Macierze
mgr Zofia Makara
21 marca 2004
1
Wprowadzenie
Głównym zagadnieniem algebry liniowej jest teoria układów rownań linio-
wych postaci:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ... + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ... + a
2n
x
n
= b
2
..
.
a
k1
x
1
+ a
k2
x
2
+ ... + a
kn
x
n
= b
k
Niech K będzie ciałem liczbowym (przemiennym), a
js
∈ K, b
j
∈ K, x
j
∈ K,
1 ¬ j ¬ n; 1 ¬ s ¬ m. a
js
, b
j
- zadane elementy x
j
- szukane (nieznane)
elementy.
Definicja 1 k ×n macierzą elementów ciała K (lub macierzą o k wierszach
i n kolumnach elemnentów ciała K) nazywamy odwzorowanie:
{1, .., k} × {1, .., k} 3 (j, s) 7→ a
js
∈ K
a
js
= f (j, s) ∈ K.
Macierze zapisujemy w postaci:
a
11
a
12
...
a
1n
a
21
a
22
...
a
2n
..
.
a
k1
a
k2
...
a
kn
Definicja 2 Macierzą kwadratową stopnia n nazywa się macierz, która po-
siada tą samą ilość wierszy i kolumn (jest typu n × n):
a
11
a
12
...
a
1n
a
21
a
22
...
a
2n
..
.
a
k1
a
k2
...
a
nn
1
Przykład 1 Macierz prostokątna 3 × 2:
2
21
−5
12
3
712
Macierz kwadratowa 2 × 2
"
−1 1
−5 3
#
Uwaga 1 Wiele informacji z życia codziennego również zapisuje się w po-
staci macierzy, na przykład rozkłady jazdy (od, do, godzina wyjazdu, godzina
przyjazdu, ilość przesiadek, typ):
"
Rzeszow
Lublin
5.15
10.02
0
O
Rzeszow
Lublin
12.40
17.45
1
O − P
#
Definicja 3 Macierz A w której zamieniono wiersze na kolumny o tych
samych numerach nazywamy macierzą transponowaną (albo przestawioną)
do A i oznaczamy symbolem A
T
Przykład 2
A =
"
1
−3 34 12
41
−5
4
2
#
; A
T
=
1
41
−3 −5
34
4
12
2
.
Uwaga 2
A = (A
T
)
T
Uwaga 3 O macierzy A o n wierszach i m kolumnach mówi się macierz
jest wymiaru (typu) m × n.
i zapisuje w skróconej postaci:
[a
ik
]
n×m
lub
[a
ik
] (i = 1, ..., n; k = 1, ..., m)
Definicja 4 Dwie macierze A = [a
ik
]
n×m
i B = [b
ik
]
n×m
tego samego typu
nazywamy równymi, jeżeli wszystkie odpowiednie (polożone na tych samych
miejcach) elementy obu macierzy są równe:
a
ik
= b
ik
dla i = 1, ..., n; k = 1, ..., m.
2
Definicja 5 Macierzą zerową A = [a
ik
]
n×m
nazywa się macierz dowolnego
wymiaru, której wszystkie elementy są równe zeru, to znaczy
a
ik
= 0 dla i = 1, ..., n; k = 1, ..., m;
i oznacza jako Θ
n×m
.
Definicja 6 Macierzą symetryczną A = [a
ik
]
n×n
nazywa się macierz kwa-
dratową dowolnego stopnia, której wszystkie elementy położone symetrycznie
względem głónwej przekątnej są równe, czyli:
a
ik
= a
ki
dla i, k = 1, ..., n;
Definicja 7 Macierzą diagonalną A = [a
ik
]
n×n
nazywa się macierz kwadra-
tową dowolnego stopnia, której wszystkie elementy położone polożone poza
główną przekątną są równe 0, czyli:
a
ik
= 0 dla i 6= k i, k = 1, ..., n;
Definicja 8 Macierzą jednostkową I = [i
ik
]
n×n
nazywa się macierz diago-
nalną, której wszystkie elementy położone polożone na głównej przekątnej są
równe 1, czyli:
a
ik
=
(
0
dla i 6= k i, k = 1, ..., n;
1
dla i = k i, k = 1, ..., n;
Jeżeli dane są wektory ~
x, ~
y, ..., ~t:
~
x =
x
1
x
2
..
.
x
n
; ~
y =
y
1
y
2
..
.
y
n
; ... ~t =
t
1
t
2
..
.
t
n
,
oraz α, β, ..., γ ∈ K, to kolumnę:
α
x
1
x
2
..
.
x
n
+ β
y
1
y
2
..
.
y
n
+ ... + γ
t
1
t
2
..
.
t
n
=
αx
1
+ βy
1
+ ... + γt
1
αx
2
+ βy
2
+ ... + γt
2
..
.
αx
n
+ βy
n
+ ... + γt
n
nazywamy kombinacją liniową kolumn ~
x, ~
y, ..., ~t o współczynnikach α, β, ...
, γ ∈ K.
Podobnie określa się kombinację liniową wierszy.
3
2
Działania na macierzach
Niech będzie dane ciało liczbowe K.
Uwaga 4 Przez macierze tego samego typu rozumie się macierze, które ma-
ją tą samą liczbę wierszy i kolumn.
Definicja 9 (Dodawinie macierzy tego samego typu) Sumę dwóch ma-
cierzy A = [a
ik
]
n×m
i B = [b
ik
]
n×m
tego samego typu n × m tworzy się przez
dodanie do siebie elementów o tych samych numerach wierszy i kolumn:
[a
ik
]
n×m
+ [b
ik
]
n×m
= [a
ik
+ b
ik
]
n×m
.
Własność 1 Dodawanie ma własności:
• łączności A + (B + C) = (A + B) + C;
• przemienności A + B = B + A;
dla każdych macierzy A, B i C tego samego typu.
Definicja 10 (Odejmowanie macierzy tego samego typu) Różnicę dwóch
macierzy A = [a
ik
]
n×m
i B = [b
ik
]
n×m
tego samego typu n × m tworzy się
przez odejmowanie od siebie elementów o tych samych numerach wierszy i
kolumn:
[a
ik
]
n×m
− [b
ik
]
n×m
= [a
ik
− b
ik
]
n×m
.
Definicja 11 (Mnożenie macierzy przez skalar) Mnożenie macierzy A =
[a
ik
]
n×m
przez skalar α ∈ K polega na wymnożeniu wszystkich wszystkich
elementów macierzy przez α.
α · [a
ik
]
n×m
= [α · a
ik
]
n×m
.
Definicja 12 (Mnożenie dwóch macierzy) Mnożenie dwóch macierzy przez
siebie jest możliwe jeśli liczba kolumn pierwszej jest równa liczbie wierszy
drugiej. Iloczynem A = [a
ik
]
n×m
i B = [b
ik
]
m×k
jest macierz C = [c
ik
]
n×k
,
której elementy powstają przez pomnożenie skalarnie wierszy pierwszej ma-
cierzy przez kolumny drugiej:
[a
ik
]
n×m
· [b
ik
]
m×k
= [a
i1
· b
1k
+ a
i2
· b
2k
+ ... + a
in
· b
nk
]
n×k
.
Uwaga 5 Może być określony iloczyn A · B i nie być określony B · A, na
przykład
[a
ik
]
n×m
· [b
ik
]
m×s
istnije, ale
[b
ik
]
m×s
· [a
ik
]
n×m
4
nie istnieje dla s 6= n.
Mogą być określone oba iloczyny i być różne lub różnych wymiarów, na przy-
kład:
[a
ik
]
n×m
· [b
ik
]
m×n
dla m 6= n ma inny wymiar niż:
[b
ik
]
m×n
· [a
ik
]
n×m
.
Własność 2 Jeżeli macierz jednstkowa I posiada odpowiedni wymiar wów-
czas:
A · I = I · A = A.
Własność 3 Jeżeli macierz zerowa Θ posiada odpowiedni wymiar wówczas:
A · Θ = Θ · A = Θ.
Definicja 13 Macierzą odwrotną do macierzy A, oznaczanej jako A
−1
jest
macierz, która spelnia warunki:
AA
−1
= A
−1
A = I.
3
Zadania
1. Dla danych macierzy A, B oblicz ich sumę, różnicę i macierze trans-
ponowane:
•
A =
"
11
3
4
2
1
−5 0 −2
#
; B =
"
1
2
3
−2
13
−5 5
0
#
;
•
A =
1
2
2
2
3
3
2
4
2
; B =
4
4
5
−1 −5 5
−1 −3 0
;
•
A =
1
2
2
1
6
2
3
3
−5 −1
2
4
2
0
4
1
2
−3 −7
3
2
−8
2
0
−9
0
4
2
0
4
; B =
1
0
2
−2
6
2
3
3
−12 −1
3
6
2
−16
4
4
9
−8
−7
3
5
12
−4
−1 −9
6
15
−2
0
6
;
5
•
A =
1
2
3
4
5
5
2
2
3
5
1
1
3
3
2
3
0
2
4
5
3
3
3
4
5
1
0
3
9
1
5
1
2
4
1
2
; B =
1
0
2
−2
6
1
2
3
3
−12 −1
8
0
6
2
−16
4
−1
−3
9
−6
2
3
−2
2
−8 −4
−1 −9
0
6
15
−2
0
6
1
;
2. Dla macierzy z zadania 3 oblicz (jeśli to możliwe):
• 2A − B
T
+ A;
• (2A − B)
T
+ A;
• 2A
2
− B
T
+ A − 3I;
• 2A + B − B
T
+ I;
3. Oblicz sumę, różnicę i iloczyny (jeśli to możliwe) danych macierzy A i
B:
•
A =
1
2
2
2
−1 1
1
1
2
; B =
0
1
−1
−1 −2
2
−1
3
1
;
•
A =
1
2
3
0
−1 0
1
0
2
; B =
1
1
−1
1
−1
1
0
0
1
;
•
A =
2
2
−1
2
1
−4
1
2
2
; B =
0
1
2
3
2
1
2
3
1
;
•
A =
"
2
3
4
5
#
; B =
"
2
1
0
−3
#
;
•
A =
"
1
5
2
4
#
; B =
"
3
4
2
−2
#
;
•
A =
"
−2
1
4
−1
#
; B =
"
0
1
2
1
−4 7
#
;
6
•
A =
"
1
1
3
2
2
2
#
; B =
0
1
2
1
2
−2 7 −1
−1 −1 7
2
;
•
A =
h
1
1
2
3
1
i
; B =
0
1
1
−1
1
1
2
4
0
5
;
4. Rozwiąż równania:
•
2
"
2
−3
−1
4
#
· X =
"
2
4
#
;
•
−Y ·
1
0
−1 1
2
1
=
0
3
0
−1
−2 −3
;
jeśli wiadomo, że macież Y jest macierzą symetryczną;
•
Z +
"
2
3
0
−1
#
=
"
5
−2
2
−1
#
;
5. Znaleźć wartość funkcji f (A) jeśli:
A =
"
2
−2
3
−1
#
;
• f (X) = X
2
+ 2X − I;
• f (X) = X
3
− X + 2I;
* f (X) = X
2
+ 2X
−1
;
5* Wyznacz macierze odwrotne macierzy C:
*
C =
"
3
−2
1
2
#
;
*
C =
1
2
2
3
2
1
2
8
1
;
7
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Algebra macierze
algebra, macierze
podstawy algebry macierzy
Algebra macierze 01 12
1.Algebra macierzy, Geodezja, rachunek wyrówmawczy
teoria algebra macierze
algebra macierzy
algebra macierzy
2a program prod algebra macierzy20070325
Algebra macierz odwrotna
,algebra , Macierze odwrotne
Arkusz2 zadań z Algebry Macierze i wyznaczniki
Algebra macierzy 2
podstawy algebry macierzy
Układ równań liniowych algebra macierzy, metoda eliminacji
,algebra 1, Macierz i działanie na macierzach
więcej podobnych podstron