Lista nr 3

EiT, sem.III, studia dzienne, 2006/07.

Ca lki krzywoliniowe skierowane i nieskierowane.

1. Obliczy´

c:

a)

Z

AB

2xydx − x

2

dy, je˙zeli AB jest: 1

◦

odcinkiem, 2

◦

lukiem paraboli y = x

2

l¸

acz¸

acym punkt A(0, 0) z punktem B(1, 1),

b)

Z

AB

xdy, je˙zeli AB jest lukiem elipsy o przedstawieniu parametrycznym x = a cos t, y = b sin t, t ∈ h0; π/2i, niezgodnym

z kierunkiem tego luku,

c)

Z

AB

(2a − y)dx + xdy, je˙zeli AB jest lukiem cykloidy o przedstawieniu parametrycznym x = a(t − sin t),

y = a(1 − cos t), t ∈ h0; 2πi, niezgodnym z kierunkiem tego luku,

d)

I

K

x

2

dx + y

2

dy, je˙zeli K jest okr¸

egiem o r´

ownaniu x

2

+ y

2

= 1, skierowanym dodatnio wzgl¸

edem swego wn¸

etrza,

e)

I

K

xdx + ydy, je˙zeli K jest brzegiem kwadratu o wierzcho lkach A(0, 0), B(0, 1), C(1, 1) i D(1, 0), skierowanym dodatnio

wzgl¸

edem swego wn¸

etrza,

f)

Z

K

xdx + ydy

p

1 + x

2

+ y

2

, gdzie K jest czwart¸

a cz¸

e´

sci¸

a elipsy le˙z¸

ac¸

a w pierwszej ´

cwiartce, w kierunku zgodnym z ruchem

wskaz´

owek zegara,

g)

I

K

dx + dy

|x| + |y|

, gdzie K jest krzyw¸

a |x| + |y| = 1 skierowan¸

a dodatnio wzgl¸

edem wn¸

etrza,

h)

Z

AB

xdx

y

+

dy

y − 1

, gdzie AB jest skierowanym lukiem cykloidy x = t − sin t, y = 1 − cos t, od punktu A

π − 3

6

,

2 −

√

3

2

!

do B

2π − 3

√

3

6

,

1

2

!

,

i)

Z

AB

y

2

dx − x

2

dy

x

5/3

+ y

5/3

, gdzie AB jest skierowanym lukiem asteroidy x = a cos

3

t, y = a sin

3

t od punktu A(0, a) do B(a, 0).

2. Obliczy´

c:

a)

Z

AB

(y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz po luku AB linii ´

srubowej o przedstawieniu parametrycznym

x = cos t, y = sin t, z = t, t ∈ h0; 2πi, niezgodnym z kierunkiem tego luku,

b)

Z

K

xdx + ydy + zdz po okr¸

egu K o przedstawieniu parametrycznym x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 3, t ∈ h0; 2πi, zgodnym

z jego kierunkiem,

c)

Z

AB

2x + z

z

dx +

2y + z

z

dy +

z

2

− x

2

− y

2

z

2

dz, gdzie AB jest odcinkiem prostej skierowanym od punktu A(1, 2, 1) do

punktu B(3, 1, 3).

3. Obliczy´

c ca lk¸

e

Z

L

dl

p

x

2

+ y

2

+ 4

, gdzie L jest odcinkiem l¸

acz¸

acym punkty A(0, 0) i B(1, 2).

4. Obliczy´

c ca lk¸

e

Z

L

xydl, je˙zeli L jest brzegiem kwadratu |x| + |y| = 1.

5. Obliczy´

c d lugo´

s´

c luku krzywej x = 2 −

t

4

4

, y =

t

6

6

mi¸

edzy jej punktami przeci¸

ecia z osiami uk ladu.