3RM FLDSRGVWDZRZH

I. Sumowanie

n

n

i

i

x

x

x

+

+

=

∑

=

...

1

1

VXPDZLHOXUy*Q\FKVNáDGQLNyZ

:áDVQRFL

1.

2

2

1

1

2

...

n

n

i

i

x

x

x

+

+

=

∑

=

suma kwadratów

2.

(

)

2

1

2

1

...

n

n

i

i

x

x

x

+

+

=













∑

=

kwadrat sumy

2

1

1

2













≠

∑

∑

=

=

n

i

i

n

i

i

x

x

poza przypadkiem, gdy

x

1

= … = x

n

= 1

3.

(

)

∑

∑

∑

=

=

=

+

=

+

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

y

x

y

x

1

1

1

sum

DUy*Q\FKVNáDGQLNyZ

4.

(

)

∑

∑

∑

=

=

=

−

=

−

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

y

x

y

x

1

1

1

Uy*QLFDUy*Q\FKVNáDGQLNyZ

5.

∑

∑

=

=

=

n

i

i

n

i

i

x

c

cx

1

1

PQR*HQLHVXP\SU]H]VWDá\F]\QQLNF

6.

nc

c

n

i

=

∑

=

1

sumowanie sta

áHJRF]\QQLND c

7.

∑

∑

∑ ∑

=

=

=

=

=

m

i

i

i

n

i

n

i

m

i

i

i

y

x

y

x

1

1

1

1

PQR*HQLHSRW\FKVDP\FKZVND(QLNDFK

8.

∑

∑

∑ ∑

=

=

=

=

=

m

j

j

i

n

i

n

i

m

j

j

i

y

x

y

x

1

1

1

1

PQR*HQLHSRUy*Q\FKZVND(QLNDFK

9.

∑

∑

∑ ∑

=

=

=

=

=

n

i

i

m

j

j

n

i

m

j

j

i

x

y

y

x

1

1

1

1

]PLDQDNROHMQRFLVXPRZDQLD

10.

∑

∑

=

=

=

n

j

j

n

i

i

x

x

1

1

zamiana zmiennych

II. Indukcja matematyczna

Zasada indukcji matematycznej:
1.

Podstawa indukcji

8GRZRGQLü*HZ\UD*HQLHMHVWSUDZG]LZHGODZDUWRFLSRF]WNRZHM

2.

Hipoteza indukcji

=DáR*\ü*HZ\UD*HQLHMHVWSUDZG]LZHGODQZL NV]HJRRGZDUWRFL

SRF]WNRZHM

3.

Krok indukcyjny

8GRZRGQLü*HMH*HOLZ\UD*HQLHMHVWSUDZG]LZHGODQWRPXVLE\üSUDZG]LZH
dla (n+1)

1DSU]\NáDG

2

)

1

(

1

+

=

∑

=

n

n

i

n

i

1.

n=1

2.

1+2+…+n=

2

)

1

(

+

n

n

3.

1+2+…+(n+1)=

2

)

1

)

1

)((

1

(

+

+

+

n

n

1+2+…+n+1=

2

)

1

)

1

)((

1

(

2

)

1

(

2

2

)

1

(

)

1

(

2

)

1

(

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

n

n

n

n

n

n

n

n

‘

6

)

1

2

)(

1

(

1

2

+

+

=

∑

=

n

n

n

i

n

i

1.

n=1

2.

1

2

+…+n

2

=

6

)

1

2

)(

1

(

+

+

n

n

n

3.

1

2

+…+n

2

+(n+1)

2

=

6

)

1

2

)(

1

(

+

+

n

n

n

2

)

1

(

+

+

n

=

=

+

+

+

+

6

)

1

(

6

)

1

2

)(

1

(

2

n

n

n

n

=

=

+

+

+

6

)

6

7

2

)(

1

(

2

n

n

n

=

+

+

+

6

))

3

2

)(

2

)((

1

(

n

n

n

6

))

1

)

1

(

2

)(

1

1

)((

1

(

+

+

+

+

+

n

n

n

‘

1

2

2

1

0

−

=

+

=

∑

n

n

i

i

1.

n=0

2.

2

0

+…+2

n

=2

n+1

-1

3.

2

0

+…+2

n

+2

n+1

= 2

(n+1)

-1+2

(n+1)

=2*2

(n+1)

-1=2

((n+1)+1)

-1

‘

2

2

)

1

(

2

1

1

+

−

=

+

=

∑

n

n

i

i

n

i

1.

n=1

2.

1*2

1

+…+n*2

n

= (n-1)2

n+1

+2

3.

1*2

1

+…+n2

n

+ (n+1)2

n+1

=(n-1)2

n+1

+2+ (n+1)2

n+1

=(n+n)2

n+1

+2=

=2n*2

n+1

+2 = n*2

n+2

+2 = (n+1-1)2

n+1+1

+2

‘

III. Kombinatoryka

1.

Permutacje

.D*GHPR*OLZHXSRU]GNRZDnie zbioru n-elementowego nazywamy

SHUPXWDFM

:V]\VWNLFKPR*OLZ\FKSHUPXWDFML]ELRUXQ-elementowego jest n!

n! = 1*2*3*…*n = n*(n-1)*(n-2)*…*(n-(k-1)) =

∏

−

=

−

1

0

)

(

k

i

i

n

n! = n*(n-1)!;

0!=1;

/LF]EDPR*OLZ\FKXVWDZLHHOHPHQWyZ zbioru n-elementowego).

2.

Wariacje

EH]SRZWyU]H

.D*GD permutacjaNUy*Q\FKHOHPHQWyZ]H]ELRru n-elementowego.

,ORüZDULDFMLMDNPR*QDXWZRU]\ü]QHOHPHQWyZSRNHOHPHQWyZ
oznaczamy jako (n)

k

.

)!

(

!

)

(

k

n

n

n

k

−

=

(Liczba

XVWDZLH k elementów wybranychVSRUyGQHOHPHQWyZWDNL*NROHMQRü

elementów nie odgrywa roli).

3.

Kombinacje

=ELyUZDULDFMLMDNLPR*QDXWZRU]\ü]QHOHPHQWyZSRNHOHPHQWyZ

Uy*QLF\FKVL tylko XSRU]GNRZDQLHP

,ORüNRPELQDFMLMDNPR*QDXWZRU]\ü]QHOHPHQWyZSo k elementów
oznaczamy jako









k

n

.

)!

(

!

!

k

n

k

n

k

n

−

=









/LF]EDPR*OLZ\FKwyborówNHOHPHQWyZVSRUyGQHOHPHQWyZ

IV.

8*\WHF]QHR]QDF]HQLD

1.

funkcja ceil(n)

| n |

sufit z n (ang. ceil)

QDMPQLHMV]DOLF]EDFDáNRZLWDNWyUDMHVW>= n

1DSU]\NáDG

| 2.1| = 3;

| 1.33 | = 2;

| 0 | = 0; | -2.8 | = -2;

| -5 | = -5

2.

funkcja floor(n)

| n |

SRGáRJD]QDQJIORRU

QDMZL NV]DOLF]EDFDáNRZLWDNWyUDMHVW Q

1DSU]\NáDG

| 2.1| = 2;

| 1.33 | = 1;

| 0 | = 0; | -2.8 | = -3;

| -5 | = -5

3.

logarytmy

log

a

b=c,

gdy

a

c

=b

a

E!

dla

ustalenia

uwagi

niech

a>1

Podstawowe w

áDVQRFL

a)

0

1

log

=

a

b)

x

a

x

a

=

log

c)

log

a

(xy) = log

a

x + log

a

y

a=10

ORJDU\WPG]LHVL WQ\

d)

log

a

(x/y) = log

a

x

í log

a

y

a=2

logarytm binarny

e)

log

a

x

y

= ylog

a

x

a=e

logarytm

naturalny

f)

log

a

x = log

b

x / log

b

a

e = 2.718 281 828…

f)

x

y

a

a

y

x

log

log

=

322

.

3

10

log

log

log

2

10

2

≅

=

x

x

302

.

2

10

ln

log

ln

10

≅

=

x

x

Na

SU]\NáDGUR]SDWU]P\IXQNFM \ [

ln x

§

dx

x

duzex

∫

1

1

§6

pp

SR SURVWRNWDFK

1DSU]\NáDG dla x:=6:
S

pp

=

∑

=

6

1

)

/

1

*

1

(

i

i

= (1*1)+(1*1/2)+ …+(1*1/6) = 2.283

]D ln 6 = 1.791 759…

4.

Liczby harmoniczne

H

n

n-ta liczba harmoniczna

n

k

H

n

k

n

1

...

2

1

1

1

1

+

+

+

=

=

∑

=

ln x

§

dx

x

duzex

∫

1

1

§6

pt

(po

trapezach)

Gdy x:=n;

S

pt

=













+

−

+

+

+

+

+

+

n

n

1

1

1

...

3

1

3

1

2

1

2

1

1

2

1

=













−

−

+

+

+

+

n

n

2

1

2

1

1

...

3

1

2

1

1

S

pt

=

n

H

n

2

1

2

1

−

−

§OQQ

n

n

H

n

2

1

2

1

ln

−

−

≈

5.

Wzór Stirlinga

n

e

n

n

n













≈

π

2

!

1DSU]\NáDG

8!

§

8! = 40320

'ODQ!EáGZ]JO GQ\Z\]QDF]HQLDQ]Z]RUX6WLUOLQJD

(1,1)

(x,1/x)

(1,0)

(x,0)

y = 1/x