Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 1

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski

ANALIZA KINEMATYCZNA MECHANIZMÓW PŁASKICH
METODA ANALITYCZNA

Analiza kinematyczna mechanizmów dźwigniowych metodą wieloboku
wektorowego

W opisywanej metodzie łańcuch kinematyczny dowolnego płaskiego

mechanizmu dźwigniowego przedstawia się w postaci zamkniętego
wieloboku wektorowego (Rys. 1), który określa chwilowe położenie
członów.

Każdy z wektorów

i

I

tego wieloboku zdefiniowany jest we współrzędnych

biegunowych przez dwa parametry: długość wektora

i

i

I

I

=

oraz kąt

i

ϕ

określający jego kierunek.

Rys. 1. Mechanizm dźwigniowy Rys. 2. Określanie kątów w metodzie
jako wielobok wektorowy wieloboku wektorowego

Dodatni kąt

i

ϕ

jest to taki kąt o jaki należy obrócić oś x układu

współrzędnych Oxy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara w
prawoskrętnym układzie współrzędnych aby jej dodatni zwrot pokrył się z
dodatnim zwrotem wektora

i

I co przedstawiono na Rys. 2.

Przy takiej umowie współrzędne wektora

)

I

,

I

(

I

iy

ix

i

wynoszą zawsze:

i

i

iy

i

i

ix

sin

I

I

,

cos

I

I

ϕ

ϕ

=

=

(1)

a znaki współrzędnych są określone poprzez znaki funkcji

ϕ

i

sin

i

ϕ

i

cos

.

Mechanizm płaski zdefiniowany jest przez zamknięty wielobok składający

się z n wektorów, co zapisujemy następująco:

0

I

n

1

i

i

=

∑

=

(2)

Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 2

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski

Wielobok wektorowy zbudowany na
członach mechanizmu posiada
2

⋅⋅⋅⋅

n parametrów.

(2)

Rys. 1. Mechanizm dźwigniowy jako wielobok wektorowy

Wielobok wektorowy opisany równaniem (2) po zrzutowaniu go na osie

płaskiego układu współrzędnych odpowiada dwóm równaniom skalarnym:

0

cos

l

,

0

l

i

n

1

i

i

n

1

i

ix

=

∑

⇒

=

∑

=

=

ϕ

(3)

0

sin

l

,

0

l

i

n

1

i

i

n

1

i

iy

=

∑

⇒

=

∑

=

=

ϕ

(4)

Ponieważ układ równań (3), (4) musi być oznaczony, na jego podstawie

można wyznaczyć dwa szukane parametry geometryczne np. dwie długo-
ści, długość i kąt lub dwa kąty. Pozostałe 2n - 2 parametry muszą być zatem
znane i należy je przyjąć jako dane w momencie definiowania mechanizmu.

Po zróżniczkowaniu równań (3), (4) względem czasu otrzymujemy układy

równań:

0

dt

dl

,

0

dt

dl

n

1

i

iy

n

1

i

ix

=

∑

=

∑

=

=

(5)

oraz

0

dt

l

d

,

0

dt

l

d

n

1

i

2

iy

2

n

1

i

2

ix

2

=

∑

=

∑

=

=

(6)

Z układu równań (5) wyznacza się dwie szukane prędkości liniowe lub kątowe
a na podstawie (6) dwa szukane przyspieszenia liniowe lub kątowe.

0

I

n

1

i

i

=

∑

=

Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 3

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski

Przy różniczkowaniu układu (5) względem czasu mogą zajść dwa przypadki:

a) długość danego członu jest stała

const

l

i

=

, wtedy

0

dt

dl

,

0

dt

dl

iy

ix

=

=

oraz

0

dt

l

d

,

0

dt

l

d

2

iy

2

2

ix

2

=

=

,

(7)

b) długość danego członu jest zmienna

const

l

i

≠

, wtedy

0

dt

dl

,

0

dt

dl

iy

ix

≠

≠

oraz

0

dt

l

d

,

0

dt

l

d

2

iy

2

2

ix

2

≠

≠

(8)

Dla prowadnic prostoliniowych wyrażenie dt

dl

i

określa prędkość linio-

wą skracania lub wydłużania się danego wektora reprezentującego człon.
Kierunek tej prędkości pokrywa się z kierunkiem członu.

Wyrażenie

2

i

2

dt

l

d

określa przyspieszenie liniowe wynikające ze skracania

lub wydłużania się danego wektora reprezentującego człon. W przypadku

członów prostoliniowych (prowadnic) przyspieszenie

2

i

2

dt

l

d

jest przyspiesze-

niem stycznym leżącym na linii danego członu a jego kierunek jest zgodny
z kierunkiem prędkości.

Zachodzą cztery możliwe przypadki zmian prędkości i przyspieszenia:

a)

0

dt

l

d

a

,

0

dt

dl

v

2

i

2

t

i

i

i

>

=

>

=

- wektor

i

l reprezentujący element zwięk-

sza swą długość i na tej podstawie określamy graficznie zwrot prędkości
końca tego wektora. Przyspieszenie styczne

t

i

a i prędkość

i

v

mają zwroty

zgodne,

b)

0

dt

l

d

a

,

0

dt

dl

v

2

i

2

t

i

i

i

<

=

<

=

- wektor

i

l reprezentujący element zmniej-

sza swą długość i na tej podstawie określamy graficznie zwrot prędkości
końca tego wektora. Przyspieszenie styczne

t

i

a i prędkość

i

v

mają zwroty

zgodne,

Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 4

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski

c)

0

dt

l

d

a

,

0

dt

dl

v

2

i

2

t

i

i

i

<

=

>

=

- wektor przyspieszenia stycznego

t

i

a ma

zwrot przeciwny do zwrotu wektora prędkości

i

v

. Element zwiększa dłu-

gość.

d)

0

dt

l

d

a

,

0

dt

dl

v

2

i

2

t

i

i

i

>

=

<

=

- wektor przyspieszenia stycznego

t

i

a ma

zwrot przeciwny do zwrotu wektora prędkości

i

v . Element zmniejsza dłu-

gość.

Powyższe rozważania mają również zastosowanie dla każdej współrzędnej

wektora

ix

l oraz

iy

l

.

Obliczając pochodne kątów

i

ϕ

względem czasu otrzymujemy odpowiednio:

dt

d

i

i

ϕ

ω =

- prędkość kątową wektora reprezentującego człon,

2

i

2

i

i

dt

d

dt

d

ϕ

ω

ε

=

=

- przyspieszenie kątowe wektora reprezentującego

człon.

Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 5

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski

Przykład 1. Mechanizm korbowo-suwakowy

Mechanizm można zapisać trzema wektorami w sposób pokazany na Rys. 3. Należy

zatem przyjąć 2

⋅

3 – 2 = 4 parametry.

Dane:

π

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

0

1

1

),

t

(

,

2

1

l

BC

,

l

AB

=

=

Szukane:

)

t

(

),

t

(

x

x

2

2

C

C

ϕ

ϕ =

=

,

)

t

(

),

t

(

v

v

2

2

C

C

ω

ω =

=

,

)

t

(

),

t

(

a

a

2

2

C

C

ε

ε =

=

Rozwiązanie

Dwa wektory

2

1

l

,

l

mają stałą długość. Wektor

0

l

zmienia swoją długość w czasie ru-

chu mechanizmu. Wpisujemy wielobok wektorowy w kontur mechanizmu i oznaczamy po-
łożenia kątowe poszczególnych wektorów względem osi Ox za pomocą kątów skierowa-
nych.

Rys. 3. Wielobok wektorowy mechanizmu korbowo-suwakowego

Opisujemy wielobok wektorowy równaniem wektorowym:

0

l

l

l

0

2

1

=

+

+

(P1.1)

Następnie piszemy odpowiednie równania skalarne:

0

l

cos

l

cos

l

0

2

2

1

1

=

−

+

ϕ

ϕ

(P1.2)

0

sin

l

sin

l

2

2

1

1

=

+

ϕ

ϕ

(P1.3)

Przyjmując oznaczenie mamy z (P1.3) mamy:

ϕ

λ

ϕ

ϕ

1

1

2

1

2

sin

sin

l

l

sin

−

=

−

=

(

P1.4)

i stąd

)

sin

sin(

arc

1

2

ϕ

λ

ϕ

−

=

(P1.5)

Dalej oznaczymy:

1

2

2

2

2

2

sin

1

sin

1

cos

A

ϕ

λ

ϕ

ϕ

−

=

−

=

=

(P1.6)

2

1

l

l

=

λ

Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 6

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski

W celu wyznaczenia prędkości liniowej oraz przyspieszenia liniowego punktu C ko-
nieczne jest wprowadzenie wektora promienia wodzącego tego punktu

C

r

.

Wektor promień wodzący dowolnego mechanizmu płaskiego lub prze-

strzennego prowadzony jest zawsze od początku układu współrzędnych do
danego punktu, którego prędkość lub przyspieszenie chcemy obliczyć.

2

1

0

C

C

l

l

l

)

0

,

x

(

r

+

=

−

=

(P1.7)

Rys. 3

Współrzędna wektora promienia wodzącego określająca położenie su-
waka wynosi:

A

l

cos

l

cos

l

cos

l

l

l

x

2

1

1

2

2

1

1

x

2

x

1

C

⋅

+

=

+

=

+

=

ϕ

ϕ

ϕ

P1.8)

W celu obliczenia prędkości kątowej różniczkujemy (P1.5) względem czasu:

1

1

1

2

1

1

2

2

1

1

2

2

cos

A

cos

cos

cos

cos

ϕ

ϕ

λ

ϕ

ϕ

ϕ

λ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

λ

ϕ

ϕ

−

−

=

−

=

=

−

=

&

&

&

&

&

(

P1.9)

Następnie różniczkując (P1.8) względem czasu obliczymy prędkość liniową punktu C:

)

2

sin

A

5

,

0

(sin

l

x

v

1

1

1

1

1

C

C

ϕ

λ

ϕ

ϕ

−

+

−

=

=

&

&

(P1.10)

W celu obliczenia przyspieszenia kątowego różniczkujemy (P1.9) względem czasu:

(P1.11)

Następnie różniczkujemy (P1.10) i otrzymamy przyspieszenie liniowe punktu C:

P1.12)















+

+

−













+

−

=

=

1

1

2

3

3

1

2

1

1

1

1

1

1

C

C

2

cos

A

2

sin

A

4

cos

l

2

sin

A

2

sin

l

x

a

ϕ

λ

ϕ

λ

ϕ

ϕ

ϕ

λ

ϕ

ϕ

&

&&

&&

Jeżeli korba

1

I

AB

=

obraca się ze stałą prędkością kątową, wtedy jej przyspieszenie

kątowe jest równe zero czyli

0

dt

d

1

1

1

=

=

=

ω

ε

ϕ

&&

, co należy uwzględnić w równaniach.

Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 7

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski

Przykład 2. Mechanizm czworoboku przegubowego

W ten mechanizm wpisujemy cztery wektory (Rys. 4). Należy zatem przyjąć 2

⋅

4 – 2 = 6

parametrów. Wszystkie wektory w przypadku tego mechanizmu mają stałą długość.

Dane:

π

ϕ

ϕ

=

0

0

3

2

1

1

,

l

,

l

,

l

,

l

,

Szukane:

3

2

3

2

3

2

,

,

,

,

,

ε

ε

ω

ω

ϕ

ϕ

.

Rozwiązanie

Mechanizm zapisujemy wielobokiem wektorowym:

0

l

l

l

l

0

3

2

1

=

+

+

+

(P2.1)

Rys. 4. Wielobok wektorowy mechanizmu czworoboku przegubowego

Po rzutowaniu równania (P2.1) na osie układu współrzędnych otrzymamy:

0

sin

l

sin

l

sin

l

0

l

cos

l

cos

l

cos

l

3

3

2

2

1

1

0

3

3

2

2

1

1

=

+

+

=

−

+

+

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

(P2.2)

Przekształcamy układ równań (P2.2) do postaci:

3

3

2

2

1

1

3

3

0

2

2

1

1

sin

l

sin

l

sin

l

cos

l

l

cos

l

cos

l

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

=

+

−

=

−

+

(P2.3)

Po wprowadzeniu oznaczeń:

,

sin

l

B

,

l

cos

l

A

1

1

0

1

1

ϕ

ϕ

=

−

=

otrzymamy:

3

3

2

2

3

3

2

2

sin

l

sin

l

B

cos

l

cos

l

A

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

=

+

−

=

+

(P2.4)

Równania (P2.4) podnosimy do kwadratu i dodajemy stronami

0

l

l

sin

Bl

2

B

cos

Al

2

A

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

=

−

+

+

+

+

ϕ

ϕ

(P2.5)

Równanie (P2.5) dzielimy przez

2

Al

2

Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 8

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski

0

sin

A

B

cos

Al

2

l

l

B

A

2

2

2

2

3

2

2

2

2

=

+

+

−

+

+

ϕ

ϕ

(P2.6)

Przyjmiemy oznaczenia:

2

2

3

2

2

2

2

Al

2

l

l

B

A

C

−

+

+

=

,

A

B

D

=

, zatem (P2.6) przyjmie

postać:

0

sin

D

cos

C

2

2

=

+

+

ϕ

ϕ

(P2.7)

Po podniesieniu (P2.6) stronami do kwadratu otrzymujemy:

0

)

D

C

(

cos

C

2

cos

)

D

1

(

2

2

2

2

2

2

=

−

+

+

+

ϕ

ϕ

(P2.8)

Po podstawieniu

2

cos

w

ϕ

=

otrzymamy równanie kwadratowe w postaci:

0

)

D

C

(

Cw

2

w

)

D

1

(

2

2

2

2

=

−

+

+

+

(P2.9)

z którego wyznaczymy dwa pierwiastki

,

w

,

w

2

1

a następnie dwie wartości

kąta

2

ϕ

, tj. kąty

)

2

(

2

)

1

(

2

,

ϕ

ϕ

.

Dwa rozwiązania równania kwadratowego (P2.9) odpowiadają dwóm wa-

riantom położenia członów mechanizmu czworoboku przegubowego przy
ustalonym położeniu członu napędzającego

1

ϕ

co pokazano na Rys. 4. Kąt

3

ϕ

znajdziemy z równania (P2.4). Otrzymamy odpowiednio:

)

2

(

3

)

1

(

3

,

ϕ

ϕ

.

W celu wyznaczenia prędkości kątowej członów 2 i 3 różniczkujemy pierw-

sze z równań (P2.2) i otrzymujemy:

0

sin

l

sin

l

sin

l

3

3

3

2

2

2

1

1

1

=

+

+

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

(P2.10)

gdzie:

,

dt

d

,

dt

d

,

dt

d

3

3

2

2

1

1

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

=

=

=

- pochodne kątów,

W celu wyznaczenia prędkości kątowej

3

ω

obracamy układ współrzędnych

o kąt

2

ϕ

. Równanie (P2.10) przyjmie postać:

0

)

sin(

l

)

sin(

l

)

sin(

l

2

3

3

3

2

2

2

2

2

1

1

1

=

−

+

−

+

−

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

(P2.11)

a ponieważ wyrażenie

0

)

sin(

l

2

2

2

2

=

−

ϕ

ϕ

ω

to otrzymamy:

)

sin(

l

)

sin(

l

2

3

3

2

1

1

1

3

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ω

−

−

−

=

(P2.12)

Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 9

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski

Analogicznie obracając układ współrzędnych o kąt

ϕ

3

mamy:

0

)

sin(

l

)

sin(

l

)

sin(

l

3

3

3

3

3

2

2

2

3

1

1

1

=

−

+

−

+

−

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

(P2.13)

Ponieważ

0

)

sin(

3

3

=

−

ϕ

ϕ

to

prędkość kątowa członu 2:

1

3

2

2

3

1

1

2

)

sin(

l

)

sin(

l

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ω

⋅

−

−

−

=

(P2.14)

W celu obliczenia przyspieszeń kątowych różniczkujemy równanie (P2.10)

0

sin

l

cos

l

sin

l

cos

l

sin

l

cos

l

3

3

3

3

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

2

1

=

+

+

+

+

+

ϕ

ε

ϕ

ω

ϕ

ε

ϕ

ω

ϕ

ε

ϕ

ω

(P2.15)

Przyspieszenie kątowe członu 3 -

3

ε

otrzymamy obracając układ współrzęd-

nych o kąt

ϕ

2

)

sin(

l

)

cos(

l

l

)

sin(

l

)

cos(

l

2

3

3

2

3

3

2

3

2

2

2

2

1

1

1

2

1

1

2

1

3

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ω

ϕ

ϕ

ε

ϕ

ϕ

ω

ε

−

−

+

+

−

+

−

−

=

2.16)

Przyspieszenie kątowe członu 2 -

2

ε

otrzymamy obracając układ współrzęd-

nych o kąt

ϕ

3

)

sin(

l

l

)

cos(

l

)

sin(

l

)

cos(

l

3

2

2

3

2

3

3

2

2

2

2

3

1

1

1

3

1

1

2

1

2

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ε

ϕ

ϕ

ω

ε

−

+

−

+

−

+

−

−

=

(P2.17)

Równania (P2.15), (P2.16) i (P2.17) ulegną uproszczeniu jeżeli prędkość ką-
towa

const

1

=

ω

, wówczas przyspieszenie

0

1

=

ε

.

Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 10

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski

Przykład 3. Analiza toru, prędkości i przyspieszenia punktu płaszczy-
zny łącznikowej mechanizmu czworoboku przegubowego.

Dla mechanizmu czworoboku przegubowego wyznaczymy parametry kinematyczne

punktu K należącego do płaszczyzny łącznikowej (Rys. 5).

Dane:

2

4

2

4

2

4

4

1

1

,

,

,

l

),

t

(

,

l

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

α

ϕ

ϕ

ϕ

&&

&&

&

&

=

=

+

=

Szukane: tor punktu K, prędkość punktu

K

v

oraz przyspieszenie

K

a

.

Rys. 5. Czworobok przegubowy z oznaczonym punktem K płaszczyzny łącznikowej

Rozwiązanie
Na podstawie Rys. 5 zapiszemy równanie wektora promienia wodzącego

punktu K:

4

1

K

l

l

r

+

=

(P3.1)

Następnie wyznaczymy współrzędne wektora

K

r

.

)

sin(

l

sin

l

r

)

cos(

l

cos

l

r

2

4

1

1

Ky

2

4

1

1

Kx

α

ϕ

ϕ

α

ϕ

ϕ

+

+

=

+

+

=

(P3.2)

Zależności (P3.2) są parametrycznymi równaniami toru punktu K czyli równa-
niami hodografu wektora promienia wodzącego

K

r

Następnie różniczkujemy równania (P3.2) i znajdujemy współrzędne wektora
prędkości punktu K.

)

cos(

l

cos

l

dt

dr

v

)

sin(

l

sin

l

dt

dr

v

2

2

4

1

1

1

Ky

Kx

2

2

4

1

1

1

Kx

Kx

α

ϕ

ω

ϕ

ω

α

ϕ

ω

ϕ

ω

+

+

=

=

+

−

−

=

=

(P3.3)

Zależności (P3.3) są parametrycznymi równaniami hodografu prędkości

K

v .

Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 11

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski

Wartość wektora prędkości punktu K określimy z zależności

2

Ky

2

Kx

K

v

v

v

+

=

(P3.4)

Cosinusy kierunkowe jaki tworzy wektor

K

v z osiami układu współrzęd-

nych określają zależności:

K

Kx

K

v

v

)

x

,

v

cos(

=

,

K

Ky

K

v

v

)

y

,

v

cos(

=

(P3.5)

Analogicznie wyznaczymy współrzędne wektora przyspieszenia

K

a

)

sin(

l

)

cos(

l

sin

l

cos

l

dt

dr

a

)

cos(

l

)

sin(

l

cos

l

sin

l

dt

dr

a

2

2

2

4

2

2

4

1

2

1

1

1

1

1

2

2

Ky

Kx

2

2

2

4

2

2

4

1

2

2

1

1

1

1

2

2

Kx

Kx

α

ϕ

ω

α

ϕ

ε

ϕ

ω

ϕ

ε

α

ϕ

ω

α

ϕ

ε

ϕ

ω

ϕ

ε

+

−

+

+

−

=

=

+

−

+

−

−

−

=

=

(P3.6)

Zależność (P3.6) przestawiają parametryczne równania hodografu przy-

spieszenia. Wartość całkowitego przyspieszenia punku K wynosi:

2

Ky

2

Kx

K

a

a

a

+

=

(P3.7)

a jego cosinusy kierunkowe

K

Kx

K

a

a

)

x

,

a

cos(

=

,

K

Ky

K

a

a

)

y

,

a

cos(

=

(P3.8)

Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 12

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski

Przykład 4. Mechanizm jarzmowy

Mechanizm jarzmowy przedstawiony na Rys. 6 podobnie jak mechanizm korbowo-

suwakowy można zapisać za pomocą wieloboku trzech wektorów. Należy zatem założyć
2

⋅

3 - 2 = 4 parametry mechanizmu. Jedynym członem o zmiennej długości jest jarzmo 3.

Dane:

0

,

CA

l

),

t

(

,

AB

l

0

0

1

1

1

=

=

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

Szukane:

3

l

,

3

ϕ

,

dt

dl

v

3

3

B

2

B

=

,

3

ω

,

2

3

2

t

3

B

2

B

dt

l

d

a

=

,

3

ε

Rys. 6. Wielobok wektorowy mechanizmu jarzmowego

Wpisujemy w analizowany mechanizm zamknięty trójkąt wektorów i zapisu-

jemy go równaniem:

0

l

l

l

0

3

1

=

+

+

(P4.1)

Po zrzutowaniu na osie układu współrzędnych otrzymamy równania ska-

larne:

0

sin

l

sin

l

0

l

cos

l

cos

l

3

3

1

1

0

3

3

1

1

=

+

=

+

+

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

(P4.2)

Z układu równań (P4.2) wyznaczymy długość jarzma

3

l

:

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

1

1

3

3

1

1

0

3

3

sin

l

sin

l

cos

l

l

cos

l

−

=

−

−

=

(P4.3)

Po podniesieniu układu równań (P4.3) do kwadratu i dodaniu stronami znaj-
dziemy długość jarzma

3

l

:

2

1

1

1

0

2

0

2

1

1

2

1

1

0

3

I

cos

l

l

2

I

)

sin

l

(

)

cos

l

l

(

l

+

+

=

+

+

=

ϕ

ϕ

ϕ

(P4.4)

Dzieląc stronami równania (P4.3) mamy:

1

1

0

1

1

3

1

1

0

1

1

3

cos

l

l

sin

l

tg

arc

,

cos

l

l

sin

l

tg

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

+

=

+

=

(P4.5)

Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 13

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski

W celu znalezienia prędkości kątowych i liniowych jarzma 3 różniczkujemy

pierwsze z równań (P4.2) tj. równanie:

0

l

cos

l

cos

l

0

3

3

1

1

=

+

+

ϕ

ϕ

podstawiając

1

1

ϕ

ω

&

=

i

3

3

ϕ

ω

&

=

:

0

sin

l

cos

dt

dl

sin

l

3

3

3

3

3

1

1

1

=

−

+

−

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

(P4.6)

Prędkość względną suwaka 2 względem prowadnicy 3 tj.

dt

dl

v

3

3

B

2

B

=

znajdziemy obracając układ współrzędnych Oxy o kąt

ϕ

3

,

0

)

sin(

l

)

cos(

dt

dl

)

sin(

l

3

3

3

3

3

3

3

3

1

1

1

=

−

−

−

+

−

−

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ω

(P4.7)

Ostatecznie prędkość względna suwaka 2 względem prowadnicy 3 :

)

sin(

l

dt

dl

v

3

1

1

1

3

3

B

2

B

ϕ

ϕ

ω

−

=

=

(P4.8)

Prędkość kątową jarzma

3

ω

znajdziemy obracając układ współrzędnych

o kąt (

o

90

3

−

ϕ

). Z równania:

0

)

90

sin(

l

)

90

(

cos

dt

dl

)

90

sin(

l

o

3

3

3

3

o

3

3

3

3

1

1

1

=

+

−

−

+

+

−

+

+

−

−

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ω

o

(P4.9)

Ostatecznie prędkość kątowa jarzma:

)

cos(

l

l

3

1

1

3

1

3

ϕ

ϕ

ω

ω

−

−

=

(P4.10)

W celu znalezienia przyspieszeń kątowych i liniowych różniczkujemy rów-

nanie (P4.6) podstawiając

3

3

1

1

,

ε

ϕ

ε

ϕ

=

=

&&

&&

:

(P4.11)

0

cos

l

sin

l

sin

dt

dl

2

cos

dt

l

d

cos

l

sin

l

3

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

3

2

1

2

1

1

1

1

1

=

−

−

−

+

−

−

ϕ

ω

ϕ

ε

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ε

Przyspieszenie styczne suwaka 2 względem prowadnicy 3 tj.

2

3

2

t

3

B

2

B

dt

l

d

a

=

znajdziemy obracając układ współrzędnych o kąt

3

ϕ

:

0

l

dt

l

d

)

cos(

l

)

sin(

l

2

3

3

2

3

2

3

1

2

1

1

3

1

1

1

=

−

+

−

−

−

−

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ε

(P4.12)

ostatecznie:

2

3

3

3

1

2

1

1

3

1

1

1

2

3

2

t

3

B

2

B

l

)

cos(

l

)

sin(

l

dt

l

d

a

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ε

+

−

+

−

=

=

(P4.13)

Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 14

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski

Obracając układ współrzędnych o kąt (

o

90

3

−

ϕ

): otrzymamy przyspieszenie

kątowe jarzma:

0

)

90

cos(

l

)

90

sin(

l

)

90

sin(

dt

dl

2

)

90

cos(

dt

l

d

)

90

cos(

l

)

90

sin(

l

3

3

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

3

2

3

1

2

1

1

3

1

1

1

=

+

−

−

+

−

−

+

+

−

−

+

−

+

+

+

−

−

+

−

−

o

o

o

o

o

o

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ε

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ε

(P4.14)

ostatecznie:

3

3

3

3

1

2

1

3

1

3

1

1

3

1

3

l

dt

dl

2

)

sin(

l

l

)

cos(

l

l

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ε

ε

−

−

+

−

−

=

(P4.15)

Przykład 5. Mechanizm złożony

Analiza kinematyczna mechanizmu złożonego zostanie pokazana na przykładzie me-

chanizmu napędu stołu strugarki przedstawionego w postaci schematu na Rys. 7.

Zadanie można rozwiązać w dwóch etapach:
Etap – 1. Analiza mechanizmu jarzmowego opisanego

wielobokiem wektorowym:

0

l

l

l

0

3

1

=

+

+

P5.1

()

Dane:

,

90

,

l

),

t

(

,

l

o

0

0

1

1

=

ϕ

ϕ

Szukane:

3

l ,

3

ϕ

,

dt

dl

3

,

3

ω

,

2

3

2

dt

l

d

,

3

ε

Etap – 2. Analiza mechanizmu korbowo-suwakowego
opisanego wielobokiem wektorowym:

0

l

l

l

l

7

6

4

*

3

=

+

+

+

(P5.2)

Dane:

o

o

o

0

,

270

,

l

,

l

,

180

,

l

7

6

6

4

3

*

3

*

3

=

=

−

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

Szukane:

7

4

7

4

7

4

l

,

,

l

,

,

l

,

&&

&&

&

&

ϕ

ϕ

ϕ

Rys. 7. Wielobok wektorowy

mechanizmu złożonego

Ponieważ przykłady analizy kinematycznej mechanizmu jarzmowego jak również

korbowo-suwakowego zostały pokazane już w niniejszym rozdziale należy je wykorzy-
stać i zastosować w rozważanym przypadku mechanizmu złożonego.