Matematyka Dyskretna

Andrzej Szepietowski

25 czerwca 2002 roku

Rozdział 1

Rachunek prawdopodobie ´nstwa

1.1

Zdarzenia

Podstawowym poj¸eciem rachunku prawdopodobie ´nstwa jest przestrze´n zdarze´n elemen-
tarnych, któr¸a najcz¸e´sciej b¸edziemy oznacza´c przez

. W tej ksi¸a˙zce ograniczymy si¸e do

przypadków, gdy

jest zbiorem sko ´nczonym. Dzi¸eki temu b¸edziemy mogli ograniczy´c

si¸e to prostych rozwa˙za ´n.

Elementy przestrzeni

nazywamy zdarzeniami elementarnymi.

Przestrze´n zdarze´n cz¸esto zwi¸azana jest z jakim´s eksperymentem losowym (probabi-

listycznym).

Przykład 1.1

a) Przypu´s´cmy, ˙ze rzucamy monet¸a. Przestrze´n zdarze´n elementarnych

mo˙ze by´c wtedy okre´slona jako


 

, gdzie



oznacza wypadni¸ecie orła, a

reszki.

b) W przypadku rzutu dwoma (rozró˙znialnymi) monetami przestrze´n zdarze´n elemen-

tarnych mo˙ze by´c okre´slona jako

     

, gdzie



oznacza, ˙ze

wypadły dwa orły;



, ˙ze na pierwszej monecie wypadł orzeł, a na drugiej reszka;



, ˙ze na pierwszej reszka, a na drugiej orzeł; a



, ˙ze na obu monetach wypadły

reszki.

c) Przypu´s´cmy, ˙ze mamy urn¸e z sze´scioma ponumerowanymi kulami, i ˙ze kule o nu-

merach 1 i 2 s¸a białe, a kule o numerach 3,4,5 i 6 s¸a czarne. Przestrze´n zdarze´n
elementarnych mo˙ze by´c zdefiniowana jako


   !

.

d) Przy rzucie kostk¸a

 "#$% # !#

.

e) Przy rzucie dwiema (rozró˙znialnymi) kostkami


&('*)",+(-/.021)"3+41!5

. Zda-

rzenie

'*)",+(-

odpowiada wynikowi, gdzie na pierwszej kostce wypadło

)

oczek, a na

drugiej

+

.

f) Przy rzucie monet¸a i kostk¸a


 #"5"6$ 5 !$   5 5 6$ 5 !#

;

na przykład

!

opisuje wynik, gdzie na monecie wypadł orzeł, a na kostce 6 oczek.

3

4

Rozdział 1. Rachunek prawdopodobie ´nstwa

g) W przypadku rzutu

(rozró˙znialnymi) monetami przestrze´n zdarze´n elementarnych

mo˙ze by´c okre´slona jako zbiór wszystkich

elementowych ci¸agów z warto´sciami



lub

.

h) Przypu´s´cmy, ˙ze mamy urn¸e z dwoma kulami białymi i trzema czarnymi, i ˙ze losu-

jemy dwie kule z tej urny. Oznaczmy te kule przez



,

 

,

 

,



i





. Przestrzeni¸a

zdarze´n elementarnych mo˙ze tu by´c albo zbiór dwuelementowych podzbiorów zbio-
ru kul, lub zbiór dwuelementowych ci¸agów bez powtórze´n. Zale˙zy to od tego, czy
b¸edziemy rozpatrywa´c zdarzenia, w których rozró˙zniamy wylosowane kule, czy nie
rozró˙zniamy.

Mo˙zna te˙z rozpatrywa´c przestrzenie zdarze ´n nie zwi¸azane z eksperymentem:

Przykład 1.2 Przestrzeni¸a zdarze´n elementarnych mo˙ze by´c:

a) Zbiór liter lub słów wyst¸epuj¸acych w jakim´s tek´scie, ksi¸a˙zce lub li´scie.

b) Zbiór mo˙zliwych haseł potrzebnych do uzyskania dost¸epu do danych lub systemu.

Je˙zeli zbiór mo˙zliwych haseł jest zbyt mały, to łatwo mo˙zna złama´c zabezpieczenia.

c) Zbiór mo˙zliwych wylicze´n algorytmu probabilistycznego (algorytmu, który korzysta

z funkcji losuj¸acej).

Dowolny podzbior



nazywamy zdarzeniem. Pami˛etajmy, ˙ze rozwa˙zamy tyl-

ko sko´nczone przestrzenie zdarze ´n elementranych. W przypadku, gdy

nie jest zbiorem

sko´nczonym, konieczna jest inna definicja zdarzenia. Cały zbiór

nazywamy zdarzeniem

pewnym, a zbiór pusty



zdarzeniem niemo˙zliwym. Zdarzenia rozł¸aczne,





, na-

zywamy wykluczaj¸acymi si¸e. Zdarzenie



nazywamy zdarzeniem przeciwnym

do zdarzenia

.

Przykład 1.3

a) W przykładzie 1.1b, z rzutem dwoma monetami,


"    

,

mamy



!4



zdarze´n. Zbiór

  

jest zdarzeniem polegaj¸acym na

tym, ˙ze na pierwszej monecie wypadł orzeł.

b) W przykładzie 1.1e, z rzutem dwoma kostkami, mamy



zdarze´n. Zbiór

' -



'

5-



'

5 -



'*$



-



jest zdarzeniem, ˙ze suma oczek na obu kostkach wynosi 5.

c) W przykładzie 1.1c, z kulami,



" 



oznacza zdarzenie, ˙ze wylosowano kul¸e

biał¸a.

d) Rzut czteroma monetami, przykład 1.1g z



, zdarzenie, ˙ze na pierwszej i trzeciej

monecie wypadły orły to

" "    

, a zdarzenie, ˙ze na

pierwszej i trzeciej monecie wypadło to samo to

"                 6 

.

1.2. Prawdopodobie ´nstwo

5

1.2

Prawdopodobie ´nstwo

Definicja 1.4 Prawdopodobie´nstwo, lub rozkład prawdopodobie´nstwa, jest funkcj¸a okre´slon¸a
na zbiorze zdarze´n (w naszym przypadku na zbiorze wszystkich podzbiorów

). Ka˙zde-

mu zdarzeniu



przypisujemy liczb¸e rzeczywist¸a

'

-

, jego prawdopodobie´nstwo.

Funkcja ta musi spełnia´c warunki:

Aksjomaty prawdopodobie ´nstwa

A1)

'

-5

dla ka˙zdego



,

A2)

',

-



,

A3) Je˙zeli zdarzenia

i



s¸a rozł¸aczne, to

'





-

'

- 

'



-

.

Zbiór zdarze ´n elementarnych

wraz z okre´slonym na nim prawdopodobie ´nstwem b¸edziemy

nazywa´c przestrzeni¸a probabilistyczn¸a. W przypadku, gdy przestrze ´n zdarze´n elemen-
tarnych jest zbiorem sko ´nczonym, wystarczy okre´sli´c prawdopodobie ´nstwa dla zdarze ´n
elementarnych. Musz¸a by´c tylko spełnione dwa warunki:

A4)

'

-$

dla ka˙zdego



,

A5)



'

-



,

Prawdopodobie ´nstwo dowolnego zdarzenia jest wtedy równe

'

-





'

-

Łatwo mo˙zna sprawdzi´c, ˙ze tak zdefiniowane prawdopodobie ´nstwo spełnia aksjomaty
definicji 1.4.

W przypadku, gdy przestrze ´n zdarze´n elementarnych jest zbiorem wszystkich mo˙z-

liwych wyników jakiego´s eksperymentu, najcz¸e´sciej przyjmuje si¸e, ˙ze funkcja prawdo-
podobie´nstwa przypisuje, ka˙zdemu zdarzeniu elementarnemu tak¸a sam¸a warto´s´c. Mamy
wtedy do czynienia z klasyczn¸a definicj¸a prawdopodobie ´nstwa. W tej ksi¸a˙zce b¸edziemy
najcz¸e´sciej u˙zywa´c klasycznej definicji, a w razie odst¸epstwa od tej umowy, b¸edziemy to
specjalnie zaznacza´c.

Definicja 1.5 Rozkład prawdopodobie´nstwa, w którym ka˙zde zdarzenie elementarne



ma takie samo prawdopodobie´nstwo

'

-



.

.

nazywamy rozkładem jednostajnym.

Przykład 1.6

a) Dla rzutu dwoma monetami (przykład 1.1b mo˙zemy okre´sli´c praw-

dopodobie´nstwo według klasycznej definicji: mamy wtedy

',-



 #

'

 -



 5

'

-



#

'

 -





6

Rozdział 1. Rachunek prawdopodobie ´nstwa

Ale oczywi´scie funkcja prawdopodobie´nstwa mo˙ze by´c dowoln¸a funkcj¸a spełniaj¸ac¸a
warunki A4 i A5. Na przykład

'

-




#

'

 -





$

'

-

5" #

'

 -

5 



lub

'

-



5

', -



$

'

-



5

'

 -



.

b) W przykładzie 1.2a, ze zbiorem wszystkich liter w tek´scie, prawdopodobie´nstwo

mo˙ze by´c zdefiniowane jako cz¸esto´sci wyst¸epowania poszczególnych liter w tym
tek´scie. Na podstawie cz¸esto´sci wyst¸epowania liter mo˙zna zgadywa´c w jakim j¸ezyku
napisany jest tekst. Podobnie mo˙zna rozpatrywa´c cz¸esto´s´c wyst¸epowania słów w
tek´scie i na tej podstawie zgadywa´c autorstwo tekstu.

W nast¸epuj¸acym twierdzeniu zebrano kilka prostych wniosków wynikaj¸acych z ak-

sjomatów prawdopodobie ´nstwa.

Twierdzenie 1.7

a)

'



-



b) Je˙zeli





, to

'

-

1

'



-

oraz

'





-

'



-



'

-

c)

'





-

'

-



'



-



'





-

d)

'





-

1

'

-



'



-



Dowód:

a)

Z aksjomatu A3 mamy

'



-

'







-

'



-



'



-

, a 0 jest jedyn¸a liczb¸a

spełniaj¸ac¸a równo´s´c









.

b)

Je˙zeli





, to



'





-



oraz

'





-





, a wi¸ec z aksjomatu A3

'



-

'





-



'

-



'

-



c)

Mamy







'





'





--

oraz



'





'





--





a wi¸ec z aksjomatu

A3

'





-/

'

-



'





'





--

, a poniewa˙z







, z wniosku 1.7b

mamy

'



 '





--

'



-



'





-

d)

wynika bezpo´srednio z

c)

.



Przykład 1.8 (kontynuacja przykładu 1.3d) z czteroma monetami). Je˙zeli zało˙zymy roz-
kład jednostajny, to prawdopodobie´nstwo ˙ze na pierwszej i trzeciej monecie wypadł orzeł
wynosi



, a prawdopodobie´nstwo, ˙ze na pierwszej i trzeciej monecie wypadnie to samo

wynosi





.

Podobnie w przypadku, gdy rzucamy





monetami (przykład 1.1g). Przestrze´n

zdarz¸e elementarnych zawiera




ci¸agów, z czego

  

sprzyja zdarzeniu, ˙ze na pierw-

szej i trzeciej monecie wypadnie orzeł, a


 

sprzyja zdarzeniu, ˙ze na pierwszej i trzeciej

monecie jest to samo. Tak wi¸ec otrzymamy takie same prawdopodobie´nstwa jak w przy-
padku rzutu czteroma monetami.

1.3. Prawdopodobie ´nstwo warunkowe i zdarzenia niezale˙zne

7

Twierdzenie 1.9 Niech















b¸edzie rodzin¸a parami rozł¸acznych zdarze´n (







dla ka˙zdej pary indeksów

)

+

). Wtedy

















'

3-

Dowód przez indukcj¸e:

Dla



twierdzenie zachodzi w sposób trywialny.

Załó˙zmy, ˙ze twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej rodziny

zbiorów. Rozpatrzmy































Poniewa˙z





















z aksjomatu A3 i z zało˙zenia indukcyjnego wynika













6















'





-









'

3-



'





-









'

,-



Twierdzenie 1.10 Dla dowolnej rodziny zbiorów















(niekoniecznie parami rozł¸acznych)

mamy













1







'



-

Dowód przez indukcj¸e: Dla



twierdzenie zachodzi w sposób trywialny. Załó˙zmy,

˙ze twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej rodziny

zbiorów. Z twierdzenia 1.7c i z

zało˙zenia indukcyjnego mamy































1















'





-

1











'



-





1.3

Prawdopodobie ´nstwo warunkowe i zdarzenia nieza-
le˙zne

Definicja 1.11 Prawdopodobie´nstwo warunkowe zaj´scia zdarzenia

pod warunkiem, ˙ze

zaszło zdarzenie



oznaczane przez

'

.



-

okre´slamy jako

'

.



-

'





-

'



-



Ma to sens tylko wtedy gdy

'



-





.

8

Rozdział 1. Rachunek prawdopodobie ´nstwa

Mo˙zemy powiedzie´c, ˙ze jest to prawdopodobie ´nstwo zaj´scia zdarzenia

w sytuacji, gdy

mamy pewno´s´c, ˙ze zaszło zdarzenie



. Przy klasycznej definicji, gdy prawdopodobie ´n-

stwo oznacza cz¸esto´s´c wyst¸apienia, to prawdopodobie ´nstwo

'

.



-

oznacza jaka cz¸e´s´c

elementów zbioru



nale˙zy do zbioru

.

Wniosek 1.12

'





-

'

.



-

'



-

.

Je˙zeli

'

.



-

'

-

, to mówimy, ˙ze zdarzenie

jest niezale˙zne od zdarzenia



. W takim przypadku zaj´scie zdarzenia

nie zale˙zy od tego, czy zaszło zdarzenie



.

Je˙zeli

i



s¸a zdarzeniami o niezerowych prawdopodobie ´nstwach i

jest niezale˙zne

od



, to



jest niezale˙zne od

. Rzeczywi´scie

'

.



-

'

-

poci¸aga

'





-

'

-

'



-

, a to poci¸aga

'



-

'





-

'

-

'



.

-



Dlatego mo˙zna mówi´c, ˙ze w takim przypadku zdarzenia

i



s¸a niezale˙zne.

Definicja 1.13 Mówimy, ˙ze zdarzenia

i



s¸a niezale˙zne, je˙zeli

'





-

'

-

'



-



Przykład 1.14 (Kontynuacja przykładu 1.1c, z sze´scioma kulami). Zdarzenie

 



wylosowania kuli białej i zdarzenie



 

! 

wylosowania kuli z parzystym nu-

merem s¸a niezale˙zne, poniewa˙z

'

-







oraz

'

.



-



. Po prostu cz¸esto´s´c

wyst¸epowania kuli białej w´sród kul o parzystych numerach (1 na 3) jest taka sama jak
cz¸esto´s´c wyst¸epowania kuli białej w´sród wszytkich kul (2 na 6).

Je˙zeli mamy wi¸ecej zdarze ´n















, to mówimy, ˙ze s¸a one parami niezale˙zne,

je˙zeli ka˙zde dwa zdarzenia s¸a niezale˙zne, to znaczy gdy

'



-

'

,-

'



-

dla ka˙zdej pary

)



+

.

Definicja 1.15 Zdarzenia















, s¸a niezale˙zne je˙zeli dla ka˙zdego podzbioru





 











mamy



 







 

'



-

Przykład 1.16 (Kontynuacja przykładu 1.1b, z rzutem dwoma monetami). Niech



b¸edzie

zdarzeniem, ˙ze na pierwszej monecie wypadł orzeł,



, ˙ze na drugiej monecie wypadł

orzeł, a



, ˙ze na obu monetach wypadło to samo. Mamy

'



-

'



-

'



-





'







-

'







-

'







-

'











-







Jak wida´c zdarzenia te s¸a parami niezale˙zne, poniewa˙z dla ka˙zdej pary indeksów

1

)



+1



mamy

'







-

'



-

'



-



. Ale zdarzenia te nie s¸a niezale˙zne,

poniewa˙z





'











-

'



-

'



-

'



-







1.4. Prawdopodobie ´nstwo całkowite

9

Przykład 1.17 W przypadku rzutu

monetami, niech

oznacza, ˙ze na

)

-tej monecie

wypadł orzeł. Wtedy zdarzenia















s¸a niezale˙zne. Łatwo sprawdzi´c, ˙ze

dla ka˙zdego

)

,

'

-



 

,

dla ka˙zdej pary

)



+

,

'





-





dla ka˙zdej trójki

)



+



,

'









-







, itd.

prawdopodobie´nstwo, ˙ze wypadn¸a same orły, wynosi



















1.4

Prawdopodobie ´nstwo całkowite

Twierdzenie 1.18 (wzór na prawdopodobie ´nstwo całkowite.) Niech

















,

b¸ed¸a zdarzeniami takimi, ˙ze:

'

3-





, dla ka˙zdego

61)

1

,









, dla

1)

+

1

(zdarzenia s¸a parami rozł¸aczne),



 

0

(zdarzenia daj¸a w sumie cał¸a przestrze´n).

Wtedy prawdopodobie´nsto dowolnego zdarzenia





wynosi

'



-









'



.



-

'



-

Dowód Mamy















 









 





'







-

Ponadto

'





3-



'







-



dla

)

+

wi¸ec na mocy twierdzenia 1.9 mamy

'



-







'







-

Z wniosku 1.12 mamy

'







-

'



.



-

'



-

; co daje tez¸e twierdzenia.



W przypadku dwóch zdarze ´n uzupełniaj¸acych si¸e

i

wzór z twierdzenia 1.18

wygl¸ada nast¸epuj¸aco:

'



-

'



.

-

'

- 

'



.

-

'

-



(1.1)

10

Rozdział 1. Rachunek prawdopodobie ´nstwa

Przykład 1.19 Wyobra´zmy sobie urn¸e z trzema kulami: 1 biał¸a i 2 czarnymi. Przypu´s´cmy,
˙ze pierwsza osoba wylosowała jedn¸a kul¸e i schowała j¸a. Jakie jest prawdopodobie´nstwo,
˙ze druga osoba wylosuje kul¸e biał¸a? Niech



oznacza, ˙ze pierwsza osoba wylosowała

biał¸a kul¸e, wtedy



oznacza, ˙ze wylosowała czarn¸a kul¸e. Niech



oznacza, ˙ze druga

osoba wylosowała biał¸a kul¸e.

Mamy

'



-



,

'



-





,

'



.



-



oraz

'



.



-





. Razem

daje to

'



-





















A jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze po drugim losowaniu w urnie zostanie biała kula?
Zajdzie to wtedy, gdy obie osoby wylosuj¸a kul¸e czarn¸a. Z wniosku 1.12 mamy

'







-

'



.



-

'



-













Jak wida´c prawdopodobie´nstwo wylosowania białej kuli jest takie samo dla pierwszego,
drugiego i trzeciego losuj¸acego.

Poniewa˙z przestrze´n zdarze´n jest tutaj mała, wi¸ec mo˙zna nasz wynik sprawdzi´c bezpo-

´srednio. Oznaczmy kule przez



,

 

i



. Niech przestrze´n zdarze´n elementarnych b¸edzie

('



 



-



'

  

-



',







-



'

 

-



'





-



'

 

 



-





Zakładamy, ˙ze ka˙zdy z tych wyników jest równie prawdopodobny. Wida´c teraz, ˙ze zdarze-
nia:



'

  

-



'



-"

,



('











-



'

 





-



oraz

'







-

('





 

-



'

 "



-



s¸a równo prawdopodobne.

Rozwa˙zmy teraz przypadek, gdy w urnie jest

kul z czego

białych. Znowu zakłada-

my, ˙ze ka˙zdy wynik dwóch losowa´n jest równie prawdopodobny. Mamy

'



-



,

'



-

'



5-



,

'



.



-

'





-

#'





-

oraz

'



.



-

5'



-

. Razem

daje to

'



-















Czyli w tym przypadku, równie˙z druga osoba ma tak¸a sam¸a szans¸e wylosowania kuli
białej co pierwsza.

Przykład 1.20 Wyobra´zmy sobie dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest jedna kula
biała i jedna czarna, a w drugiej urnie dwie białe i jedna czarna. Rzucamy monet¸a. Je˙zeli
wypadnie orzeł, to losujemy kul¸e z pierwszej urny, je˙zeli reszka, to losujemy z drugiej
urny.

Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze wylosujemy kul¸e biał¸a? Niech



oznacza wyloso-

wanie kuli białej, a

wypadni¸ecie orła na monecie, wtedy

oznacza, ˙ze na monecie

wypadła reszka. Mamy

'

-

'

-





oraz

'



.

-



 

-jest to prawdopodobie´nstwo wylosowania kuli białej pod warunkiem,

˙ze wypadł orzeł i losowali´smy z pierwszej urny.

'



.

-2





-jest to prawdopodobie´nstwo wylosowania kuli białej pod warun-

kiem, ˙ze wypadła reszka i losowali´smy z drugiej urny.

Korzystaj¸ac teraz ze wzoru (1.1) mamy

1.5. Zmienna losowa

11

'



-























Zastanówmy si¸e teraz jak powinna wygl¸ada´c przestrze´n probabilistyczna w tym przykła-
dzie. Niech

zawiera wszystkie mo˙zliwe wyniki eksperymentu.

('







-



'

" 

-



'







-



'

" 

-



'

  

-





Aby by´c w zgodzie z intuicj¸a i naszymi poprzednimi wyliczeniami rozkład prawdopodo-
bie´nstwa powinien by´c nast¸epuj¸acy:

(O,1b)

(O,2b)

(R,1b)

(R,2b)

(R,3c)}











!

!





!

Rozkład jednostajny nie jest w tym przykładzie dobry, bo mieliby´smy prawdopodobie´n-
stwo, wypadni¸ecia orła równe


 

.

1.5

Zmienna losowa

Definicja 1.21 Zmienna losowa

jest to dowolna funkcja z przestrzeni zdarze´n elemen-

tarnych

w zbiór liczb rzeczywistych

.

Trzeba tutaj przypomnie´c, ˙ze w tej ksi ˛

a˙zce rozwa˙zamy tylko sko ´nczone przestrzenie zda-

rze´n elementarnych. W przypadku, gdy

jest zbiorem niesko ´nczonym definicja zmiennej

losowej jest inna.

Przykład 1.22

a) Rozwa˙zmy rzut monet¸a,

 

(przykład 1.1a). Zmienna lo-

sowa

jest okre´slona tabel¸a

O

R

'

-





Inny przykład to zmienna

okre´slona tabel¸a

O

R

'

-





b) Rozwa˙zmy rzut dwoma monetami, (przykład 1.1b)


"    

. Niech



i



b¸ed¸a dwoma zmiennymi losowymi okre´slonymi w tabeli

OO

OR

RO

RR



'

-











'

-









Zmienna



okre´sla wynik rzutu na pierwszszej monecie,



'

-



, je˙zeli wypadł

orzeł, i



'

-



, je˙zeli wypadła reszka. W podobny sposób zmienna losowa



okre´sla wynik rzutu na drugiej monecie.

12

Rozdział 1. Rachunek prawdopodobie ´nstwa

c) Rozwa˙zmy rzut

monetami, (przykład 1.1g). Dla ka˙zdego

)

,

1

)

1

okre´slamy

zmienn¸a

;

'

-



, je˙zeli na

)

-tej monecie wypadł orzeł, oraz

'

-



,

je˙zeli wypadła reszka.

d) Rozwa˙zmy losowanie jednej kuli z urny zawieraj¸acej siedem ponumerowanych kul.

  5$$"# !5

(

. Niech zmienna losowa



bedzie zdefiniowana jako



'

-




#

a zmienna losowa



jako



'

-






(



'

-

jest reszt¸a z dzielenia numeru kuli przez 2, a



'

-

reszt¸a z dzielenia przez

3). Warto´sci tych dwóch zmiennych zebrane s¸a w tabeli.

1

2

3

4

5

6

7



'

-

1

0

1

0

1

0

1



'

-

1

2

0

1

2

0

1

Mo˙zemy teraz okre´sli´c inne zmienne losowe, na przykład









,





,











. Ich warto´sci zebrano w tabeli

1

2

3

4

5

6

7



'

-



'

-





'

-

2

2

1

1

3

0

2

'

-



'

-



'

-

1

0

0

0

2

0

1



'

-





'

-





'

-

1

-2

2

-1

0

0

1

e) Rozwa˙zmy rzut dwoma kostkami (przykład 1.1e)

('*)",+(-

.(1) 3+

1 !#

. Niech



oznacza wynik rzutu na pierwszej kostce,



wynik rzutu na drugiej kostce.

Wtedy zmienna









okre´sla sum¸e oczek na obu kostkach.

Maj¸ac zmienn¸a losow¸a

i liczb¸e rzeczywist¸a



definiujemy zdarzenie



jako

'



-





.

'

-







Zauwa˙zmy, ˙ze je˙zeli liczba



nie nale˙zy do zbioru warto´sci

'

-

zmiennej

, to zda-

rzenie



jest zdarzeniem niemo˙zliwym. Prawdopodobie ´nstwo zdarzenia



wynosi

'



-









'

-



Definicja 1.23 Funkcj¸e



'



-

'



-

nazywamy funkcj¸a g¸esto´sci (rozkładu) prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej

.

1.5. Zmienna losowa

13

Przykład 1.24 (Kontynuacja przykładu 1.22d) Dla zmiennej



mamy trzy niepuste zda-

rzenia

'



-



5 !#

'





-

 $

(

'



-

5 #

Zmienna losowa



posiada wi¸ec rozkład



0

1

2

'





-









Podobnie zmienna



ma rozkład



0

1

'





-







Poniewa˙z, jak zało˙zyli´smy

jest zbiorem sko ´nczonym, to zbiór warto´sci

',

-

zmien-

nej

te˙z jest sko ´nczony. Dla







'

-

mamy



'



-

'



-



. Tak wi¸ec funkcja

g¸esto´sci przyjmuje warto´sci niezerowe tylko dla sko ´nczenie wielu argumentów. Zauwa˙z-
my, ˙ze je˙zeli









, to zdarzenia





i





wykluczaj¸a si¸e. Mamy przy

tym

Lemat 1.25 Je˙zeli



jest funkcj¸a g¸esto´sci zmiennej losowej

, to



'



-

dla ka˙zdego





.





'



-



.

Dowód. Sum¸e





'



-



rozumiemy jako sko ´nczon¸a sum¸e po zbiorze warto´sci

zmiennej

.







'



-















'



-













'



-























'

-



Zauwa˙zmy, ˙ze ostatnia podwójna suma jest sum¸a po wszystkich elementach



po-

grupowanych według warto´sci zmiennej

. Mamy wi¸ec







'



-





'

-





W dalszej cz¸e´sci przedstawiaj¸ac funkcj¸e g¸esto´sci zmiennej losowej

b¸edziemy roz-

wa˙za´c tylko te



, dla których



'



-





.

Przykład 1.26

a) Zmienna losowa

z przykładu 1.22a posiada rozkład

-1

1

'

-











14

Rozdział 1. Rachunek prawdopodobie ´nstwa

b) Niech



oznacza sum¸e warto´sci oczek w rzucie dwoma kostkami, przykład 1.22e.

G¸esto´s´c rozkładu prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej



przedstawia nast¸epuj¸aca

tabela:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



'

-





 !


!

!

 !




 !

!



 !


!

!

 !




 !





 !

Maj¸ac funkcj¸e g¸esto´sci rozkładu zmiennej

mo˙zemy okre´sla´c prawdopodobie ´nstwa

zdarze´n opisywanych za pomoc¸a zmiennej

.

Przykład 1.27

a) Dla zmiennej losowej



z przykładu 1.24. mamy

'



  -

'





lub





-

'



-



'





-











pami¸etajmy, ˙ze zdarzenia





oraz





s¸a rozł¸aczne.

b) Dla zmiennej



z przykładu 1.26b mamy

'



  -


!







 !



!




W przypadku dwóch zmiennych losowych

i



okre´slonych na tej samej przestrzeni

zdarze´n elementarnych

mamy tak zwany ł¸aczny rozkład prawdopodobie ´nstwa, którego

g¸esto´s´c jest okre´slona jako



'





-

'



i



-

'



i



-

jest innym zapisem zdarzenia

'



-



'



-

.

Przykład 1.28

a) Ł¸aczny rozkład zmiennych losowych



i



, z przykładu 1.22b

jest przedstawiony w tabeli



0

1



0







1







b) Dla zmiennych



i



z przykładu 1.22d ł¸aczny rozkład prawdopodobie´nstwa

przedstawiony jest w tabeli:



0

1

2



0











1













Lemat 1.29 Niech



, b¸edzie g¸esto´sci¸a ł ˛

acznego rozkładu zmiennych

i



. Wtedy

1.5. Zmienna losowa

15

a)

'



-













'





-

b)

'



-









'





-

Dowód Zauwa˙zmy, ˙ze















'



-



'



-

















'



-





'



-

'



-

poniewa˙z













'



-

Z drugiej strony

















'



-



'



-



















'



-



'



-

















'





-

Podobnie mo˙zna pokaza´c, ˙ze

'



-









'



i



-











'





-



Przykład 1.30 Sumuj¸ac wiersze tabeli z przykładu 1.28b mo˙zna otrzyma´c g¸esto´s´c roz-
kładu zmiennej



, a sumuj¸ac kolumny g¸esto´s´c rozkładu



.



0

1

2



0













1























Podobnie jak dla jednej zmiennej, maj¸ac g¸esto´s´c ł¸acznego rozkładu prawdopodobie ´n-

stwa dwóch zmiennych

i



mo˙zna oblicza´c prawdopodobie ´nstwa zdarze ´n opisywa-

nych przez te zmienne.

Przykład 1.31 We´zmy zmienne



i



z przykładu 1.30. Wtedy

'





-

'





i





lub





i



-

'





i



-



'





i



-







 6



oraz

'







-

'





i





lub





i





lub





i



 -










 



16

Rozdział 1. Rachunek prawdopodobie ´nstwa

1.6

Niezale˙zno´s´c zmiennych losowych

Definicja 1.32 Zmienny losowe

i



s¸a niezale˙zne je˙zeli dla ka˙zdej pary liczb



,

mamy

'



i



-

'



-

'



-

lub inaczej, gdy







'





-





'



-





'

-



gdzie







oznacza g¸esto´s´c rozkładu ł¸acznego,





g¸esto´s´c zmiennej

, a





g¸esto´s´c

zmiennej



.

Przykład 1.33 Zmienne losowe



i



z przykładu 1.28a s¸a niezale˙zne, natomiast

zmienne



i



z przykładu 1.28b nie s¸a niezale˙zne.

Oczywi´scie mo˙ze by´c wi¸ecej zmiennych losowych okre´slonych na jednej przestrzeni

Dla trzech zmiennych losowych

,



,

ł¸aczny rozkład prawdopodobie ´nstwa, zdefinio-

wany jest jako



'







-

'



i



i

-

Mamy przy tym

'



-



















'







-



'



-























'







-



'

-























'







-

oraz na przykład

'



i

-











'







-



W ogólnym przypadku

zmiennych losowych















ich ł¸aczny rozkład prawdo-

podobie´nstwa okre´slony jest jako



'

















-

'























-



Podobnie jak poprzednio łatwo mo˙zna pokaza´c, ˙ze

'







i







-





















'































-



Definicja 1.34 Zmienne losowe

,



,

s¸a niezale˙zne je˙zeli dla ka˙zdej trójki liczb



,

i

mamy



'







-

'



-

'



-

'

-

Podobnie mamy w przypadku

zmiennych losowych

1.6. Niezale˙zno´s´c zmiennych losowych

17

Definicja 1.35 Zmienne losowe















s¸a niezale˙zne je˙zeli dla ka˙zdej

-tki liczb



















zachodzi











'



-







'



-



Przykład 1.36 Wró´cmy do przykładu z rzutem

monetami, przykład 1.22c. Dla ka˙zdego

)

zmienna losowa

jest równa



je˙zeli na

)

-tej monecie wypadł orzeł, i 1 je˙zeli na

)

-tej

monecie wypadła reszka. Zmienne















s¸a niezale˙zne.

Poka˙zemy teraz, ˙ze je˙zeli zmienne losowe

i



s¸a niezale˙zne, to niezale˙zne s¸a te˙z

zdarzenia opisywane przez te zmienne. Dokładniej

Twierdzenie 1.37 Niech

i



b¸ed¸a niezale˙znymi zmiennymi losowymi, a

i



dowol-

nymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych. Wtedy zdarzenia





.

'

-



oraz







.



'

-







s¸a niezale˙zne.

Dowód Poniewa˙z zbiór warto´sci zmiennej

jest sko ´nczony, mo˙zemy wypisa´c wszystkie

elementy zbioru

'

-



. Niech



















6

'

-





Podobnie niech















6



',

-







Mamy zatem





.

'

-



dla jakiego´s

) 







.



'

-



dla jakiego´s

+$

oraz











.

istniej¸a

)",+

takie, ˙ze

'

-



oraz



'

-



-



czyli





















'



i





-

Poniewa˙z sumowane zdarzenia wykluczaj¸a si¸e wzajemnie mamy

'









-















'



i





-



18

Rozdział 1. Rachunek prawdopodobie ´nstwa

a poniewa˙z

i



s¸a niezale˙zne

'









-













'



-

'





-



ale









'



,-

'



-

oraz







'





-

'





-



Teza twierdzenia wynika z prostego faktu, ˙ze











'



-











'





-















'



-

'





-



1.7

Warto´s´c oczekiwana, ´srednia

Definicja 1.38 Warto´s´c oczekiwana (´srednia) zniennej losowej

to liczba

'

-





'

-

'

-



Przykład 1.39 Dla zmiennej losowej



z przykładu 1.24 warto´s´c oczekiwana wynosi

'



-



















Je˙zeli zmienna posiada jednostajny rozkład prawdopodobie ´nstwa, to jej warto´s´c ocze-

kiwana jest zwykł¸a ´sredni¸a arytmetyczn¸a jej warto´sci.

'

-





'

-



.

.



.

.





'

-



W ogólnym przypadku warto´s´c oczekiwana jest nazywana ´sredni¸a wa˙zon¸a.

Lemat 1.40

'

-















'



-

Dowód Je˙zeli pogrupujemy wyrazy sumy



'

-

'

-

według warto´sci zmiennej

, to otrzymamy

'

-





'

-

'

-























'

-















'



-



1.7. Warto´s´c oczekiwana, ´srednia

19

Przykład 1.41 Przypu´s´cmy, ˙ze mamy informacj¸e, ˙ze w jakiej´s grupie studenckiej połowa
studentów otrzymała ocen¸e 5 z matematyki dyskretnej, jedna trzecia otrzymała ocen¸e 4,
a jedna szósta ocen¸e 3. Jaka jest ´srednia ocena w tej grupie? Przyjmujemy, ˙ze grupa jest
przestrzeni¸a losow¸a, a zmienna losowa

jest ocen¸a studenta. Wtedy warto´s´c oczekiwana

zmiennej

'

-





















!

 !

!









jest ´sredni¸a ocen¸a w tej grupie.

Wniosek 1.42 Dla ka˙zdej zmiennej losowej

istnieje zdarzenie elementarne



takie, ˙ze

'

-





oraz

'

-

'

-

.

Podobnie istnieje zdarzenie



takie, ˙ze

'

-





oraz

'

-

1

'

-

.

Dowód: Udowodnimy tylko pierwsz¸a cz¸e´s´c twierdzenia, drug¸a mo˙zna udowodni´c w po-
dobny sposób.

Przypu´s´cmy, ˙ze dla ka˙zdego



z dodatnim prawdopodobie ´nstwem mamy

'

-



'

-

. Ale to prowadzi do sprzeczno´sci

'

-





'

-

'

-







'

-

'

-

'

-





'

-

'

-



W przypadku klasycznej definicji wniosek 1.42 opisuje prosty fakt, ˙ze zawsze istnieje

przynajmniej jedna warto´s´c mniejsza od lub równa warto´sci ´sredniej oraz warto´s´c wi¸eksza
od lub równa ´sredniej.

W poni˙zszym twierdzeniu zebrano podstawowe własno´sci warto´sci oczekiwanej.

Twierdzenie 1.43

a)

'





-

'

-



'



-

.

b) Je˙zeli

jest liczb¸a rzeczywist¸a, to

'

-

'

-

.

c) Je˙zeli zmienne

i



s¸a niezale˙zne, to

'



-

'

-

'



-

.

d) Je˙zeli





, to

'

-



.

Dowód:

a)

'





-





'





-

'

-





'

'

-





'

--





'

-









'

-

'

-



'



-

b)

'

-





'

-

'

-





'

-





'

-

'

-

c)

'



-







'

-

'

-

20

Rozdział 1. Rachunek prawdopodobie ´nstwa

Pogrupujmy składniki sumy według warto´sci zmiennych

i



.

'



-















 



 

'

-











'



i



-









'



-

'



-









'



-







'



-



'

-

'



-

d)

Je˙zeli dla ka˙zdego

,

'

-

, to



'

-

'

-



.



Twierdzenie 1.44 Warto´s´c oczekiwana sumy

zmiennych















jest równa

'









-







'

,-

Twierdzenie 1.45 Je˙zeli zmienne















s¸a niezale˙zne, to warto´s´c oczekiwana ich

iloczynu równa si¸e















'

-

Twierdzenie 1.46 (Nierówno´s´c Markowa) Je˙zeli zmienna losowa

przyjmuje waret´sci

nieujemne, to dla dowolnej liczby rzeczywistej







'





-

1

'

-





Dowód:

'

-







'



-







'



-









'



-







'



-









'



-







'



-



'





-





Zauwa˙zmy, ˙ze nierówno´s´c Markowa jest u˙zyteczna tylko kiedy





'

-

. Je˙zeli

bowiem



1

'

-

, to mamy trywialne oszacowanie

'





-

1

1

'

-





Przykład 1.47 Nierówno´s´c Markowa wyra˙za do´s´c prosty fakt. Przypu´s´cmy, ˙ze

okre´sla

liczb¸e pieni¸edzy posiadan¸a przez studenta. Je˙zeli warto´s´c ´srednia zmiennej

wynosi 100

złotych, to tylko połowa studentów mo˙ze mie´c 200 lub wi¸ecej złotych. Przypu´s´cmy bowiem
˙ze







cz¸e´s´c studentów posiada 200 (lub wi¸ecej) złotych. Wtedy udział tej bogatej

cz¸e´sci studentów w ´sredniej wynosi co najmniej





'







-























, i

warto´s´c ´srednia nie mo˙ze wynosi´c 100 złotych, je˙zeli zmienna

nie przyjmuje warto´sci

ujemnych.

1.7. Warto´s´c oczekiwana, ´srednia

21

Poka˙zemy teraz jak mo˙zna wykorzysta´c prawdopodobie ´nstwo do rozwa˙za ´n kombina-

torycznych. Udowodnimy nast¸epuj¸ace:

Twierdzenie 1.48 Wierzchołki dowolnego grafu mo˙zna pokolorowa´c dwoma kolarami
(białym i czarnym) w taki sposób, ˙ze przynajmniej połowa kraw¸edzi ma swoje ko´nce w
ró˙znych kolorach.

Zanim przejdziemy do dowodu wyja´snjmy kilka rzeczy:

Definicja 1.49 Graf

jest to dowolny sko´nczony zbiór wierzchołków



wraz ze zbiorem

kraw¸edzi



, gdzie kraw¸edzie to pary wierzchołków.







%.0 







%



Dla kraw¸edzi



 0 $

mówimy, ˙ze wierzchołki



i



s¸a ko ´ncami kraw¸edzi



lub, ˙ze

kraw¸ed˙z



ł¸aczy



i



.

Graf cz¸esto przedstwiamy na rysunku jako zbiór punktów poł¸aczonych łukami. Na

przykład rysunek 1.1 przedstawia graf ze zbiorem wierzchołków





  















i zbiorem kraw¸edzi





  





 



 







% 







 







 



%



Rysunek 1.1: Przykład grafu













Łatwo jest pokolorowa´c ka˙zdy graf tak, aby ka˙zda kraw¸ed´z miała oba ko ´nce w jed-

nym kolorze. Wystarczy wszystkie wierzchołki pokolorowa ´c tym samym kolorem. Graf
z rysunku 1.1 mo˙zna pokolorowa´c tak, aby ka˙zda kraw¸ed´z była dwukolorowa. Trzeba
pokolorowa´c na biało wierzchołki ,



,



i



i na czarno wierzchołki



,



i



. Ale nie dla

ka˙zdego grafu jest mo˙zliwe takie pokolorowanie, w którym ka˙zda kraw¸ed˙z ma ko ´nce w
ró˙znych kolorach. Na przykład dla trójk¸ata, czyli grafu z wierzchołkami



 "# #

i

kraw¸edziami



  #

  #

5# 

(patrz rysunek 1.2) nie istnieje takie pokolo-

rowanie.

22

Rozdział 1. Rachunek prawdopodobie ´nstwa

Rysunek 1.2: Trójk¸at







Dowód twierdzenia 1.48: Przypu´s´cmy, ˙ze graf ma

.



.

wierzchołków i

.



.

kraw¸edzi. Rozwa˙zmy przestrze ´n zdarze´n elementarnych

zło˙zon¸a ze wszystkich mo˙z-

liwych pokolorowa ´n wierzchołków grafu

. Jest ich

.

.




. Dla ka˙zdej kraw¸edzi



 0 $





okre´slmy zmienn¸a losow¸a



w nast¸epuj¸acy sposób:



'

-



, je˙zeli

w kolorowaniu

oba ko ´nce kraw¸edzi



maj¸a ró˙zne kolory i



'

-



w przeciwnym

przypadku.

'



-





, poniewa˙z w połowie kolorowa ´n ko´nce



maj¸a ró˙zne kolory.

W jednej czwartej kolorowa ´n oba ko´nce s¸a białe (kolorowa ´n, w któtych



i



maj¸a kolor

biały, jest

  

, bo na tyle sposobów mo˙zna pokolorowa´c pozostałe





wierzchołków)

oraz w jednej czwartej kolorowa ´n oba s¸a czarne.

Mamy wi¸ec

'



-







. Rozwa˙zmy teraz sum¸e zmiennych losowych









Warto´s´c zmiennej

'

-

to liczba ró˙znokolorowych kraw¸edzi w kolorowaniu

. Ale

'

-







'



-







Dlatego, zgodnie z wnioskiem 1.42 musi istnie´c kolorowanie

, dla którego

'

-



 

.



´Srednia liczba ró˙znokolorowych kraw¸edzi w kolorowaniu mo˙ze by´c obliczona bez

u˙zywania terminologii rachunku prawdopodobie ´nstwa. Policzmy ile we wszystkich kolo-
rowaniach jest ró˙znokolorowych kraw¸edzi. Z jednej strony jest to





'

liczba ró˙znokolorowych kraw¸edzi w kolorowaniu

-

Z drugiej strony







'

liczba kolorowa ´n, w których kraw¸ed´z



jest ró˙znokolorowa

-















 



Przedostatnia równo´s´c wynika z tego, ˙ze liczba kolorowa ´n, w których



jest ró˙znoko-

lorowa wynosi






(połowa wszystkich). ´Srednia liczba ró˙znokolorowych kraw¸edzi w

kolorowaniu wynosi wi¸ec

 











1.8. Wariancja

23

1.8

Wariancja

Definicja 1.50 Wariancj¸a zmiennej losowej

o warto´sci oczekiwanej

'

-



nazywamy liczb¸e

'

-

''





-



-

Wariancja

'

-

jest miar¸a tego jak bardzo warto´sci zmiennej

s¸a oddalone od ´sred-

niej. Im wi¸eksze rozrzucenie warto´sci tym wi¸eksza wariancja. W poni˙zszym twierdzeniu
zebrano podstawowe własno´sci wariancji

Twierdzenie 1.51

a)

'

-





b)



'

-

'



-







c)

'

-



'

-

d) Je˙zeli zmienne

i



s¸a niezale˙zne, to

'





-

'

-



'



-

.

e) Je˙zeli zmienne















s¸a parami niezale˙zne, to



















'

-

Dowód

a)

wynika z faktu, ˙ze zmienna

'





-



przyjmuje tylko nieujemne warto´sci,

b)

'

-

''





-



-

'















-

'



-







'

-







'



-















'



-







d)

''





-



-

'



-





'



-



'





-

poniewa˙z zmienne s¸a niezale˙zne, to z twierdzenia 1.43c

''





-



-

'



-





'

-

'



-



'





-



Z drugiej strony

'

'

-



'



--



'

'

--







'

-

'



-



'

'



--



po odj¸eciu stronami dwóch ostatnich równo´sci



'





-

''





-



-

 '

'





--



'



-

'

'

--





'





-

'

'



--



'

-



'



-





Twierdzenie 1.52 (Nierówno´s´c Czebyszewa) Dla zmiennej losowej

z warto´sci¸a oczekiwan¸a

'

-



oraz liczby rzeczywistej







mamy

'.





.





-

1



'

-







24

Rozdział 1. Rachunek prawdopodobie ´nstwa

Dowód: Rozwa˙zmy zmienn¸a losow¸a







. Poniewa˙z

.



'

-

.





'

-







to

' .



.



-

'











-

Stosuj¸ac nierówno´s´c Markowa dla zmiennej





mamy

' .



.

-

'











-

1

'





-





ale

'





-

''





-



-

'

-



1.9

Rozkład jednopunktowy

Z rozkładem jednopunktowym mamy do czynienia, wtedy gdy całe prawdopodobie ´nstwo
jest skupione w jednym punkcie

Definicja 1.53 Zmienna losowa

ma rozkład jednopunktowy, je˙zeli dla jekiego´s

'

-





Poniewa˙z



'



-



, to

'



-



dla ka˙zdego



.

Warto´s´c oczekiwana zmiennej

wynosi

'

-



Lemat 1.54 Je˙zeli jaka´s zmienna

przyjmuje warto´sci nieujemne i

'

-



, to zmien-

na losowa

ma rozkład jednopunktowy, to znaczy

'

-



czyli dla ka˙zdego



, je˙zeli

'

-



, to

'

-



.

Dowód: Poka˙zemy, ˙ze dla ka˙zdego



, je˙zeli

'

-



, to

'

-



. Przypu´s´cmy

bowiem, ˙ze istnieje



, takie, ˙ze

'

-







. Wtedy z nierówno´sci Markowa,

twierdzenie 1.46, mamy

'

-

1

'





-

1

'

-







Zało˙zenie, ˙ze zmienna

przyjmuje tylko warto´sci nieujemne jest istotne we wnio-

sku 1.54. Pokazuje to nast¸epuj¸acy przykład.

1.10. Rozkład zero-jedynkowy

25

Przykład 1.55 Zmienna losowa

z przykładu 1.26a z funkcj¸a g¸esto´sci:

-1

1



'

-







 

ma warto´s´c oczekiwan¸a

'

-



.

Wariancja zmiennej losowej

z rozkładem jednopunktowym wynosi



'

-

'



-

'

'

--











Ale i na odwrót

Lemat 1.56 Je˙zeli

'

-



, to zmienna losowa

posiada rozkład jednopunktowy.

Dowód Poniewa˙z

'

-

''





-

-



, to z lematu 1.54 wynika, ˙ze



'





-

'



-

.



Wniosek 1.57 Niech



















b˛ed ˛

a dowolnymi liczbami rzeczywistymi i niech













Wtedy





















przy czym równo´s´c zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy



dla ka˙zdego

)

.

Dowód: Niech

 











b˛edzie przestrzeni ˛

a z jednostajnym rozkładem prawdo-

podobie´nstwa i niech

b˛edzie zmienn ˛

a losow ˛

a okre´slon ˛

a wzorem

'*)

-



. Wtedy

jest warto´sci ˛

a oczekiwan ˛

a zmiennej

, a



















jej wariancj ˛

a, która jest nieujemna i równa zeru tylko dla rozkładu jednopunktowego.



1.10

Rozkład zero-jedynkowy

Zmienna losowa

ma rozkład zero-jedynkowy, je˙zeli prawdopodobie ´nstwo jest skupio-

ne tylko w dwóch punktach 0 i 1. G¸esto´s´c rozkładu prawdopodobie ´nstwa ma wtedy posta´c



0

1



'



-

dla pewnych dodatnich

0

spełniaj¸acych warunek

/


.

Warto´s´c oczekiwana zmiennej

wynosi

'

-









a wariancja

'

-

'



-

 '

'

--











'





-





26

Rozdział 1. Rachunek prawdopodobie ´nstwa

1.11

Rozkład dwumianowy — Bernoulliego

Przypu´s´cmy, ˙ze mamy seri¸e

niezale˙znych do´swiadcze´n i w ka˙zdym do´swiadczeniu dwa

mo˙zliwe wyniki: sukces z prawdopodobie ´nstwem

i pora˙zka z prawdopodobie ´nstwem






. Niech

b¸edzie zmienn¸a losow¸a równ¸a liczbie sukcesów w tej serii. Zmienna

losowa

posiada rozkład dwumianowy (Bernouliego) z parametrami

i

.

Dla uproszczenia rozwa˙za ´n załó˙zmy, ˙ze

&

. Prawdopodobie ´nstwo zdarzenia, ˙ze

wyst¸api sukces, pora˙zka, sukces i pora˙zka wynosi



, poniewa˙z wyniki do´swiad-

cze´n s¸a niezale˙zne. Dokładnie dwa sukcesy w serii czterech do´swiadcze´n b¸edziemy mieli,
je˙zeli wyst¸api jeden z ci¸agów, w których na dwóch pozycjach wyst¸epuj¸a sukcesy:

(sukces, sukces, pora˙zka, pora˙zka),
(sukces, pora˙zka, sukces, pora˙zka),
(sukces, pora˙zka, pora˙zka, sukces),
(pora˙zka, sukces, sukces, pora˙zka),
(pora˙zka, sukces, pora˙zka, sukces),
(pora˙zka, pora˙zka, sukces, sukces).

Takich ci¸agów jest







!

, bo na tyle sposobów mo˙zna wybra´c dwie pozycje, na których

b¸ed¸a sukcesy. Ka˙zdy z tych ci¸agów ma takie samo prawdopodobie ´nstwo równe



. I

poniewa˙z te ci¸agi s¸a zdarzeniami wykluczaj¸acymi si¸e, prawdopodobie ´nstwo, ˙ze wyst¸api
który´s z nich wynosi















Podobnie dla dowolnego



1

1

, prawdopodobie ´nstwo, ˙ze w serii czterech do´swiad-

cze´n wypadnie

sukcesów wynosi













W podobny sposób mo˙zna uzasadni´c, ˙ze dla dowolnego

rozkład dwumianowy z para-

metrami

i

ma posta´c

'

5-













Twierdzenie 1.58 Warto´s´c oczekiwana

'

-

zmiennej losowej

maj¸acej rozkład dwu-

mianowy o parametrach

i

wynosi

.

Dowód: Rozwa˙zmy funkcj¸e:



'

-

'



-



ze wzoru Newtona mamy



'

-

'



-

























Zró˙zniczkujmy t¸a funkcj¸e

'



-





























1.12. Kra ´nce rozkładu dwumianowego

27

Je˙zeli teraz podstawimy



to otrzymamy



















'

-



Rozwa˙zmy ci¸ag niezale˙znych zmiennych losowych















, ka˙zda o rozkładzie

zero jedynkowym

'



-



oraz

'

-



Suma tych zmiennych









ma rozkład dwumianowy o parametrach

i

. Warto´s´c oczekiwana, ka˙zdej ze zmiennych

wynosi

'

-



, wi¸ec warto´s´c oczekiwana zmiennej

wynosi

.

Wariancja zmiennej

wynosi

'

-

. Poniewa˙z zmienne















s¸a

niezale˙zne to wariancja ich sumy wynosi

, mamy wi¸ec.

Twierdzenie 1.59 Wariancja zmiennej losowej

z rozkładem dwumianowym o parame-

trach

i

wynosi

'

-



1.12

Kra ´nce rozkładu dwumianowego

Twierdzenie 1.60 (Nierówno´sci Chernoff’a) Niech zmienna losowa

posiada rozkład

dwumianowy o parametrach

i

. Oznaczmy warto´s´c oczekiwan¸a tego rozkładu przez

. Wtedy dla dowolnej liczby rzeczywistej



,

1



1



, mamy

'

'







-

-

1









oraz

'

1'







-

-

1









1.13

Problem dnia urodzin

Zastanówmy si¸e ile osób musi znajdowa´c si¸e w pokoju, aby była du˙za szansa, ˙ze dwie
osoby maj¸a urodziny tego samego dnia.

Dla prostoty przyjmujemy, ˙ze problem dnia urodzin jest równowa˙znu problemowi

wylosowania ci¸agu

liczb













 



, ka˙zda spo´sród

!

mo˙zliwo´sci, tak aby

wyst¸apiło w nim jakie´s powtórzenie.

Oznaczmy przez





zdarzenie przeciwne, ˙ze wszystkie wylosowane liczby s¸a ró˙zne.

Je˙zeli zało˙zymy, ˙ze wszystkie ci¸agi s¸a równo prawdopodobne, to prawdopodobie ´nstwo,

˙ze otrzymamy ci¸ag ró˙znowarto´sciowy wynosi

'





-

'



-

'



-





'



- '





-

'





-

28

Rozdział 1. Rachunek prawdopodobie ´nstwa



'







-'





-

'









-



Skorzystamy teraz z nierówno´sci







1





'





-

1











































1







































Prawdopodobie ´nstwo to jest mniejsze od





wtedy gdy

'





-









, a to zachodzi

wtedy gdy













. Dla

!

, zachodzi to dla

 



.

Tak wi¸ec je´sli w pokoju znajduj¸a si¸e co najmniej 24 osoby, to z prawdopodobie ´nstwem

wi¸ekszym od



 

dwie spo´sród nich maj¸a urodziny w tym samym dniu.

1.14

Zadania

1. Zaproponuj przestrze ´n zdarze´n elementarnych dla losowania dwóch kul z urny

zawieraj¸acej 3 kule białe i 4 czarne. Przedstaw zdarzenie, ˙ze wylosowano:

a) dwie kule białe, b) kule w ró˙znych kolorach.

2. Zaproponuj przestrze ´n zdarze´n elementarnych dla ustawienia czterech liter ,



,



i



w ci¸ag.

Przedstaw zdarzenie, ˙ze

a)

i



stoj¸a obok siebie;

b)

i



s¸a rozdzielone jedn¸a liter¸a.

3. Zaproponuj przestrze ´n zdarze´n elementarnych dla nast¸epuj¸acych do´swiadcze´n:

a) Losowanie karty z talii 52 kart.

b) Losowanie 13 kart z talii 52 kart.

c) Wypełnienie kuponu totolotka.

d) Wypełnienie kuponu totalizatora piłkarskiego.

4.

,



i



s¸a zdarzeniami. Zapisa´c za pomoc¸a działa ´n na zbiorach zdarzenia:

a) zachodz¸a wszystkie trzy zdarzenia;

b) zachodzi dokładnie jedno ze zdarze ´n

,



lub



;

c) zachodz¸a dokładnie dwa ze zdarze ´n

,



,



;

d) zachodz¸a co najmniej dwa spo´sród zdarze ´n

,



,



.

5. Cyfry

5









ustawiono losowo. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo,

a) ˙ze



i



stoj¸a obok siebie;

b) ˙ze pomi¸edzy



i



stoj¸a dwie cyfry;

c) ˙ze



,



i



stoj¸a obok siebie.

1.14. Zadania

29

6. Pokaza´c, ˙ze

'





-

'

-



'



-





7. Dane s¸a

'

-







,

'





-





i

'





-
&



. Obliczy´c

'



-

,

'





-

i

'





-

.

8. Dane s¸a

'





-2





i

'





-2





, wiadomo te˙z, ˙ze

'





-2

'





-

. Obliczy´c

'



-

oraz

'





-

.

9. W urnie s¸a 4 kule białe i 3 czarne. Losujemy dwie. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo,

˙ze wylosowane kule b¸ed¸a w ró˙znych kolorach?

10. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo, ˙ze na przyj¸eciu, na którym jest

osób, znajdzie

si¸e osoba, która ma urodziny tego samego dnia co ja?

11. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo, ˙ze przy okr¸agłym stole wybrane na pocz¸atku dwie

osoby usi¸ad¸a obok siebie?

12. Niech przestrze ´n zdarze´n elementarnych b¸edzie zbiorem 3 elementowych ci¸agów

zero-jedynkowych. Wypisz zdarzenia:

a) na pierwszej współrz¸ednej jest zero;

b) na pierwszej i trzeciej współrz¸ednej s¸a zera;

c) na pierwszej i trzeciej współrz˛ednej mamy ró˙zne warto´sci;

d) na wszystkich współrz¸ednych jest to samo.

Oblicz prawdopodobie ´nstwa tych zdarze ´n (rozkład jednostajny).

Czy zdarzenia te s¸a niezale˙zne?

Niech przestrze ´n zdarze´n elementarnych b¸edzie zbiorem

elementowych ci¸agów

zero-jedynkowych (rozkład jednostajny). Oblicz prawdopodobie ´nstwa tych samych
zdarze´n.

13. Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo, ˙ze na ˙zadnej kostce nie

wypada szóstka, je˙zeli na ka˙zdej kostce wypada inna liczba oczek.

14. Mamy dwie urny z kulami. W pierwszej urnie s¸a dwie kule białe i cztery czarne, a

w drugiej urnie trzy białe i trzy czarne. Rzucamy kostk¸a do gry. Je˙zeli wypadnie 1
lub 2, to losujemy kul¸e z pierwszej urny, je˙zeli 3,4,5 lub 6, to losujemy z drugiej
urny.

Jakie jest prawdopodobie ´nstwo, ˙ze wylosujemy kul¸e biał¸a?

Zaproponuj przestrze ´n zdarze´n elementarnych i rozkład prawdopodobie ´nstwa.

15. W urnie jest

kul w tym

białych.

osób po kolei losuje jedn¸a kul¸e bez zwracania.

a) Ile wynosi prawdopodobie ´nstwo wylosowania kuli białej dla trzeciej osoby?

b) Ile wynosi prawdopodobie ´nstwo wylosowania kuli białej dla ka˙zdej z losuj¸acych
osób?

30

Rozdział 1. Rachunek prawdopodobie ´nstwa

16. Udowodnij, ˙ze je˙zeli zdarzenia

i



s¸a niezale˙zne, to niezale˙zne s¸a tak˙ze

i



oraz

i



.

17. Zmienna losowa

posiada rozkład:



1

2

3

4

5

'



-















#

!



#

!

Oblicz

'



-

,

'

 -

.

Oblicz warto´s´c oczekiwan¸a

, wariancj¸e



'

-

oraz

'



-

.

18. Zmienna



'



-







jest okre´slona na przestrzeni











#

z jednostaj-

nym rozkładem. Podaj jej rozkład, warto´s´c oczekiwan¸a oraz

'



-

.

19. Podaj rozkład cz¸esto´sci wyst¸epowania liter w zdaniu:

"Podzbiory przestrzeni zdarze ´n losowych nazywamy zdarzeniami".

20. Ł¸aczny rozkład zmiennych losowych

i



przedstawiony jest w tabeli.



-1

0

1

0

















1



!





!



!

Oblicz rozkłady zmiennych

,



,





,









.

Oblicz

,



,

'

-

,

'



-

,

'





-

,



'





-

.

Czy zmienne

i



s¸a niezale˙zne?

Oblicz prawdopodobie ´nstwa

'



-

,

'





-

.

21. Ł¸aczny rozkład zmiennych losowych

i



przedstawiony jest w tabeli.



0

1

2

0

(







!



(

1

Czy mo˙zna tak dobra´c liczby

,

i , aby zmienne

i



były niezale˙zne?

22. W dwóch tabelach przedstawiono ł¸aczny rozkład zmiennych

,



i

. Pierwsza

tabela zawiera warto´sci



'







-

, a druga warto´sci



'









-

.

Z=0



1

2

3

-1



#





!

(



1



 



#









1.14. Zadania

31

Z=1



1

2

3

-1

(





#





#



1

(

(





#



Oblicz rozkłady brzegowe zmiennych

,



i

. Oblicz

'



-

,

'





-

,

'







-

.

Czy zmienne

,



i

s¸a niezale˙zne? Je˙zeli nie, to zmie ´n prawdopodobie ´nstwa w

pierwszej tabeli tak, ˙zeby były niezale˙zne.

23. Na przestrzeni









 #

z jednostajnym rozkładem okre´slamy trzy zmienne



'



-







,



'



-







,



'



-







. Czy zmienne te s¸a niezale˙zne?

24. Mamy trzy niezale˙zne zmienne losowe

,



i

(okre´slone na jakiej´s przestrzeni

probabilistycznej). Udowodnij, ˙ze ka˙zde dwie te˙z s¸a niezale˙zne.

25. Mamy

niezale˙znych zmiennych losowych















. Pokaza´c, ˙ze dla ka˙zdego







zmienne















te˙z s ˛

a niezale˙zne.

Podobnie ka˙zdy podzbiór tych zmiennych jest niezale˙zny.

26. Pokaza´c, ˙ze dla ka˙zdego











istnieje zmienna losowa

taka, ˙ze

'

-



oraz

'





 -







.

27. Pokaza´c, ˙ze je˙zeli

ma rozkład symetryczny, tzn dla pewnego

,

'





-

'





-

dla ka˙zdego



, to

.

28. Pokaza´c, ˙ze jezeli mamy zmienna losow¸a

z rozkładem jednopunktowym i dowoln¸a

inn¸a zmienn¸a



, to

i



s¸a niezale˙zne

29. Poka˙z, ˙ze je˙zeli zmienne losowe

i



s¸a niezale˙zne, to dla dowolnych liczb



i ,

zdarzenia





oraz





s¸a niezale˙zne.

30. Poka˙z, ˙ze je˙zeli zmienne losowe

i



s¸a niezale˙zne, to dla dowolnych funkcji



i

, zmienne



i



te˙z s¸a niezale˙zne.

31. Pokaza´c, ˙ze

'





-

32. Poda´c przykład dwóch zmiennych

i



o ró˙znych rozkładach takich, ˙ze



i





.

33. Przypu´s´cmy, ˙ze zmienna losowa przyjmuje





warto´sci

























ka˙zde z dodatnim prawdopodobie ´nstwem.

a) Czy jest mo˙zliwe





lub





?

b) Czy jest mo˙zliwe







lub









?

c) Czy b) jest mo˙zliwe je˙zeli

ma rozkład jednostajny?

32

Rozdział 1. Rachunek prawdopodobie ´nstwa

34. Kowariancja zmiennych losowych

i



równa si¸e





'





-

''



-

'







--

. Pokaza´c, ˙ze

a) je˙zeli

i



s¸a niezale˙zne to





'





-



;

b)

'





-

'



-



'



- 

 



'





-

c)



'







,-





'

-











 





'





-

.

35. Rzucano monet¸a 10 razy. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo, ˙ze orzeł wypadł co naj-

mniej raz?

36. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo otrzymania parzystej liczby sukcesów w ci¸agu

prób Bernoulliego, je˙zeli prawdopodobie ´nstwo sukcesu w jednej próbie wynosi: a)
1/2, b)

.

37. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo, ˙ze w serii sze´sciu rzutów kostk¸a suma oczek b¸edzie

parzysta.

38. Pokaza´c, ˙ze je˙zeli

)

+

, to



'



0)

-



'



0,+(-

; a je˙zeli



)

 +

, to



'



0)

-





'



,+(-

, gdzie



'



)

-

to rozkład dwumianowy.

39. Niech zmienna losowa

ma rozkład dwumianowy z parametrami







,



 

. Oszacuj prawdopodobie ´nstwo

'



!

-

(za pomoc ˛

a nierówno´sci

Markowa, Czebyszewa i Chernoff’a).