p + l-ta
j=1
współrzedna kombinacji 1w1 + 2w2 + 3w3 + + pwp + wp+k jest
równa 0.
Z wyboru j dla j " Zp jasne jest, że dla l " Zp l-ta współrzedna
kombinacji 1w1 + 2w2 + 3w3 + + pwp + wp+k jest równa 0.
Stad wektory w1, w2, . . . , wr sa liniowo zależne.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
ł ł
a11 . . . a1p 0
ł ł
. . . . . . . . . . . .
ł ł
det =
ł łł
ap1 . . . app 0
ap+l1 . . . ap+l p Łp jap+lj + ap+l p+k
j=1
ł ł
a11 . . . a1p
ł.
det . . . . . . . .łł Łp jap+l j + ap+l p+k .
j=1
ap1 . . . app
Zatem Łp jap+l j + ap+l p+k = 0 co oznacza, że dla l " Zn-p p + l-ta
j=1
współrzedna kombinacji 1w1 + 2w2 + 3w3 + + pwp + wp+k jest
równa 0.
Z wyboru j dla j " Zp jasne jest, że dla l " Zp l-ta współrzedna
kombinacji 1w1 + 2w2 + 3w3 + + pwp + wp+k jest równa 0.
Stad wektory w1, w2, . . . , wr sa liniowo zależne.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
ł ł
a11 . . . a1p 0
ł ł
. . . . . . . . . . . .
ł ł
det =
ł łł
ap1 . . . app 0
ap+l1 . . . ap+l p Łp jap+lj + ap+l p+k
j=1
ł ł
a11 . . . a1p
ł.
det . . . . . . . .łł Łp jap+l j + ap+l p+k .
j=1
ap1 . . . app
Zatem Łp jap+l j + ap+l p+k = 0 co oznacza, że dla l " Zn-p p + l-ta
j=1
współrzedna kombinacji 1w1 + 2w2 + 3w3 + + pwp + wp+k jest
równa 0.
Z wyboru j dla j " Zp jasne jest, że dla l " Zp l-ta współrzedna
kombinacji 1w1 + 2w2 + 3w3 + + pwp + wp+k jest równa 0.
Stad wektory w1, w2, . . . , wr sa liniowo zależne.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
UWAGA 264
Rzad macierzy odwzorowania liniowego jest równy wymiarowi obrazu tego
odwzorowania zatem nie zależy od wyboru baz.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
UWAGA 264
Rzad macierzy odwzorowania liniowego jest równy wymiarowi obrazu tego
odwzorowania zatem nie zależy od wyboru baz.
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 265
Macierza układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
nazywamy macierz
A = {ai j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,n},
a macierza uzupełniona tego układu nazywamy macierz
ł ł
a11 a12 . . . a1n b1
ł łł
( ) . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn bm
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 265
Macierza układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
nazywamy macierz
A = {ai j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,n},
a macierza uzupełniona tego układu nazywamy macierz
ł ł
a11 a12 . . . a1n b1
ł łł
( ) . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn bm
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 265
Macierza układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
nazywamy macierz
A = {ai j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,n},
a macierza uzupełniona tego układu nazywamy macierz
ł ł
a11 a12 . . . a1n b1
ł łł
( ) . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn bm
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 265
Macierza układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
nazywamy macierz
A = {ai j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,n},
a macierza uzupełniona tego układu nazywamy macierz
ł ł
a11 a12 . . . a1n b1
ł łł
( ) . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn bm
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań ( ) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ ( ) równoważny równaniu macierzowemu
ł łjest ł ł ł ł ł ł
a11 a12 a1n b1
ł ł ł ł ł ł ł ł
a21 a22 a2n b2
ł ł
x1 ł ł + x2 ł ł + + xn ł ł =
ł łł ł łł ł łł ł. . .łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn bm
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań ( ) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ ( ) równoważny równaniu macierzowemu
ł łjest ł ł ł ł ł ł
a11 a12 a1n b1
ł ł ł ł ł ł ł ł
a21 a22 a2n b2
ł ł
x1 ł ł + x2 ł ł + + xn ł ł =
ł łł ł łł ł łł ł. . .łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn bm
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań ( ) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ ( ) równoważny równaniu macierzowemu
ł łjest ł ł ł ł ł ł
a11 a12 a1n b1
ł ł ł ł ł ł ł ł
a21 a22 a2n b2
ł ł
x1 ł ł + x2 ł ł + + xn ł ł =
ł łł ł łł ł łł ł. . .łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn bm
UKAADY RÓWNAC
powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
ł ł
b1
ł ł
b2
ł ł
ł. . .łł jest kombinacja liniowa wektorów
łbm ł ł ł ł ł
a11 a12 a1n
ł ł ł ł ł ł
a21 a22 a2n
ł ł ł ł ł ł
, , . . .
ł łł ł łł ł łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKAADY RÓWNAC
powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
ł ł
b1
ł ł
b2
ł ł
ł. . .łł jest kombinacja liniowa wektorów
łbm ł ł ł ł ł
a11 a12 a1n
ł ł ł ł ł ł
a21 a22 a2n
ł ł ł ł ł ł
, , . . .
ł łł ł łł ł łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKAADY RÓWNAC
powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
ł ł
b1
ł ł
b2
ł ł
ł. . .łł jest kombinacja liniowa wektorów
łbm ł ł ł ł ł
a11 a12 a1n
ł ł ł ł ł ł
a21 a22 a2n
ł ł ł ł ł ł
, , . . .
ł łł ł łł ł łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKAADY RÓWNAC
powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
ł ł
b1
ł ł
b2
ł ł
ł. . .łł jest kombinacja liniowa wektorów
łbm ł ł ł ł ł
a11 a12 a1n
ł ł ł ł ł ł
a21 a22 a2n
ł ł ł ł ł ł
, , . . .
ł łł ł łł ł łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKAADY RÓWNAC
powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
ł ł
b1
ł ł
b2
ł ł
ł. . .łł jest kombinacja liniowa wektorów
łbm ł ł ł ł ł
a11 a12 a1n
ł ł ł ł ł ł
a21 a22 a2n
ł ł ł ł ł ł
, , . . .
ł łł ł łł ł łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
an 1x1 + an 2x2 + + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
ł ł
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
ł.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .łł
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
an 1x1 + an 2x2 + + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
ł ł
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
ł.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .łł
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
an 1x1 + an 2x2 + + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
ł ł
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
ł.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .łł
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
an 1x1 + an 2x2 + + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
ł ł
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
ł.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .łł
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
an 1x1 + an 2x2 + + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
ł ł
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
ł.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .łł
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKAADY RÓWNAC
DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
ł ł ł ł
x1 b1
ł ł ł ł
x2 b2
ł ł ł ł
układu,X = , B =
ł. . .łł ł. . .łł
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A-1.
Mamy zatem
ł ł ł ł
b1 x1
n
ł ł ł ł
1 Wi
b2 x2
ł ł
A-1 ł ł = . Czyli xj = bl Ml j = .
ł. . .łł ł. . .łł
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKAADY RÓWNAC
DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
ł ł ł ł
x1 b1
ł ł ł ł
x2 b2
ł ł ł ł
układu,X = , B =
ł. . .łł ł. . .łł
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A-1.
Mamy zatem
ł ł ł ł
b1 x1
n
ł ł ł ł
1 Wi
b2 x2
ł ł
A-1 ł ł = . Czyli xj = bl Ml j = .
ł. . .łł ł. . .łł
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKAADY RÓWNAC
DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
ł ł ł ł
x1 b1
ł ł ł ł
x2 b2
ł ł ł ł
układu,X = , B =
ł. . .łł ł. . .łł
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A-1.
Mamy zatem
ł ł ł ł
b1 x1
n
ł ł ł ł
1 Wi
b2 x2
ł ł
A-1 ł ł = . Czyli xj = bl Ml j = .
ł. . .łł ł. . .łł
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKAADY RÓWNAC
DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
ł ł ł ł
x1 b1
ł ł ł ł
x2 b2
ł ł ł ł
układu,X = , B =
ł. . .łł ł. . .łł
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A-1.
Mamy zatem
ł ł ł ł
b1 x1
n
ł ł ł ł
1 Wi
b2 x2
ł ł
A-1 ł ł = . Czyli xj = bl Ml j = .
ł. . .łł ł. . .łł
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKAADY RÓWNAC
DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
ł ł ł ł
x1 b1
ł ł ł ł
x2 b2
ł ł ł ł
układu,X = , B =
ł. . .łł ł. . .łł
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A-1.
Mamy zatem
ł ł ł ł
b1 x1
n
ł ł ł ł
1 Wi
b2 x2
ł ł
A-1 ł ł = . Czyli xj = bl Ml j = .
ł. . .łł ł. . .łł
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 269
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
(")
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
i niech r rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {ai jl}k, l"Zr = 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi
k
ńł
xj + ai xj + + ai jrxj = bi - ai lxl
łai1 j1 1 1 j2 2
1 r 1 l"{j1,j2,...jr} 1
/
ł
ł
ła xj + ai xj + + ai xj = bi -
ai lxl
i2 j1 1 2 j2 2 jr
2 r 2 l"{j1,j2,...jr} 2
/
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
ai j1xj + ai j2xj + + ai jr xj = bi - ai lxl
r 1 r 2 r r r l"{j1,j2,...jr} r
/
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 269
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
(")
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
i niech r rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {ai jl}k, l"Zr = 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi
k
ńł
xj + ai xj + + ai jrxj = bi - ai lxl
łai1 j1 1 1 j2 2
1 r 1 l"{j1,j2,...jr} 1
/
ł
ł
ła xj + ai xj + + ai xj = bi -
ai lxl
i2 j1 1 2 j2 2 jr
2 r 2 l"{j1,j2,...jr} 2
/
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
ai j1xj + ai j2xj + + ai jr xj = bi - ai lxl
r 1 r 2 r r r l"{j1,j2,...jr} r
/
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 269
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
(")
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
i niech r rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {ai jl}k, l"Zr = 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi
k
ńł
xj + ai xj + + ai jrxj = bi - ai lxl
łai1 j1 1 1 j2 2
1 r 1 l"{j1,j2,...jr} 1
/
ł
ł
ła xj + ai xj + + ai xj = bi -
ai lxl
i2 j1 1 2 j2 2 jr
2 r 2 l"{j1,j2,...jr} 2
/
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
ai j1xj + ai j2xj + + ai jr xj = bi - ai lxl
r 1 r 2 r r r l"{j1,j2,...jr} r
/
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 269
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
(")
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
i niech r rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {ai jl}k, l"Zr = 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi
k
ńł
xj + ai xj + + ai jrxj = bi - ai lxl
łai1 j1 1 1 j2 2
1 r 1 l"{j1,j2,...jr} 1
/
ł
ł
ła xj + ai xj + + ai xj = bi -
ai lxl
i2 j1 1 2 j2 2 jr
2 r 2 l"{j1,j2,...jr} 2
/
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
ai j1xj + ai j2xj + + ai jr xj = bi - ai lxl
r 1 r 2 r r r l"{j1,j2,...jr} r
/
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 270
Macierz A = {ai j}i"Z j"Zm nazywamy schodkową wtedy i tylko wtedy,
n
gdy dla i " Zn-1 i k " Zm-1 zachodzi implikacja
ai j = 0 dla j " Zk ! ai+1 j = 0 dla j " Zk+1
TWIERDZENIE 271
Każdy układ równań
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
jest równoważny układowi, którego macierz jest macierza schodkową.
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 270
Macierz A = {ai j}i"Z j"Zm nazywamy schodkową wtedy i tylko wtedy,
n
gdy dla i " Zn-1 i k " Zm-1 zachodzi implikacja
ai j = 0 dla j " Zk ! ai+1 j = 0 dla j " Zk+1
TWIERDZENIE 271
Każdy układ równań
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
jest równoważny układowi, którego macierz jest macierza schodkową.
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 270
Macierz A = {ai j}i"Z j"Zm nazywamy schodkową wtedy i tylko wtedy,
n
gdy dla i " Zn-1 i k " Zm-1 zachodzi implikacja
ai j = 0 dla j " Zk ! ai+1 j = 0 dla j " Zk+1
TWIERDZENIE 271
Każdy układ równań
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
jest równoważny układowi, którego macierz jest macierza schodkową.
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
DEFINICJA 272
Niech V bedzie p.w. a : V - V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli
istnieje skalar i niezerowy wektor v " V takie, że v = v to skalar
nazywamy wartościa własna odwzorowania , a niezerowy wektor v
nazywamy waktorem własnym odwzorowania odpowiadajacym wartości
własnej .
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
DEFINICJA 272
Niech V bedzie p.w. a : V - V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli
istnieje skalar i niezerowy wektor v " V takie, że v = v to skalar
nazywamy wartościa własna odwzorowania , a niezerowy wektor v
nazywamy waktorem własnym odwzorowania odpowiadajacym wartości
własnej .
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
DEFINICJA 272
Niech V bedzie p.w. a : V - V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli
istnieje skalar i niezerowy wektor v " V takie, że v = v to skalar
nazywamy wartościa własna odwzorowania , a niezerowy wektor v
nazywamy waktorem własnym odwzorowania odpowiadajacym wartości
własnej .
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
DEFINICJA 272
Niech V bedzie p.w. a : V - V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli
istnieje skalar i niezerowy wektor v " V takie, że v = v to skalar
nazywamy wartościa własna odwzorowania , a niezerowy wektor v
nazywamy waktorem własnym odwzorowania odpowiadajacym wartości
własnej .
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
TWIERDZENIE 273
Niech V bedzie p.w. o bazie v = (v1, v2, . . . , vn) a A : V - V
odwzorowaniem liniowym o macierzy MA = {ai j}i j"Zn w bazie v.
Skalar jest wartościa własna odwzorowania A wtw, gdy
det(MA - I) = 0.
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
TWIERDZENIE 273
Niech V bedzie p.w. o bazie v = (v1, v2, . . . , vn) a A : V - V
odwzorowaniem liniowym o macierzy MA = {ai j}i j"Zn w bazie v.
Skalar jest wartościa własna odwzorowania A wtw, gdy
det(MA - I) = 0.
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
TWIERDZENIE 274
Niech A : V - V bedzie odwzorowaniem liniowym, a skalary
1, 2, . . . , r beda wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadajacymi im odpowiednio wektorami własnymi
v1, v2, . . . , vr.Jeżeli "i, j " Zk i = j implikuje i = j to wektory
v1, v2, . . . , vr sa liniowo niezależne.
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
TWIERDZENIE 274
Niech A : V - V bedzie odwzorowaniem liniowym, a skalary
1, 2, . . . , r beda wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadajacymi im odpowiednio wektorami własnymi
v1, v2, . . . , vr.Jeżeli "i, j " Zk i = j implikuje i = j to wektory
v1, v2, . . . , vr sa liniowo niezależne.
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
TWIERDZENIE 275
Niech dim V = n i niech A : V - V bedzie odwzorowaniem liniowym,
a skalary 1, 2, . . . , n beda wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadajacymi im odpowiednio wektorami własnymi v1, v2, . . . , vn.
Jeżeli "i, j " Zk i = j implikuje i = j to wektory v1, v2, . . . , vn
stanowia baze p.w. V i macierz odwzorowania A w bazie wektorów
własnych (v1, v2, . . . , vn) ma postać
ł ł
1 0 0 . . . 0
ł ł
0 2 0 . . . 0
ł ł
ł. . . . . . . . . . . . . . .łł
0 0 0 . . . n
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
TWIERDZENIE 275
Niech dim V = n i niech A : V - V bedzie odwzorowaniem liniowym,
a skalary 1, 2, . . . , n beda wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadajacymi im odpowiednio wektorami własnymi v1, v2, . . . , vn.
Jeżeli "i, j " Zk i = j implikuje i = j to wektory v1, v2, . . . , vn
stanowia baze p.w. V i macierz odwzorowania A w bazie wektorów
własnych (v1, v2, . . . , vn) ma postać
ł ł
1 0 0 . . . 0
ł ł
0 2 0 . . . 0
ł ł
ł. . . . . . . . . . . . . . .łł
0 0 0 . . . n
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
TWIERDZENIE 275
Niech dim V = n i niech A : V - V bedzie odwzorowaniem liniowym,
a skalary 1, 2, . . . , n beda wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadajacymi im odpowiednio wektorami własnymi v1, v2, . . . , vn.
Jeżeli "i, j " Zk i = j implikuje i = j to wektory v1, v2, . . . , vn
stanowia baze p.w. V i macierz odwzorowania A w bazie wektorów
własnych (v1, v2, . . . , vn) ma postać
ł ł
1 0 0 . . . 0
ł ł
0 2 0 . . . 0
ł ł
ł. . . . . . . . . . . . . . .łł
0 0 0 . . . n
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2011 02 21 WIL Wyklad 182011 02 21 WIL Wyklad 19id 5232011 02 21 WIL Wyklad 20(1)2011 02 21 WIL Wyklad 19(1)2011 04 04 WIL Wyklad 262011 03 08 WIL Wyklad 242011 01 09 WIL Wyklad 17(1)KUNDUN EVENT LOG 2011 02 212011 03 24 WIL Wyklad 25id 5262011 01 09 WIL Wyklad 17id 5212011 01 09 WIL Wyklad 15 (1)2011 01 09 WIL Wyklad 162013 02 22 WIL Wyklad 1Materiały do wykładu 7 (18 11 2011)2010 11 WIL Wyklad 02Analiza Finansowa Wykład 02 21 10 09więcej podobnych podstron