LABORATORIUM METROLOGII

TECHNIKA POMIARÓW

(M-1)

www.imiue.polsl.pl/~wwwzmiape

Opracował: Dr in . Jan Około-Kułak
Sprawdził: Dr hab. in . Janusz Kotowicz
Zatwierdził: Dr hab. in . Janusz Kotowicz

1. Cel wiczenia.

Celem wiczenia jest poznanie techniki wykonywania pomiarów oraz

opracowywania wyników tak, aby były one zgodne z przepisami

obowi zuj cymi w Unii Europejskiej. Dokumenty ujednolicaj ce metody

obliczania niepewno ci pomiaru w laboratoriach akredytowanych zostały

opublikowane przez E.A. (Europejska Współpraca w dziedzinie Akredytacji).

Dokumenty te zostały przetłumaczone i wydane przez Zakład Metrologii

Ogólnej Głównego Urz du Miar i zatwierdzone przez Prezesa Głównego

Urz du Miar.

2. Wprowadzenie.

2.1 Technika pomiarów.

Czynno ci wykonywane przed i w czasie pomiarów badawczych powinny by

opisane w sprawozdaniu z pomiarów a je eli laboratorium ma akredytacj i

certyfikat tak e w ksi dze jako ci laboratorium (w postaci opisu metody oraz

procedury pomiarowej). [3].

Ogólne terminy metrologiczne zwi zane z technik pomiarów:

Pomiar: Zbiór operacji maj cych na celu wyznaczenie warto ci wielko ci

Warto ci wielko ci: Wyra enie ilo ciowe wielko ci równe iloczynowi liczby i

jednostki miary.

Metoda pomiarowa: Logiczny ci g wykonywanych podczas pomiaru operacji

opisanych w sposób ogólny

Procedura pomiarowa: Zbiór operacji opisanych w sposób szczegółowy i

realizowanych podczas pomiaru zgodnie z dan metod

Wielko mierzona: Wielko okre lon stanowi c przedmiot pomiaru

Wielko wpływaj ca: Wielko nie b d ca wielko ci mierzon , która ma

jednak wpływ na wynik pomiaru

Wynik pomiaru: Warto przypisana wielko ci mierzonej, uzyskana drog

pomiaru

Wynik surowy: Wynik pomiaru przed korekcj bł du systematycznego

Wynik poprawiony: Wynik pomiaru po korekcji bł du systematycznego

Dokładno pomiaru: Stopie zgodno ci wyniku pomiaru z warto ci

prawdziw wielko ci mierzonej

Powtarzalno (wyników pomiaru): Stopie zgodno ci wyników kolejnych

pomiarów tej samej wielko ci mierzonej, wykonywanych w tych samych

warunkach pomiarowych
Odtwarzalno (wyników pomiarów): Stopie zgodno ci wyników kolejnych

pomiarów tej samej wielko ci mierzonej wykonywanej w zmiennych warunkach
2.2. Niepewno pomiaru.
Niepewno pomiaru musi by okre lona i obliczona zgodnie z przewodnikiem

,,Wyra anie niepewno ci pomiaru” wydanym przez Główny Urz d Miar w 1999

roku [1]. Je eli pomiary s dokonywane w celu wydania wiadectwa

wzorcowania aparatury lub przyrz du przez akredytowane laboratorium

niepewno musi by okre lona zgodnie z dokumentem EA-4/02 (Europejskiej

Współpracy w dziedzinie Akredytacji) wydanej po polsku przez G.U.M. w 2001

roku [4].
Ogólne terminy metrologiczne zwi zane z niepewno ci pomiarów:
Niepewno (pomiaru): Parametr zwi zany z wynikiem pomiaru,

charakteryzuj cy rozrzut warto ci, które mo na w uzasadniony sposób przypisa

warto ci mierzonej

Niepewno standardowa: Niepewno wyniku pomiaru wyra ona w formie

odchylenia standardowego

Zło ona niepewno standardowa: Niepewno standardowa wyniku pomiaru

okre lona, gdy wynik ten otrzymywane jest z pewnej liczby innych wielko ci,

równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy wyrazów, b d cych wariancjami

lub kowariancjami tych innych wielko ci z wagami zale nymi od tego jak

wynik pomiaru zmienia si ze zmianami tych wielko ci

Niepewno rozszerzona: Wielko okre laj ca przedział wokół wyniku

pomiaru od którego to przedziału oczekuje si , e obejmie du cz

rozkładu

warto ci, które w uzasadniony sposób mo na przypisa wielko ci mierzonej

Współczynnik rozszerzenia, pokrycia, obj cia: Współczynnik zastosowany

jako mno nik zło onej niepewno ci standardowej w celu otrzymania

niepewno ci rozszerzonej najcz ciej: K <2÷3>

Obliczanie niepewno ci - metoda typu A: Metoda obliczania drog analizy

statystycznej serii obserwacji

Obliczanie niepewno ci - metoda typu B: Metoda obliczania niepewno ci

innymi sposobami ni analiza serii obserwacji

Bł d pomiaru: Ró nica mi dzy wynikiem pomiaru a warto ci prawdziw

wielko ci mierzonej

Bł d wzgl dny: Stosunek bł du pomiaru do warto ci prawdziwej wielko ci

mierzonej (lub umownie prawdziwej)

Bł d przypadkowy: Ró nica mi dzy wynikiem pomiaru a redni z

niesko czonej liczby wyników pomiarów tej samej wielko ci mierzonej

wykonanej w warunkach powtarzalno ci

Bł d systematyczny: Ró nica mi dzy redni z niesko czonej liczby pomiarów

tej samej wielko ci mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalno ci a

warto ci prawdziw wielko ci mierzonej

Poprawka: Warto dodana algebraicznie do surowego wyniku pomiaru w celu

skompensowania bł du systematycznego

Współczynnik poprawkowy: Współczynnik liczbowy, przez, który nale y

pomno y surowy wynik pomiaru, aby skompensowa bł d systematyczny

ródła niepewno ci pomiaru:

a) Niepełna definicja wielko ci mierzonej

b) Niedoskonała realizacja definicji wielko ci mierzonej

c) Niereprezentatywne próbkowanie

d) Niepełna znajomo oddziaływania otoczenia na pomiar

e) Niedoskonały pomiar warunków otoczenia

f) Subiektywne bł dy w odczytywaniu wskaza analogowych

g) Sko czona rozdzielczo albo próg pobudliwo ci przyrz du

h) Niedokładne warto ci przypisane wzorom

i) Niedokładne warto ci stałych i innych parametrów otrzymywanych ze ródeł

zewn trznych u ywanych w procedurach przetwarzania danych

j) Przybli enia i zało enia upraszczaj ce tkwi ce w metodzie i procedurze

pomiarowej

k)Zmiany w powtarzanych obserwacjach wielko ci mierzonej w pozornie

identycznych warunkach

3.

Przykłady podawania zło onej niepewno ci standardowej „u

c

”

m

s

- masa odwa nika wzorcowego (100 g)

u

c

- warto zło onej niepewno ci standardowej

1)

m

s

= 100,02147 g (ze zło on niepewno ci standardow )

u

c

= 0,35 mg

2)

m

s

= 100,02147(35) g - gdzie liczba w nawiasach jest warto ci (zło onej

niepewno ci standardowej) u

c

odniesion do ostatnich cyfr podawanego

wyniku

3)

m

s

= 100,02147(0,00035) g - gdzie liczba w nawiasach jest warto ci

(zło onej niepewno ci standardowej) u

c

wyra onej w tej samej jednostce

co wynik

4)

m

s

= (100,02147 ± 0,00035) g - gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest

warto ci zło onej niepewno ci standardowej u

c

, a nie jest przedziałem

ufno ci

U w a g a : 4) jest sposobem najrzadziej stosowanym - grozi pomyleniem z

przedziałem ufno ci

Bud et niepewno ci:

Analiz zło onej niepewno ci pomiaru najlepiej jest jednak przedstawi w

postaci tabeli zwanej bud etem niepewno ci. Wzór takiej tabeli podano

poni ej:

Symbol

wielko ci

Estmata

Wielko ci

Niepewno

standardowa

Współczynnik

wra liwo ci

Udział w

zło onej

niepewno ci

standardowej

X

i

x

i

u(x

i

)

i

i

x

f

c

∂

∂

=

u

i

=c

i

•u(x

i

)

X

1

X

2

.

.

.

X

N

x

1

x

2

.

.

.

x

N

u(x

1

)

u(x

2

)

.

.

.

u(x

N

)

c

1

c

2

.

.

.

c

N

u

1

(y)

u

2

(y)

.

.

.

u

N

(y)

Y

y

----------------- ------------------ u(y)

Gdzie: Y=f(X

1

;X

2

;.....;X

N

) oraz: y=f(x

1

;x

2

;...;x

N

)

Tabela ilustruj ca bud et zło onej niepewno ci standardowej najcz ciej

uzupełniona jest niepewno ci rozszerzon : U(y) = k•u(y)

z podanym poziomem ufno ci. Poziom ufno ci najcz ciej wynosi 0,95

(warto zalecana). Dla tak przyj tego poziomu ufno ci mo na dobra

współczynnik rozszerzenia ,,k” z tablic lub metod rachunkow (gdy

przyj ty rozkład g sto ci prawdopodobie stwa nie ma stablicowanej

dystrybuanty).

4.

Podstawowe poj cia statystyczne

U w a g a : wszystkie całkowania powinny by rozci gni te na cały przedział

zmiennej losowej

Warto oczekiwana (warto rednia): µ

z

zmiennej losowej

„z” o funkcji

g sto ci prawdopodobie stwa

p(z) definiuje si wzorem:

µ

z

E z

zp z dz

≡

=

( )

( )

Estymata µ

z

jest redni arytmetyczn

z

„n” niezale nych obserwacji:

z

n

z

i

n

=

1

1

Wariancj zmiennej losowej z o funkcji g sto ci prawdopodobie stwa p(z)

definiuje si wzorem:

σ

µ

2

2

( )

(

) . ( )

z

z

p z dz

z

=

−

Estymat wariancji pojedynczej obserwacji z

i

pomiaru jest:

s z

n

z z

2

1

2

1

1

( )

(

)

=

−

−

Estymat wariancji redniej z niezale nych pomiarów jest

−

−

=

2

2

)

(

)

1

.(

1

)

(

z

z

n

n

z

s

i

Odchylenie standardowe: jest dodatnim pierwiastkiem kwadratowym z

wariancji

Kowariancja dwóch zmiennych losowych „y” i „z” jest miar ich wzajemnej

zale no ci je eli przez

p(y; z) oznaczymy dwuwymiarow g sto

prawdopodobie stwa zmiennych

„y” i z to kowariancj definiuje si wzorem

cov( , )

(

)(

) ( , ).

y z

y

z

p y z dydz

y

z

=

−

−

µ

µ

Estymat kowariancji zmiennych „y” i „z” wyznaczonych na podstawie

„n” niezale nych obserwacji jest:

s y z

n

y

y z

z

i

i

i

i

( , )

(

)(

)

=

−

−

−

1

1

Estymat kowariancji dwóch rednich y i z jest:

s y z

n n

y

y z

z

i

i

( ; )

(

)

.

(

)(

)

=

−

−

−

1

1

Współczynnik korelacji jest miar wzgl dnej wzajemnej zale no ci dwóch

zmiennych y i z. Jest on równy stosunkowi kowariancji tych zmiennych do

dodatniego pierwiastka kwadratowego z iloczynu ich wariancji. Definiuje si go

wzorem:

δ

σ

σ

( )

cov( )

( ) ( )

yz

yz

y

z

=

2

2

δ

( , )

;.

y z

∈ −1 1

estymat współczynnika korelacji jest:

r y z

s y z

s y s z

i

i

i

i

i

i

( , )

( , )

( ). ( )

=

2

2

r y z

i i

(

)

;

∈ −11

3.

Przebieg wiczenia.

a) Wykorzystuj c wyniki pomiarów oraz dane dotycz ce aparatury pomiarowej i

procedur pomiarowych (wzi tych z wiczenia

M-4 lub podanych przez

prowadz cego) obliczy standardow niepewno pomiarow metodami typu

,,A” i ,,B”.

b) Oszacowa współczynniki korelacji pomi dzy zmiennymi.

c) Korzystaj c z wyników ,,a” i ,,b” obliczy standardow niepewno zło on .

d) Wyniki analizy niepewno ci przedstawi w tabeli (bud et niepewno ci).

e) Na podstawie liczby stopni swobody (wynikaj cych z ilo ci pomiarów

u ytych przy obliczaniu niepewno ci metod ,,A”) przyj tego poziomu

istotno ci (n.p.: 0,05) oszacowa współczynnik rozszerzenia ,,k” i obliczy

niepewno rozszerzon .

f) Korzystaj c z wyników pomiarów dobra metod najmniejszych kwadratów

prost wzorcowania, narysowa jej wykres zaznaczaj c na niej ,,słupki

niepewno ci”.

UWAGA: Zaleca si do oblicze wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego Excel

lub innego dost pnego programu matematycznego lub statystycznego.

wiczenie mo na równie wykona przy u yciu kalkulatora naukowego.

Literatura:
[1]Wyra anie niepewno ci pomiaru - Przewodnik – G.U.M. 1999

[2]Mi dzynarodowy słownik podstawowych i ogólnych terminów metrologii

[3]Wzorcowanie aparatury pomiarowej – Janusz Piotrowski, Krystyna

Kostyrko.

[4] Wyra anie niepewno ci pomiaru przy wzorcowaniu – G.U.M. 2001