Zadania z geometrii
Z
ESTAW
3
1.
Wyka˙z, ˙ze punkty
1
3
2
5
,
0
1
6
1
,
1
3
2
2
,
0
1
1
2
,
3
3
2
1
przestrzeni afinicznej E(Z
4
7
) tworz ˛
a baz˛e punkto-
w ˛
a tej przestrzeni.
2.
Niech P
1
=
−1
0
2
3
, P
2
=
0
1
3
4
, P
3
=
1
3
3
5
, P
4
=
3
5
5
7
b˛ed ˛
a punktami przestrzeni afinicznej E(R
4
).
Które z punktów Q
1
=
1
−2
3
0
, Q
2
=
0
2
3
4
, Q
3
=
2
5
3
6
nale˙z ˛
a do H = af (P
1
, P
2
, P
3
, P
4
) ? Spo´sród punktów
P
1
, P
2
, P
3
, P
4
wybierz baz˛e punktow ˛
a podprzestrzeni H.
3.
W´sród prostych przestrzeni E(R
4
):
1
2
−1
3
+ lin (
1
−2
1
0
),
2
0
0
3
+ lin (
−2
4
−2
0
),
3
1
1
4
+ lin (
−1
2
−1
0
),
−3
2
1
2
+ lin (
4
0
2
0
),
2
2
0
3
+ lin (
3
−2
3
0
)
wska˙z pary ilustruj ˛
ace wszystkie mo˙zliwe wzajemne poło˙zenia dwóch prostych.
4.
W przestrzeni afinicznej E = E(R
4
) dane s ˛
a: punkty P =
−2
4
5
1
, Q =
0
2
−3
2
, proste L
1
=
1
1
−2
1
+
lin (
−1
−1
1
2
) oraz L
2
o równaniu ogólnym
x
+ 2y + z + 3t = 11
−x + y + 2z + 2t = 3
2x − 4y + 3z − t = 0
. Wyznacz
(a) płaszczyzn˛e zawieraj ˛
ac ˛
a punkt P oraz prost ˛
a L
1
,
(b) płaszczyzn˛e zawieraj ˛
ac ˛
a punkt Q oraz prost ˛
a L
2
,
(c) płaszczyzn˛e zawieraj ˛
ac ˛
a punkty P oraz Q i równoległ ˛
a do L
1
,
(d) płaszczyzn˛e zawieraj ˛
ac ˛
a punkty P oraz Q i równoległ ˛
a do L
2
,
(e) podprzestrze´n trójwymiarow ˛
a zawieraj ˛
ac ˛
a proste L
1
oraz L
2
,
(f) podprzestrze´n trójwymiarow ˛
a zawieraj ˛
ac ˛
a prost ˛
a L
1
oraz punkty P i Q,
(g) podprzestrze´n trójwymiarow ˛
a zawieraj ˛
ac ˛
a prost ˛
a L
2
oraz punkty P i Q.
Szukane podprzestrzenie afiniczne mog ˛
a by´c zadane b ˛
ad´z parametrycznie, b ˛
ad´z równaniem ogólnym.
5.
W przestrzeni afinicznej E(R
4
) sprawd´z, jakie s ˛
a wzajemne poło˙zenia prostych, danych układami równa´n:
x
+ y + 3z − t = 1
2x − y + 4z + t = 2
2y
+ 3t = 0
,
x
− y − z + t = 1
2x + 2y
− t = 2
x
+ 3y − z − t = 1
,
2x + y + 4z + 4t = 1
3y + 2z − 3t = 1
−x + y − 3z + 4t = 1
,
2x − 5y
+ 10t = 2
x
+ 3y + 3z + 2t = 2
−4x + y − 3z − 2t = −4
.
6.
Jedna z prostych w przestrzeni afinicznej E(K
n
) zadana jest równaniem ogólnym, natomiast druga równaniem para-
metrycznym. Podaj sposób zbadania wzajemnego poło˙zenia tych prostych. Zilustruj to na konkretnych przykładach
w przestrzeni afinicznej E(R
4
).
1
7.
Sprawd´z, czy dane pary prostych lub płaszczyzn maj ˛
a punkt wspólny:
(a)
2x − y + 3z = 3
3x + y − 5z = 0
i
4x + y + z = 3
x
+ 3y − 13z = 3
w E(R
3
),
(b)
x
y
z
t
=
−1
0
1
0
+ r
2
3
5
2
+ s
1
−2
1
−1
i
x
y
z
t
=
0
2
0
4
+ r
−1
2
−1
1
+ s
1
−3
2
−3
w E(R
4
),
(c)
x
y
z
=
0
0
3
+ t
1
1
−3
i
2x + y + z = 3
4x − y + z = 3
w E(R
3
).
8.
Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny w E(R
4
) przechodz ˛
acej przez punkt
1
−1
2
−3
i równoległej do prostych
x
y
z
t
=
1
1
1
1
+ s
2
0
−1
1
,
3x + 4y − 5z + 7t = −2
2x − 3y + 3z − 2t = 5
4x + 11y − 3z + 16t = 1
.
9.
Wyznacz równanie ogólne oraz równanie parametryczne płaszczyzny w przestrzeni E(R
4
), przechodz ˛
acej przez
punkt
1
1
1
1
i równoległej do płaszczyzny o równaniu ogólnym
4x − 3y + 2z − t = 8
3x − 2y + z − 3t = 7
.
10.
Zbadaj poło˙zenie płaszczyzny π w przestrzeni E(R
4
) danej równaniem parametrycznym
x
y
z
t
=
1
1
0
−1
+ r
1
2
−1
−2
+ s
2
1
−2
−1
.
wgl˛edem nast˛epuj ˛
acych płaszczyzn:
a)
x
+ y + z + t = 1
2x + y + 2z + t = 2
,
b)
x
+ y + z + t = 2
2x + y + 2z + t = 1
,
c)
x
+ y + z + t = 1
2x + y
+ 2t = 1
,
d)
x
− y + z + t = −1
x
+ y + z
= 2
,
e)
x
− y + z + t = 2
x
+ y + z
= 1
,
f)
2x + y + z + t = 1
2x + 2y + z + 3t = 1
11.
Wyznacz równanie parametryczne płaszczyzny przechodz ˛
acej w przestrzeni E(R
4
) przez punkty
1
1
1
1
oraz
1
2
−1
0
i równoległej do lin (
1
2
1
1
).
12.
W przestrzeni E(R
3
) przez punkt P poprowad´z prost ˛
a przecinaj ˛
ac ˛
a proste L
1
i L
2
, je˙zeli
(a) P =
3
2
1
, L
1
=
3
3
0
+ lin (
2
1
−1
), L
2
=
4
−1
2
+ lin (
1
1
1
),
(b) P =
1
2
1
, L
1
=
0
3
3
+ lin (
−1
1
1
), L
2
=
3
5
1
+ lin (
2
3
1
),
(c) P =
2
3
1
, L
1
:
x
+ y
= 0
x
− y + z + 4 = 0
, L
2
:
x
+ 3y
− 1 = 0
y
− z − 2 = 0
.
2
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron