Podstawy elektrotechniki

2

Linia d

ługa

Pa

ram

etry

je

dn

ost

kowe

li

ni

i:

 



 

Ω ′

m

R

-

rezy

stan

cj

a strat

m

ocy

cz

yn

ne

j w linii

 



 

 ′

m

H

L

-

ind

uk

cy

jn

ość

zwi

ąz

ana

z pol

em

m

agne

ty

cz

ny

m

lini

i

 



 

 ′

m

F

C

-p

oj

em

no

ść

zw

ią

zan

a z p

ol

em

elek

try

czny

m

lin

ii

 



 

 ′

m

S

G

-

pr

zewo

dn

ość

izolacj

i m

ię

dz

y prz

ewodam

i li

ni

i

li

nia

ka

bl

owa

linia

na

po

wie

tr

zna

3

Linia d

ługa

li

nia

ka

bl

owa

linia

na

po

wie

tr

zna

l

l

f -

cz

ęstot

liwo

ści zasilan

ia

f

v

=

λ

dł

ug

ość

fa

li pol

a

elek

tro

m

ag

ne

ty

czn

eg

o

v –

pr

ędk

ość

fa

li

λ
<<

l

-

elem

ent o pa

ram

etra

ch

skupi

on

yc

h

l⋅′
=

R

R

l⋅′
=

L
L

l⋅′
=

C
C

l⋅′
=

G

G

λ

~

l

-

elem

ent o pa

ram

etra

ch

roz

ło

żon

yc

h

4

Model linii d

ługi

ej

(

)

=

t,

x

i

z I

p

rawa

Kir

chh

offa:

x

∆

x

R’

∆

xL

’∆

x

G’

∆

x

C’

∆

x

u(

x,

t)

u(

x+

∆x,

t)

x

∆

x

(

)

t,

x

x

i

∆

+

(

)

t,

x

x

u

x
G

∆

+

∆′
+

()

t,

x

x

u t
x
C

∆

+

∂

∂

∆′
+

(

)

t,

x

u

z I

I p

rawa Kir

ch

ho

ffa:

(

)

t,

x

i

x
R

∆′
−

()

t,

x

i t
x
L

∂

∂

∆′
−

(

)

t,

x

x

u

∆

+

−

0

=

(

)

(

)

()

()

t,

x

i

dt

d

L
t,

x

i

R

x

t,

x

u
t,

x

x

u

′

+

′

=

∆

−

∆

+

−

(

)

(

)

()

()

t,

x

x

u

dt

d

C
t,

x

x

u
G

x

t,

x

i
t,

x

x

i

∆

+

′

+

∆

+

′

=

∆

−

∆

+

−

i(

x,

t)

i(

x+

∆x,

t)

5

Model linii d

ługi

ej

równa

nia

telegraf

is

tów

()

(

)

t,

x

u
t,

x

x

u
lim

0
x

=

∆

+

→

∆

()

(

)

x

u

x

t,

x

u
t,

x

x

u

lim

0
x

∂

∂

−

=

 



 



∆

−

∆

+

−

→

∆

()

(

)

x

i

x

t,

x

i
t,

x

x

i

lim

0
x

∂

∂

−

=

 



 



∆

−

∆

+

−

→

∆

()

(

)

t,

x

i
t,

x

x

i
lim

0
x

=

∆

+

→

∆

()

()

(

)

t

t,

x

i

L
t,

x

i

R

x

t,

x

u

∂

∂ ′

+

′

=

∂

∂

−

()

()

(

)

t

t,

x

u

C
t,

x

u
G

x

t,

x

i

∂

∂ ′

+

′

=

∂

∂

−

6

Warto

ści chwilow

e napi

ęcia i

pr

ądu

im

pe

da

nc

ja

falowa linii

f

m

m

Z

U

I

′

=

′

(

)

(

)

(

)

ϕ

′′

+
β

+

ω

′′

+
ϕ′

+
β

−

ω

′

=

α

α−

x

t

sin
e
U

x

t

sin

e
U
t,

x

u

x

m

x

m

C

j

G

L

j

R

Z

f

′

ω

+′

′

ω

+′

=

δ

=

j

f

f

e

Z

Z

(

)(

)

C

j

G
L

j

R

′

ω

+′

′

ω

+′

=

γ

(

)

(

)

(

)

ψ

′′

+
β

+

ω

′′

+
ψ

′

+
β

−

ω

′

=

α

α−

x

t

sin
e

I

x

t

sin

e

I
t,

x

i

x

m

x

m

f

m

m

Z

U

I

′′

−

=

′′

α

–s

ta

ła t

łum

ienia

β

–s

ta

ła fazo

w

a

α

+j

β =

γ

–s

ta

ła p

rop

ag

acji

δ

−

ϕ′

=

ψ

′

δ

−

ϕ

′′

=
ψ

′′

na

pi

ęcie n

a po

cz

ątku l

in

ii

(

)

t

sin
U
t,

0

u

m

ω

=

roz

w

ią

zan

ie r

ówn

ań

telegraf

is

tów:

7

x

-1

0

1

u''

(x

,t

)

x

-1

0

1

u'(

x,

t)

t

-1

0

1

u'

(x

,t)

Warto

ści chwilow

e napi

ęcia

()

(

)

(

)

ϕ

′′

+
β

+

ω

′′

+
ϕ′

+
β

−

ω

′

=

α

α−

x

t

sin
e
U

x

t

sin

e
U
t,

x

u

x

m

x

m

()

t,

x

u′

(

)

t,

x
u

′′

t

-1

0

1

u'

'(x

,t)

x=

0,

5l

x=

l

x=

0

x=

l

x=

0,

5l

x=

0

t

2

>t

1

t

1

>t

0

t

0

t

0

t

1

>t

0

t

2

>t

1

8

Fale napi

ęcia

(

)

(

)

(

)

t,

x
u
t,

x

u
t,

x

u

′′

+

′

=

fala pod

ąż

aj

ąca w

prawo

(p

adaj

ąca)

fala pod

ąż

aj

ąc

a w

le

wo

(odbita)

pr

ędko

ść

fa

li p

adaj

ące

j

dla punktów o sta

łej f

azie:

.

const

x

t

=

ϕ′

+
β

−

ω

β

−

ϕ′

+

ω

=

.

const

t

x

β

ω

=

=

dt

dx

v

pr

ędko

ść

fa

li od

bitej

dla punktów o sta

łej f

azie:

.

const

x

t

=
ϕ

′′

+
β

+

ω

β

+

ϕ′

−

ω

−

=

.

const

t

x

v

dt

dx

−

=

β

ω

−

=

9

Linia bezstratna

0

G
,0

R

=′

=′

im

pe

da

nc

ja

fa

lowa

C

L

Z

f

′

′

=

f

Z

=

na

pi

ęcie n

a po

cz

ątku l

in

ii

()

.

const

U
t,

0

u

0

=

=

()

(

)

vt
x

U
t,

x

u

0

−

=

′

1

t

2

>t

1

t

1

>t

0

t

0

x

u’(x,t)

U

0

10

Fala padaj

ąca, odbita i przepuszczona

lin

ie b

ezstr

atn

e

2

1

u

u

=

Z

1

Z

2

U

0

i

1

i

2

u

1

u

2

2

1

i
i

=

1

1

1

u

u

u

′′

+′
=

2

2

2

u

u

u

′′

+

′

=

1

1

1

i
i
i

′′

+′

=

2

2

2

i

i

i

′′

+

′

=

1

1

1

Z

u

i

′

=′

2

2

2

Z

u

i

′

=

′

1

1

1

Z

u

i

′′

−

=′′

0

u

2

=′′

0

i

2

=′′

2

1

1

u

u

u

′

=′′
+′

2

2

1

1

1

1

Z

u

Z

u

Z

u

′

=

′′

−

′

2

1

2

1

2

Z

Z

Z

u2

u

+

′

=

′

1

2

1

2

1

1

Z

Z

Z

Z

u

u

+

−

′

=′′

fa

la

odbi

ta

fal

a

pr

zep

us

zczon

a

11

Fala padaj

ąca, odbita i przepuszczona

2

1

2

1

2

Z

Z

Z

u2

u

+

′

=

′

1

2

1

2

1

1

Z

Z

Z

Z

u

u

+

−

′

=′′

sch

em

at zast

ęp

czy

(

P

et

er

sen

a)

2

u′

1

u

′′

β′
=

1

u

β

–w

sp

ół

czy

nnik odbicia

2

1

2

0

Z

Z

Z

U2

+

=

Z

1

Z

2

U

0

1

u′

β

=

0

U

Z

1

Z

2

1

u2

′

2

2

u

u

′

=

12

Linia obci

ąż

ona rezystancj

ą

R
Z

R

u2

u

1

2

+

′

=

Z

R

Z

R

+

−

=

β

sc

hem

at Pe

te

rse

na

1

u

′′

Z

U

0

1

u′

Z

R

R

u

2

u

2

0

0

U

R
Z

R

U2

−

+

=

wspó

łczy

nnik odbicia:

fala odbita napi

ęcia:

napi

ęcie na ko

ńcu linii:

fala pad

aj

ąca napi

ęcia:

0

1

U

u

=′

2U

0

1

1

u

u

′

β

=′′

0

U

Z

R

Z

R

+

−

=

1

1

2

u

u

u

′′

+′
=

1

2

1

u

u

u

′

−

=′′

R
Z

R

U2

0

+

=

0

U

Z

R

Z

R

+

−

=

fala pad

aj

ąca pr

ądu:

Z

U

Z

u

i

0

1

1

=

′

=′

fala odbita pr

ądu:

Z

u

i

1

1

′′

−

=′′

Z

U

Z

R

Z

R

0

+

−

−

=

13

Linia obci

ąż

ona rezystancj

ą

3

1

Z
Z2

Z
Z2

=

+

−

=

β

1

u

′′

Z

U

0

1

u′

R

u

2

1)

3

U

u

0

1

=′′

1)

R=2Z

2)

R=Z/3

3)

R=Z

4)

R=0

5)

R

→∞

2

1

Z

3

Z

Z

3

Z

−

=

+

−

=

β

2)

2

U

u

0

1

−

=′′

0

Z
Z

Z
Z

=

+

−

=

β

3)

0

u

1

=′′

0

0

2

U

3

4

Z2
Z

Z2

U2

u

=

+

=

0

0

2

U

3

2

2

Z

Z

2

Z

U2

u

=

+

=

0

0

2

U

Z
Z

Z

U2

u

=

+

=

1

Z
0

Z
0

−

=

+

−

=

β
4)

0

1

U

u

−

=′′

0

Z
0

0

U2

u

0

2

=

+

=

x

l

u

1

x

u

1

1

u′

1

u

′′

l

x

l

u

1

1

u′

1

u

′′

l

u

1

1

u′

14

Linia obci

ąż

ona rezystancj

ą

1)

R=2Z

2)

R=Z/3

3)

R=Z

4)

R=0

5)

R

→∞

1

Z
0

Z
0

−

=

+

−

=

β
4)

0

1

U

u

−

=′′

0

Z
0

0

U2

u

0

2

=

+

=

x

l

u

1

1

u′

1

u

′′

1

u

′′

Z

U

0

1

u′

R

u

2

u

1

x

l

x

l

u

1

1

u′

1

u

′′

1

Z

R

Z

R

R



→



+

−

=

β

∞

→

5)

0

1

U

u

=′′

0

R

0

2

U2

Z

R

R

U2

u



→



+

=

∞

→

15

Linia obci

ąż

ona pojemno

ści

ą

1

u

′′

Z

U

0

1

u′

C

sc

hem

at Pe

te

rse

na

Z

u

2

2U

0

C

u

2