Pola i Fale Elektromagnetyczne I

Zestaw 1

Zad. 1-1. Dane s ˛

a wektory: A = 1

x

+ 21

y

− 31

z

, B = −41

y

+ 1

z

i C = 51

x

− 21

z

. Wyznaczy´c: a) |A − B|,

b) A · B, c) A × A, d) k ˛

at pomi˛edzy wektorami B i C, e) składow ˛

a wektora C w kieruku wyznaczonym

przez wektor A, f) A · (B × C) i (A × B) · C, g) A × (B × C) i (A × B) × C.

Zad. 1-2. Dany jest wektor A = 31

x

+ 41

y

+ 51

z

. Dobra´c wektor B tak, aby był on równoległy do wektora

A, a ich iloczyn skalarny wynosił −125.

Zad. 1-3. Dany jest wektor A = 21

r

+ 21

Θ

+ 1

φ

. Znale´z´c wektor B prostopadły do wektora A i taki, aby

wektor C = A × B był równoległy do wektora D = −1

r

+ 1

Θ

.

Zad. 1-4. Znale´z´c składowe wektora E = 1

x

− 21

y

+ 21

z

we współrz˛ednych a) cylindrycznych, b) sferycz-

nych.

Zad. 1-5. Znale´z´c składowe wektora B = 1/ρ1

ρ

− 2/ρ

2

1

φ

+ 1

z

we współrz˛ednych a) kartezja´nskich, b)

sferycznych.

Zad. 1-6. Wyznaczy´c składow ˛

a E

x

pola wektorowego E = 25/r

2

1

r

, okre´slonego we współrz˛ednych sfe-

rycznych, w punkcie P (−3, 4, 5).

Zad. 1-7. Wyznaczy´c strumie´n wektora E = 3 sin θ1

r

przez powierzchni˛e sfery o promieniu r = 5, której

´srodkiem jest pocz ˛

atek układu współrz˛ednych.

Zad. 1-8. Wyra˙zenie opisuj ˛

ace potencjał skalarny ma posta´c V = 3x+x

2

y [V]. Jakie jest wyra˙zenie opisuj ˛

ace

nat˛e˙zenie pola elektrycznego E wiedz ˛

ac, ˙ze E = −∇V ? Znale´z´c kierunek i warto´s´c wektora E w punktach

A = (0, 10) i B = (10, 10).

Zad. 1-9. Dane jest pole wektorowe E = 1

x

+ 1

y

. Obliczy´c całk˛e liniow ˛

a

R

E · dl od punktu P

1

(2, 1, −1) do

punktu P

2

(8, 2, −1) a) wzdłu˙z paraboli x = 2y

2

, b) wzdłu˙z prostej ł ˛

acz ˛

acej oba punkty. Co na tej podstawie

mo˙zna powiedzie´c o zachowawczo´sci pola E?

Zad. 1-10. Wyznaczy´c kierunek najszybszego wzrostu pola skalarnego V = x

2

+ y

2

+ z

2

w punkcie

P

0

(4, 3, 0).

Zad. 1-11. Wiadomo, ˙ze w punkcie P

0

(20, 15, 2) temperatura wynosi T (P

0

) = 312K oraz ∇T (P

0

) =

1(1

x

+ 1

y

)K/m. Wyznaczy´c przybli˙zon ˛

a warto´s´c temperatury w punkcie P

1

(21, 14, 3).

Zad. 1-12. Dane jest pole wektorowe F = x

2

y1

x

+ y

2

z1

y

+ z

2

x1

z

. Obliczy´c ∇ · F

Zad. 1-13. Obliczy´c dywergencj˛e i rotacj˛e dla nast˛epuj ˛

acych pól wektorowych:

a) E = 2x

2

y1

x

+ z

2

y1

y

+ 4 sin (πz)1

z

b) E = ρ sin φ1

ρ

−

cos(2φ)

ρ

1

φ

+ e

z

1

z

c) E = r

2

sin φ1

r

+ re

r

sin θ1

θ

+ r cos θ cos φ1

φ

Zad. 1-14. Wektor pola D w przestrzeni pomi˛edzy dwoma współ´srodkowymi sferami o promieniach R

1

i R

2

opisany jest wzorem D=cos

2

θ/r

3

· 1

r

. Oblicz

H

D · dS i

R

∇ · Ddv.

Zad. 1-15. Sprawdzi´c słuszno´s´c twierdzenia Gaussa–Ostrogradzkiego dla pola wektorowego A = ρ

2

1

ρ

+

2z1

z

i przestrzeni ograniczonej walcem o promieniu 5 i płaszczyznami z = 0 i z = 4.

Zad. 1-16. Sprawdzi´c słuszno´s´c twierdzenia Stokesa dla pola wektorowego A = sin(φ/2)1

φ

i górnej po-

wierzchni sfery o promieniu r = 1.