Adam Bednarz
Instytut Matematyki PK

GEOMETRIA ANALITYCZNA

Zadanie 1. Dane s¡ wektory ~a = [1, 2, −1], ~b = [1, −1, 1], ~c = [−1, −1, 2]. Wyznaczy¢ wektor

~

x =

h

(~a + 2~

c) × ~b

i

·

h

~a × ~b



◦



3~b − ~a

i

.

Zadanie 2. Wyznaczy¢ k¡t mi¦dzy wektorami ~a i~b, je±li wiadomo, »e |~a| = 1, |~b| = 2 oraz |~a−~b|

2

+|~a+2~b|

2

= 20

.

Zadanie 3. Wykaza¢, »e punkty A = (1, 2, −1), A = (0, 1, 5), A = (−1, 2, 1) i A = (2, 1, 3) le»¡ w jednej

pªaszczy¹nie.

Zadanie 4. Dane s¡ punkty A = (1, 1, 2), B = (0, −1, 0), C = (1, −1, 2) i D = (1, 0, 1). Wyznaczy¢:

a) równanie prostej przechodz¡cej przez punkty A i B,

b) odlegªo±¢ punktu D od prostej AB,

c) równanie pªaszczyzny zawieraj¡cej punkty A, B i C,

d) rzut punktu D na pªaszczyzn¦ zawieraj¡c¡ punkty A, B i C,

e) dªugo±¢ wysoko±ci czworo±cianu ABCD poprowadzonej z wierzchoªka D,

f) obj¦to±¢ czworo±cianu ABCD,
g) obj¦to±¢ równolegªo±cianu rozpi¦tego na wektorach

−

−

→

AB

,

−→

AC

,

−

−

→

AD

,

h) punkt symetryczny do punktu D wzgl¦dem pªaszczyzny zawieraj¡cej punkty A, B i C.

Zadanie 5. Znale¹¢ równanie pªaszczyzny:

a) przechodz¡cej przez punkt A = (1, 2, 3) i prostopadªej do wektora ~n = [2, 1, −1],
b) przechodz¡cej przez punkt C = (1, 1, −1) i prostopadªej do wektora

−

−

→

AB

, je±li A = (1, 1, 1), B = (2, 0, 1),

c) przechodz¡cej przez punkt A = (0, 1, 0) i równolegªej do wektórów ~a = [1, 2, 1] i ~b = [2, −1, 0] w postaci

parametrycznej i ogólnej,

d) przechodz¡cej przez punkty A = (1, 1, 0), B = (2, 0.0) i równolegªej do wektóra ~a = [1, 2, 1],

e) przechodz¡cej przez punkt A = (1, 1, 1) i równolegªej do pªaszczyzny Σ : x + 2y − z + 1 = 0,

d) przechodz¡cej przez pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych i prostopadªej do pªaszczyzn Σ

1

: x + 2y − z + 1 = 0

i

Σ

2

: 2x − y + z = 0

.

Zadanie 6. Znale¹¢ rzut prostej l :







x = 1 + t
y = 2 − t
z = 1 + 2t

, t ∈ R na pªaszczyzn¦ Π : x + y + z − 1 = 0. Wyznaczy¢ k¡t

mi¦dzy prost¡ l i pªaszczyzn¡ Π.

Zadanie 7. Znale¹¢ rzut prostej l :



x + y − z = 0
2x + y + 2z + 1 = 0

, t ∈ R na pªaszczyzn¦ Π : x − y + z + 1 = 0.

Wyznaczy¢ k¡t mi¦dzy prost¡ l i pªaszczyzn¡ Π.

Zadanie 8. Zbada¢ wzajemne poªo»enie prostych l

1

:



x + y − z = 0
2x + y + 2z + 1 = 0

i l

2

:







x = 1 + t
y = 2 − t
z = 1 + 2t

, t ∈ R.

Zadanie 9. Zbada¢ wzajemne poªo»enie pªaszczyzn Σ

1

: x + 2y − z + 1 = 0

i Σ

2

: 2x − y + z = 0

.

Zadanie 10. Wyznaczy¢ punkt symetryczny do punktu A = (1, 0, 0) wzgl¦dem prostej l :







x = t
y = −t
z = 2t

, t ∈ R.

Zadanie 11. Zbada¢ wzajemne poªo»enie prostych l

1

:







x = s
y = 2
z = 1 − s

, s ∈ R i l

2

:







x = 1 + t
y = 2 − t
z = 1 + 2t

, t ∈ R.

Zadanie 12. Zbada¢ wzajemne poªo»enie pªaszczyzn Σ

1

: −4x + 2y − 2z + 1 = 0

i Σ

2

: 2x − y + z = 0

. W

przypadku pªaszczyzn przecinaj¡cych si¦ wyznaczy¢ przeci¦cie, w przypadku pªaszczyzn równolegªych wyzna-

czy¢ ich odlegªo±¢.