1

Twierdzenie (reguła de L’Hospitala)

Zało enia

( ) { }

R

x

b

a

g

f

→

0

\

,

:

,

( ) { }

(

)

0

\

,

,

x

b

a

D

g

f

∈

,

x

0

– punkt skupienia zbioru

(a,b),

tzn.

[ ]

b

a

x

,

0

∈

( )

( ) { }

0

\

,

0

x

b

a

x

x

g

∈

≠

′

( )

( )

0

lim

lim

0

0

=

=

→

→

x

g

x

f

x

x

x

x

lub

( )

( )

±∞

=

=

→

→

x

g

x

f

x

x

x

x

0

0

lim

lim

Teza

( )

( )

( )

( )

( )

( )

c

x

g

x

f

x

g

x

f

c

x

g

x

f

x

x

x

x

x

x

=

∧

∃

=

′

′

∃

→

→

→

0

0

0

lim

lim

lim

Dowód

Tylko przypadek:

( )

( )

0

lim

lim

0

0

=

=

→

→

x

g

x

f

x

x

x

x

Rozszerzmy funkcje

f

i

g

na przedział

( ) { }

0

,

x

b

a

∪

( )

( )

0

:

0

:

0

0

=

=

x

g

x

f

Do udowodnienia istnienia

( )

( )

x

g

x

f

x

x

0

lim

→

wykorzystamy definicj Heinego granicy funkcji.

Niech

( )

b

a

x

n

,

∈

i

0

x

x

n

n



 →



∞

→

(

)

0

x

x

n

≠

.

Pytanie:

( )

( )

c

x

g

x

f

n

n

n

?

lim

=

+∞

→

Z twierdzenia Cauchy’ego

(

)

n

n

x

x

c

,

0

∈

∃

lub

(

)

:

,

0

x

x

c

n

n

∈

( )

( )

( )

( )

n

n

n

n

c

g

c

f

x

g

x

f

′

′

=

0

0

x

c

x

x

n

n

n

n



 →





 →



∞

→

∞

→

(na postawie twierdzenia o trzech ci gach, poniewa

(

)

0

0

0

0

x

x

x

x

x

c

n

n

n

n

−

<

−

=

−

<

θ

)

2

Z istnienia granicy

( )

( )

c

x

g

x

f

x

x

=

′

′

→

0

lim

wynika, e

( )

( )

c

c

g

c

f

n

n

n

=

′

′

∃

+∞

→

lim

z czego na postawie równo ci

( )

( )

( )

( )

n

n

n

n

c

g

c

f

x

g

x

f

′

′

=

wynika

( )

( )

c

x

g

x

f

n

n

n

=

′

′

∃

+∞

→

lim

Uwaga

Z istnienia

( )

( )

x

g

x

f

x

x

′

′

→

0

lim

wynika istnienie

( )

( )

x

g

x

f

x

x

0

lim

→

Przykład

Niech

( )

x

x

x

f

1

sin

2

=

,

( )

x

x

g

sin

=

dla

( )

1

,

0

∈

x

oraz niech

0

0

=

x

.

Wtedy

( )

( )

( )

( )

x

g

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

g

x

f

x

x

x

x

′

′

∃

−

⋅

=

−

⋅

⋅

+

⋅

=

′

′

+

+

+

+

→

→

→

→

0

0

2

2

0

0

lim

~

cos

1

cos

1

sin

2

lim

cos

1

1

cos

1

sin

2

lim

lim

lecz st d nie mo emy wnioskowa o nie istnieniu

( )

( )

x

g

x

f

x

+

→0

lim

( )

( )

( )

( )

x

g

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

g

x

f

x

x

x

x

+

+

+

+

→

→

→

→

∃

=

==

=

0

0

2

0

0

lim

0

1

sin

sin

lim

sin

1

sin

lim

lim

Uzupełnienie
Reguł de L’Hospitala mo na rozszerzy na funkcje

( )

R

D

g

f

∈

,

i

R

x

ˆ

0

∈

.

Symbole nieoznaczone:

∞

∞

∞

−

∞

∞

⋅

∞

∞

1

,

,

0

,

,

0

,

,

0

0

0

0

3

Przykłady

N

n

∈

[ ]

0

!

lim

!

lim

lim

lim

0

lim

1

=

=

⋅

=

=

=

∞

∞

=

=

⋅

∞

=

⋅

+∞

→

+∞

→

−

+∞

→

+∞

→

−

+∞

→

x

x

H

x

x

H

x

n

x

H

x

n

x

x

n

x

e

n

e

x

n

e

nx

e

x

e

x

( )

0

!

lim

ln

1

lim

ln

lim

ln

lim

2

1

=

=

=

⋅

−

=

∞

∞

=

⋅

=

∞

∞

=

+∞

→

−

+∞

→

−

+∞

→

+∞

→

x

k

x

x

k

k

x

x

k

x

x

x

k

x

H

k

x

H

k

x