Materiały

przygotowane

w

ramach

projektu

„Uruchomienie

unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią
na zapotrzebowanie rynku pracy” ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA – POKL.04.01.01-00-011/09-00

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Materiały pomocnicze dla studentów – do wykładów

Równania różniczkowe.

•

Równanie różniczkowe zwyczajne.

•

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.

•

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego.

Materiały pomocnicze dla studentów

Analiza matematyczna i algebra liniowa

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

2

Temat 5: Równania różniczkowe

Celem wykładu jest zaznajomienie studentów z podstawowymi pojęciami teorii

równań różniczkowych. Wykład dotyczy niektórych typów równań różniczkowych
zwyczajnych pierwszego rzędu.

1.

Równania różniczkowe zwyczajne – definicja i podstawowe pojęcia.

•

równanie różniczkowe zwyczajne

•

równanie o pochodnych cząstkowych

•

rząd równania różniczkowego

•

równanie różniczkowe rzędu pierwszego

•

rozwiązanie (całka) równania różniczkowego

•

rozwiązanie ogólne

•

rozwiązania (całki) szczególne

•

warunek początkowy

•

zagadnienie początkowe (zagadnienie Cauchy’ego)

Przykład.
Równanie różniczkowe

0

1

=

+

−

−

′

x

y

y

Twierdzenie.

Jeżeli funkcja f wraz z pochodną

'

y

f

jest ciągła w obszarze D, to przez każdy punkt tego

obszaru przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa.

Równaniem różniczkowym nazywamy równanie opisujące zależność między szukaną
funkcją i jej pochodnymi.

Materiały pomocnicze dla studentów

Analiza matematyczna i algebra liniowa

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

3

2.

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.

Przykład.
Wyznaczyć rozwiązanie równania

y

x

xy

y

′

−

=

′

2

2

2

spełniające warunek początkowy

( )

1

0

=

y

.

Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci

( ) ( )

y

g

x

h

y

=

′

,

gdzie

( )

R

→

b

a

h

,

:

,

( )

R

→

d

c

g

,

:

są danymi funkcjami ciągłymi.

Materiały pomocnicze dla studentów

Analiza matematyczna i algebra liniowa

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

4

3.

Równanie różniczkowe postaci

(

)

c

by

ax

h

y

+

+

=

′

.

Przykład.
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania

(

)

2

1

−

+

=

′

y

x

y

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Analiza matematyczna i algebra liniowa

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

5

4.

Równanie jednorodne względem x i y.

Przykład.
Rozwiązać zagadnienie początkowe

( )

0

1

,

2

=

+

=

′

y

x

y

x

y

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Analiza matematyczna i algebra liniowa

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

6

5.

Równanie liniowe.

Znane są dwie metody wyznaczania rozwiązania szczególnego równania

niejednorodnego:

•

metoda uzmienniania stałej

•

metoda przewidywania

Przykład.
Rozwiązać zagadnienie początkowe

( )

1

1

,

2

3

3

=

+

−

=

′

y

x

y

x

y

.

(n)

Przykład.
Wykorzystując metodę przewidywania rozwiązać równanie

x

e

y

y

3

2

+

=

′

.

Równaniem liniowym niejednorodnym (n) nazywamy równanie postaci

( )

( )

x

g

y

x

h

y

+

=

′

,

(n)

gdzie

( )

R

→

b

a

g

h

,

:

,

są zadanymi funkcjami ciągłymi,

( )

0

≠

x

g

przynajmniej dla jednego x

z przedziału

( )

b

a,

.

Wraz z równaniem (n) rozważane będzie skojarzone z nim równanie liniowe jednorodne
(j) postaci

( )

y

x

h

y

=

′

.

(j)