Tutaj powinny znale´z´c si˛e wyniki pomiarów (tabelki)

potwierdzone przez prowadz ˛

acego zaj˛ecia laboratoryjne

i podpis dy ˙zuruj ˛

acego pracownika obsługi technicznej.

1. Wst ˛ep

Celem ´cwiczenia jest wyznaczenie warto´sci przyspieszenia ziemskiego na pod-

stawie pomiaru okresu drga ´n wahadła matematycznego oraz sprawdzenie zale ˙z-
no´sci okresu drga ´n wahadła od jego długo´sci.

Wahadło matematyczne to ciało o niewielkich rozmiarach zawieszone na cienkiej

i niewa ˙zkiej nici i umieszczone w polu sił ci˛e ˙zko´sci (przyspieszenie ziemskie g).
Je´sli wahadło matematyczne o długo´sci l zostanie odchylone od pionu o niewielki
k ˛

at α i puszczone swobodnie, to zacznie wykonywa´c drgania harmoniczne. Okres

T

tych drga ´n okre´slony jest zale ˙zno´sci ˛

a:

T = 2π

s

l

g

.

(1.1)

Mierz ˛

ac okres drga ´n oraz długo´s´c wahadła l mo ˙zna wyznaczy´c warto´s´c przy-

spieszenia ziemskiego:

Podstawowy

wzór potrzebny

do dalszych

oblicze ´n.

g = 4π

l

T

2

.

(1.2)

2. Metoda pomiaru i układ pomiarowy

´

Cwiczenie składało si˛e z dwóch cz˛e´sci:

Tutaj mo ˙zesz

umie´sci´c

schemat układu

pomiarowego.

I. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego:

Wykonałem dziesi˛e´c pomiarów okresu (wyniki w tabeli

3.1

). Nast˛epnie zmie-

rzyłem długo´s´c linki wahadła uwzgl˛edniaj ˛

ac fakt, ˙ze powinienem okre´sli´c

długo´s´c do ´srodka kulki (nie jest to mo ˙zliwe, dlatego dokładno´s´c wyznaczenia
długo´sci jest zdecydowanie mniejsza ni ˙z dokładno´s´c miarki).

II. Badanie zale ˙zno´sci okresu drga ´n od długo´sci wahadła:

Pomiary wykonałem w podobny sposób jak w poprzedniej cz˛e´sci. Dla ka ˙zdej
długo´sci linki wahadła wykonałem jeden pomiar okresu. Długo´s´c linki zmie-
niałem od 0, 5 do 2, 1m co 0, 2m. Wyniki pomiarów przedstawiłem w tabeli

3.2

.

3. Opracowanie wyników pomiarów

3.1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego

Czas mierzyłem stoperem elektronicznym. Dokładno´s´c pomiaru czasu

∆T = 0, 01s

.

Podaj

dokładno´s´c

wyznaczania

danej wielko´sci.

Dokonałem pomiaru długo´sci wahadła i jest ona równa l = 121, 5cm. Dokład-

no´s´c pomiaru długo´sci ∆l = 0, 5cm.

3. Opracowanie wyników pomiarów

3.1.1. Obliczenia

Warto´s´c przyspieszenia ziemskiego obliczałem korzystaj ˛

ac ze wzoru

1.2

. Przy-

kładowe obliczenie warto´sci przyspieszenia

Zwró´c uwag˛e
na działania na

jednostkach.

g = 4π

l

T

2

= 4π

1, 215m

2, 21

2

s

2

= 9, 820904

m

s

2

,

lub

g = 4π

l

T

2

= 4π

1, 215

2, 21

2

m

s

2

= 9, 820904

m

s

2

.

Pozostałe warto´sci obliczonych przyspiesze ´n przedstawiłem w tabeli poni ˙zej.

Tabela 3.1: Wyniki pomiarów okresu drga ´n i obliczenie warto´sci g.

Nr pomiaru

T[s]

g[

m

s

2

]

1

2,21

9,820904

2

2,23

9,645534

3

2,19

10,001100

4

2,22

9,732627

5

2,25

9,474820

6

2,19

10,001100

7

2,23

9,645534

8

2,24

9,559606

9

2,18

10,093064

10

2,16

10,280838

Warto´sci ˛

a najbardziej prawdopodobn ˛

a jest warto´s´c ´srednia przyspieszenia ziem-

skiego obliczona metod ˛

a Studenta-Fishera. Bł ˛

ad w tej metodzie mo ˙zna znale´z´c za-

kładaj ˛

ac poziom istotno´sci (ufno´sci) α = 0, 95.

Je ˙zeli
korzystasz
z innych metod
obliczeniowych,
to musisz je
dokładnie

opisa´c! Poda´c
wszystkie
wzory i wyniki
po´srednie.

Wydruk komputerowy z metody Studenta-Fishera wykonany w programie

OPRA7 znajduje si˛e w Zał ˛

aczniku Nr 1.

Uzyskałem w ten sposób warto´sci: g = 9, 825513

m

s

2

oraz ∆g = 0, 18587163

m

s

2

.

3.1.2. Wynik ko ´

ncowy

Warto´s´c przyspieszenia ziemskiego obliczona w cz˛e´sci I ´cwiczenia:

g = (9, 82 ± 0, 19)

m

s

2

.

2

3.2. Badanie zale˙zno´sci okresu drga ´n od długo´sci wahadła

3.2. Badanie zale˙zno ´sci okresu drga ´

n od długo ´sci wahadła

Je´sli wzór na okres drga ´n wahadła matematycznego (równanie

1.1

) podniesie

si˛e obustronnie do kwadratu to otrzyma si˛e nast˛epuj ˛

ac ˛

a zale ˙zno´s´c:

T

2

= 4π

2

l

g

=

4π

2

g

l.

(3.1)

3.2.1. Obliczenia

Tabela 3.2: Wyniki pomiarów okresów drga ´n wahadła w zale ˙zno´sci od długo´sci wahadła.

Nr pomiaru

Długo´s´c wahadła [cm]

Okres T[s]

T

2

[s

2

]

1

50

1,38

1,9044

2

70

1,68

2,8224

3

90

1,91

3,6481

4

110

2,11

4,4521

5

130

2,26

5,1076

6

150

2,46

6,0516

7

170

2,61

6,8121

8

190

2,76

7,6176

9

210

2,88

8,2944

10

230

2,98

8,8804

Je´sli narysuje si˛e zale ˙zno´s´c kwadratu okresu od długo´sci wahadła, to powinna

to by´c zale ˙zno´s´c liniowa. Dodatkowo b˛edzie mo ˙zna wyznaczy´c warto´s´c przyspie-
szenia ziemskiego ze współczynnika kierunkowego prostej. Wykres wykonałem
korzystaj ˛

ac z metody najmniejszych kwadratów w programie OPRA7.

Wyniki oblicze ´n (Zał ˛

acznik Nr 2) wskazuj ˛

a, ˙ze zale ˙zno´s´c jest zale ˙zno´sci ˛

a liniow ˛

a,

gdzie

a = 3, 907864 · 10

−2

s

2

cm

∆a = 0, 059941 · 10

−2

s

2

cm

.

Współczynnik korelacji (0, 99906) jest bliski warto´sci 1. Tak wi˛ec nie ma podstaw

do odrzucenia hipotezy o liniowo´sci badanej zale ˙zno´sci.

Ze współczynnika kierunkowego prostej a mo ˙zna wyznaczy´c g i wynosi ono:

g =

4π

2

a

=

4π

2

3, 907864

1

s

2

m

= 10, 0920605

m

s

2

.

Bł ˛

ad wyznaczania warto´sci przyspieszenia nale ˙zy obliczy´c ze wzoru:

3

5. Wnioski

∆g = g

∆a

a

= 10, 0920605

m

s

2

0, 059941

3, 907864

s

2

m

m

s

2

= 0, 154797

m

s

2

.

3.2.2. Wynik ko ´

ncowy

Warto´s´c przyspieszenia ziemskiego obliczona w cz˛e´sci II ´cwiczenia:

g = (10, 09 ± 0, 15)

m

s

2

.

4. Wyniki ko ´

ncowe

Wyznaczyłem nast˛epuj ˛

ace warto´sci przyspieszenia ziemskiego dla wahadła ma-

tematycznego na podstawie:

Pami˛etaj –
wynik ko ´ncowy
bł˛edu to
maksymalnie 2
cyfry znacz ˛

ace!

I. pomiaru okresu drga ´n

g = (9, 82 ± 0, 19)

m

s

2

,

II. sprawdzenia zale ˙zno´sci okresu drga ´n tego wahadła od jego długo´sci

g = (10, 09 ± 0, 15)

m

s

2

.

5. Wnioski

Warto´s´c tablicowa przyspieszenia ziemskiego mie´sci si˛e w wyznaczonym prze-

dziale.

Jak mo ˙zna zauwa ˙zy´c metoda pierwsza (wielokrotne pomiary okresu drga ´n wa-

hadła matematycznego) daje warto´s´c przyspieszenia zbli ˙zon ˛

a do warto´sci teore-

tycznej (dla Warszawy przyspieszenie ziemskie wynosi 9, 8157m/s

2

) i niepewno´s´c

wyznaczenia tej warto´sci jest wi˛eksza ni ˙z w drugiej metodzie.

Obie metody s ˛

a dokładne, gdy ˙z niepewno´s´c wzgl˛edna w obu przypadkach jest

rz˛edu 1, 5 − 2%.

Najwi˛ekszy wpływ na dokładno´s´c wyników ma na pewno niedokładno´s´c wy-

chylania kulki od pionu. Za ka ˙zdym razem był to jednak inny k ˛

at, a zastosowany

wzór stanowi tylko przybli ˙zenie i jest słuszny dla małych k ˛

atów. Przy wi˛ekszych

k ˛

atach nale ˙załoby uwzgl˛edni´c poprawki zwi ˛

azane z tymi k ˛

atami.

4

Zał ˛

aczniki

A. Zał ˛

acznik Nr 1

Obliczenie warto´s´c ´sredniej przyspieszenia ziemskiego w metodzie Studenta-

Fishera.

5

B. Zał ˛

acznik Nr 2

Obliczenie przyspieszenia ziemskiego metod ˛

a najmniejszych kwadratów – za-

le ˙zno´s´c T

2

(l)

.

6