ZADANIA z MPiS
ZAD. 1
Wektor losowy (X ,Y) ma rozkład:
P(X =� 1,Y =� 2) =� 0,1;
P(X =� 1,Y =� 4) =� 0,1; P(X =� 2,Y =� 2) =� 0,2;
P(X =� 2,Y =� 4) =� 0,1;
P(X =� 3,Y =� 2) =� 0,3;
P(X =� 3,Y =� 4) =� 0,2 .
Wyznaczyć:
1. rozkład zmiennej X;
2. dystrybuantę zmiennej losowej X i jej wykres;
3. wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X;
4. P(1 <� X Ł� 4);
5. rozkład warunkowy zmiennej X pod warunkiem, że Y =� 2
6. współczynnik korelacji r�(X ,Y);
7. EZ i D2Z, gdzie Z =� -�4Y -�3;
8. Zbadać niezależność zmiennych X i Y.
ZAD. 2
Dana jest funkcja:
a(x +� y +� 2) dla 0 <� x <� 2 Ł�1 <� y <� 2
��
f (x, y) =�
��0
h (x,
dla pozostałyc y)
��
Wyznaczyć:
1. stałą a tak, aby f była funkcją gęstości wektora losowego (X ,Y) ;
2. gęstość zmiennej losowej X i jej wykres;
3. dystrybuantę zmiennej losowej X i jej wykres;
4. wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X;
5. Zbadać niezależność zmiennych X i Y.
ZAD. 3
Zmienna losowa X ma rozkład N(3,7). Wyznaczyć rozkład zmiennej Y =� g(X ), gdzie
1 dla 0 <� x <� 2
��
��2 dla 2 Ł� x <� 3
��
g(x) =�
��5 dla 3 Ł� x <� 5 .
��
��7 dla x ł� 5
��
ZAD. 4
Wadliwość produkowanych mikrokomputerów wynosi 0,5%. Pobrano losowo partię 400
mikrokomputerów. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę wadliwych komputerów spośród
400 wylosowanych. Obliczyć prawdopodobieństwo, że liczba wadliwych mikrokomputerów
jest większa niż 2.
ZAD. 5
Czas oczekiwania na wizytę u lekarza specjalisty 100 losowo wybranych pacjentów jednej
z przychodni szczecińskich ma następujący rozkład:
czas oczekiwania liczba
(w min) pacjentów
10-20 20
20-30 30
30-40 36
40-50 8
50-60 6
ogółem 100
Przy założeniu, że rozkład czasu oczekiwania jest normalny:
a) Zbudować przedział ufności dla średniego czasu oczekiwania na wizytę u lekarza
specjalisty z prawdopodobieństwem 0,99.
b) Zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego czasu oczekiwania na
wizytę u lekarza specjalisty z prawdopodobieństwem 0,98.
c) Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że średni czas oczekiwania na
wizytę studentów specjalisty jest różny od 35 min.
d) Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że odchylenie standardowe
czasu oczekiwania na wizytę u specjalisty jest większe niż 10 min.
ZAD. 6
Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości:
x +�1 dla -1<� x Ł� 0
��
��
f (x) =� +�1 dla 0 <� x Ł� 1
��-�x
��0 dla pozostałych
��
Wyznaczyć
a) dystrybuantę,
b) wartość oczekiwaną,
c) wariancję,
d) P(-�0,5 <� X <� 1,5) .