Wykład czternasty

Wyznaczanie CO równania niejednorodnego

Równanie liniowe jednorodne rzędu n o stałych współczynnikach ma postać:

y

(n)

+ p

n−1

y

(n−1)

+ . . . + p

1

y

0

+ p

0

y = 0.

(1)

gdzie p

0

, p

1

, . . . , p

n−1

∈ R.

Poszukujemy rozwiązań równania (1) w postaci funkcji wykładniczej e

rx

, gdzie r jest liczbą

zespoloną. Wstawiając tę funkcję i jej kolejne pochodne do równania (1) otrzymujemy równanie
algebraiczne, zwane równaniem charakterystycznym,

r

n

+ p

n−1

r

n−1

+ . . . + p

1

r + p

0

= 0.

(2)

Dla znalezienia CORN stosujemy metodę przewidywań lub metodę uzmienniania stałych (me-
toda uniwersalna). Wykorzystujemy przy tym twierdzenie:

Twierdzenie. CORN=CORJ+CSRN

Metoda przewidywań

Metodę przewidywań stosujemy, gdy dla wszystkich k = 0, 1, . . . , n−1 funkcje p

k

(x) ≡ p

k

, p

k

∈ R

zaś funkcja f jest postaci f (x) = e

αx

(W

1

(x) · cos βx + W

2

(x) · sin βx), gdzie W

i

(x) , i = 1, 2 są

wielomianami zmiennej x. CSRN przewidujemy w postaci: x

k

· e

αx

(V

1

(x) · cos βx + V

2

(x) · sin βx),

przy czym V

i

(x) , i = 1, 2 są wielomianami zmiennej x i st(V

1

) = st(V

2

) = max( st(W

1

),st(W

2

))

zaś liczba całkowita k ­ 0 jest równa krotności pierwiastka α + jβ w równaniu charakterystycz-
nym (2).

Przykłady.

1. Znaleźć całkę ogólną równania

y

0

− 4y = −32x

2

CORJ jest: y = C · e

4x

. Ponieważ f (x) = 32x

2

, więc CSRN przewidujemy w postaci

y

1

= Ax

2

+ Bx + C.

Wstawiając y

1

i y

0

1

do równania niejednorodnego i przyrównując współczynniki otrzymu-

jemy: A = 8, B = 4, C = 1. Zatem CORN jest równa

y = Ce

4x

+ 8x

2

+ 4x + 1 , C ∈ R

2. Znaleźć całkę ogólną równania

y

0

+ 2y = 9xe

x

CORJ jest tu y = Ce

−2x

. CSRN przewidujemy w postaci y

1

= (Ax + B)e

x

.

Otrzymujemy A = 3, B = −1.

y = Ce

−2x

+ (3x − 1)e

x

, C ∈ R

przedstawia CORN.

1

3. Znaleźć całkę ogólną równania y

00

+ 3y

0

+ 2y = 5 cos x.

Równanie charakterystyczne r

2

+ 3r + 2 = 0 ma pierwiastki r

1

= −1, r

2

= −2. CORJ ma

postać y = C

1

e

−x

+ C

2

e

−2x

, C

1

, C

2

∈ R. CSRN przewidujemy w postaci: y = A cos x +

B sin x. Różniczkując dwa razy i wstawiając do równania otrzymujemy: A =

1

2

, B =

3

2

.

CORN jest określona wzorem

y = C

1

e

−x

+ C

2

e

−2x

+

1

2

cos x +

3

2

sin x , C

1

, C

2

∈ R .

4. Wyznaczyć CORN y

00

+ 3y

0

+ 2y = e

−x

.

Ponieważ α = −1 jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, więc CSRN przewi-
dujemy w postaci: y = xAe

−x

. Po obliczeniach otrzymujemy: A = 1. CORN określa wzór

y = C

1

e

−x

+ C

2

e

−2x

+ xe

−x

, C

1

, C

2

∈ R .

5. Znaleźć całkę ogólną równania y

00

+ y = 4x cos x.

Równanie charakterystyczne r

2

+ 1 = 0 ma dwa pierwiastki: r

1

= j, r

2

= −j, a zatem

y = C

1

sin x + C

2

cos x jest CORJ. CSRN przewidujemy w postaci

y

1

= x (A

1

x + B

1

) sin x + x (A

2

x + B

2

) cos x

Po obliczeniu i wstawieniu y

00

1

, y

0

1

, y

1

do równania niejednorodnego otrzymujemy

2A

1

sin x + 2(2A

1

x + B

1

) cos x + 2A

2

cos x − 2(2A

2

x + B

2

) sin x ≡ 4x cos x

Ta równość jest spełniona dla każdego x, gdy A

1

= 1, A

2

= 0, B

1

= 0, B

2

= 1 Zatem:

y

1

= x

2

sin x + x cos x i CORN ma postać

y = C

1

sin x + C

2

cos x + x

2

sin x + x cos x , C

1

, C

2

∈ R .

6. Wyznaczyć CORN y

00

+ y

0

= 2e

x

+ x

2

.

Równanie charakterystyczne r

2

+ r = 0 ma pierwiastki: r

1

= 0, r

2

= −1. CORJ jest równa

y = C

1

·1+C

2

e

−x

, C

1

, C

2

∈ R. CSRN przewidujemy w postaci: y

1

= Ae

x

+x(Bx

2

+Cx+D).

Po obliczeniach otrzymujemy: A = 1, B =

1

3

, C = −1, D = 2. CORN dana jest wzorem

y = C

1

+ C

2

e

−x

+ e

x

+

1

3

x

3

− x

2

+ 2x , C

1

, C

2

∈ R

2

Metoda uzmienniania stałej dla n = 1

Metoda uzmienniania stałej polega na tym, że we wzorze na całkę ogólną równania jednorod-

nego, y(x) = C · exp(−

Z

p(x)dx) , C ∈ R zastępujemy stałą C - nieznaną funkcją C(x) ,

którą dobieramy w ten sposób, aby funkcje postaci C(x) · exp(−

Z

p(x)dx) spełniały równanie

niejednorodne. Zakładając, że taka funkcja C(x) istnieje, otrzymujemy wówczas

C(x) =

Z



f (x) · exp(

Z

p(x)dx)



dx + C

1

, gdzie C

1

∈ R

Wzór

y(x) = C

1

· exp(−

Z

p(x)dx) + exp(−

Z

p(x)dx) ·

Z



f (x) · exp(

Z

p(x)dx)



dx

przedstawia CORN y

0

+ p(x) · y = f (x), przy czym wszystkie całki występujące w tym wzorze

rozumiane są jako dowolne, lecz ustalone funkcje pierwotne.

Metoda uzmienniania stałych dla n ­ 2

Metoda ta polega na zastąpieniu stałych C

1

, C

2

, . . . , C

n

we wzorze na CORJ funkcjami C

1

(x) ,

C

2

(x) , . . . , C

n

(x), których pochodne wyznaczamy z układu równań algebraicznych























C

0

1

(x)y

1

(x)

+

C

0

2

(x)y

2

(x)

+ . . . +

C

0

n

(x)y

n

(x)

= 0

C

0

1

(x)y

0

1

(x)

+

C

0

2

(x)y

0

2

(x)

+ . . . +

C

0

n

(x)y

0

n

(x)

= 0

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . .

. . . . . . . . .

. . .

C

0

1

(x)y

(n−1)

1

(x) + C

0

2

(x)y

(n−1)

2

(x)

+ . . . + C

0

n

(x)y

(n−1)

n

(x) = f (x)

gdzie funkcje y

1

, y

2

, . . . , y

n

stanowią układ podstawowy całek równania równania jednorodnego.

Dla n = 2 ten układ równań ma postać

(

C

0

1

(x)y

1

(x) + C

0

2

(x)y

2

(x) = 0

C

0

1

(x)y

0

1

(x) + C

0

2

(x)y

0

2

(x) = f (x)

skąd obliczamy

C

1

(x) =

Z







0

y

2

(x)

f (x) y

0

2

(x)







W (x)

dx + A , C

2

(x) =

Z







y

1

(x)

0

y

0

1

(x) f (x)







W (x)

dx + B , A, B ∈ R

gdzie W (x) oznacza wrońskian. Wzór

y = Ay

1

(x) + By

2

(x) + y

1

(x) ·

Z







0

y

2

(x)

f (x) y

0

2

(x)







W (x)

dx + y

2

(x) ·

Z







y

1

(x)

0

y

0

1

(x) f (x)







W (x)

dx

określa CORN.

Przykłady.

3

1. Znaleźć całkę ogólną równania

dy

dx

− ctg x · y = sin

3

x

Rozwiązanie. CORJ

y = C sin x , C ∈ R

Dla znalezienia CORN stosujemy metodę uzmiennienia stałej.
Przyjmujemy y = C(x) sin x. Wówczas y

0

= C

0

(x) sin x + C(x) cos x. Wstawiając y oraz y

0

do RN otrzymujemy

C

0

(x) = sin

2

x

, a następnie C(x) =

1

2

x −

1

4

sin 2x + C

1

Stąd CORN: y(x) = C

1

sin x +

1

2

x sin x −

1

2

sin

2

x cos x.

2. Znaleźć CORN: y

00

− 3y

0

+ 2y = sin (e

−x

).

Rozwiązanie. CORJ jest: y = C

1

e

x

+ C

2

e

2x

. CORN wyznaczamy metodą uzmienniania

stałych (metody przewidywań nie można tu zastosować!). Należy więc rozwiązać układ
równań

(

C

0

1

(x)e

x

+

C

0

2

(x)e

2x

= 0

C

0

1

(x)e

x

+ 2C

0

2

(x)e

2x

= sin (e

−x

)

z niewiadomymi funkcjami C

0

1

(x) i C

0

2

(x). Mamy

C

0

1

(x) =







0

e

2x

sin (e

−x

) 2e

2x













e

x

e

2x

e

x

2e

2x







= −e

−x

sin



e

−x



C

0

2

(x) =







e

x

0

e

x

sin (e

−x

)













e

x

e

2x

e

x

2e

2x







= e

−2x

sin



e

−x



,

skąd C

1

(x) = − cos (e

−x

) + A , C

2

(x) = e

−x

cos (e

−x

) − sin (e

−x

) + B, a zatem CORN jest

y = Ae

x

+ Be

2x

− e

2x

sin



e

−x



.

Dodatek

Wyznaczanie układu podstawowego całek dla równania liniowego o
stałych współczynnikach rzędu n ­ 2

1.

Równanie (2) ma n różnych pierwiastków rzeczywistych r

1

, r

2

, . . . , r

n

. Wówczas funkcje

y

1

(x) = e

r

1

x

, y

2

(x) = e

r

2

x

, . . . , y

n

(x) = e

r

n

x

tworzą układ podstawowy całek RJ.

4

2.

Równanie (2) ma n różnych pierwiastków r

1

, r

2

, . . . , r

n

, wśród których znajdują się pier-

wiastki zespolone. Niech np. r

1

= α + jβ , r

2

= α − jβ oraz r

3

, . . . , r

n

∈ R. Wówczas funkcje

y

1

(x) = e

αx

cos βx , y

2

(x) = e

αx

sin βx , y

3

(x) = e

r

3

x

, . . . , y

n

(x) = e

r

n

x

tworzą układ podstawowy całek RJ.

3.

Równanie (2) ma n pierwiastków rzeczywistych r

1

, r

2

, . . . , r

n

, wśród których znajdują się

pierwiastki wielokrotne. Niech np. r

1

= r

2

= . . . = r

k

= r oraz pozostałe r

k+1

, . . . , r

n

są różne

między sobą i różne od r.
Wówczas funkcje e

rx

, xe

rx

, x

2

e

rx

, . . . , x

k−1

e

rx

są rozwiązaniami równania (1). Funkcje

e

rx

, xe

rx

, x

2

e

rx

, . . . , x

k−1

e

rx

, e

r

k+1

x

, . . . , e

r

n

x

tworzą układ podstawowy całek RJ.

4.

Równanie (2) ma n pierwiastków r

1

, r

2

, . . . , r

n

, wśród których są pierwiastki zespolone wie-

lokrotne. Niech np. r

1

= r

2

= . . . = r

k

= α + jβ oraz r

k+1

= r

k+2

= . . . = r

2k

= α − jβ

zaś pozostałe pierwiastki r

2k+1

, . . . , r

n

są rzeczywiste i różne między sobą. Wówczas funkcje

e

αx

cos βx , xe

αx

cos βx , . . . , x

k−1

e

αx

cos βx , e

αx

sin βx , xe

αx

sin βx , . . . , x

k−1

e

αx

sin βx są są roz-

wiązaniami równania (1). Funkcje

e

αx

cos βx , xe

αx

cos βx , . . . , x

k−1

e

αx

cos βx , e

αx

sin βx , xe

αx

sin βx ,

. . . , x

k−1

e

αx

sin βx, e

r

2k+1

x

, . . . , e

r

n

x

tworzą układ podstawowy całek RJ.

5