13[2] wstep do teorii plastycznosci

background image

13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

1

13.



13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

13.1. TEORIA PLASTYCZNOŚCI

Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania

obciążeń powstają trwałe odkształcenia - DEFORMACJE.

CECHA PLASTYCZNOŚCI – trwałe deformacje po usunięciu przyczyn. Przykładem może być

rozciąganie próbki w jednoosiowym stanie naprężeń.

13.2. MODELE CIAŁA SPRĘŻYSTO PLASTYCZNEGO

CIAŁO SPRĘŻYSTO – PLASTYCZNE to ciało, dla którego zależność odkształceń od naprężeń jest

zgodna z jednym z poniższych wykresów.

a) model ciała sprężysto - plastycznego ze wzmocnieniem liniowym (Rys. 13.1.)

i nieliniowym (Rys. 13.2.)

Rys. 13.1. Model ciała sprężysto - plastycznego ze wzmocnieniem liniowym

Rys. 13.2. Model ciała sprężysto - plastycznego ze wzmocnieniem liniowym

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

E

E

background image

13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

2

b) model ciała sprężysto – idealnie – plastycznego (Rys. 13.3.)

Rys. 13.3. Model ciała sprężysto – idealnie – plastycznego

c) model ciała sztywno - plastycznego ze wzmocnieniem (Rys. 13.4.)

Rys. 13.4. Model ciała sztywno - plastycznego ze wzmocnieniem

d) model ciała sztywno – idealnie – plastycznego (Rys. 13.5.)

Rys. 13.5. Model ciała sztywno – idealnie – plastycznego

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

E

E

E

background image

13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

3

13.3. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

13.3.1. HIPOTEZA HMH (HUBERA – MISESA – HENCKY'EGO)

Huber

zaobserwował, że nie jest możliwe przejście w stan plastyczny ciał z odkształceniami
objętościowymi.

musi nastąpić zmiana postaciowa a nie objętościowa, co świadczy o tym, że decyduje
energia typu postaciowego

“Materiał przechodzi w stan plastyczny wtedy gdy energia odkształcenia postaciowego osiąga

wartość krytyczną właściwą danemu materiałowi lecz niezależną od rodzaju stanu naprężeń”

=

1

6 G

⋅

0

(13.1)

s

o -

intensywność dewiatora naprężeń

G – moduł Kirchoff'a

s

i

=

3
2

s

jk

s

jk

s

i

=

0

(13.2)

s

jk

– elementy dewiatora naprężeń

Wzór na naprężenia zredukowane w punkcie:

0

=

1

2



11

−

22

2



22

−

33

2



33

−

11

2

6 

12

2



23

2



31

2

(13.3)

Naprężenia w punkcie w głównym stanie naprężeń:

0

=

1

2



I

−

II

2



II

−

III

2



III

−

I

2

(13.4)

Naprężenia w punkcie w jednoosiowym stanie naprężeń:

0

=

1

2

2

I

2

=

I

(13.5)

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

background image

13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

4

Wartość tensora, dla którego energia sprężysta osiągnie taką wartość, dla której ciało przejdzie w

stan plastyczny można przedstawić wykorzystując stan naprężenia.

Rys. 13.6. Walec

Rys. 13.7. Płaski stan naprężeń

Naprężenie w głównym stanie naprężeń, gdzie występują tylko trzy zmienne można przedstawić w

trójosiowej przestrzeni naprężeń głównych. Obrazem geometrycznym tego równania jest walec kołowy

(Rys. 13.6.) o promieniu

r

=

2

3

⋅

0

. Oś walca tworzy ten sam kąt z każdą osią układu współrzędnych

I

,

II

,

III

. Jest to tzw. oś aksjatorów.

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

I

III

II

max

s

2

s

1

background image

13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

5

3 cos

2

=1

arccos

3

3

=54,74

A

(13.6)

Walec jest geometrycznym obrazem naprężeń:

współrzędne punktów wypełniających wnętrze walca odpowiadają sprężystym stanom
naprężenia.

Uplastycznienie zachodzi dla każdego stanu naprężenia odpowiadającego punktom
leżącym na pobocznice walca.

13.3.2. HIPOTEZA TRESKI

Podstawą do sformułowania tego warunku była obserwacja linii Lüdersa, które powstają w

początkowej fazie uplastyczniania próbki rozciąganej. Ponieważ kąt nachylenia tych linii do osi próbki jest
bliski 45

°

i odpowiada płaszczyznom maksymalnych naprężeń stycznych co oznacza, że:

tam musi nastąpić zerwanie więzi w wyniku działania sił stycznych

tam będzie poślizg kryształów

„Materiał przechodzi w danym punkcie w stan plastyczny wówczas, gdy maksymalne naprężenie

styczne osiągnie pewną graniczną wartość, charakterystyczną dla tego materiału”

ekst

=

{

1

=

∣

2

−

3

2

2

=

∣

1

−

3

2

3

=

∣

1

−

2

2

(13.7)

Podobnie jak w przypadku teorii HMH także i tutaj można skorzystać z jednoosiowego stanu

naprężenia:

2

=

3

=0

1

0

ekst

=

0

2

(13.8)

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

background image

13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

6

W przypadku teorii Treski geometrycznym obrazem będzie graniastosłup foremny 0 podstawie

sześciokąta, który jest wpisany w walec Hubera. Opisują go zależności:

∣

2

−

3

∣∧

0

∣

1

−

3

∣∧

0

∣

1

−

2

∣∧

0

(13.9)

Graniastosłup jest geometrycznym obrazem naprężeń:

współrzędne punktów wypełniających wnętrze graniastosłupa odpowiadają sprężystym
stanom naprężenia

uplastycznienie zachodzi dla każdego stanu naprężenia odpowiadającego punktom
leżącym na pobocznicy graniastosłupa

13.4. SPRĘŻYSTO PLASTYCZNE ZGINANIE BELKI

Założenia:

belka jest swobodnie podparta

rozpatrujemy przypadek czystego zginania

model ciała: sprężysto – idealnie – plastyczny (Rys. 13.8.)

Przekrój belki: dowolny przekrój pryzmatyczny (Rys. 13.9.)

Rys. 13.8. Model ciała sprężysto idealnie plastyczny

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

0

0

background image

13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

7

Rys. 13.9. Przekrój pryzmatyczny

Warunki równowagi

1) Siła normalna

N

=

A

x

dA

=0

(13.10)

2) Moment zginający

M

=constans

M

=

A

x

y dA

(13.11)

Rys. 13.10. Rozkład naprężeń i odkształceń

Stan A (patrz Rys. 13.10.)

Naprężenia w dowolnym punkcie:

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

h

g

h

d

A

g

A

d

0

0

0

0

0

0

0

h

g

h

g

0

0

0

0

0

Stan A

Stan B

Stan C

Stan D

x

z

y

background image

13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

8

x

=

M

I

x

y

(13.12)

Naprężenia w skrajnym włóknie dolnym:

o

=

M

I

x

h

d

(13.13)

Odkształcenia

=⋅

0

E

(13.14)

Stan B (patrz Rys. 13.10.)

Naprężenia w strefie sprężystej:

x

=E⋅=E

1

y

(13.15)

Z 1) warunku równowagi:

h

g

h

g

x

dA

h

g

h

d

0

dA

=0

(13.16)

Po podstawieniu

s

x

, dA i wyciągnięciu przed całkę wielkości stałych otrzymamy:

E

1

h

g

h

g

y

bydy

0

h

g

h

d

b

ydy=0

(13.17)

E

S

s



0

A

p

=0

(13.18)

Gdzie:

S

s

– moment statyczny części przekroju w zakresie naprężeń sprężystych

A

p

– pole części przekroju w zakresie naprężeń plastycznych

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

background image

13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

9

Z 2) warunku równowagi:

h

g

h

g

x

y dA

h

g

h

d

0

ydA=M

(13.19)

Po podstawieniu

s

x

, dA i wyciągnięciu przed całkę wielkości stałych otrzymamy:

E

1

h

g

h

g

y

2

bydy

0

h

g

h

d

y

bydy=M

(13.20)

E

I

s



0

S

p

=M

(13.21)

Gdzie:

I

s

– moment bezwładności części przekroju w zakresie naprężeń sprężystych

S

p

– moment statyczny części przekroju w zakresie naprężeń plastycznych

Stan C (patrz Rys. 13.10.)

Stan ten jest podobny do stanu B, zwiększa się tylko zakres strefy plastycznej.

Analizując warunki równowagi otrzymamy takie same zależności:

E

S

s



0

A

p

=0

(13.22)

E

I

s



0

S

p

=M

(#.23)

Stan D (patrz Rys. 13.10.)

Z 1) warunku równowagi:

h

g

h

d

0

dA

=0

(13.24)

Po podstawieniu dA i wyciągnięciu przed całkę wielkości stałych otrzymamy:

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

background image

13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

10

0

h

g

h

d

b

ydy=0

(13.25)

0

A

p

=0

(13.26)

Z 2) warunku równowagi:

h

g

h

d

0

ydA=M

(13.27)

Po podstawieniu dA i wyciągnięciu przed całkę wielkości stałych otrzymamy:

0

h

g

h

d

y

bydy=M

(13.28)

0

S

p

=M

(13.29)

Środek ciężkości dzieli przekrój na dwie części o takiej samej wartości momentu statycznego. Pola

powierzchni tych dwóch części nie muszą być takie same (A

g

≠ A

d

)

, zatem warunek 1)

0

A

p

=0

nie

będzie spełniony.

Nastąpi przesunięcie osi ciężkości przekroju.
S

p

z drugiego warunku musi być policzone względem nowego położenia osi.

Wiemy, że

0

=

M
S

p

(13.30)

Oraz, że

max

=

M
W

(13.31)

Dla przekroju idealnie plastycznego (Rys. 13.10. - stan D)

0

=W

pl

(13.32)

Gdzie: W

pl

wskaźnik oporu plastycznego

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

background image

13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

11

Dla przekroju prostokątnego:

Rys. 13.11. Przekrój prostokątny

W

pl

=2 ⋅[bh0,5⋅

h
4

]=

b

h

2

4

Dla prętów o innych przekrojach geometrycznych W

pl

wynosi:

dla przekroju kołowego:

W

pl

=

4 r

3

3

(13.33)

dla przekroju w kształcie rombu:

Rys. 13.12. Przekrój w kształcie rombu

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

a

b

h
2

background image

13. WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

12

W

pl

=

a

3

3

2

(13.34)

dla przekroju teowego:

Rys. 13.13. Przekrój teowy

Pomijamy środnik, co daje nam w rezultacie

W

pl

=tbh

(13.35)

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

b

t

h


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wstęp do teorii tłumaczeń 31.05.2010, moczulski
Wstęp do teorii kultury, wykład
Opracowanie 1, nauka - szkola, hasło integracja, rok I, WSTĘP DO TEORII POLITYKI
WSTĘP DO TEORII PAŃSTWA I PRAWA
Wstep do teorii polityki - Chazbijewicz(2)(1), europeistyka
Wstęp do teorii komunikacji cz.1, Wstęp do teorii komunikacji
28.10.11, Wstęp do teorii komunikacji
28.10.11, Wstęp do teorii komunikacji
2009 10 13 Wstep do SI [w 01]id Nieznany
2009-10-13 Wstęp do SI [w 01], Sztuczna inteligencja
4.11.11, Wstęp do teorii komunikacji
02[2]Wstep do teorii sprezystosci
Wstęp do teorii polityki wykłady
Wstęp do teorii tłumaczeń 22.03.2010, moczulski
Wstęp do teorii tłumaczeń 12.04.2010, moczulski
Wstęp do teorii tłumaczeń 19.01.2010, moczulski

więcej podobnych podstron