3. Cztery dziaùania arytmetyczne na liczbach zespolonych

Dodawanie, odejmowanie i mno

¿enie liczb zespolonych wykonuje siê tak jak

odpowiednie dzia

ùania na zwykùych dwumianach, przyjmuj¹c

(przy mno

¿eniu)

1

2





i

.

..........................................................................................

PRZYK£AD

Obliczy

ã sumê, ró¿nicê i iloczyn liczb

i

z

4

5

1





i

i

z

2

1

2







.

Rozwi

¹zanie





i

i

i

z

z

6

4

2

1

4

5

2

1





















i

i

i

z

z

2

6

2

1

4

5

2

1



















 



i

i

i

i

i

i

i

z

z

6

13

8

6

5

8

4

10

5

2

1

4

5

2

2

1



































...........................................................................................

Obliczaj

¹c iloraz dwóch liczb zespolonych, rozszerzamy uùamek przez liczbê

sprz

ê¿on¹

z mianownikiem po to, by otrzyma

ã

w mianowniku liczb

ê rzeczywist¹.

...........................................................................................

PRZYK£AD

Wykona

ã dzielenie liczby

i

z

4

5

1





przez

i

z

2

1

2







.

Rozwi

¹zanie



 





 







 





i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

z

z

5

14

5

3

5

14

3

4

1

8

14

5

2

1

8

4

10

5

2

1

2

1

2

1

4

5

2

1

4

5

2

2

2

2

1

































































........................................................................................

Dziaùania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej i wykùadniczej

Niech liczby zespolone

1

z

oraz

2

z

dane b

êd¹ w postaci trygonometrycznej:





1

1

1

1





sin

i

cos

z

z









2

2

2

2





sin

i

cos

z

z





W

ówczas zachodz¹ wzory













2

1

2

1

2

1

2

1

















sin

i

cos

z

z

z

z













2

1

2

1

2

1

2

1

















sin(

i

cos

z

z

z

z

id3706375 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

Interpretuj

¹c

powy

¿sze wzory mo¿na powiedzieã, ¿e moduù iloczynu (ilorazu) dwóch

liczb r

ówna siê iloczynowi (ilorazowi) moduùów, a argument równa siê sumie

(r

ó¿nicy) argumentów tych liczb.

Je

œli liczby

1

z

oraz

2

z

zapisane zostan

¹ w postaci wykùadniczej, to powy¿szy

wniosek otrzymamy natychmiast na podstawie znanych ze szko

ùy wùasnoœci potêg

,

bowiem





2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

















i

i

i

e

z

z

e

z

e

z

z

z

oraz





2

1

2

1

2

1

2

1

2

1















i

i

i

e

z

z

e

z

e

z

z

z