Chemia I sem. M.Twardowska

Funkcje wymierne.

1

Funkcje wymierne - rozkład na ułamki proste.

1. Jeżeli x

1

6= x

2

, to wyrażenie postaci

ax + b

(x − x

1

)(x − x

2

)

można przedstawić w postaci sumy

A

x − x

1

+

B

x − x

2

, gdzie A i B są liczbami rzeczywistymi. Podobnie, w postaci sumy trzech takich składników można

przedstawić wyrażenie

ax

2

+ bx + c

(x − x

1

)(x − x

2

)(x − x

3

)

jeżeli x

1

, x

2

, x

3

są parami różne. Rozłożyć na sumę takich

ułamków wyrażenie:

a)

x + 1

x

2

+ 5x + 6

;

b)

6x

x

2

− 4

c)

x + 3

x

3

− x

d)

2x

2

+ 2x − 6

x

3

− 2x

2

− x + 2

2. Dla jakich liczb A, B, C funkcje f (x) i g(x) są sobie równe?

a) f (x) =

6

x

3

− 1

g(x) =

A

x − 1

+

Bx + C

x

2

+ x + 1

b) f (x) =

−2x

2

+ 3x + 2

x

3

+ x

2

g(x) =

A

x

+

B

x

2

+

C

x + 1

c) f (x) =

x

2

− 3x + 4

(x − 1)

3

g(x) =

A

x − 1

+

B

(x − 1)

2

+

C

(x − 1)

3

3. Rozłożyć na ułamki proste następujące funkcje wymierne

a) f (x) =

−4

x

5

− x

3

b) f (x) =

4x

(x + 1)(x

2

+ 1)

2

c) f (x) =

3x

3

+ 6

(x

2

+ 1)(x

2

+ 4)

d) f (x) =

12

(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)

e) f (x) =

x

2

x

4

− 1

f ) f (x) =

1

x

3

+ x

g) f (x) =

x

2

+ 1

x

3

(x + 1)

2

h) f (x) =

x

2

+ 2x

(x

2

+ 2x + 2)

2